蒼溪中學(xué)高級(jí)第二次學(xué)段考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題要求的．1.已知函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令可得．【詳解】由已知，所以．故選：A．2.袋子中有10個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中有4個(gè)白球，6個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回．則在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到黑球的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解．【詳解】記第一次摸到白球?yàn)槭录?，第二次摸到黑球?yàn)槭录瑒t，，故．故選：D．3.從1357中任取224中任取1）A.8B.12C.18D.72【答案】D【解析】第1頁(yè)/共17頁(yè)【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)與排列數(shù)，即可計(jì)算結(jié)果.【詳解】從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)的方法數(shù)有；從2，4中任取1個(gè)數(shù)的方法數(shù)有；選出的3個(gè)數(shù)的排列有；再利用分步計(jì)數(shù)乘法原理得：可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)有.故選：D.4.隨機(jī)變量X的分布列為，，.若（）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得求出，再利用方差公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X分布列為，，，，所以，解得，所以.故選：B5.函數(shù)在上（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有增有減D.無(wú)法判定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可分析函數(shù)單調(diào)性.【詳解】因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞減．故選：B．第2頁(yè)/共17頁(yè)6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.在區(qū)間內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)C.在區(qū)間上是增函數(shù)D.曲線在處的切線的斜率大于0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象確定的極值點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的部分圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間內(nèi)有個(gè)極值點(diǎn)，故BC錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；曲線在處的切線的斜率為，故D正確.故選：D.7.已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而可求出的值.第3頁(yè)/共17頁(yè)所以，所以，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以.故選：D8.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，數(shù)列的首項(xiàng)，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分別將和帶入，求解出的值，根據(jù)得出，然后利用等比數(shù)列求和公式，得出答案.詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，因?yàn)?，所?.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中．有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．第4頁(yè)/共17頁(yè)9.的展開式，下列說(shuō)法正確的是（）A.展開式共有7項(xiàng)B.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128C.展開式中的系數(shù)為14D.展開式中第3項(xiàng)或者第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大【答案】BC【解析】ABC，求出通項(xiàng)公式，令的次數(shù)為2，求出，從而可求出的系數(shù)，對(duì)于D，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】對(duì)于A，的展開式有8項(xiàng)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以B正確，對(duì)于C，展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)榈恼归_式有8項(xiàng)，所以展開式中第4項(xiàng)或者第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.是等比數(shù)列C.D.是遞增數(shù)列第5頁(yè)/共17頁(yè)【答案】ACD【解析】【分析】由題中條件可得，判斷A；通過(guò)兩式相減的，變形可得出，判斷B；根據(jù)求和公式結(jié)合作差法比較大小判斷C，D；【詳解】對(duì)于A，由得，，所以．A正確；對(duì)于B，將與整體相減得，，所以，又，即，所以．因此不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，因此,C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，因此是遞增數(shù)列，D正確；故選:ACD．第6頁(yè)/共17頁(yè)對(duì)于函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在處取得極大值B.C.只有一個(gè)零點(diǎn)D.若方程恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則【答案】AC【解析】ABC.D由條件轉(zhuǎn)化兩函數(shù)有一個(gè)焦點(diǎn)，求函數(shù)的單調(diào)性和最大值即可判斷；【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故在處取得極大值，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令函數(shù)，則，解得，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，易知不是方程的解；當(dāng)時(shí)，，方程恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，則且，令，即，解得，第7頁(yè)/共17頁(yè)當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上均單調(diào)遞減，是一條漸近線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極小值，結(jié)合條件可知或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)單調(diào)性方法：定義法；利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；求解函數(shù)極值方法：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值；求解函數(shù)最值方法：利用函數(shù)單調(diào)性解出最值；利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值；基本不等式求解函數(shù)最值；三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知，若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則______．【答案】【解析】【分析】由等比中項(xiàng)定義列出等式，解方程即可.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成等比數(shù)列，所以，即.故答案為：.13.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新不動(dòng)點(diǎn)”．設(shè)，則在區(qū)間上的“新不動(dòng)點(diǎn)”為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)“新不動(dòng)點(diǎn)”的定義列方程求解即可.【詳解】由，得，由，得，第8頁(yè)/共17頁(yè)，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，得，所以在區(qū)間上的“新不動(dòng)點(diǎn)”為.故答案為：14.支教，并且每所學(xué)校至少有一名教師參與支教，同時(shí)要求甲乙兩名教師必須去同一所學(xué)校支教，則不同的安排方案有______種．【答案】150【解析】【分析】由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分組分配問題和分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理求解．【詳解】當(dāng)甲乙兩位教師到一所學(xué)校時(shí)，則不同的分配方案種數(shù)為，當(dāng)甲乙和另外一名共三位教師到一所學(xué)校時(shí)，則不同的分配方案種數(shù)為，當(dāng)甲乙和另外兩名共四位教師到一所學(xué)校時(shí)，則不同的分配方案種數(shù)為，則不同的分配方案種數(shù)共有．故答案為：150．四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的極值．第9頁(yè)/共17頁(yè)【答案】（1）（2）極大值為，極小值為【解析】1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)算出時(shí)的導(dǎo)數(shù)，得到切線斜率.再結(jié)合時(shí)的函數(shù)值，用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程，最后整理成一般式.（2）令導(dǎo)函數(shù)，解出可能的極值點(diǎn)，接著根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)在不同區(qū)間的增減性，進(jìn)而確定極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，把對(duì)應(yīng)的值代入函數(shù)求出極大值和極小值.【小問1詳解】，則，又，則函數(shù)在處的切線方程為，即；【小問2詳解】令，可得，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，則函數(shù)在區(qū)間上的極大值為，極小值為．16.在數(shù)列中，，且.（1）證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，（2）第10頁(yè)/共17頁(yè)1）依題意可得，即可得到是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，對(duì)分奇偶，利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.【小問2詳解】解：由（1）得，則，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，綜上所述，17.如圖，在四棱錐中，底面矩形垂直于側(cè)面，且分別是棱的中點(diǎn)，．第11頁(yè)/共17頁(yè)（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）由面面垂直可得平面，則，由幾何知識(shí)可得，，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，可得平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】因?yàn)闉榫匦危瑒t，且平面平面，平面平面平面，則平面，且平面，所以．連接．在和中，，可知全等于．則，且是的中點(diǎn)，則．在中，，而是的中點(diǎn)，則．第12頁(yè)/共17頁(yè)且，平面，所以平面．【小問2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，由（1）知，是平面的法向量，且平面的法向量是．可得．所以二面角的正弦值為．18.甲、乙兩個(gè)袋子各裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，第一次從甲袋子隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙袋子.求：（1）第二次從乙袋子隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球的概率；（2）在第二次從乙袋子隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球的條件下，第一次從甲袋子取出的是白球的概率；（3）第二次從乙袋子隨機(jī)取出兩個(gè)球，其中白球個(gè)數(shù)的分布列與期望.【答案】（1）（2）（3）分布列、期望見解析【解析】1）根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解即可.（2）設(shè)事件B為第1次取出的是白球，事件C為第2次取出的是紅球，根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可；（3）分情況從甲中隨機(jī)取出一紅球或白球?qū)懗霭浊騻€(gè)數(shù)的概率及分布列，再求出期望即可.第13頁(yè)/共17頁(yè)設(shè)事件表示：從甲中隨機(jī)取出一球放入乙中，再?gòu)囊抑须S機(jī)取出一球，則取出的球是紅球，則有：，所以.【小問2詳解】設(shè)事件為第一次從甲取出的是白球，事件為第二次從乙隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球；則，所以．【小問3詳解】第二次從乙隨機(jī)取出兩個(gè)球，取出的白球的個(gè)數(shù)為，則，，，,的分布列為012的數(shù)學(xué)期望.19.向的問題，即函數(shù)的凹凸性．函數(shù)的凹凸性可以用連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線上相應(yīng)點(diǎn)（即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)）的位置關(guān)系來(lái)描述定義如下：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn)恒有，則稱在第14頁(yè)/共17頁(yè)區(qū)間上的圖形是凹的【圖1為凹的區(qū)間；設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn)恒有，則稱在區(qū)間上的圖形是凸的【圖2為凸的區(qū)間；關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的凹凸性的關(guān)系，有如下定理：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么①如果在上恒有，則在區(qū)間上的圖象是凹的；如果在區(qū)間上的圖象是凹的，則在上恒有；②如果在上恒有，則在區(qū)間上的圖象是凸的；如果在區(qū)間上的圖象是凸的，則在上恒有其中是的導(dǎo)函數(shù)，為的一階導(dǎo)數(shù)：是的導(dǎo)函數(shù)，為的二階導(dǎo)數(shù)．根據(jù)以上內(nèi)容，完成如下問題：（1）求函數(shù)的凹的區(qū)間和凸的區(qū)間；（2）若在區(qū)間上圖象是凹的，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）函數(shù)的凹的區(qū)間是和，凸的區(qū)間是.（2）（3）證明見解析【解析】第15頁(yè)/共17頁(yè)（2而得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)證明，，從而得出答案.【小問1詳解】，令，解得或；令，解得.因此，函數(shù)的凹的區(qū)間是和，凸的區(qū)