極限題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)\(x→0\)時，\(x\)與\(sinx\)是（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.等價無窮小D.同階但不等價無窮小2.\(\lim\limits_{x→1}\frac{x^2-1}{x-1}\)的值為（）A.0B.1C.2D.不存在3.若\(\lim\limits_{x→a}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x→a}g(x)=B\)，則\(\lim\limits_{x→a}[f(x)-g(x)]\)等于（）A.\(A+B\)B.\(A-B\)C.\(AB\)D.\(\frac{A}{B}\)（\(B≠0\)）4.當(dāng)\(x→∞\)時，\(\frac{1}{x^2}\)是（）A.無窮大量B.無窮小量C.有界變量D.無界變量5.\(\lim\limits_{x→0}\frac{e^x-1}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(e\)D.\(\frac{1}{e}\)6.函數(shù)\(f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}\)在\(x=1\)處（）A.有定義B.極限存在C.連續(xù)D.以上都不對7.若\(\lim\limits_{x→x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x→x_0^-}f(x)=A\)，則（）A.\(\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A\)B.\(f(x_0)=A\)C.\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)D.以上都不對8.\(\lim\limits_{n→∞}(1+\frac{1}{n})^{2n}\)的值為（）A.\(e\)B.\(e^2\)C.\(e^3\)D.\(e^4\)9.當(dāng)\(x→0\)時，\(1-cosx\)是關(guān)于\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小10.\(\lim\limits_{x→∞}\frac{3x+1}{2x-1}\)的值為（）A.0B.\(\frac{3}{2}\)C.1D.\(∞\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x→0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x→0}xsin\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x→∞}\frac{sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x→0}\frac{|x|}{x}\)2.以下是無窮小量的有（）A.當(dāng)\(x→0\)時，\(x^2\)B.當(dāng)\(x→∞\)時，\(\frac{1}{x}\)C.當(dāng)\(x→1\)時，\(x-1\)D.當(dāng)\(x→0\)時，\(e^x-1\)3.極限運算的性質(zhì)有（）A.\(\lim\limits_{x→a}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x→a}f(x)+\lim\limits_{x→a}g(x)\)B.\(\lim\limits_{x→a}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x→a}f(x)\cdot\lim\limits_{x→a}g(x)\)C.\(\lim\limits_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x→a}f(x)}{\lim\limits_{x→a}g(x)}\)（\(\lim\limits_{x→a}g(x)≠0\)）D.\(\lim\limits_{x→a}kf(x)=k\lim\limits_{x→a}f(x)\)（\(k\)為常數(shù)）4.下列函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(y=x\)B.\(y=|x|\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\begin{cases}x+1,x≥0\\x-1,x\lt0\end{cases}\)5.關(guān)于等價無窮小，正確的有（）A.當(dāng)\(x→0\)時，\(x\simsinx\)B.當(dāng)\(x→0\)時，\(x\simtanx\)C.當(dāng)\(x→0\)時，\(1-cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)D.當(dāng)\(x→0\)時，\(e^x-1\simx\)6.下列極限等于\(e\)的有（）A.\(\lim\limits_{n→∞}(1+\frac{1}{n})^n\)B.\(\lim\limits_{x→∞}(1+\frac{1}{x})^x\)C.\(\lim\limits_{x→0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)D.\(\lim\limits_{x→∞}(1-\frac{1}{x})^x\)7.函數(shù)極限存在的判定方法有（）A.夾逼準(zhǔn)則B.單調(diào)有界準(zhǔn)則C.洛必達(dá)法則D.等價無窮小替換8.以下說法正確的是（）A.無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量B.兩個無窮小量的和是無窮小量C.兩個無窮大量的和是無窮大量D.無窮大量與無窮小量的乘積是無窮小量9.當(dāng)\(x→a\)時，\(f(x)\)的極限與\(f(a)\)的關(guān)系是（）A.極限存在則\(f(a)\)一定有定義B.極限存在不一定\(f(a)\)有定義C.極限存在且\(f(x)\)在\(x=a\)連續(xù)時，\(\lim\limits_{x→a}f(x)=f(a)\)D.極限存在與\(f(a)\)是否有定義無關(guān)10.若\(\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A\)，則（）A.對于任意\(\varepsilon\gt0\)，存在\(\delta\gt0\)，當(dāng)\(0\lt|x-x_0|\lt\delta\)時，\(|f(x)-A|\lt\varepsilon\)B.\(f(x)\)在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)有界C.當(dāng)\(x\)充分接近\(x_0\)時，\(f(x)\)與\(A\)的差的絕對值可以任意小D.若\(A\gt0\)，則在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)\(f(x)\gt0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.無窮小量就是很小的數(shù)。（）2.若\(\lim\limits_{x→a}f(x)\)和\(\lim\limits_{x→a}g(x)\)都不存在，則\(\lim\limits_{x→a}[f(x)+g(x)]\)也不存在。（）3.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(\lim\limits_{x→x_0}f(x)=f(x_0)\)。（）4.當(dāng)\(x→0\)時，\(x^2\)是比\(x\)高階的無窮小。（）5.\(\lim\limits_{x→∞}sinx\)存在。（）6.等價無窮小在加減法中一定可以直接替換。（）7.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增且有上界，則\(\lim\limits_{x→b^-}f(x)\)存在。（）8.無窮大量與無窮小量互為倒數(shù)。（）9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處極限不存在是因為函數(shù)在該點無定義。（）10.若\(\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x→x_0}g(x)=B\)，且\(A\gtB\)，則在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)\(f(x)\gtg(x)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述極限的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)（無論它多么?。?，總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足不等式\(0\lt|x-x_0|\lt\delta\)時，對應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(|f(x)-A|\lt\varepsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x→x_0\)時的極限。2.簡述等價無窮小替換的條件。答案：在求極限的乘除運算中，若所求極限式子中的因式為無窮小量，可用其等價無窮小替換，以簡化計算。但在加減法運算中，只有當(dāng)替換后不改變原式極限值時才能使用。3.簡述函數(shù)在一點連續(xù)的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果\(\lim\limits_{x→x_0}f(x)=f(x_0)\)，即\(\lim\limits_{\Deltax→0}[f(x_0+\Deltax)-f(x_0)]=0\)，那么就稱函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)連續(xù)。4.簡述夾逼準(zhǔn)則。答案：如果函數(shù)\(f(x)\)，\(g(x)\)，\(h(x)\)滿足：在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)\(g(x)≤f(x)≤h(x)\)，且\(\lim\limits_{x→x_0}g(x)=\lim\limits_{x→x_0}h(x)=A\)，那么\(\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實際生活中的應(yīng)用。答案：極限在生活中應(yīng)用廣泛，如在經(jīng)濟領(lǐng)域，計算成本、收益的變化趨勢；在物理中，研究物體運動的瞬時速度、加速度等。通過極限思想，能將復(fù)雜的動態(tài)問題簡化為靜態(tài)問題求解，幫助人們更準(zhǔn)確把握事物變化規(guī)律。2.討論如何判斷一個函數(shù)極限是否存在。答案：可從定義出發(fā)，看是否滿足極限定義的\(\varepsilon-\delta\)語言。也可用夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則判斷。還能通過計算左右極限，若左右極限相等則極限存在；對于分式函數(shù)，可看分子分母極限情況，或利用等價無窮小替換、洛必達(dá)法則等計算判斷。3.討論無窮小量和無窮大量的關(guān)系。答案：無窮小量和無窮大量是相對的概念。在自變量的某個變化過程中，若\(f(x)\)是無窮大量，則\(\frac{1}{f(x)}\)是無窮小量；反之，若\(f(x)\)是無窮小量（\(f(x)≠0\)），則\(\frac{1}{f(x)}\)是無窮大量。它們描述了函數(shù)在特定過程中的變化趨勢。4.討論函數(shù)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。答案：函數(shù)在一點連續(xù)則該點極限一定存在，且極限值等于該點函數(shù)值。但極限存在函數(shù)不一定連續(xù)，若極限存在但不等于該點函數(shù)值，或函數(shù)在該點無定義，則函數(shù)不連續(xù)。即連續(xù)是極限存在的一種特殊情況，極限存在是