用一元二次方程解決幾何問(wèn)題（分層練習(xí)）（基礎(chǔ)練）一、單選題1．已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和7，第三邊的長(zhǎng)是方程的根，則第三邊的長(zhǎng)為（

）A．6 B．11 C．6或11 D．72．如果關(guān)于x的二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么以正數(shù)a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形3．已知a、b、c是三角形三邊的長(zhǎng)，則關(guān)于x的一元二次方程的實(shí)數(shù)根的情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定4．定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱(chēng)三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA＝3，OC＝4，點(diǎn)M(2，0)，在邊AB存在點(diǎn)P，使得△CMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．(3，1)或(3，3) B．(3，)或(3，3)C．(3，)或(3，1) D．(3，)或(3，1)或(3，3)5．“鹿鳴?博約”課程興趣小組準(zhǔn)備利用學(xué)校倉(cāng)庫(kù)旁的一塊矩形空地，開(kāi)僻一個(gè)面積為130平方米的花園，打算一面利用倉(cāng)庫(kù)墻面，三面利用長(zhǎng)為33米的舊圍欄．如圖，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為米，則下列方程中符合題意的是（）A． B．C． D．6．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的平分線上時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．或 B．4或 C．或 D．或7．若菱形對(duì)角線的長(zhǎng)是方程的根，則菱形的面積等于（

）A．15 B． C．8 D．48．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，菱形的兩邊AB、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的值為（

）A．－1 B．1 C．－2 D．29．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的根，則等于(

)A． B． C． D．10．伊斯蘭數(shù)學(xué)家塔比·伊本·庫(kù)拉（Thabit

ibn

Qurra，830-890）在其著作《以幾何方法證明代數(shù)問(wèn)題》中討論了二次方程的幾何解法．例如：可以用如圖來(lái)解關(guān)于的方程，其中為長(zhǎng)方形，為正方形，且，，則方程的其中一個(gè)正根為（）A．的長(zhǎng) B．的長(zhǎng) C．的長(zhǎng) D．的長(zhǎng)11．我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱(chēng)直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形．如圖所示，若AF＝5，CE＝12，則該三角形的面積為（）A．60 B．65 C．120 D．13012．如圖，在一塊長(zhǎng)方形草地上修建兩條互相垂直且寬度相同的平行四邊形通道，其中∠KHB＝60°，已知AB＝20米，BC＝30米．四塊草地總面積為503m2，設(shè)GH為x米．則可列方程為（）A．（20﹣2x）（30﹣3x）＝503 B．（20﹣x）（30﹣x）＝503C．20x+30x﹣x2＝97 D．20x+30x﹣＝97二、填空題13．已知△ABC的一邊長(zhǎng)為10，另兩邊長(zhǎng)分別是方程x214x480的兩個(gè)根若用一圓形紙片將此三角形完全覆蓋，則該圓形紙片的最小半徑是．14．如圖，cm，OC是一條射線，，一只螞蟻由A點(diǎn)以1cm/s速度向B點(diǎn)爬行，同時(shí)另一只螞蟻由O點(diǎn)以2cm/s的速度沿OC方向爬行，則秒鐘后，兩只螞蟻所處位置與O點(diǎn)組成的三角形面積為100．15．已知直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m和3（），過(guò)銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形，若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形，則m的值為．16．三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和4，第三邊長(zhǎng)是的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是．17．若為的三邊，且關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)三角形是三角形．18．已知關(guān)于x的方程的兩根是一個(gè)矩形兩條鄰邊的長(zhǎng)，那么當(dāng)k＝時(shí)，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為．19．已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，且的值為菱形的棱長(zhǎng)，則菱形的周長(zhǎng)為．20．菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，邊的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則菱形的面積為.三、解答題21．已知：設(shè)三角形的三邊a，b，c為方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且a，b，c滿足(1)求證：是等邊三角形．(2)若a，b為方程的兩根，求k的值．22．已知平行四邊形的兩邊、的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求證：無(wú)論取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)．23．（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a滿足的條件．參考答案1．A【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到第三邊長(zhǎng)．解：方程，分解因式得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，三邊長(zhǎng)為4，6，7，符合題意；當(dāng)時(shí)，三邊長(zhǎng)為4，7，11，不合題意舍去，則第三邊長(zhǎng)為6．故選A．【點(diǎn)撥】考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．C【分析】先把方程化為一般式，再根據(jù)根的判別式的意義得到，整理得，則可根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷三角形的形狀．解：方程化為，根據(jù)題意得，所以，所以以正數(shù)a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了勾股定理的逆定理．3．C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，可知一元二次方程根的情況．解：，∵a、b、c是三角形三邊的長(zhǎng)，∴，∴，∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的情況的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，設(shè)P（3，a），則AP＝a，BP＝4?a；分兩種情況：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根據(jù)勾股定理分別求出CP2、MP2、CM2，并根據(jù)圖形列出關(guān)于a的方程，解得a的值，則可得答案．解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴設(shè)P（3，a），則AP＝a，BP＝4?a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2＋BC2＝（4?a）2＋9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4?a）2＋9＝2a2?8a＋26，又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，∴2a2?8a＋26＝20，∴（a?3）（a?1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2＋BC2＝（4?a）2＋9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，∵CM2＝OM2＋OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2＋MP2＝CP2，∴20＋1＋a2＝（4?a）2＋9，解得：a＝．∴P（3，）．綜上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理在幾何圖形坐標(biāo)計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論并根據(jù)題意正確地列式是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出平行于墻的一邊長(zhǎng)為米，結(jié)合矩形花園的面積為130平方米，即可得出關(guān)于的一元二次方程，即可得到答案．解：∵舊圍欄的總長(zhǎng)度為33米，且垂直于墻的一邊長(zhǎng)為米，∴平行于墻的一邊長(zhǎng)為米，根據(jù)題意得：，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)M．由題意易證為等腰直角三角形，即得出，．設(shè)，則．在中，由勾股定理可得出關(guān)于x的等式，解出x的值，即為的長(zhǎng)，進(jìn)而即得出的長(zhǎng)．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)M．∵點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰落在的平分線上，且，∴為等腰直角三角形，∴可設(shè)，則．又由折疊的性質(zhì)知．∵在中，，∴，解得：，∴或．∵為等腰直角三角形，∴，∴或．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)．正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．7．B【分析】利用因式分解法求得方程的兩根，進(jìn)而根據(jù)菱形面積等于兩條對(duì)角線的積的一半求解即可．解：，，則或，解得，，菱形的面積等于，故選：B．【點(diǎn)撥】綜合考查了菱形的性質(zhì)及解一元二次方程；得到菱形的對(duì)角線長(zhǎng)是解決本題的突破點(diǎn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：因式分解法解一元二次方程；菱形面積等于兩條對(duì)角線的積的一半．8．B【分析】根據(jù)題意，令一元二次方程的根的判別式，構(gòu)建方程，解方程即可．解：根據(jù)題意，該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、一元二次方程的根的判別式、解一元二次方程等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本知識(shí)，用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．9．A【分析】由題意可知：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5，則，則再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：；代入中，得到關(guān)于m的方程后，求得m的值．解：由直角三角形的三邊關(guān)系可得：

又有根與系數(shù)的關(guān)系可得：∴整理得：

解得：m=?3或5.又∵,∴解得∴.故選:A.【點(diǎn)撥】考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，注意掌握勾股定理在解題中的應(yīng)用.10．B【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，根據(jù)，可得，所以，進(jìn)而可得是方程的其中一個(gè)正根．解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，，則方程的其中一個(gè)正根為．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程，數(shù)學(xué)常識(shí)，正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解一元二次方程定義．11．A【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則AB=5+x，BC=12+x，由全等三角形的性質(zhì)可求AC得長(zhǎng)，由勾股定理可求解小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，∵AF=5，CE=12，∴AB=5+x，BC=12+x，∵△AFM≌△ADM，△CDM≌△CEM，∴AD=AF=5，CD=CE=12，∴AC=AD+CD=5+12=17，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，∴172=（5+x）2+（12+x）2，解得x=3(負(fù)值已舍)，∴AB=8，BC=15，∴△ABC的面積為：×8×15=60，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，解一元二次方程，利用勾股定理求解小正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．12．D【分析】設(shè)GH為x米，根據(jù)矩形和平行四邊形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．解：過(guò)H作HM⊥LG于M，∵∠KHB＝60°，LG//KH，∴∠HGM＝∠KHB＝60°，∵∠HMG＝90°，∴HM＝x，∵長(zhǎng)方形的面積＝20×30＝600（cm）2，四塊草地總面積為503m2，∴通道的面積為：20x+30x﹣＝600－503，即20x+30x﹣＝97故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，求出重合部分的邊長(zhǎng)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．5【分析】求出方程的解，根據(jù)勾股定理的逆定理得出三角形ABC是直角三角形，根據(jù)已知得出圓形正好是△ABC的外接圓，即可求出答案．解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，即△ABC的三邊長(zhǎng)為AC=6，BC=8，AB=10，∵AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°∵若用一圓形紙片將此三角形完全覆蓋，則該圓形紙片正好是△ABC的外接圓，∴△ABC的外接圓的半徑是AB=5，故答案為5．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的逆定理，三角形的外接圓與外心，解一元二次方程的應(yīng)用．14．10或【分析】可以分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)螞蟻在上運(yùn)動(dòng)；（2）當(dāng)螞蟻在上運(yùn)動(dòng)．根據(jù)三角形的面積公式即可列方程求解．解：有兩種情況：（1）如圖1，當(dāng)螞蟻在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)xs后兩只螞蟻與O點(diǎn)組成的三角形面積為100，由題意，得，整理，得，解得；（2）如圖2，當(dāng)螞蟻在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)x秒鐘后，兩只螞蟻與O點(diǎn)組成的三角形面積為100，由題意，得，整理，得，解得，（舍去）．答：10s或s后，兩螞蟻與O點(diǎn)組成的三角形的面積均為100．故答案為：10或．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．分兩種情況進(jìn)行討論是難點(diǎn)．15．/【分析】如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，整理即可解答．解：由題意可得如圖，，解得：（負(fù)根舍去），故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及一元二次方程的解法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．16．【分析】先解一元二次方程得到三角形的第三邊長(zhǎng)，再構(gòu)建圖形，如圖，過(guò)作于利用勾股定理求解三角形的高即可得到答案.解：如圖，中，過(guò)作于故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握構(gòu)建直角三角形求解三角形的高是解題的關(guān)鍵.17．等腰【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解可以得到或，由此判定即可．解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴即解得或，∴這個(gè)三角形為等腰三角形．故答案為：等腰．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程根的判別式．18．2．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出AB+BC＝k+1，AB?BC＝k2+1，由勾股定理得出AB2+BC2＝5，得出方程（k+1）2﹣2（k2+1）＝5，求出方程的解即可．解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：AB+BC＝k+1，AB?BC＝k2+1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，由勾股定理得：AB2+BC2＝（）2＝5，（AB+BC）2﹣2AB?BC＝5，（k+1）2﹣2（k2+1）＝5，k＝2，k＝﹣6，當(dāng)k＝2時(shí)，AB+BC＝K+1＝3，當(dāng)k＝﹣6時(shí)，AB+BC＝k+1＝﹣5＜0，舍去，故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出關(guān)于k的方程．19．4【分析】根據(jù)根系關(guān)系可以求出的值，利用菱形的周長(zhǎng)公式即可求解；解：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，的值為菱形的棱長(zhǎng)菱形的周長(zhǎng)為4，故答案為：4【點(diǎn)撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，菱形的性質(zhì)，熟練掌握根系關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．或24/24或【分析】求出已知方程的解，確定出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)，即可求出面積．解：方程，分解因式得：，可得或，解得：或，當(dāng)時(shí)，另一條對(duì)角線為：，則菱形的面積為；當(dāng)時(shí)，另一條對(duì)角線為：，則菱形的面積為；故答案為：或24．【點(diǎn)撥】此題考查了解一元二次方程因式分解法，以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方程的解法．21．(1)見(jiàn)分析