24.2.1點和圓的位置關系第二十四章圓探究與應用課堂小結與檢測探究與應用初識概念活動1理解點和圓的位置關系在同一個平面內(nèi),點和圓有三種位置關系:點在圓外、點在圓上和點在圓內(nèi).點P與☉O的位置關系如圖24-2-1所示.圖24-2-1如圖24-2-1,設☉O的半徑為r,點P到圓心的距離為d,量一量在點P和☉O的三種不同位置關系中,d與r有怎樣的大小關系,根據(jù)d與r的大小關系能得到對應的點P和☉O的位置關系嗎?引發(fā)思考圖24-2-1[答案]略點和圓的位置關系可以轉化為點到圓心的距離與半徑之間的大小關系;反過來,也可以通過這種大小關系判斷點和圓的位置關系.記重點點和圓的位置關系:設☉O的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則有:點P在圓外?d

r;

點P在圓上?d

r;

點P在圓內(nèi)?d

r.

概括新知>=<(教材補充例題)如圖24-2-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3cm,AC=4cm,以點B為圓心,BC長為半徑作☉B(tài),則點A,C及AB,AC的中點D,E與☉B(tài)有怎樣的位置關系?理解應用例

1圖24-2-2

判斷點和圓的位置關系的步驟(1)求出點到圓心的距離d;(2)找圓的半徑r;(3)比較d與r的大小關系;(4)由大小關系得到點和圓的位置關系.學方法(1)作一個圓需要確定哪幾個關鍵要素?活動2會過不在同一條直線上的三個點作圓操作嘗試解:(1)作一個圓需要確定圓心的位置和半徑的大小兩個關鍵要素.(2)經(jīng)過一個已知點A作圓,你能作出多少個?(2)能作出無數(shù)個圓.任意三點不一定能確定一個圓,只有不在同一條直線上的三個點才能確定一個圓.防易錯(3)如圖24-2-3,經(jīng)過兩個已知點A,B作圓,你能作出多少個?圓心分布有什么特點?圖24-2-3(3)能作出無數(shù)個圓.圓心都在線段AB的垂直平分線上,如圖所示.(4)如圖24-2-4,經(jīng)過不在同一條直線上的三個點A,B,C能不能作圓?如果能,如何確定所作圓的圓心?圖24-2-4(4)能.因為所求的圓要經(jīng)過A,B,C三點,所以圓心到這三點的距離要相等,因此,圓心既要在線段AB的垂直平分線上,又要在線段BC的垂直平分線上.作法如下:①連接AB,BC;②分別作出線段AB,BC的垂直平分線l1和l2,它們交于點O;③以點O為圓心,OA(或OB,OC)為半徑作圓,便可作出經(jīng)過A,B,C三點的圓(如圖).l1l2O確定三角形外心的方法作三角形兩條邊的

,兩條

的交點為三角形的外心.

記方法垂直平分線垂直平分線1.確定圓的條件:

的三個點確定一個圓.

2.三角形的外接圓與外心:經(jīng)過三角形的三個

可以作一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三條邊的

的交點,叫做這個三角形的外心.

概括新知不在同一條直線上頂點垂直平分線確定圓心的“三種方法”(1)利用圓的軸對稱性,將圓對折兩次,確定圓的兩條直徑,兩條直徑的交點即為圓心;(2)利用圓周角定理的推論;(3)作出此圓任意兩條弦(不平行)的垂直平分線,交點即為圓心.學方法解:(1)如圖,在圓弧上依次取三點A,B,C;(2)連接AB,BC;(3)分別作AB,BC的垂直平分線a,b,它們相交于點O,點O就是所求作的圓心;(4)連接OB(或OA,OC),OB(或OA,OC)就是這個圓的半徑.(教材補充例題)圖24-2-5是一塊殘破的輪片,試作出它所在圓的圓心和半徑.理解應用例

2圖24-2-5ABCabO變式

已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cm,求△ABC的外接圓半徑.

三角形外心的位置銳角三角形的外心在三角形的

部,直角三角形的外心是

,鈍角三角形的外心在三角形的

部.

記結論內(nèi)斜邊的中點外經(jīng)過同一條直線上的三個點能作出一個圓嗎?為什么?活動3了解反證法的證明思想猜想證明解:不能.理由:如圖,假設經(jīng)過同一條直線l上的A,B,C三點可以作一個圓.設這個圓的圓心為P,那么點P既在線段AB的垂直平分線l1上,又在線段BC的垂直平分線l2上,即點P為l1與l2的交點,而l1⊥l,l2⊥l,這與我們以前學過的“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾.所以,經(jīng)過同一條直線上的三個點不能作圓.反證法:假設命題的

不成立,由此經(jīng)過推理得出矛盾,由矛盾斷定所作

不正確,從而得到

成立.這種方法叫做反證法.

概括新知結論假設原命題(教材內(nèi)容)用反證法證明“兩直線平行,同位角相等”.已知:如圖24-2-6,AB∥CD,直線EF交AB于點O.求證:∠1=∠2.(用反證法)理解應用例

3圖24-2-6證明:假設∠1≠∠2,過點O作直線A'B',使∠EOB'=∠2,如圖.根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”,可得A'B'∥CD.這樣,過點O就有兩條直線AB,A'B'都平行于CD,這與平行公理“經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾.這說明假設∠1≠∠2不正確,從而∠1=∠2.A'B'利用反證法證明的一般步驟(1)假設命題的結論不成立;(2)推理得出矛盾;(3)假設不成立,斷定原命題的結論成立.學方法|認知邏輯

|課堂小結與檢測點和圓的位置關系點在圓外位置關系數(shù)量化點在圓上點在圓內(nèi)d>rd=rd<r點P在圓環(huán)內(nèi)r<d<R作圓過一點可以作無數(shù)個圓過兩點可以作無數(shù)個圓不在同一條直線上的三個點確定一個圓一個三角形的外接圓是唯一的|課堂檢測|1.已知☉O的直徑為6cm,若OP=5cm,則點P與☉O的位置關系是(

)A.點P在☉O外

B.點P在☉O上C.點P在☉O內(nèi)

D.不能確定A2.小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃鏡打碎了,現(xiàn)需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡,工人師傅在一塊如圖24-2-7所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點A,B,C,給出△ABC,則這塊玻璃鏡的圓心是(

)A.AB,AC邊上的中線的交點B.AB,AC邊的垂直平分線的交點C.AB,AC邊上的高所在直線的交點D.∠BAC與∠ABC的平分線的交點圖24-2-7B3.用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時,首先應假設這個三角形中 (

)A.有一個內(nèi)角大于60°B.有一個內(nèi)角小于60°C.每一個內(nèi)角都大于60°D.每一個內(nèi)角都小于60°C4.如圖24-2-8,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以點C為圓心,r