2/2三角形全等幾何模型-共頂角（點(diǎn)）模型（專項(xiàng)練習(xí)）共頂角（點(diǎn)）模型：共頂角（點(diǎn)）模型，就是欲證全等的兩個(gè)三角形有相同角或?qū)?yīng)角在同一個(gè)頂點(diǎn)上。一、單選題1．如圖，與相交于點(diǎn)O，，不添加輔助線，判定的依據(jù)是（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，，P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①②是等腰直角三角形；③④；其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④3．如圖，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，①AB＝AC，②∠B＝∠C，③∠BFD＝∠CFE，④BE＝CD，⑤AE＝AD．五個(gè)條件中，能使的序號組合是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③⑤5．如圖，，增加下列條件可以判定的是（

）A． B． C． D．6．如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足為D、E，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，5），則線段DE的長為（）A． B． C． D．7．如圖，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依據(jù)是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么還不能判定△ABE≌△ACD，補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB9．如圖，BC⊥CE，BC=CE，AC⊥CD，AC=CD，DE交AC的延長線于點(diǎn)M，M是DE的中點(diǎn)，若AB=8，則CM的長為（

）A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.810．如圖，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是邊AB的中點(diǎn)，延長線段DE交邊BC于點(diǎn)F，若AB=6，EF=1，則線段AC的長為（

）A．7 B．8 C．9 D．1011．如圖，在和中，，，，線段BC的延長線交DE于點(diǎn)F，連接AF．若，，，則線段EF的長度為（

）A．4 B． C．5 D．12．平面上有△ACD與△BCE，其中AD與BE相交于P點(diǎn)，如圖．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，則∠BPD的度數(shù)為（）A．110° B．125° C．130° D．155°二、填空題13．如圖，點(diǎn)D、E是線段AB、AC上的兩點(diǎn)，且AB＝AC．再添加一個(gè)條件可以使得△ACE≌△ACD，你添加的條件是______．（只需填一種情況）14．如圖，已知BE＝DC，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得△ABE≌△ACD：_____．15．如圖，AD，BE是的兩條高線，只需添加一個(gè)條件即可證明（不添加其它字母及輔助線），這個(gè)條件可以是______（寫出一個(gè)即可）．16．如圖，OP平分∠MON，過點(diǎn)P的直線與OM，ON分別相交于點(diǎn)A，B，只需添加一個(gè)條件即可證辱，這個(gè)條件可以是___（寫出一個(gè)即可）．17．已知：如圖，AC＝DC，∠1＝∠2，請?zhí)砑右粋€(gè)已知條件：_____，使ABCDEC．18．如圖，已知EC＝BC，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的條件是________(只需寫出一個(gè)條件)．19．如圖，在中，，，，分別在，，上，且，，，則的度數(shù)是_____．（用含的代數(shù)式表示）20．如圖，，，，，，則______．21．如圖，與的頂點(diǎn)A、B、D在同一直線上，，，，延長分別交、于點(diǎn)F、G．若，，則______．22．如圖，已知，，添加一個(gè)條件，使，你添加的條件是______（填一個(gè)即可）．23．如圖，已知，，，B、D、E三點(diǎn)在一條直線上．若，，則的度數(shù)為___________．24．如圖，BE交AC于點(diǎn)M，交CF于點(diǎn)D，AB交CF于點(diǎn)N，，給出的下列五個(gè)結(jié)論中正確結(jié)論的序號為．①；②；③；④；⑤．25．如圖，點(diǎn)B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，則∠3＝______°．三、解答題26．已知，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿線段AB，BC運(yùn)動(dòng)，且它們的速度均為1cm/s．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）如圖1，連接AQ、CP，相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．（2）如圖2，當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？（3）如圖3，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，請直接寫出∠CMQ度數(shù)．27．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），過點(diǎn)A作AG⊥AH且AG＝AH，連接GC，HB．（1）證明：AHB≌AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點(diǎn)Q．①證明：在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程中，總有∠HFG＝90°；②當(dāng)AQG為等腰三角形時(shí)，求∠AHE的度數(shù)．28．在中，∠BAC＝90°，，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為直角邊在AD右側(cè)作等腰直角三角形ADE（，），連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，猜想：BC與CE的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，（1）題的結(jié)論是否仍然成立？說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，結(jié)論（1）題的結(jié)論是否仍然成立？不需要說明理由．參考答案1．B【分析】根據(jù)，，正好是兩邊一夾角，即可得出答案．解：∵在△ABO和△DCO中，，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握兩邊對應(yīng)相等，且其夾角也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】利用旋轉(zhuǎn)的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等（△APF≌△BPE，△APE≌△CPF），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對題中的結(jié)論逐一判斷．解：如圖，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，∴AP=CP，∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠1=∠2，在△APE與△CPF中，，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可證△APF≌△BPE，①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正確；②由△APE≌△CPF得到PE=PF，∵∠EPF是直角，∴△EPF是等腰直角三角形，故②正確；③由△APE≌△CPF得到S△APE=S△CPF，則S四邊形PEAF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△ABC，故③正確；④∵EF大小是變化的，而AP不變，所以EF不一定等于AP∴④錯(cuò)誤；正確結(jié)論為①②③，共3個(gè)．故選：A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，綜合利用了全等三角形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．3．C【分析】首先根據(jù)已知條件證明，再利用等腰三角形求角度即可．解：∵，∴，∴，在與中，∵，∴（SAS），∴，，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形全等的證明，利用已知條件進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．解：A．①②在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），故本選項(xiàng)符合題意；B.②③，C.①④，D.③⑤都不能證明△ABE≌△ACD，故都不符合題意．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定定理，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形可以用HL．5．B【分析】利用全等三角形的判定，逐項(xiàng)判斷即可求解．解：根據(jù)題意得：，，A、添加，無法判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、添加，可利用角邊角判定，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、添加，無法判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、添加，無法判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OA=BO，∠AOB=90°，證明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD=OE=5，OD=BE=2，則可得出答案．解：∵A（-2，5），AD⊥x軸，∴AD=5，OD=2，∵△ABO為等腰直角三角形，∴OA=BO，∠AOB=90°，∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，∴∠DAO=∠BOE，在△ADO和△OEB中，，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴AD=OE=5，OD=BE=2，∴DE=OD+OE=5+2=7．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以寫出相應(yīng)的全等三角形，并寫出判定依據(jù)．解：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．B【分析】根據(jù)題目中的條件和各個(gè)選項(xiàng)中的條件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪個(gè)選項(xiàng)中的條件，不能判定△ABE≌△ACD，從而可以解答本題．解：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵∠BAE=∠CAD，∴補(bǔ)充條件AD=AE時(shí)，△ABE≌△ACD（SAS），故選項(xiàng)A不符合題意；補(bǔ)充條件BE=CD，無法判斷△ABE≌△ACD，故選項(xiàng)B符合題意；補(bǔ)充條件OB=OC時(shí)，則∠OBC=∠OCB，故∠ABE=∠ACD，則△ABE≌△ACD（ASA），故選項(xiàng)C不符合題意；補(bǔ)充條件∠BDC=∠CEB時(shí)，則∠AEB=∠ADC，則△ABE≌△ACD（AAS），故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定的知識，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．C【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)F，先證明△DCM≌△EFM（AAS），得到CM＝FM，CD＝FE，再證明△ABC≌△FCE（SAS），得到FC＝AB＝8，利用CM＝FC得到答案．解：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)F，∵CD⊥AC，EF⊥AC∴∠DCM＝∠EFM＝90°∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)∴DM＝EM∵∠DMC＝∠EMF∴△DCM≌△EFM（AAS）∴CM＝FM，CD＝FE∵BC⊥CE，EF⊥AC∴∠BCE＝90°，∠CFE＝90°∴∠ACB＋∠ECF＝90°，∠ECF＋∠FEC＝90°∴∠ACB＝∠FEC∵AC＝CD∴AC＝FE∵BC＝CE∴△ABC≌△FCE（SAS）∴FC＝AB＝8∵CM＝FM∴M是FC的中點(diǎn)∴CM＝FC＝4故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形的判定方法是基礎(chǔ)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵．10．B【分析】延長交于，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．解：延長交于，平分，，在和中，，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．B【分析】證明，，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，得到，，由解得，繼而解得，最后由解答．解：，，，，，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的和差等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．12．C【分析】易證△ACD≌△BCE，由全等三角形的性質(zhì)可知：∠A＝∠B，再根據(jù)已知條件和四邊形的內(nèi)角和為360°，即可求出∠BPD的度數(shù)．解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，∴∠BCA＝∠ECD，∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，∴∠BCA+∠ECD＝100°，∴∠BCA＝∠ECD＝50°，∵∠ACE＝55°，∴∠ACD＝105°∴∠A+∠D＝75°，∴∠B+∠D＝75°，∵∠BCD＝155°，∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用整體的數(shù)學(xué)思想求出∠B+∠D＝75°．13．AB＝AD（答案不唯一）【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理即可求解．解：添加AE＝AD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），故答案為AE＝AD（答案不唯一）【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．14．∠B＝∠C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．解：∵BE＝DC，∠A＝∠A，∴根據(jù)AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD，故答案為：∠B＝∠C．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．15．（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知條件可知，故只要添加一條邊相等即可證明．解：添加，AD，BE是的兩條高線，，在與中，．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．16．答案不唯一，如OA＝OB【分析】添加OA=OB，根據(jù)OP平分∠MON，得出∠AOP=∠BOP，利用SAS證明△AOP≌△BOP解：添加OA=OB，∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），故答案為OA=OB（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題考查添加條件判定三角形全等，掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．17．【分析】已知給出了∠1＝∠2，可得三角形中一對應(yīng)角相等，又有一邊對應(yīng)相等，根據(jù)邊角邊判定定理，補(bǔ)充BC＝AC可得ABCDEC答案可得．解：∵∠1＝∠2，∴∠BCA＝∠ECD，又AC＝DC，添加BC＝CE，∴ABCDEC（SAS）．故答案為：BC＝EC．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解題的關(guān)鍵是添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件．18．DC=AC（答案不唯一）【分析】由∠1＝∠2可得∠ECD=∠BCA，再由EC＝BC，添加DC=AC，利用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等．解：添加的條件是DC=AC，理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ECD=∠BCA，在△ECD和△BCA中，，∴△ECD≌△BCA（SAS）．故答案為DC=AC．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定定理．熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．180°?2α【分析】根據(jù)已知條件可推出△BDF≌△CDE，從而可知∠EDC＝∠FDB，則∠EDF＝∠B．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS）∴∠EDC＝∠DFB，∴∠EDF＝∠B＝（180°?∠A）÷2＝90°?∠A，∵∠FDE＝α，∴∠A＝180°?2α，故答案為：180°?2α．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；此題能夠發(fā)現(xiàn)全等三角形，再根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理發(fā)現(xiàn)∠EDF＝∠B．再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．20．17【分析】由AAS證明△ABC≌△EFC，得出對應(yīng)邊相等AC=EC，BC=CF=9，求出EC，即可得出AC的長．解：∵AC⊥BE，∴∠ACB=∠ECF=90°，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC≌△EFC，∵BE=26，CF=9，∴AC=EC，BC=CF=9，∵EC=BE-BC=26-9=17，∴AC=EC=17．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．##110度【分析】先證明△ABC≌△EDB，可得∠E=，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解．解：∵，∴∠ABC=∠D，在△ABC和△EDB中，∴△ABC≌△EDB，∴∠E=，∴，，∴∠EGF=30°+50°=80°，∴80°+30°=110°，故答案為：110°．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和是解答本題的關(guān)鍵．22．（答案不唯一）【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，先根據(jù)∠BCE＝∠ACD求出∠BCA＝∠DCE，再根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推出即可．解：添加的條件是CB＝CE，理由是：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ECA＝∠ACD＋∠ECA，∴∠BCA＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案為：CB＝CE（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．23．25°【分析】先證明△ABD≌△ACE（SAS）；再利用全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，求得∠ABD＝∠2＝30°；最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求∠1即可．解：∵，∴∠1＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，∴∠1＝∠CAE；在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠2＝30°；∵∠1＝∠3－∠ABD＝55°－30°＝25°（三角形的外角性質(zhì)）∴∠1＝25°．故答案為：25°．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)；將所求的角與已知角通過全等及內(nèi)角、外角之間的關(guān)系聯(lián)系起來是解答此題的關(guān)鍵．24．①；②；③；⑤【分析】①先證明△ABE≌△ACF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判定；②利用全等三角形的性質(zhì)即可判定；③根據(jù)ASA即可證明三角形全等；④無法證明該結(jié)論；⑤根據(jù)ASA證明三角形全等即可．解：在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，故②正確，∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，即∠1=∠2，故①正確，∵△ABE≌△ACF，∴AB=AC，在△CAN和△BAM中，，∴△CAN≌△BAM（ASA），故③正確，CD=DN不能證明成立，故④錯(cuò)誤在△AFN和△AEM中，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正確．結(jié)論中正確結(jié)論的序號為①；②；③；⑤．故答案為①；②；③；⑤．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件．25．47【分析】根據(jù)“邊邊邊”證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可．解：在△ABC和△ADE中，，∴（SSS），∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2，∵，∴，∴．故答案為：47．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．26．（1）不變，60°；（2）或；（3）120°．【分析】（1）通過證△ABQ≌△CAP得到∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；（2）需要分類討論：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況；（3）通過證△ABQ≌△CAP得到∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°．解：（1）不變．在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t，①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，∴4-t=2t，；②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，∴t=2（4-t），t=；∴當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，△PBQ為直角三角形；（3）在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（1）見分析；（2）①見分析；②當(dāng)△AQG為等腰三角形時(shí)，∠AHE的度數(shù)為67.5°或90°．【分析】（1）根據(jù)SAS可證明△AHB≌△AGC；（2）①證明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG=∠AEH=45°，從而根據(jù)兩角的和可得結(jié)論；②分兩種情況：i）如圖3，AQ=QG時(shí)，ii）如圖4，當(dāng)AG=QG時(shí)，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．解：（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：AH=AG，∠HAG=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAH=∠CAG，∵AB=AC，∴△ABH≌△ACG（SAS）；（2）①證明：如圖2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°，∵∠EAH=∠FAG，AH=AG，∴△AEH≌△AFG（SAS），∴∠AFG=∠AEH=45°，∴∠HFG=45°+45°=90°；②分兩種情況：i）如圖3，AQ=QG時(shí)，∵AQ=QG，∴∠QAG=∠AGQ，∵AG⊥AH且AG=AH，∴∠AHG=∠AGH=45°，∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°，∴∠EAH=∠FAH=45°，∵AE=AF，AH=AH，∴△AEH≌△AFH（SAS），∴∠AHE=∠AHF，∵∠AHE+∠AHF=180°，∴∠AHE=∠AHF=90°；ii）如圖4，當(dāng)AG=QG時(shí)，∠GAQ=∠AQG，∵∠AEH=∠AGQ=45°，∴∠GAQ=∠AQG==67.5°，∵∠EAQ=∠HAG=90°，∴∠EA