福建省廈門六中10-11學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)文）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，若存在實數(shù)a，使得f(a)=0，則a的取值范圍是（）A.(-∞，-1)∪(1，+∞)B.(-∞，-1]∪[1，+∞)C.(-∞，-1)∪[1，+∞)D.(-∞，-1]∪(-1，+∞)2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=6，S5=15，則a1的值為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題要求：將答案填入橫線上。3.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極值，則a+b+c的值為______。4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[0，2]上的最大值為______。三、解答題要求：請寫出詳細(xì)的解題步驟。5.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=(x+1)^2-4，求：（1）函數(shù)f(x)的對稱軸方程；（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2，1]上的最大值和最小值。6.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5=15，S9=45，求：（1）等差數(shù)列{an}的首項a1和公差d；（2）等差數(shù)列{an}的前10項和S10。四、證明題要求：證明下列各題中的結(jié)論。7.證明：若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上有一個交點，則方程ax^2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根。五、計算題要求：計算下列各題中的數(shù)值。8.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=2，q=3，求Sn的表達(dá)式。六、應(yīng)用題要求：結(jié)合實際應(yīng)用，解決下列問題。9.一輛汽車以60千米/小時的速度行駛，當(dāng)速度減為30千米/小時時，行駛時間為t小時。求汽車行駛的總路程S（單位：千米）。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x是一個三次函數(shù)，它在x=0處有一個零點。由于函數(shù)在x=-1和x=1時取極值，我們可以通過求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3來找到這兩個點。解f'(x)=0得x=±1，因此a的取值范圍是(-∞，-1)∪(1，+∞)。2.答案：D解析：等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=n/2*(a1+an)。已知S3=6，可以得出3/2*(a1+a1+2d)=6，即3a1+3d=6。同樣，S5=15給出5/2*(a1+a1+4d)=15，即5a1+10d=15。通過解這個方程組，可以得到a1=4和d=1。二、填空題3.答案：任意實數(shù)解析：因為函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1時取得極值，這意味著在這一點導(dǎo)數(shù)f'(x)=2ax+b=0。因此，a+b+c可以是任意實數(shù)，因為極值點不影響常數(shù)項。4.答案：-2解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值可以通過求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3來找到極值點。解f'(x)=0得x=±1。由于我們只考慮區(qū)間[0，2]，只有x=1是一個極值點。計算f(1)得-2，因此最大值和最小值都是-2。三、解答題5.（1）對稱軸方程：x=-1解析：對稱軸是函數(shù)圖象的對稱線，對于二次函數(shù)f(x)=(x+1)^2-4，對稱軸的方程是x=-b/2a。在這個函數(shù)中，a=1，b=2，所以對稱軸方程是x=-1。（2）最大值和最小值：最大值-4，最小值-2解析：由于對稱軸是x=-1，函數(shù)在x=-1處取得極值。計算f(-1)得-4，所以最大值是-4。在區(qū)間[-2，1]的兩端點，計算f(-2)得3和f(1)得-2，所以最小值是-2。6.（1）首項a1=2，公差d=1解析：由S5=15得5/2*(2a1+4d)=15，解得a1+2d=3。由S9=45得9/2*(2a1+8d)=45，解得a1+4d=5。通過解這個方程組，得到a1=2和d=1。（2）前10項和S10=70解析：使用等差數(shù)列的前n項和公式Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，代入a1=2，d=1，n=10，得到S10=10/2*(2*2+9*1)=70。四、證明題7.證明：若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上有一個交點，則方程ax^2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根。解析：如果函數(shù)f(x)的圖象在x軸上有一個交點，這意味著f(x)在這一點取值為0。因為f(x)是二次函數(shù)，它的圖象是一個開口向上或向下的拋物線，所以它最多與x軸相交兩次。如果只有一個交點，那么拋物線的頂點必須與x軸重合，這意味著判別式Δ=b^2-4ac=0。因此，方程ax^2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根。五、計算題8.答案：Sn=2(3^n-1)/(3-1)解析：等比數(shù)列的前n項和公式為Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首項，q是公比。代入a1=2，q=3，得到Sn=2(1-3^n)/(-2)=2(3^n-1)/(3