29.4第二十九章直線與圓的位置關(guān)系切線長定理如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，若∠BAC＝26°，則∠P的度數(shù)為(

)A．32°B．52°C．64°D．72°1【答案】

B【點撥】∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，CA⊥PA.∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝90°.∵∠BAC＝26°，∴∠PAB＝90°－26°＝64°.∴∠P＝180°－2∠PAB＝52°.2如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C為⊙O上一點，則∠ACB的度數(shù)為(

)A．110°B．120°C．125°D．130°【答案】

C【點撥】連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點D，連接AD，BD，由切線的性質(zhì)得∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四邊形內(nèi)角和可求得∠AOB＝110°，再利用圓周角定理求得∠ADB＝55°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可求得∠ACB＝125°.3【2023·河南】如圖，PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點B，點C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，則CA的長為________．【點撥】如圖，連接OC.∵PA與⊙O相切于點A，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC，∴∠OAP＝∠OBC＝90°.∴∠PBC＝90°.4下列說法錯誤的是(

)A．三角形的內(nèi)切圓與三角形的三邊都相切B．一個三角形一定有唯一一個內(nèi)切圓C．一個圓一定有唯一一個外切三角形D．等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓是同心圓【答案】

C【點撥】一個圓可以有無數(shù)個外切三角形，但一個三角形只有一個內(nèi)切圓．5【母題：教材P13圖29－4－7】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點O是△ABC的(

)A．三條邊的垂直平分線的交點B．三條角平分線的交點C．三條中線的交點D．三條高的交點B6如圖，O是△ABC的內(nèi)心，過點O作EF∥AB，與AC，BC分別交于點E，F(xiàn)，則(

)A．EF＞AE＋BF

B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF

D．EF≤AE＋BF【答案】

C【點撥】連接OA，OB，由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得AE＝OE，OF＝BF，由此可得出結(jié)論．7【2023·威海】在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列說法錯誤的是(

)A．1＜AB＜7B．S△ABC≤6C．△ABC內(nèi)切圓的半徑r＜1【點撥】【答案】

C8【2023·聊城】如圖，點O是△ABC外接圓的圓心，點I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA.若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數(shù)為(

)A．15°B．17.5°C．20°D．25°【答案】

C【點撥】35°9【2023·天門】如圖，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC分別相切于點D，E，連接DE，AO的延長線交DE于點F，則∠AFD＝________．【點撥】如圖，連接OD，OE，OB，OB交ED于點G，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB＋∠CBA＝110°.∵點O為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，62°或118°10【2023·濱州】【新考法·分類談?wù)摲ā咳鐖D，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，且∠APB＝56°，若點C是⊙O上異于點A，B的一點，則∠ACB的大小為____________．【點撥】如圖，當(dāng)點C在優(yōu)弧AB上時，∵PA，PB切⊙O于點A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠PBO－∠APB＝360°－90°－90°－56°＝124°.11【母題：教材P14習(xí)題A組T5】如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線AC，P是射線AC上的動點，連接OP，過點B作BD∥OP，交⊙O于點D，連接PD.證明：如圖，連接OD.∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°.∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP.(1)求證：PD是⊙O的切線；∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO.∴∠DOP＝∠AOP.

又∵OA＝OD，OP＝OP，∴△AOP≌△DOP(SAS)．∴∠PDO＝∠PAO＝90°.∴OD⊥PD.又∵OD是⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線．解：∵PA，PD是⊙O的切線，∴PA＝PD.∵四邊形POBD是平行四邊形，∴PD＝OB.∵OB＝OA，∴PA＝OA.∴∠APO＝∠AOP.又∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°.(2)當(dāng)四邊形POBD是平行四邊形時，求∠APO的度數(shù)．12如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于點E，過A點作AB⊥PO于點D，交⊙O于點B，連接BC，PB.證明：如圖，連接OB.∵AO＝BO，AB⊥PO，∴∠AOP＝∠POB.又∵PO＝PO，AO＝BO，∴△AOP≌△BOP(SAS)．∴∠OBP＝∠OAP.

∵PA為⊙O的切線，∴∠OAP＝90°.∴∠OBP＝90°，即OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線．求證：

(1)PB是⊙O的切線；解：如圖，連接AE.

由(1)知∠OAP＝90°，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED.∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.

(2)E為△PAB的內(nèi)心．由(1)知△AOP≌△BOP，∴∠APD＝∠BPD.∴PD平分∠APB.

∵PD與AE的交點為E，∴E為△PAB的內(nèi)心．13【新考法·類比拓展法】下面是小穎對一道題目的解答．題目：如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面積．解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC，BC相切于點E，F(xiàn)，CE的長為x，如圖所示．小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積．這僅僅是巧合嗎？請你幫她完成下面的探索．已知：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點D，AD＝m，BD＝n.可以一般化嗎？(1)若∠C＝90°，求證：△ABC的面積等于mn.證明：由AC·BC＝2mn，得(x＋m)(x＋n)＝2mn.整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.∵AC2＋BC2＝(x＋m)2＋(x＋n)2＝2[