8.3.2獨立性檢驗

第八章

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

前情回顧02×2列聯(lián)表合

計合計＋等高堆積條形圖因為是百分比，所以總高相等，各顏色代表的分類的頻率大小也容易比較.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).判斷兩個分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性的三種方法圖形分析法頻率分析法條件概率法學(xué)習(xí)目標123

了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用．

結(jié)合具體實例，掌握隨機變量χ2的含義及其應(yīng)用．

理解獨立性檢驗的基本思想及解題步驟，并解決實際問題．0新課引入0例題回顧：例1試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異？由2×2列聯(lián)表得：學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計711788乙校優(yōu)秀的頻率：

甲校不優(yōu)秀頻率：甲校優(yōu)秀的頻率：

乙校

不優(yōu)秀頻率：可以認為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.

新課引入0本節(jié)將要學(xué)習(xí)的獨立性檢驗方法為我們提供了解決這類問題的方案.思考：你認為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的？

這一結(jié)論有可能是錯誤的：對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.

因此，需要找到一種更為合理的推斷方法判斷兩變量之間有無關(guān)系，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.讀教材0閱讀課本P128-P132，5分鐘后完成下列問題：1.分類變量X與Y獨立性檢驗中的零假設(shè)H0是什么？我們一起來探究“獨立性檢驗”吧！

010302目錄1獨立性檢驗與統(tǒng)計量χ2

學(xué)習(xí)過程2題型訓(xùn)練1新知探究思考1

你知道法官是如何憑證據(jù)進行判案的嗎？先做一個無罪假設(shè)找無罪假設(shè)下不可能出現(xiàn)的物證和人證。找到了，假設(shè)不成立，嫌疑人有罪。沒找到，沒有充分證據(jù)證明假設(shè)不成立，暫且認為無罪。零假設(shè)：假設(shè)X，Y相互獨立，無關(guān)聯(lián)。找零假設(shè)下不可能發(fā)生的事件。(利用小概率原理)發(fā)生了，假設(shè)不成立，X，Y不獨立，從而證明二者有關(guān)聯(lián)。沒發(fā)生，沒有充分證據(jù)證明假設(shè)不成立，暫且認為X，Y相互獨立。類比思考2

我們是否可以類比法官判案的方式去判斷兩個分類變量X,Y是否有關(guān)聯(lián)？反證法1新知探究探究1

如何從概率的角度去研究兩個分類變量X和Y是否有關(guān)？陪審團審判裁決實際情況無罪有罪無罪正確錯誤有罪錯誤正確假設(shè)檢驗就好像一場審判過程，有兩類錯誤：結(jié)論H0實際為真H0實際為假判斷接受H0正確判斷“取偽”錯誤判斷拒絕H0“棄真”錯誤正確判斷α與β呈反比關(guān)系第一類錯誤，發(fā)生概率為α第二類錯誤，發(fā)生概率為β假設(shè)檢驗可能犯錯，但犯錯概率可控，下面探究如何進行假設(shè)檢驗（獨立性檢驗）。1新知探究探究1

如何從概率的角度去研究兩個分類變量X和Y是否有關(guān)？合

計合計＋零假設(shè)H0：分類變量X與Y獨立

事件{X=0},{X=1},{Y=0},{Y=1}相互獨立，即分類變量X和Y相互獨立.對于隨機樣本，表中的頻數(shù)a，b，c，d都是隨機變量，而表中的相應(yīng)數(shù)據(jù)是這些隨機變量的一次觀測結(jié)果．A與B相互獨立

P(AB)=P(A)P(B)1新知探究探究1

如何從概率的角度去研究兩個分類變量X和Y是否有關(guān)？合

計合計＋1新知探究探究1

如何從概率的角度去研究兩個分類變量X和Y是否有關(guān)？

合

計合計n=＋(依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理){X=0,Y=0}發(fā)生的頻數(shù)的期望值為1新知探究探究1

如何從概率的角度去研究兩個分類變量X和Y是否有關(guān)？事件觀測值期望值觀測值與期望值差X=0,Y=0aX=0,Y=1bX=1,Y=0cX=1,Y=1d殘差零假設(shè)H0：分類變量X與Y獨立如果零假設(shè)H0

成立，下面四個量的取值都不應(yīng)該太大:

反之，這些量取值較大時，就可以推斷H0不成立。1新知探究如果零假設(shè)H0

成立，下面四個量的取值都不應(yīng)該太大:反之，這些量取值較大時，就可以推斷H0不成立。顯然，分別考慮四個差的絕對值很困難；我們需要找到一個既合理又能夠計算分布的統(tǒng)計量，來推斷是否成立．一般來說，若頻數(shù)的期望值較大，則上式中相應(yīng)的差的絕對值也會較大；而若頻數(shù)的期望值較小，則上式中相應(yīng)的差的絕對值也會較?。疄榱撕侠淼仄胶膺@種影響，我們將四個差的絕對值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和，得到如下的統(tǒng)計量：1新知1－－獨立性檢驗與統(tǒng)計量χ2

獨立性檢驗與統(tǒng)計量χ2

卡方統(tǒng)計量：χ2統(tǒng)計學(xué)家建議，用隨機變量

χ2取值

的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù):

合

計合計n=＋1新知探究思考1

那么，究竟

χ2大到什么程度，可以推斷H0不成立呢？

P(χ2≥xα)=α

1新知探究思考2

如何根據(jù)χ2觀測值大小推斷兩個分類變量是否有關(guān)？α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

P(χ2≥xα)=α

1新知探究思考3

如何看下面的表格呢？α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

P(χ2≥xα)=α

注：χ2越小，獨立性越強，相關(guān)性越弱；χ2越大，獨立性越弱，相關(guān)性越強．

學(xué)以致用

學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計711788解：零假設(shè)為

H0：分類變量X與Y相互獨立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率無差異.

對比思考例1：都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)論，你能說明其中的原因嗎?

如前所述，法一只是根據(jù)一個樣本的兩個頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異的結(jié)論，并沒有考慮由樣本隨機性可能導(dǎo)致的錯誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分.在法二中，我們用χ2獨立性檢驗對零假設(shè)H0進行了檢驗.通過計算，發(fā)現(xiàn)χ2≈0.837小于α=0.1所對應(yīng)的臨界值2.706，因此認為沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以接受H0，推斷出校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異的結(jié)論。這個檢驗結(jié)果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個頻率的差異很有可能是由樣本隨機性導(dǎo)致的.因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異的結(jié)論是不可靠的.由此可見，相對于簡單比較兩個頻率的推斷：用χ2獨立性檢驗得到的結(jié)果更理性、更全面，理論依據(jù)也更充分.學(xué)以致用例2某人寒假期間對其30位親屬的飲食習(xí)慣進行了一次調(diào)查，列出了如下2×2列聯(lián)表：年齡飲食習(xí)慣合計偏愛蔬菜偏愛肉類50歲以下481250歲以上16218合計201030則可以說其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)的把握為()A.95%B.99% C.99.5%D.99.9%C所以有99.5%的把握認為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān).學(xué)以致用例3下表是某屆某校本科志愿報名時，對其中304名學(xué)生進入高校時是否知道

想學(xué)專業(yè)的調(diào)查表：

知道想學(xué)專業(yè)不知道想學(xué)專業(yè)合計男生63117180女生4282124合計105199304則下列說法正確的是____.(填序號)①性別與知道想學(xué)專業(yè)有關(guān)；②性別與知道想學(xué)專業(yè)無關(guān)；③女生比男生更易知道所學(xué)專業(yè).②所以性別與知道想學(xué)專業(yè)無關(guān).

用χ2進行“相關(guān)的檢驗”步驟：學(xué)習(xí)過程

010302目錄1獨立性檢驗與統(tǒng)計量χ2

學(xué)習(xí)過程2題型訓(xùn)練2例1某校對學(xué)生課外活動進行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：試根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析喜歡體育還是文娛與性別是否有關(guān)系？題型1－－

有關(guān)“相關(guān)性的檢驗”性別喜歡合計體育文娛男生212344女生62935合計275279解：零假設(shè)為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系.∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān).2例2某班主任對全班50名學(xué)生進行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：

題型1－－

有關(guān)“相關(guān)性的檢驗”

性別作業(yè)量合計大不大男生18927女生81523合計262450則推斷“學(xué)生的性別與認為作業(yè)量大有關(guān)”這種推斷犯錯誤的概率不超過（

）A.0.01B.0.005C.0.05D.0.001C∴犯錯誤的概率不超過0.05.2例3某銷售部門為了研究具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷和能按時完成銷售任務(wù)的關(guān)系，對本部門200名銷售人員進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：題型1－－

有關(guān)“相關(guān)性的檢驗”

能按時完成銷售任務(wù)不能按時完成銷售任務(wù)合計具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷574299不具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷3665101合計93107200根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出結(jié)論：有_____以上的把握認為“銷售人員具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷與能按時完成銷售任務(wù)是有關(guān)系的”.99%則有99%以上的把握認為：“銷售人員具有相關(guān)大學(xué)學(xué)歷與能按時完成銷售任務(wù)是有關(guān)系的”.因為9.67>6.635＝x0.01，2例4某省進行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進行了問卷調(diào)查，建立了一個2×2列聯(lián)表：

題型2－－有關(guān)“無關(guān)的檢驗”

教師年齡對新課程教學(xué)模式合計贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計341650根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系？解：零假設(shè)為H0：對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān).根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān).≈4.963<6.635＝x0.01，2例5考察棉花種子處理情況跟生病之間的關(guān)系得到下表數(shù)據(jù)：B題型2－－有關(guān)“無關(guān)的檢驗”種子種子合計處理未處理得病32101133不得病61213274合計93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可得出（

）A.種子是否經(jīng)過處理跟生病有關(guān)

B.種子是否經(jīng)過處理跟生病無關(guān)C.種子是否經(jīng)過處理決定是否生

D.以上都是錯誤的即超過99％的把握認為種子是否經(jīng)過處理跟生病無關(guān).≈0.164<2.706＝x0.1，2例6為考察某種藥物A對預(yù)防疾病B的效果，