高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省清遠(yuǎn)市2025屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A B.C. D.【答案】C【解析】∵，，∴.故選：C．2.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：B．3.已知，，且，則（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，且，所以，解?故選：B.4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.當(dāng)時，C.D.隨機(jī)變量落在與落在的概率相等【答案】D【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，由正態(tài)分布密度曲線可知，故C錯誤；對于D，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，隨機(jī)變量落在與落在的概率相等，故D正確．故選：D．5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，若，且，，成等比數(shù)列，則的值為（）A.11 B.13 C.19 D.17【答案】C【解析】，即，又因?yàn)?，，成等比?shù)列，則，即，整理可得，再與聯(lián)立可得，，所以，，故選：C．6.已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個最值點(diǎn)和3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，且?dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)恰有3個最值點(diǎn)和3個零點(diǎn)，所以，解得，故選：D．7.設(shè)曲線在處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由，可得，所以曲線在處的切線方程是，令得，所以.故選：A．8.已知拋物線的方程為，直線與交于，兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別位于軸的上下兩側(cè)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．過拋物線的焦點(diǎn)向作垂線交于點(diǎn)，動點(diǎn)的軌跡為，則的方程和直線斜率的最大值分別為（）A.（除去點(diǎn)）， B.（除去點(diǎn)），C.， D.，【答案】B【解析】由題可設(shè)，，則，解得或者（舍），設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以，故，故直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)，又因?yàn)?，由圓的定義可知動點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的軌跡方程為（除去點(diǎn)），過原點(diǎn)的直線和在第一象限內(nèi)相切時，斜率最大，所以直線斜率最大值為．故選:B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某同學(xué)擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)該同學(xué)記錄的結(jié)果，判斷可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A正確；對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B正確；對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差，故平均數(shù)為2，方差為2.4時，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C錯誤；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：，方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D正確．故選：ABD10.如圖，在直棱柱中，底面是邊長為2的菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A.B.平面與平面所成角的余弦值為C.若，則點(diǎn)軌跡的長度為D.若點(diǎn)在直線上，則的最小值為【答案】ABC【解析】如圖1，連接，由菱形可得．再由直棱柱，可得底面．又因?yàn)榈酌?，所以，而平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；，，，所以為直角三角形，且，其在底面投影的三角形的面積為，由投影面積法可得平面和平面所成角的余弦值為，故B正確；如圖2，動點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），過作，垂足為，由直棱柱，所以平面平面，平面平面，平面，且，所以平面.而側(cè)面，即有，由菱形邊長為2，，可得，再由勾股定理得：，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓?。ㄈ鐖D3中），則由側(cè)面正方形，可知，，可得，所以點(diǎn)軌跡的長度為，故C正確；由為直角三角形，且為等腰直角三角形，將與展開成一個平面圖，如圖4，則；由余弦定理得：，即，故的最小值為，故D錯誤．故選：ABC11.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如，表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個數(shù)碼0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而電子計算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需兩個數(shù)碼0和1，如四位二進(jìn)制的數(shù)，等于十進(jìn)制的數(shù)13．已知，且，，若把位進(jìn)制中的最大數(shù)記為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，，可得，所以B錯誤；對于C中，由..，，因?yàn)椋傻?，即，所以C正確；對于D中，由，又由，函數(shù)，可得，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，即，因此，即，則，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】展開式的通式為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：13.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是________．【答案】4【解析】因?yàn)?，所以，，所以函?shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，.由可得，即為.因?yàn)?，所以．?dāng)且僅當(dāng)，時取等號．故答案為：414.一個質(zhì)點(diǎn)從平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)出發(fā)，每秒末必須等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度，則此質(zhì)點(diǎn)在第10秒末到達(dá)點(diǎn)的跳法共有________種．（用數(shù)字作答）【答案】9450【解析】質(zhì)點(diǎn)第10秒末到達(dá)點(diǎn)共跳了10次，可分三類情況討論：第一類，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有種；第二類，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有種；第三類，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有種；根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有（種）．故答案為：9450.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，外接圓的半徑為2，求的面積．解：（1）因，且，所以，所以．又因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理得，則，由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，故的面積．16.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：數(shù)列滿足，即，，即，又，數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，可得；當(dāng)為奇數(shù)時，可得；綜上可得，17.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求此時直線的方程．解：（1）橢圓的離心率為，則，解得.又因?yàn)樵跈E圓上，代入方程得，又因?yàn)?，可?故橢圓的方程為.（2）由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．故所求直線的方程為或．18.如圖，在正四棱錐中，，，分別為，的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若平面與棱交于點(diǎn)，求的值．（1）證明：連接，在中，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，又因?yàn)椋裕?）解：設(shè)，連接，因?yàn)闉檎睦忮F，所以為正方形的中心，所以，平面．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：連接，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，由?）知平面的法向量為，所以平面的法向量為，由平面，可知，即，解得．即．19.在幾何學(xué)中常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長為，當(dāng)動點(diǎn)從沿曲線段運(yùn)動到時，點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動到點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時，弧長越小則曲線的彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)越接近，即越小，就越能精確刻畫曲線在點(diǎn)處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線在點(diǎn)處的曲率．（其中，分別表示在點(diǎn)處的一階，二階導(dǎo)數(shù)）（1）求單位圓上圓心角為的圓弧的平均曲率；（2）求拋物線在處的曲率；（3）定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，若且，處的“柯西曲率”相同，求的最小值．解：（1）易知單位圓上圓心角為的圓弧，，所以．（2）由題意，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，，，故，，故．?），，故，其中，令，，則，設(shè)，則，令，，時，，在上遞減，時，，在上遞增，故；令，，令，則，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，可得，即，故有，則在上遞增，故，故的最小值為．廣東省清遠(yuǎn)市2025屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A B.C. D.【答案】C【解析】∵，，∴.故選：C．2.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：B．3.已知，，且，則（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，且，所以，解?故選：B.4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.當(dāng)時，C.D.隨機(jī)變量落在與落在的概率相等【答案】D【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，由正態(tài)分布密度曲線可知，故C錯誤；對于D，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，隨機(jī)變量落在與落在的概率相等，故D正確．故選：D．5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，若，且，，成等比數(shù)列，則的值為（）A.11 B.13 C.19 D.17【答案】C【解析】，即，又因?yàn)?，，成等比?shù)列，則，即，整理可得，再與聯(lián)立可得，，所以，，故選：C．6.已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個最值點(diǎn)和3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋耶?dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)恰有3個最值點(diǎn)和3個零點(diǎn)，所以，解得，故選：D．7.設(shè)曲線在處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由，可得，所以曲線在處的切線方程是，令得，所以.故選：A．8.已知拋物線的方程為，直線與交于，兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別位于軸的上下兩側(cè)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．過拋物線的焦點(diǎn)向作垂線交于點(diǎn)，動點(diǎn)的軌跡為，則的方程和直線斜率的最大值分別為（）A.（除去點(diǎn)）， B.（除去點(diǎn)），C.， D.，【答案】B【解析】由題可設(shè)，，則，解得或者（舍），設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以，故，故直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)，又因?yàn)椋蓤A的定義可知動點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的軌跡方程為（除去點(diǎn)），過原點(diǎn)的直線和在第一象限內(nèi)相切時，斜率最大，所以直線斜率最大值為．故選:B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某同學(xué)擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)該同學(xué)記錄的結(jié)果，判斷可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A正確；對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B正確；對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差，故平均數(shù)為2，方差為2.4時，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C錯誤；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：，方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D正確．故選：ABD10.如圖，在直棱柱中，底面是邊長為2的菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A.B.平面與平面所成角的余弦值為C.若，則點(diǎn)軌跡的長度為D.若點(diǎn)在直線上，則的最小值為【答案】ABC【解析】如圖1，連接，由菱形可得．再由直棱柱，可得底面．又因?yàn)榈酌?，所以，而平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；，，，所以為直角三角形，且，其在底面投影的三角形的面積為，由投影面積法可得平面和平面所成角的余弦值為，故B正確；如圖2，動點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），過作，垂足為，由直棱柱，所以平面平面，平面平面，平面，且，所以平面.而側(cè)面，即有，由菱形邊長為2，，可得，再由勾股定理得：，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓?。ㄈ鐖D3中），則由側(cè)面正方形，可知，，可得，所以點(diǎn)軌跡的長度為，故C正確；由為直角三角形，且為等腰直角三角形，將與展開成一個平面圖，如圖4，則；由余弦定理得：，即，故的最小值為，故D錯誤．故選：ABC11.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如，表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個數(shù)碼0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而電子計算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需兩個數(shù)碼0和1，如四位二進(jìn)制的數(shù)，等于十進(jìn)制的數(shù)13．已知，且，，若把位進(jìn)制中的最大數(shù)記為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，，可得，所以B錯誤；對于C中，由..，，因?yàn)?，可得，即，所以C正確；對于D中，由，又由，函數(shù)，可得，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，即，因此，即，則，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】展開式的通式為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：13.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是________．【答案】4【解析】因?yàn)?，所以，，所以函?shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，.由可得，即為.因?yàn)?，所以．?dāng)且僅當(dāng)，時取等號．故答案為：414.一個質(zhì)點(diǎn)從平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)出發(fā)，每秒末必須等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度，則此質(zhì)點(diǎn)在第10秒末到達(dá)點(diǎn)的跳法共有________種．（用數(shù)字作答）【答案】9450【解析】質(zhì)點(diǎn)第10秒末到達(dá)點(diǎn)共跳了10次，可分三類情況討論：第一類，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有種；第二類，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有種；第三類，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有種；根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有（種）．故答案為：9450.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，外接圓的半徑為2，求的面積．解：（1）因，且，所以，所以．又因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理得，則，由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，故的面積．16.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：數(shù)列滿足，即，，即，又，數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，可得；當(dāng)為奇數(shù)時，可得；綜上可得，17.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求此時直線的方程．解：（1）橢圓的離心率為，則，解得.又因?yàn)樵跈E圓上，代入方程得，又因?yàn)?，可?故橢圓的方程為.（2）由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．故所求直線的方程為或．18.如圖，在正四棱錐中，，，分別為，的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的