高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省2025屆高考沖刺模擬考試（Ⅱ）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增，得到，則.或，則，則，故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D.3.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即；因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即；因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即.綜上所述：.故選：D.4.已知，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.9【答案】C【解析】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)得出最小值4，故選：C.5.在中，，點(diǎn)和分別在和邊上，且滿足，若，則（）A. B.10 C.5 D.【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，，.故選：B.6.除夕夜吃餃子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，若一盤餃子共有三種餡，其中豬肉三鮮水餃有6個(gè)，素三鮮水餃有7個(gè)，羊肉大蔥水餃有7個(gè)，現(xiàn)從盤中夾取3個(gè)餃子，在取到的都是同種餡的條件下，取到的都是羊肉大蔥水餃的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記“取到都是同種餡的水餃”，“取到的都是羊肉大蔥水餃”，則，，故所求概率為.故選：A.7.已知函數(shù)在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，由可得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，所以，因?yàn)楹瘮?shù)不存在零點(diǎn)，所以，可得，解得.綜上所述，當(dāng)函數(shù)不存在零點(diǎn)時(shí)，，故選：C.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為右支上一點(diǎn)，射線是的外角平分線，其與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)的角平分線與直線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由于點(diǎn)為角平分線的交點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)于點(diǎn)于點(diǎn)，則，且，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，代入?）式得.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線與圓相交B.若直線與圓相切，則C.圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為D.若圓上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，則【答案】AC【解析】A：當(dāng)時(shí)，直線，圓的方程可化為，所以圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，故A正確；B：因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，所以圓心到直線的最大距離，則圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為，故C正確；D：因?yàn)閳A上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離，解得或，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為B.函數(shù)的周期為C.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】，令，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，故A正確；，故B不正確，函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故C不正確；由A知對(duì)稱軸，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，解得和，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故D正確.故選：AD.11.如圖，在矩形中，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含點(diǎn)，不含點(diǎn)），將沿折起，使點(diǎn)翻折至位置，且二面角為，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，在四棱錐中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.存在點(diǎn)使得平面B.存在點(diǎn)使得對(duì)于任意點(diǎn)都有直線和直線垂直C.三棱錐的體積為定值D.二面角的正切值的最小值為【答案】BCD【解析】在線段上截取，由，可得四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，平面，平面，則平面，又，則平面平面，又平面，平面，故A正確；若對(duì)于任意點(diǎn)都有直線和直線垂直，平面，則平面，又平面，，又，且，平面，平面，顯然不可能同時(shí)垂直于兩個(gè)相交平面，故B錯(cuò)誤；過(guò)作面于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，連接，由面，平面，則，又，平面，則平面，又平面，則為二面角的平面角，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，重合，不合題意，則在中，由等面積法可知，，不是定值，故C錯(cuò)誤；在矩形中，，過(guò)點(diǎn)作于，易得，，設(shè)二面角的大小為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，但是，則二面角的正切值的最小值不可能取到，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某市高三年級(jí)某次模擬考試中數(shù)學(xué)試卷的滿分為150分，閱卷結(jié)果顯示，全市100000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)140分的人數(shù)約為_(kāi)_________.（附：若隨機(jī)變量服從，則，3）【答案】2275【解析】超過(guò)140分的概率約為，所以超過(guò)140分的人數(shù)約為人.故答案為：2275.13.已知銳角滿足，則__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，，所?故答案為：.14.已知非負(fù)數(shù)列滿足，其中，則__________.【答案】【解析】由非負(fù)數(shù)列滿足，其中將代入得，解得或（舍去），將代入得，解得；將代入得，解得；歸納得，當(dāng)時(shí)，顯然成立；假設(shè)時(shí)成立，即，因?yàn)?，可得，整理得，解得，即時(shí)，也成立，所以對(duì)于則.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，滿足，則；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，解得，不滿足，無(wú)解.所以.16.已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為，且焦距為有理數(shù)，點(diǎn)為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與分別交直線于兩點(diǎn)，證明：直線和的斜率之積為定值.（1）解：由橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，可得，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可得點(diǎn)為上、下頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，可得，又因?yàn)?，且焦距為有理?shù)，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，滿足，則，則直線，令，可得，則，所以.17.如圖，幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為等腰梯形，其中分別為和的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，又四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面，平面.（2）解：四邊形是底角為的等腰梯形，，又，，，又四邊形為矩形，，又平面，平面，與平面所成角為，為等腰直角三角形，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，則設(shè)平面一個(gè)法向量為，則即不妨設(shè)，得，易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，邊上有一點(diǎn)滿足，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，且.（1）求證：；（2）求邊；（3）若，求邊.（1）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，又由，所以，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)?，所以，則，可得，即所以，因?yàn)?，可得，可得，?（2）解：如圖，在中，設(shè)，則，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，兩式相除，可得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，又因?yàn)?，所?（3）解：設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，兩式相加得，解得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解得.19.已知有限數(shù)列共有項(xiàng)，其中且，若其滿足：①；②，且；③，則稱數(shù)列為“階共振數(shù)列”.（1）已知數(shù)列為“4階共振數(shù)列”，其中，試寫出中其他各項(xiàng)；（2）證明：若為“階共振數(shù)列”，則這樣的數(shù)列必有偶數(shù)個(gè)；（3）判斷是否存在“5階共振數(shù)列”“6階共振數(shù)列”“7階共振數(shù)列”，若存在，請(qǐng)舉出一個(gè)這樣的數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）解：因?yàn)椋?，可得，又由，所以，且，則，綜上可得，.（2）證明：假設(shè)數(shù)列為“階共振數(shù)列”，令，且，其中，則，滿足①；，滿足②，，滿足③，故數(shù)列為“階共振數(shù)列”.若，則，解得，取，則，不符題意，矛盾，故.令，且，其中，當(dāng)時(shí)，，同理可證，因此.綜上可得，“階共振數(shù)列”若存在，則必有偶數(shù)個(gè).（3）解：設(shè)，其中，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，.，，兩式相減，可得，因?yàn)楸貫檎麛?shù)，故當(dāng)或時(shí)滿足，當(dāng)或時(shí)不滿足.故不存在“6階共振數(shù)列”和“7階共振數(shù)列”，存在“5階共振數(shù)列”，舉例：河北省2025屆高考沖刺模擬考試（Ⅱ）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增，得到，則.或，則，則，故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D.3.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即；因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即；因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即.綜上所述：.故選：D.4.已知，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.9【答案】C【解析】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)得出最小值4，故選：C.5.在中，，點(diǎn)和分別在和邊上，且滿足，若，則（）A. B.10 C.5 D.【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，，.故選：B.6.除夕夜吃餃子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，若一盤餃子共有三種餡，其中豬肉三鮮水餃有6個(gè)，素三鮮水餃有7個(gè)，羊肉大蔥水餃有7個(gè)，現(xiàn)從盤中夾取3個(gè)餃子，在取到的都是同種餡的條件下，取到的都是羊肉大蔥水餃的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記“取到都是同種餡的水餃”，“取到的都是羊肉大蔥水餃”，則，，故所求概率為.故選：A.7.已知函數(shù)在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，由可得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，所以，因?yàn)楹瘮?shù)不存在零點(diǎn)，所以，可得，解得.綜上所述，當(dāng)函數(shù)不存在零點(diǎn)時(shí)，，故選：C.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為右支上一點(diǎn)，射線是的外角平分線，其與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)的角平分線與直線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由于點(diǎn)為角平分線的交點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)于點(diǎn)于點(diǎn)，則，且，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，代入?）式得.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線與圓相交B.若直線與圓相切，則C.圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為D.若圓上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，則【答案】AC【解析】A：當(dāng)時(shí)，直線，圓的方程可化為，所以圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，故A正確；B：因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，所以圓心到直線的最大距離，則圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為，故C正確；D：因?yàn)閳A上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離，解得或，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為B.函數(shù)的周期為C.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】，令，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，故A正確；，故B不正確，函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故C不正確；由A知對(duì)稱軸，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，解得和，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故D正確.故選：AD.11.如圖，在矩形中，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含點(diǎn)，不含點(diǎn)），將沿折起，使點(diǎn)翻折至位置，且二面角為，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，在四棱錐中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.存在點(diǎn)使得平面B.存在點(diǎn)使得對(duì)于任意點(diǎn)都有直線和直線垂直C.三棱錐的體積為定值D.二面角的正切值的最小值為【答案】BCD【解析】在線段上截取，由，可得四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，平面，平面，則平面，又，則平面平面，又平面，平面，故A正確；若對(duì)于任意點(diǎn)都有直線和直線垂直，平面，則平面，又平面，，又，且，平面，平面，顯然不可能同時(shí)垂直于兩個(gè)相交平面，故B錯(cuò)誤；過(guò)作面于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，連接，由面，平面，則，又，平面，則平面，又平面，則為二面角的平面角，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，重合，不合題意，則在中，由等面積法可知，，不是定值，故C錯(cuò)誤；在矩形中，，過(guò)點(diǎn)作于，易得，，設(shè)二面角的大小為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，但是，則二面角的正切值的最小值不可能取到，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某市高三年級(jí)某次模擬考試中數(shù)學(xué)試卷的滿分為150分，閱卷結(jié)果顯示，全市100000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)140分的人數(shù)約為_(kāi)_________.（附：若隨機(jī)變量服從，則，3）【答案】2275【解析】超過(guò)140分的概率約為，所以超過(guò)140分的人數(shù)約為人.故答案為：2275.13.已知銳角滿足，則__________.【答案】【解析】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，所以，，所?故答案為：.14.已知非負(fù)數(shù)列滿足，其中，則__________.【答案】【解析】由非負(fù)數(shù)列滿足，其中將代入得，解得或（舍去），將代入得，解得；將代入得，解得；歸納得，當(dāng)時(shí)，顯然成立；假設(shè)時(shí)成立，即，因?yàn)?，可得，整理得，解得，即時(shí)，也成立，所以對(duì)于則.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，滿足，則；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，解得，不滿足，無(wú)解.所以.16.已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為，且焦距為有理數(shù)，點(diǎn)為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與分別交直線于兩點(diǎn)，證明：直線和的斜率之積為定值.（1）解：由橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，可得，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可得點(diǎn)為上、下頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，可得，又因?yàn)椋医咕酁橛欣頂?shù)，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，滿足，則，則直線，令，可得，則，所以.17.如圖，幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為等腰梯形，其中分別為和的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，又四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面，平面.（2）解：四邊形是底角為的等腰梯形，，又，，，又四邊形為矩形，，又平面，平面