專題01二次函數(shù)中最值與交點(diǎn)問題題型梳理題型梳理題型方法題型一確定圖形找臨界狀態(tài)題型二端點(diǎn)值代入法題型三幾何定理法求線段之和（差）最值題型四代數(shù)法求線段最值題型五鉛垂法巧求面積最值題型方法題型方法【題型一】確定圖形找臨界狀態(tài)【答案】B∴拋物線向左平移4個單位長度．解得m=2；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題有一定的難度．(3)或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與一元二次方程，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖象即可求得；(1)求拋物線的表達(dá)式；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，拋物線與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根的判別式等知識點(diǎn)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．(1)求拋物線的對稱軸．(2)見解析；【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求函數(shù)解析式等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)對稱軸公式直接求解即可；∴點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)線段向右平移個單位，即此時的橫坐標(biāo)為，當(dāng)線段向左移動個單位時，即向左移個單位，【題型二】端點(diǎn)值代入法【答案】A直線與拋物線有兩個交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合，把圖形問題轉(zhuǎn)化為不等式問題是解決本題的關(guān)鍵．(1)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含有a的代數(shù)式表示）；【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，完全平方公式，二次函數(shù)與線段綜合．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，完全平方公式，二次函數(shù)與線段綜合并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．∴拋物線開口向下，①若頂點(diǎn)在線段上時，如圖1，【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，通過分類討論求解．拋物線開口向上，(1)拋物線必經(jīng)過的定點(diǎn)是_______，_______(3)若拋物線與線段只有一個交點(diǎn)，求a的取值范圍．(2)【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)與方程的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的根據(jù)．【題型三】幾何定理法求線段之和（差）最值(1)求拋物線的解析式及與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)；【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，利用軸對稱的性質(zhì)求解兩條線段和的最小值，利用拋物線的圖象解一元二次不等式，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（3）作拋物線的對稱軸與直線交于點(diǎn)P，則交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，求出直線的解析式，即可求解．（3）解:如圖，作拋物線的對稱軸與直線交于點(diǎn)P，則交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．(1)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識．（1）利用配方法求解即可；（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象法判斷即可；（3）利用軸對稱解決最短問題即可．（3）如圖，連接交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，連接．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；【答案】（1）y=x22x3，（1，4）；（2）M（1，2）【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線BC與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)就是使CM+AM取得最小值的M的點(diǎn)，BC的長就是最小值．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線y=x2+bx3上，∴b=2，∴拋物線解析式y(tǒng)=x22x3，∵拋物線y=x22x3=（x1）24，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，4）；（2）對于y=x22x3，當(dāng)x=0時，y=3，∴C（0，3），當(dāng)y=0時，0=x22x3，解得：x=3或1，∴B（3，0），由拋物線的性質(zhì)可知：點(diǎn)A和B是對稱點(diǎn)，∴連接BC交函數(shù)的對稱軸于點(diǎn)M，此時AM+CM=BC為最小值，而AC的長度是常數(shù)，故此時△ACM的周長最小，故直線BC的表達(dá)式為y=x3，當(dāng)x=1時，y=2，故點(diǎn)M（1，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對稱點(diǎn)的作法，正確確定直線BC與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)就是使CM+AM取得最小值的M的點(diǎn)，是本題解題的關(guān)鍵．(1)求m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式中，可求得m值，然后利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；∴點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，（3）解：如圖，【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，最短路徑問題，三角形面積，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用一次函數(shù)及二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型四】代數(shù)法求線段最值【答案】2【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式設(shè)出點(diǎn)C，D的坐標(biāo),然后然后用點(diǎn)C的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)D縱坐標(biāo)表示出，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)【分析】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，正確求得函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式即可；(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)最大值是，最小值是4【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)在軸正半軸上，∴的最大值是，最小值是4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方時，求點(diǎn)與直線距離的最大值．(3)在和直線所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，請分別求出b=2022和b=2022.5時“美點(diǎn)”的個數(shù)．【答案】(1)b=4，的對稱軸與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，2）(2)1(3)b=2021時“美點(diǎn)”的個數(shù)為4044個，b=2021.5時“美點(diǎn)”的個數(shù)為1011個．【分析】（1）令x=0，則可求直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)AB=8，即可求出b的值；把b的值分別代入直線a和拋物線L的表達(dá)式，即可求出的對稱軸與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將拋物線L的函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在直線下方，即可求出點(diǎn)與直線距離；（3）分別求出當(dāng)b=2021和b=2021.5時拋物線L和直線a的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)題意找出兩函數(shù)圖像上橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)的個數(shù)即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，b），∵AB=8，∴2b=8，解得b=4，當(dāng)x=2時，直線a：y=24=2，∴的對稱軸與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，2）．∵點(diǎn)在直線下方，直線解析式a∶y=x?2021，聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1=?1，x2=2021，∴可知每一個整數(shù)x的值都對應(yīng)的一個整數(shù)y值，且?1和2021之間（包括?1和2021共有2023個整數(shù))；∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2023個整數(shù)點(diǎn)，∴總計4046個點(diǎn)，∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個點(diǎn)重復(fù)，∴“美點(diǎn)”的個數(shù)：4046?2=4044（個）；②當(dāng)b=2021．5時，直線解析式a∶y=x?2021.5，聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1=?1，x2=2021.5，∴當(dāng)x取整數(shù)時，在一次函數(shù)y=x?2021.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，可知?1到2021.5之間有1011個偶數(shù)，因此“美點(diǎn)”共有1011個．故b=2021時“美點(diǎn)”的個數(shù)為4044個，b=2021.5時“美點(diǎn)”的個數(shù)為1011個．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【題型五】鉛垂法巧求面積最值(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是∶(1)求拋物線的解析式；(2)，【分析】本題考查了二次函數(shù)的總和運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題；（1）由一次函數(shù)的解析式可求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)．再代入拋物線解析式中即可求出和的值，即得出拋物線解析式；（2）如圖，過作軸，交直線于，（1）求此拋物線的表達(dá)式．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；點(diǎn)P是直線下方的拋物線上一動點(diǎn)，因此，分以下兩種情況：【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）得拋物線的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理即可；（3）∵點(diǎn)，點(diǎn)是對稱點(diǎn)，點(diǎn)在與對稱軸的交點(diǎn)上，此時，，三點(diǎn)在一條直線上，距離最短，（4）存在，理由如下：∵以為底，【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式，勾股定理的逆定理，線段的距離．好題必刷好題必刷一、解答題(1)求的值和二次函數(shù)的對稱軸．【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與一元二次方程，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可得出的值以及二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可得出對稱軸；∵平移后的解析式與軸恰好只有一個交點(diǎn)，

(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)的最大值為．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；

（3）解：如圖，

∴有最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)待定系數(shù)法，利用函數(shù)關(guān)系式求最值，利用對稱知識求最值，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

(1)求、的值；【答案】(1)1,3(2)3(3)對于（2），先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可解答；將兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，得

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，求一次函數(shù)關(guān)系式，求二次函數(shù)的最大值，將不規(guī)則三角形的面積轉(zhuǎn)化為兩個規(guī)則三角形的面積和是解題的關(guān)鍵．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）先確定出直線解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)，的坐標(biāo)，即可得出的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論；本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，求線段的最值問題，面積問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．∵點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C，交直線于點(diǎn)D，(1)求這個二次函數(shù)及直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)圖象可直接得出不等式的解；（3）解：如圖所示，∵直線l是拋物線的對稱軸，且A，B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對稱，∴PA=PB，∴當(dāng)C、B、P三點(diǎn)共線時，PA+PC最小時，即點(diǎn)P就是直線BC與l的交點(diǎn)，∵A的坐標(biāo)為（1，0），B的坐標(biāo)為（3，0），∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)