6.4.3余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例深圳市翠園中學(xué)王文聰一、教學(xué)目標(biāo)1.了解實際問題中常用的測量相關(guān)術(shù)語，能夠運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離、高度、角度的實際問題；2.通過對余弦定理、正弦定理應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點1.由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解；2.由實際問題建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖。三、教學(xué)過程(一)創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考情境一如圖所示，A，B兩點都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量A，B兩點間的距離的方法.并求出A，B間的距離。教師提出本節(jié)課解決的問題應(yīng)用余弦定理、正弦定理解決實際問題【分析】測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，測得CD=a，并且在C，D兩點分別測得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，【探究】如何求AB間的距離？學(xué)生小組活動探究情境二如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度?！痉治觥咳鐖D，求AB長的關(guān)鍵是先求AE，在△ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長.【探究】選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上.由在H,G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是α,β,CD=a，測角儀器的高是h，那么，在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得所以，這座建筑物的高度為情境三.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救。甲船立即前往營救，同時把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距7nmile的C處的乙船，那么乙船前往營救遇險漁船時的目標(biāo)方向線（由觀測點看目標(biāo)的視線）的方向是北偏東多少度（精確到）？需要航行的距離是多少海里（精確到1nmile）？【探究】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖.大約需要航行24nmile.（二）理性分析，課堂練習(xí)2.如圖所示，要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度．解：設(shè)電視塔AB的高為x，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，答：電視塔的高為40m.解:如圖若要最快追上走私船，則兩船到D點時所用時間相等.假設(shè)在D處相遇,設(shè)緝私船用th在D處追上走私船,如圖.即緝私船沿北偏東方向能最快追上走私船.四、課堂小結(jié)(1)學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)方法解決，注意體會正、余弦定理的綜合使用；(2)明確應(yīng)用題中常見的概念，如方位角、俯角、仰角等；(3)在解決存在多個三角形的問題時，需注意觀察，在不同的三角形