數(shù)學(xué)七年級(jí)升八年級(jí)暑假預(yù)習(xí)專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題八全等三角形中的輔助線(xiàn)（一）【專(zhuān)題導(dǎo)航】目錄【考點(diǎn)一倍長(zhǎng)中線(xiàn)法證全等】......................................1【考點(diǎn)二截長(zhǎng)補(bǔ)短法證全等】.............................................14【考點(diǎn)三整體旋轉(zhuǎn)證全等】................................20【聚焦考點(diǎn)1】倍長(zhǎng)中線(xiàn)輔助線(xiàn)方法規(guī)律總結(jié)基本圖形輔助線(xiàn)條件與結(jié)論應(yīng)用環(huán)境延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE條件：△ABC，AD=BD結(jié)論：△ABD≌△CED(SAS)①倍長(zhǎng)中線(xiàn)常和△三邊關(guān)系結(jié)合，考察中線(xiàn)長(zhǎng)的取值范圍②倍長(zhǎng)中線(xiàn)也可以和其他幾何圖形結(jié)合，考察幾何圖形的面積問(wèn)題倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型的變形——“倍長(zhǎng)中線(xiàn)類(lèi)”模型：基本圖形輔助線(xiàn)條件與結(jié)論應(yīng)用環(huán)境延長(zhǎng)AD交直線(xiàn)l2于點(diǎn)E，條件：l1∥l2，CD=BD結(jié)論：△ABD≌△ECD(AAS)與含有平行元素的幾何圖形結(jié)合考察全等三角形的判定【典例剖析1】【典例1-1】（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線(xiàn)AD的取值范圍是（直接寫(xiě)出范圍即可）．這種解決問(wèn)題的方法我們稱(chēng)為倍長(zhǎng)中線(xiàn)法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線(xiàn)．試探究線(xiàn)段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【典例1-2】已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)交AB，CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)BE=CF時(shí)，求證：AE=AF．針對(duì)訓(xùn)練1【變式1-1】【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線(xiàn)，求證：∠C＝∠BAE．【變式1-2】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使(1)由已知圖能得到△ADC≌△EDB的理由是(2)求得AD的取值范圍是．(3)如圖2，AD是△ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求證：AC=BF．【能力提升1】倍長(zhǎng)中線(xiàn)法【提升1-1】（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱(chēng)為“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”．“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線(xiàn)，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線(xiàn)段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【提升1-2】如圖：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中點(diǎn)，請(qǐng)你用直尺（無(wú)刻度）作出一條線(xiàn)段與BE相等；并證明之；【聚焦考點(diǎn)2】截長(zhǎng)補(bǔ)短輔助線(xiàn)方法規(guī)律總結(jié)基本圖形輔助線(xiàn)條件與結(jié)論應(yīng)用環(huán)境在A(yíng)C上截取AE=AD，連接PE條件：AP平分∠BAC，結(jié)論：△APD≌△APE(SAS)①截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)輔助線(xiàn)經(jīng)常和角平分線(xiàn)同步考察②截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)全等的目的通常是為了等價(jià)線(xiàn)段總結(jié)：因?yàn)榻亻L(zhǎng)補(bǔ)短常得線(xiàn)段相等，所以截長(zhǎng)補(bǔ)短經(jīng)常用于證明三條線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系，如AD=BC+EF【典例剖析2】【典例2-1】如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點(diǎn)P（1）求∠CPD的度數(shù)；（2）若AE＝3，CD＝7，求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．【典例2-2】已知：如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．求證：BC＝AB＋CD．圖1圖2針對(duì)訓(xùn)練2【變式2-1】【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【變式2-2】利用角平分線(xiàn)構(gòu)造“全等模型”解決問(wèn)題，事半動(dòng)倍．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線(xiàn)．【模型構(gòu)造】（2）填空：①如圖．在中，，是的角平分線(xiàn)，則______．（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，連接，則．②如圖，在四邊形中，，，和的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)到的距離是______．方法二：構(gòu)距離，造全等過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則．【模型應(yīng)用】（3）如圖，在中，，，是的兩條角平分線(xiàn)，且，交于點(diǎn)．①請(qǐng)直接寫(xiě)出______；②試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【能力提升2】【提升2-1】如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E在邊AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DA＝DE．（1）求證：∠BAD＝∠EDC：（2）用等式表示線(xiàn)段CD，CE，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【提升2-1】（1）問(wèn)題背景：如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)且∠EAF=60°．探究圖中線(xiàn)段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________；（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)2小時(shí)后，甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，此時(shí)在指揮中心觀(guān)測(cè)到兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【聚焦考點(diǎn)3】角平分線(xiàn)中常見(jiàn)輔助線(xiàn)總結(jié)【典例剖析3】【典例3-1】已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求證：BC＝AC+CD．【典例3-2】如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，試說(shuō)明：BF＝2CD．針對(duì)訓(xùn)練3【變式3-1】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求證：AB＝AC+CD．【變式3-2】如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線(xiàn)AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長(zhǎng)與AD+B