28.3圓心角（知識講解）【學習目標】了解圓心角的概念；掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對應相等，及其它們在解題中的應用．【要點梳理】圓心角定義

如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

3.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等；

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等；在同圓或等圓中，圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。

特別說明：

(1)一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征；

(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.

4.弦、弧、圓心角、弦心距的關系：在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對應的弦、弦心距以及弦所對的弧也分別相等)。*如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等。【典型例題】類型一、圓心角概念1．已知點、、、在圓上，且切圓于點，于點，對于下列說法：①圓上是優(yōu)??；②圓上是優(yōu)弧；③線段是弦；④和都是圓周角；⑤是圓心角，其中正確的說法是________．【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義逐項分析判斷即可解：，都是大于半圓的弧，故①②正確，在圓上，則線段是弦；故③正確；都在圓上，是圓周角而點不在圓上，則不是圓周角故④不正確；是圓心，在圓上是圓心角故⑤正確故正確的有：①②③⑤故答案為：①②③⑤【點撥】本題考查了優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義，理解定義是解題的關鍵．優(yōu)弧是大于半圓的弧，任意圓上兩點的連線是弦，頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，頂點在圓心，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓心角．舉一反三：【變式1】如圖，是的弦，，則________．【答案】【分析】根據(jù)同圓中半徑相等，可得，根據(jù)等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果．解：∵，∴，又，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊對等角得出是解題的關鍵．【變式2】在⊙O中，AB是直徑，AB＝2，C是上一點，D、E分別是、的中點，M是弦DE的中點，則CM的取值范圍是__________________．【答案】1﹣≤CM＜【分析】如圖，連接OD、OC、OE，先計算出∠DOC+∠COE＝90°，則可判斷△ODE為等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，則OM＝DE＝；由C點在弧DE上，則0≤∠COM＜45°，根據(jù)三角形的性質(zhì)，∠COM越大，CM越長，當O、M、C共線時CM最小，C在點A或點B時CM最長，即OC-OM≤CM＜ME；解：如圖，連接OD、OC，∵AB為直徑，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵D、E分別是、的中點，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，∴△ODE為等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，∵M是弦DE的中點，∴OM＝DE＝，∵C點在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，△OMC中，OM，OC的長度確定，∴∠COM越大，CM越長，∴O、C、M共線時CM最小，C在點A或點B時CM最長；∴CM≥1﹣，當C點在A點或B點時，CM＝，∴CM的取值范圍是1﹣≤CM＜．【點撥】本題考查了圓心角的概念，三角形的三邊關系；根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷CM的長度是解題關鍵．類型二、圓心角與它所對弧的度數(shù)2．如圖，在扇形OAB中，，將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在弧AB上的點D處，折痕交OA于點C，則弧AD的度數(shù)為____________．【答案】##50度【分析】連接，先根據(jù)折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，由此即可得．解：如圖，連接，則，由折疊的性質(zhì)得：，，是等邊三角形，，，，則弧的度數(shù)為，故答案為：．【點撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、圓弧的度數(shù)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知點是圓上一點，以點為圓心，為半徑作弧，交圓于點，則的度數(shù)為______度．【答案】60【分析】先判定△POQ是等邊三角形，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等求解即可．解：∵PQ=PO，PO=OQ，∴PQ=PO=OQ，∴△POQ是等邊三角形，∴∠POQ=60°，∴的度數(shù)為60度故答案為：60．【點撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等是解答本題的關鍵．類型三、用弧、弦、圓心角關系求解3．如圖，AB是半圓的直徑，C，D是半圓上的兩點，且的度數(shù)為40°，，求的度數(shù)．【答案】【分析】分別求出∠ACD，∠ACB即可解決問題．解：∵AB是半圓的直徑，∴，∵的度數(shù)為40°，∴，∴，∵四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，∴．∵，∴，∴．【點撥】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關系，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．舉一反三：【變式】已知⊙O中，弦AB的長等于⊙O的半徑，求弦所對的圓心角和圓周角的度數(shù)．【答案】弦AB所對的圓心角是60°，圓周角是30°或150°．試題分析：畫出圖形，連接OA、OB，因為AB=OA=OB，所以∠AOB=60°．分兩種情況，①在優(yōu)弧上任取一點C，連接CA，CB，則∠C=∠AOB=30°；②在劣弧上任取一點D，連接AD、BD，由圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得∠C+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°－∠C=150°．解：畫出圖形：連接OA、OB，∵AB=OA=OB，∴∠AOB=60°．分兩種情況：①在優(yōu)弧上任取一點C，連接CA，CB，則∠C=∠AOB=30°；②在劣弧上任取一點D，連接AD、BD，∵四邊形ADBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°－∠C=150°．綜上所述，弦AB所對的圓心角是60°，圓周角是30°或150°．【點撥】本題關鍵在于需考慮到兩種情況，然后結(jié)合圓的性質(zhì)求解.類型四、用弧、弦、圓心角關系證明4．如圖，在⊙O中，，弦AB與CD相交于點M．(1)求證：．(2)連接AC，AD，若AD是⊙O的直徑．求證：．【分析】（1）利用圓心角、弧、弦之間的關系解決問題即可；（2）利用圓周角定理可得，再利用三角形外角性質(zhì)可得，根據(jù)直徑所對的圓周角為90°可得，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換可證結(jié)論．(1)證明：∵，∴，∴，∴．(2)證明：∵，∴，∴，∵AD是⊙O的直徑，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為90°，解題的關鍵是熟練掌握并靈活運用所學相關知識．舉一反三：【變式1】如圖，在中，B，C是的三等分點，弦AC，BD相交于點E．求證：；連接CD，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見分析(2)130°【分析】（1）根據(jù)B，C是的三等分點，求出，再根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系得出即可；（2）根據(jù)圓周角定理得出∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AED，再求出答案即可．解：(1)證明：B，C是的三等分點，∴AC=BD；(2)連接AD，∵∠BDC=25°，∴∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°，∵∠AED+∠CAD+∠BDA=180°，∴∠AED=180°-∠CAD-∠BDA=180°-25°-25°=130°，∴∠BEC=∠AED=130°，故答案為：130°．【點撥】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系和圓周角定理，能熟記圓心角、弧、弦之間的關系是解此題的關鍵．【變式2】如圖，在⊙O中，＝，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E．(1)求證：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四邊形DOEC的面積．【答案】(1)見分析(2)【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系定理得到∠AOC＝∠BOC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OD，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．(1)解：連接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；(2)解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC