第1章·全等三角形1.3

探索三角形全等的條件第8課時斜邊、直角邊(HL)學習目標1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”；2.會用“HL”判定兩個直角三角形全等.問題情景上節(jié)課上，探討角平分線作法時，小明只帶了直角三角板，他說只利用三角板也可以作角平分線，方法如下：ABONMP①利用三角板上的刻度，在射線OA、OB上分別截取OM、ON，使OM＝ON；②分別過M、N作OM、ON的垂線交于點P；③作射線OP.則OP為∠AOB的平分線.請你判斷小明的作法正確嗎？問題情景ABONMP∟∟？？在△OMP和△ONP中△OMP與△ONP全等嗎？

上節(jié)課上，探討角平分線的作法時，小明只帶了直角三角板，他說只利用三角板也可以作角平分線，方法如下：我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理的.作法：1．作∠PCQ＝90°．2．在射線CP上截取CB=a．3．以點B為圓心，c的長為半徑作弧交射線CQ于點A.4．連接AB.Rt△ABC就是所求作的三角形．操作：按下列作法，用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC，使∠C＝90°，CB＝a，AB＝c．操作思考acQ

CPBaAc操作思考aQ

CPBaAc你作的三角形與其他同學作的三角形能完全重合嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？c討論交流如圖，在△ABC和△A′B′C′

中，∠C

＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，

AC＝A′C′，你能證明△ABC和△A′B′C′

全等嗎？ABCA′B′C′A′B′C′解：如圖拼在一起成為一個等腰三角形．∵AB＝A′B′，∴∠B=∠B′.易證△

ABC

≌△A′B′C′（AAS）．新知歸納于是，我們得到如下定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)

ABCA′B′C′“SSA”可以判定兩個直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.前提不要丟了新知應用如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC_______(填“全等”或“不全等”)，根據(jù)_____（用簡寫法）.全等HLADCB新知應用ABONMP∟∟？？

注意“HL”的前提條件是在直角三角形中.這是應用“HL”判定方法的書寫格式.例題講解例

已知：如圖，AD、BC相交于點O，AD=BC，∠C=∠D=90°,求證：①AC﹦BD.ADCB

注意“HL”的前提條件是在直角三角形中.利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路.O例題講解例已知：如圖，AD、BC相交于點O，AD=BC，∠C=∠D=90°,求證：②AO﹦BO，CO=DO.ADCB②證明：在△AOC

和△BOD中，O

∴△AOC≌△BOD(AAS)∴AO﹦BO，CO=DO(全等三角形對應邊相等).例題講解ADCB變式1

已知：如圖，AD、BC相交于點O，AC=BD，∠C=∠D=90°,求證：AD﹦BC.O證明：在△AOC

和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD(AAS)∴AO﹦BO，CO=DO(全等三角形對應邊相等).∴AO+DO﹦BO+CO

(等式性質).

即AD=BC也可以證Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)例題講解ADCB變式2

如圖，∠C=∠D=90°,要證明△ABC

≌△BAD，還需要什么條件？

已知一組對應角和一組對應邊相等（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）BC=AD∠CBA=∠DABAC=BD∠CAB=∠DBAHLHLAASAASO例題講解ADCBO變式3

如圖，∠C=∠D=90°,要證明△AOC≌△BOD，還需要什么條件？

（1）

（）（2）

（）（3）

（）已知兩組對應角相等AO=BOAASAC=BCAASCO=DOASA歸納總結一般三角形全等的判定直角三角形全等的判定“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”1.在應用“HL”定理時，必須先得出兩個_____三角形，然后證明__________________對應相等．一般三角形與直角三角形全等的判定方法的比較：

直角斜邊和一條直角邊2.判定兩個三角形全等，至少要有一組對應邊相等.注意：新知鞏固1.下列條件：①兩條直角邊對應相等；②斜邊和一銳角對應相等；③斜邊和一直角邊對應相等;④直角邊和一銳角對應相等.以上能判定兩直角三角形全等的個數(shù)有()A.1個B.2個C.3個D.4個D新知鞏固2.如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°，那么下列各條件中，不能使Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的是()A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3

B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3

D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°BACB'A'C'B新知鞏固ADCB3.如圖，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC.求證：AB=CD，AD//BC.

新知鞏固4.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.

求證：BC＝BE.EDACBF

課堂小結“斜邊、直角邊”內容應用前提條件使用方法當堂檢測1.如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等的依據(jù)是(

)A.AAS B.SSS C.HL D.SASD當堂檢測

2.如圖,BE=CF,AE⊥BC，DF⊥BC,要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還需要添加一個條件是()AE=DF

B.∠A=∠D

C.∠B=∠C D.AB=DCCBADFED當堂檢測3.如圖所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別是E、F.若BE=CF，則圖中全等三角形有()A.1對 B.2對 C.3對 D.4對CAFCBE當堂檢測

4.如圖，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，且AE=CF，則圖中相等的角(直角除外)有()A.3對 B.4對 C.5對 D.6對ABCDEFD當堂檢測ADCBO5.已知：如圖，△ABC和△BAD中，∠C=∠D=90°，再添加一個條件_________________就可以判斷△ABC≌△BAD．

當堂檢測

6.如圖，已知AC⊥BD于點P，AP=CP，請增加一個條件，使△ABP≌△CDP(不能添加輔助線)．ABCDP(1)若以“SAS”為依據(jù)，則可添加條件___________;(2)若以“HL”為依據(jù)，則可添加條件___________

;(3)若以“ASA”為依據(jù)，則可添加條件__________

;(4)若以“AAS”為依據(jù)，則可添加條件___________．BP=DPAB=CD∠A=∠C∠B=∠D當堂檢測7．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于點E，AF⊥CD交CD的延長線于點F.求證：△ABE≌△ADF.ADCBFE

當堂檢測AFCEDB8.如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BF=DE.

拓展延伸1.如圖，已知AD，BC相交于點O，AB=CD，AM⊥BC于點M，DN⊥BC于點N，BN=CM．(1)求證：△ABM≌△DCN．OCADBMN

拓展延伸1.如圖，已知AD，BC相交于點O，AB=CD，AM