高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省部分重點中學2025屆高三下學期4月模擬考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】由得，所以.故選：A.2.若點在以原點為頂點x軸為對稱軸的拋物線C上，則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，拋物線C的方程為，將代入，可得，故拋物線C的方程為.故選：A.3.已知向量，的夾角為60°，且，設，，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】一方面，因為，夾角為，，，所以，當時，取得最小值為，當時，取得最大值為，故，所以是的充分條件.另一方面，因為，夾角為，，，所以，所以，所以，即，所以，故是的必要條件.綜述：是的充要條件.故選：C.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意，當時，均為單調(diào)遞增函數(shù)，故為單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意，當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，則，故選：C5.從坐標平面的四個象限中取若干點，這些點中橫坐標為正數(shù)的點比橫坐標為負數(shù)的點多，縱坐標為正數(shù)的點比縱坐標為負數(shù)的點少，則下列對這些點的判斷一定正確的是（）A.第一象限點比第二象限點多 B.第二象限點比第三象限點多C.第一象限點比第三象限點少 D.第二象限點比第四象限點少【答案】D【解析】設第一象限的點即橫坐標為正數(shù)且縱坐標為正數(shù)的點有個，第二象限的點即橫坐標為負數(shù)且縱坐標為正數(shù)的點有個，第三象限的點即橫坐標為負數(shù)且縱坐標為負數(shù)的點有個，第四象限的點即橫坐標為正數(shù)且縱坐標為負數(shù)的點有個，又因為橫坐標為正數(shù)的點比橫坐標為負數(shù)的點多，縱坐標為正數(shù)的點比縱坐標為負數(shù)的點少，所以①，且②，由不等式性質(zhì)可知，①+②可得，即第二象限點比第四象限點少.故選：D.6.已知等差數(shù)列公差不為0，記其前n項和為，若，，則正整數(shù)k的值為（）A.3 B.6 C.8 D.12【答案】B【解析】設等差數(shù)列公差為，由，得，解得，，，，因此，整理得，解得.故選：B7.將1至6這六個自然數(shù)填到一個兩行三列的空格內(nèi)，每格填一個，要求每行中任意兩個相鄰數(shù)字的和為奇數(shù)，則不同的填法種數(shù)共有（）A.24 B.36 C.48 D.72【答案】D【解析】①第一行中間為偶數(shù)，兩邊為奇數(shù)，有，第二行中間為奇數(shù)，兩邊為偶數(shù)，有，所以共有，②第一行中間為奇數(shù)，兩邊為偶數(shù)，有，第二行中間為偶數(shù)，兩邊為奇數(shù)，有，所以共有，所以共有，故選：D8.設函數(shù)，對任意，.若對任意，都有，則的極小值為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】將代入，可得，由于等式對任意都成立，則項系數(shù)必須為0，即，所以，令，可得或，由三次函數(shù)圖象性質(zhì)易得為函數(shù)的唯一變號零點，由任意，都有，可得，時，總有，所以為函數(shù)的變號零點，所以，則，此時，求導得，令，得或2，當或時，；當時，.故為極小值點，極小值.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2025年春節(jié)期間，中國電影市場表現(xiàn)亮眼，《哪吒之魔童鬧海》等多部優(yōu)秀影片上映，吸引了大量觀眾走進影院，某影院對1月29日至2月27日的售票情況進行統(tǒng)計，得到這30天的觀影人數(shù)如下表：觀影人數(shù)（單位：千人）不小于3天數(shù)261084據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結論一定正確的是（）A.30天觀影人數(shù)的中位數(shù)不小于2千人B.30天觀影人數(shù)的平均數(shù)大于2千人C.30天觀影人數(shù)的眾數(shù)大于1.5千人D.30天觀影人數(shù)的極差大于1.5千人【答案】ABD【解析】由可知，中位數(shù)位于內(nèi)，故A正確；因，則平均數(shù)一定大于2千人，故B正確；由于每天的觀影人數(shù)的具體值不清楚，故30天觀影人數(shù)的眾數(shù)可能大于1.5千人，也可能小于1.5千人，故C錯誤；因，所以由表格30天觀影人數(shù)的極差大于1.5千人，故D正確.故選：ABD10.如圖，直線與函數(shù)的圖象依次交于A，B，C三點，若，，則（）A.B.C.是曲線的一條對稱軸D.曲線向右平移1個單位后關于原點對稱【答案】AC【解析】因為，，所以，所以函數(shù)的周期為，所以，故選項B錯誤；則函數(shù)，當函數(shù)取最大值時，，解得，故函數(shù)位于y軸右側的第一個最大值點的橫坐標為，又，所以，所以，故選項A正確；當時，為函數(shù)最小值，故是曲線的一條對稱軸，故選項C正確；曲線向右平移1個單位后，顯然不關于原點對稱，（），故D錯誤.故選：AC11.已知正方體棱長為1，設，則下列命題為真命題的是（）A.存在，B.任意，C.任意，三棱錐的外接球表面積小于3πD.存在，的面積等于的面積【答案】ABC【解析】如下圖，且，即是平行四邊形，由平面，平面，則，同理有，所以為矩形，若時，，又，所以，易得，此時，有，A對；如下圖，在平面內(nèi)，關于對稱，又在（不含端點）上運動，所以，又平面，平面，則，所以，即，B對；構建如下圖示的空間直角坐標系，則，，，，，若的外接球的球心，半徑為，則，由，則，則，所以，則，令，且，則，令，則，所以或時，即在，上單調(diào)遞增，時，即在上單調(diào)遞減，又，，，所以，，使，所以或時，即在、上單調(diào)遞減，或時，即在、上單調(diào)遞增，由，，故恒成立，故，外接球的表面積，C對；由平面，平面，則，所以，由B分析知，在中上的高，則，由，故，則，所以，D錯.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.12.設集合，，在集合的所有元素中，絕對值最小的元素是________.【答案】【解析】，，顯然集合的所有元素中，絕對值最小的元素是.故答案為：.13.設，分別是雙曲線的左右焦點，以為圓心的圓與C的一條漸近線相切，記圓與C的一個公共點為A，若與圓恰好相切，則________.【答案】2【解析】對于雙曲線，，，其漸近線方程為，，到漸近線的距離，所以圓的半徑，因為圓與C的一個公共點為A，與圓相切，所以，，由雙曲線定義知，則，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理，而，所以.即，所以，因為，解得.故答案為：14.已知數(shù)列共12項，，，，.記.則S的最小值為________；若至少存在兩項為1，則S的最大值為________.【答案】①.18②.516【解析】，故或，，其中，，要想最小，則盡可能小，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，此時，故最小值為18，至少存在兩項為1，則要想盡可能大，需中有兩項為1，且2的個數(shù)盡可能少，由于，，故2的個數(shù)最少為3個，即出現(xiàn)相鄰的5項，將其放置在前5項時，只會出現(xiàn)1次，2的個數(shù)最少，為3個，此后第6項至第12項分別為，此時取得最大值，最大值為.故答案為：18，516四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求；（2）若的面積為2，求.解：（1）因為，由正弦定理得，因為，由余弦定理得，整理得，所以，則，所以由余弦定理得.（2）因為，所以，所以的面積為，所以，解得（負值已舍去），所以.16.甲、乙兩人進行擲骰子游戲，每輪兩人各擲骰子一次，一次擲三粒.得分規(guī)則如下；若向上三個點數(shù)相同，得6分；若向上三個點數(shù)按某種順序可構成等差數(shù)列（公差不為0），得4分；若恰有兩粒點數(shù)相同，得2分；其余情況得0分.若第一次兩人得分相同，則進行第二輪，直至出現(xiàn)兩人得分不同，得分多者獲勝，游戲結束.（1）記甲第一輪得分為X，求X概率分布列及數(shù)學期望；（2）求兩人共投n輪骰子的概率.解：（1）X的可能取值為：6，4，2，0，概率分別為：；；；；所以X的概率分布列為X0246p.（2）記乙一輪比賽的得分為Y，事件為“一輪比賽甲乙得分相同”，則.記事件B“第n輪比賽甲乙得分不同”，則.所以兩人共投n輪骰子的概率.17.在坐標平面xOy中，，分別是橢圓的左右頂點，且C的短軸長為2，離心率為.過的中點B的直線l（不與x軸重合）與C交于D，E兩點.（1）求C的方程；（2）證明：；（3）直線和的斜率比值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.（1）解：因為C的短軸長為2，離心率為，所以，解得，所以C的方程為：.（2）證明：設直線l方程為：，設，，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，消去x得，，因為，所以，，（*）因為，所以，即.（3）解：直線和的斜率比值為定值，理由如下：法1：因為，由（*）知，，代入上式得，.所以直線和的斜率比值為定值3.法2因為，因為，所以，所以，由（2）知，兩式相除得，.18.中，，，，是的中點，是的中點，是的中點.如圖，將和分別沿、向平面的同側翻折至和的位置，且使得.（1）證明：、、、共面；（2）若，求三棱錐的體積；（3）求平面與平面的夾角的余弦值的最大值.（1）證明：取的中點，的中點，連接、、，因為、分別為、的中點，所以，，翻折前，中，，，，是的中點，是的中點，是的中點，則，，，，，翻折后，則有，，，因為，為的中點，所以，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為為的中點，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，，故，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以、、、共面（2）解：過點在平面內(nèi)作，垂足為點，翻折前，因為，翻折后，則有，，因為、平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，，、平面，所以平面，即是三棱錐的高.由（1）的圖，在中，，，由余弦定理得，所以，所以，在中，，，，是的中點，則，，所以，所以三棱錐的體積為.（3）解：在平面中，過點作，交于點，因為平面，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，設，則，所以，，，設平面的一個法向量，則，令，則，，所以，設平面的一個法問量，則，令，則，，所以，設平面與平面的夾角為，則，因為，所以，則，當且僅當，即時，即時，等號成立.所以平面與平面的夾角的余弦值的最大值為.19.已知函數(shù).（1）設是曲線的任意一條切線，若，求a的值；（2）證明：存在，對任意，且，都有；（3）證明：.（1）解：設直線與曲線切點橫坐標為，因為，所以切線方程為：，所以，即對任意都成立，因為，所以在上遞增且存在唯一正的零點，又在上遞減，所以也是它的零點.所以；解得.（2）證明：因為的定義域為，，，當時，，遞減；當時，，遞增.取，設，代入得，，所以，設，，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以時，結論成立.（3）證明：取，，，，則，，由（2）知，，即，因為，，所以，設，所以，兩式相減得，，所以，所以.山西省部分重點中學2025屆高三下學期4月模擬考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】由得，所以.故選：A.2.若點在以原點為頂點x軸為對稱軸的拋物線C上，則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，拋物線C的方程為，將代入，可得，故拋物線C的方程為.故選：A.3.已知向量，的夾角為60°，且，設，，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】一方面，因為，夾角為，，，所以，當時，取得最小值為，當時，取得最大值為，故，所以是的充分條件.另一方面，因為，夾角為，，，所以，所以，所以，即，所以，故是的必要條件.綜述：是的充要條件.故選：C.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意，當時，均為單調(diào)遞增函數(shù)，故為單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意，當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，則，故選：C5.從坐標平面的四個象限中取若干點，這些點中橫坐標為正數(shù)的點比橫坐標為負數(shù)的點多，縱坐標為正數(shù)的點比縱坐標為負數(shù)的點少，則下列對這些點的判斷一定正確的是（）A.第一象限點比第二象限點多 B.第二象限點比第三象限點多C.第一象限點比第三象限點少 D.第二象限點比第四象限點少【答案】D【解析】設第一象限的點即橫坐標為正數(shù)且縱坐標為正數(shù)的點有個，第二象限的點即橫坐標為負數(shù)且縱坐標為正數(shù)的點有個，第三象限的點即橫坐標為負數(shù)且縱坐標為負數(shù)的點有個，第四象限的點即橫坐標為正數(shù)且縱坐標為負數(shù)的點有個，又因為橫坐標為正數(shù)的點比橫坐標為負數(shù)的點多，縱坐標為正數(shù)的點比縱坐標為負數(shù)的點少，所以①，且②，由不等式性質(zhì)可知，①+②可得，即第二象限點比第四象限點少.故選：D.6.已知等差數(shù)列公差不為0，記其前n項和為，若，，則正整數(shù)k的值為（）A.3 B.6 C.8 D.12【答案】B【解析】設等差數(shù)列公差為，由，得，解得，，，，因此，整理得，解得.故選：B7.將1至6這六個自然數(shù)填到一個兩行三列的空格內(nèi)，每格填一個，要求每行中任意兩個相鄰數(shù)字的和為奇數(shù)，則不同的填法種數(shù)共有（）A.24 B.36 C.48 D.72【答案】D【解析】①第一行中間為偶數(shù)，兩邊為奇數(shù)，有，第二行中間為奇數(shù)，兩邊為偶數(shù)，有，所以共有，②第一行中間為奇數(shù)，兩邊為偶數(shù)，有，第二行中間為偶數(shù)，兩邊為奇數(shù)，有，所以共有，所以共有，故選：D8.設函數(shù)，對任意，.若對任意，都有，則的極小值為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】將代入，可得，由于等式對任意都成立，則項系數(shù)必須為0，即，所以，令，可得或，由三次函數(shù)圖象性質(zhì)易得為函數(shù)的唯一變號零點，由任意，都有，可得，時，總有，所以為函數(shù)的變號零點，所以，則，此時，求導得，令，得或2，當或時，；當時，.故為極小值點，極小值.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2025年春節(jié)期間，中國電影市場表現(xiàn)亮眼，《哪吒之魔童鬧?！返榷嗖績?yōu)秀影片上映，吸引了大量觀眾走進影院，某影院對1月29日至2月27日的售票情況進行統(tǒng)計，得到這30天的觀影人數(shù)如下表：觀影人數(shù)（單位：千人）不小于3天數(shù)261084據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結論一定正確的是（）A.30天觀影人數(shù)的中位數(shù)不小于2千人B.30天觀影人數(shù)的平均數(shù)大于2千人C.30天觀影人數(shù)的眾數(shù)大于1.5千人D.30天觀影人數(shù)的極差大于1.5千人【答案】ABD【解析】由可知，中位數(shù)位于內(nèi)，故A正確；因，則平均數(shù)一定大于2千人，故B正確；由于每天的觀影人數(shù)的具體值不清楚，故30天觀影人數(shù)的眾數(shù)可能大于1.5千人，也可能小于1.5千人，故C錯誤；因，所以由表格30天觀影人數(shù)的極差大于1.5千人，故D正確.故選：ABD10.如圖，直線與函數(shù)的圖象依次交于A，B，C三點，若，，則（）A.B.C.是曲線的一條對稱軸D.曲線向右平移1個單位后關于原點對稱【答案】AC【解析】因為，，所以，所以函數(shù)的周期為，所以，故選項B錯誤；則函數(shù)，當函數(shù)取最大值時，，解得，故函數(shù)位于y軸右側的第一個最大值點的橫坐標為，又，所以，所以，故選項A正確；當時，為函數(shù)最小值，故是曲線的一條對稱軸，故選項C正確；曲線向右平移1個單位后，顯然不關于原點對稱，（），故D錯誤.故選：AC11.已知正方體棱長為1，設，則下列命題為真命題的是（）A.存在，B.任意，C.任意，三棱錐的外接球表面積小于3πD.存在，的面積等于的面積【答案】ABC【解析】如下圖，且，即是平行四邊形，由平面，平面，則，同理有，所以為矩形，若時，，又，所以，易得，此時，有，A對；如下圖，在平面內(nèi)，關于對稱，又在（不含端點）上運動，所以，又平面，平面，則，所以，即，B對；構建如下圖示的空間直角坐標系，則，，，，，若的外接球的球心，半徑為，則，由，則，則，所以，則，令，且，則，令，則，所以或時，即在，上單調(diào)遞增，時，即在上單調(diào)遞減，又，，，所以，，使，所以或時，即在、上單調(diào)遞減，或時，即在、上單調(diào)遞增，由，，故恒成立，故，外接球的表面積，C對；由平面，平面，則，所以，由B分析知，在中上的高，則，由，故，則，所以，D錯.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.12.設集合，，在集合的所有元素中，絕對值最小的元素是________.【答案】【解析】，，顯然集合的所有元素中，絕對值最小的元素是.故答案為：.13.設，分別是雙曲線的左右焦點，以為圓心的圓與C的一條漸近線相切，記圓與C的一個公共點為A，若與圓恰好相切，則________.【答案】2【解析】對于雙曲線，，，其漸近線方程為，，到漸近線的距離，所以圓的半徑，因為圓與C的一個公共點為A，與圓相切，所以，，由雙曲線定義知，則，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理，而，所以.即，所以，因為，解得.故答案為：14.已知數(shù)列共12項，，，，.記.則S的最小值為________；若至少存在兩項為1，則S的最大值為________.【答案】①.18②.516【解析】，故或，，其中，，要想最小，則盡可能小，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，此時，故最小值為18，至少存在兩項為1，則要想盡可能大，需中有兩項為1，且2的個數(shù)盡可能少，由于，，故2的個數(shù)最少為3個，即出現(xiàn)相鄰的5項，將其放置在前5項時，只會出現(xiàn)1次，2的個數(shù)最少，為3個，此后第6項至第12項分別為，此時取得最大值，最大值為.故答案為：18，516四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求；（2）若的面積為2，求.解：（1）因為，由正弦定理得，因為，由余弦定理得，整理得，所以，則，所以由余弦定理得.（2）因為，所以，所以的面積為，所以，解得（負值已舍去），所以.16.甲、乙兩人進行擲骰子游戲，每輪兩人各擲骰子一次，一次擲三粒.得分規(guī)則如下；若向上三個點數(shù)相同，得6分；若向上三個點數(shù)按某種順序可構成等差數(shù)列（公差不為0），得4分；若恰有兩粒點數(shù)相同，得2分；其余情況得0分.若第一次兩人得分相同，則進行第二輪，直至出現(xiàn)兩人得分不同，得分多者獲勝，游戲結束.（1）記甲第一輪得分為X，求X概率分布列及數(shù)學期望；（2）求兩人共投n輪骰子的概率.解：（1）X的可能取值為：6，4，2，0，概率分別為：；；；；所以X的概率分布列為X0246p.（2）記乙一輪比賽的得分為Y，事件為“一輪比賽甲乙得分相同”，則.記事件B“第n輪比賽甲乙得分不同”，則.所以兩人共投n輪骰子的概率.17.在坐標平面xOy中，，分別是橢圓的左右頂點，且C的短軸長為2，離心率為.過的中點B的直線l（不與x軸重合）與C交于D，E兩點.（1）求C的方程；（2）證明：；（3）直線和的斜率比值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.（1）解：因為C的短軸長為2，離心率為，所以，解得，所以C的方程為：.（2）證明：設直線l方程為：，設，，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，消去x得，，因為，所以，，（*）因為，所以，即.