數(shù)學(xué)七年級(jí)升八年級(jí)暑假預(yù)習(xí)專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題二與三角形有關(guān)的角【專(zhuān)題導(dǎo)航】目錄【考點(diǎn)一三角形內(nèi)角和】........................................1【考點(diǎn)二三角形的外角性質(zhì)】.....................................4【考點(diǎn)三直角三角形的性質(zhì)判定】.................................9【聚焦考點(diǎn)1】三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°【典例剖析1】【典例1-1】綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知兩直線a，b，且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠1＝42°，求∠2的度數(shù)；（2）小穎同學(xué)將圖1中的直線a，b向上平移得到圖2，若∠CMN+∠CNM＝90°，∠2＝4∠1，求∠1的度數(shù)．【典例1-2】綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作判斷操作一：折疊三角形紙片，使BC與BA邊在一條直線上，得到折痕BD；操作二：折疊三角形紙片，得到折痕AE，使B，C，E三點(diǎn)在一條直線上．完成以上操作后把紙片展平，如圖1，判斷∠ABD和∠CBD的大小關(guān)系是∠ABD＝∠CBD，直線BC，AE的位置關(guān)系是BC⊥AE．（2）深入探究操作三：折疊三角形紙片，使點(diǎn)A落在折痕AE上，得到折痕DF，把紙片展平．根據(jù)以上操作，如圖2，判斷∠DBF和∠BDF是否相等，并說(shuō)明理由．（3）結(jié)論應(yīng)用如圖1，已知∠ABC＝58°，∠ACB＝48°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDC的度數(shù)．【典例1-3】如圖，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝70°，AD是高，BE是角平分線，AD與BE相交于點(diǎn)O，求∠DAC和∠AOE的度數(shù)．針對(duì)訓(xùn)練1【變式1-1】如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，EF⊥CD于點(diǎn)G，∠ADE＝∠EFC．（1）求證：∠B＝∠EFC；（2）若∠A＝60°，∠ACB＝76°，求∠ADE的度數(shù)．【變式1-2】如圖，△ABC的頂點(diǎn)C在直線DE上，CF平分∠DCB，CF⊥CA，．（1）試說(shuō)明：AB∥CD；（2）若∠B＝50°，求∠A的度數(shù)．【變式1-3】在銳角△ABC中，E、D分別為AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EC、BD交于點(diǎn)P．（1）如圖1當(dāng)E、D運(yùn)動(dòng)到CE⊥AB、BD⊥AC，∠BPC＝140°，求∠A的度數(shù)；（2）如圖2當(dāng)E、D運(yùn)動(dòng)到BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，求∠A與∠BPC的數(shù)量關(guān)系．【能力提升1】三角形內(nèi)角和【提升1-1】閱讀下面的解答過(guò)程，并填空．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠ABC＝∠ACB，CE∥DF；求證：∠DBF＝∠F．證明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），∴ABC，∠ACB（角平分線的定義）．又∵∠ABC＝∠ACB（已知），∴∠DBC＝∠ECB（等量代換）．又∵CE∥DF（已知），∴?∠F＝∠ECB，∴∠DBF＝∠F．（等量代換）．【提升1-2】如圖所示：△ABC的角平分線BD、CE相交于P，∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)．【提升1-3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，∠ADB＝∠ABD．BE是△ABD中AD邊上的高線，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F．設(shè)∠ABC＝α，∠ACB＝β．（1）當(dāng)α＝70°時(shí)，∠ABF的度數(shù)為50°；（2）求∠AFB的度數(shù)（用含α、β的式子表示）；（3）若∠AFB＝∠BAF，求β的值．?【聚焦考點(diǎn)2】定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.性質(zhì)①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和∠ACD＝∠A+∠B②三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角∠ACD＞∠A∠ACD＞∠B歸納1．三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；2．三角形的外角和等于360°．3.三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說(shuō)三角形有三個(gè)外角．三角形的外角和等于360°。即∠ACD+∠CBE+∠BAF＝360°注意：每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6個(gè)外角之和)（2）常見(jiàn)模型①飛鏢模型結(jié)論：∠BOC=∠A+∠B+∠C②八字模型：結(jié)論：∠A＋∠B＝∠C＋∠D③翻折型：如圖，已知△ABC中，∠A沿著EF翻折到∠A’,請(qǐng)?zhí)骄俊螦，∠1，∠2之間的關(guān)系？結(jié)論：∠A=∠1+∠2

④如圖所示，已知△ABC，直線EF截∠C形成∠1和∠2，結(jié)論：∠C=∠1+∠2?180°⑤【內(nèi)內(nèi)模型】如圖，兩個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)D，則.⑥.【內(nèi)外模型】如圖，的一個(gè)內(nèi)角平分線和一個(gè)外角平分線交于點(diǎn)D，則.⑦.【外外模型】如圖，兩個(gè)外角的角平分線交于點(diǎn)D，則.【典例剖析2】三角形外角性質(zhì)【典例2-1】如圖，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CE平分∠ACD，交AD于點(diǎn)E．求：（1）∠ACD的度數(shù)；（2）∠AEC的度數(shù)．【典例2-2】已知，如圖三角形ABC，點(diǎn)D是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，CD．試探究∠BDC與∠A、∠1、∠2之間的關(guān)系并說(shuō)明理由．【典例2-3】如圖，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段BD上的任一點(diǎn)．（1）試求∠BDC的度數(shù)；（2）求證：∠BEC＞∠A．針對(duì)訓(xùn)練2【變式2-1】如圖，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分線，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度數(shù)．【變式2-2】如圖，已知：DE∥BC，CD是∠ACB的平分線，∠B＝80°，∠A＝50°，求：∠EDC與∠BDC的度數(shù)．【變式2-3】如圖，點(diǎn)A、B、C、D是平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)．連接AB、AC、BD、CD．（1）如圖1，求證：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）如圖2，若BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF與CE交于G，∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，求∠A的度數(shù)．（用m，n表示）【能力提升2】三角形外角性質(zhì)【提升2-1】△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OB，交邊AB于點(diǎn)D．（1）如圖1，①若∠ABC＝50°，則∠AOC＝115°，∠ADO＝115°；②猜想∠AOC與∠ADO的關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠ADO＝110°，∠F＝32°，求∠AOD的度數(shù)．【提升2-2】已知：如圖，在△ABC中，∠1是它的一個(gè)外角，E為邊AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到D，連接DE．求證：∠1＞∠2．【聚焦考點(diǎn)3】直角三角形的性質(zhì)1.文字?jǐn)⑹觯褐苯侨切蔚膬蓚€(gè)銳角互余。2.幾何語(yǔ)言：在Rt△ABC中，由∠C=90°，得∠A+∠B=90°直角三角形的判定1.文字?jǐn)⑹觯河袃蓚€(gè)角互余的三角形是直角三角形。2.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，由∠A+∠B=90°，得∠C=90°，即△ABC是直角三角形?！镜淅饰?】直角三角形的性質(zhì)判定【典例3-1】如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上．（1）填空：∠1＝°，∠2＝°．（2）如圖2，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，當(dāng)0＜n＜90，且點(diǎn)C恰好落在DG邊上時(shí)，①請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1＝°，∠2＝．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）；②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．（3）如圖1三角板ABC的放置，現(xiàn)將AB繞點(diǎn)A以每秒1°的轉(zhuǎn)速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)CF繞點(diǎn)C以每秒2°的轉(zhuǎn)速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF第一次旋轉(zhuǎn)回到起點(diǎn)時(shí)，CF、AB均停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（s）．請(qǐng)求出當(dāng)t為何值時(shí)，AB∥CF．【典例3-2】如圖，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∠1＝30°，求∠2與∠A，∠B的度數(shù)．針對(duì)訓(xùn)練3【變式3-1】AD、BE為△ABC的高，AD、BE相交于H點(diǎn)，∠C＝50°，求∠BHD．【變式3-2】把直角三角形OAB與直角三角形O'CD如圖1放置，直角頂點(diǎn)O與O′重合在一起，點(diǎn)D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．現(xiàn)將△O'CD固定，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α（0°≤α＜90°），OB與DC交于點(diǎn)E．（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若OA∥CD時(shí)，則α＝45°；若AB∥OC時(shí)，則α＝60°；請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△ODE有兩個(gè)角相等時(shí)，α＝45°或67.5°；請(qǐng)說(shuō)明理由．【能力提升3】直角三角形的性質(zhì)判定【提升3-1】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠B．（1）如圖1，求證：CD⊥AB；（2）將△ACD沿CD所在直線翻折，點(diǎn)A落在BD邊所在直線上，記為點(diǎn)A′．①如圖2，若∠B＝32°，求∠A′CB的度數(shù)；②若∠B＝α°，則∠A'CB的度數(shù)為90