§2導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用2．1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P51])某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W(單位：J)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.問題1：t從1s到4s時(shí)，功W關(guān)于時(shí)間t的平均變化率是多少？提示：eq\f(W4－W1,4－1)＝eq\f(40－7,3)＝11(J/s)．問題2：上述問題的實(shí)際意義是什么？提示：它表示從t＝1s到t＝4s這段時(shí)間內(nèi)，這個(gè)人平均每秒做功11J.問題3：W′(1)的實(shí)際意義是什么？提示：∵W′(t)＝3t2－8t＋10，∴W′(1)＝5.表示此人在t＝1s時(shí)每秒做功為5J.實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義1．功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是功率．2．降雨量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是降雨強(qiáng)度．3．生產(chǎn)成本關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)是邊際成本．4．路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是速度．速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是加速度．5．質(zhì)量關(guān)于長度的導(dǎo)數(shù)是線密度．在日常生活中，有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來理解的量．如物理學(xué)中，速度是路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，功率是功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)．解決這些問題，要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)知識(shí)對模型進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再用數(shù)學(xué)結(jié)論解釋實(shí)際問題．eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P52])導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用[例1]把原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第xh時(shí)，原油的溫度(單位：℃)為y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．(1)分別計(jì)算當(dāng)x從0變到1，從2變到3時(shí)，原油溫度y關(guān)于時(shí)間x的平均變化率，比較它們的大小，并解釋它們的實(shí)際意義；(2)計(jì)算第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義．[思路點(diǎn)撥](1)平均變化率即為eq\f(Δy,Δx).(2)可利用導(dǎo)數(shù)公式求出y′，再分別求當(dāng)x＝2,6時(shí)的導(dǎo)數(shù)值．[精解詳析](1)由題意得f(0)＝15，f(1)＝9，∴當(dāng)x從0變到1時(shí)，原油溫度平均變化率為eq\f(f1－f0,1－0)＝－6(℃/h)，表示從0到1這一小時(shí)內(nèi)，原油溫度平均每小時(shí)降低6℃.又f(2)＝5，f(3)＝3，∴當(dāng)x從2變到3時(shí)，原油溫度平均變化率為eq\f(f3－f2,3－2)＝－2(℃/h)，表示從2到3這一小時(shí)內(nèi)，原油溫度平均每小時(shí)降低2℃.－6<－2，說明原油溫度在開始的1小時(shí)比以后1小時(shí)的溫度下降的多．(2)y′＝2x－7，當(dāng)x＝2時(shí)，y′＝－3，當(dāng)x＝6時(shí)，y′＝5.在第2h與第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－3與5.這說明x＝2h時(shí)原油溫度大約以3℃/h的速率下降；x＝6h時(shí)，原油溫度大約以5℃/h的速率上升．[一點(diǎn)通]利用導(dǎo)數(shù)解決物理問題，關(guān)鍵是要熟悉相關(guān)的物理概念、公式，并聯(lián)系導(dǎo)數(shù)的物理意義求解．1．某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W是時(shí)間t的函數(shù)W＝W(t)，則W′(t0)表示()A．t＝t0時(shí)做的功 B．t＝t0時(shí)的速度C．t＝t0時(shí)的位移 D．t＝t0時(shí)的功率答案：D2．在F1賽車中，賽車位移與比賽時(shí)間t存在函數(shù)關(guān)系s＝10t＋5t2(s的單位為m，t的單位為s)．求：(1)t＝20，Δt＝0.1時(shí)的Δs與eq\f(Δs,Δt)；(2)求t＝20時(shí)的瞬時(shí)速度．解：(1)∵Δs＝s(20.1)－s(20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)＝21.05，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(21.05,0.1)＝210.5(m/s)．(2)∵s′＝10＋10t，∴當(dāng)t＝20時(shí)，s′＝10＋10×20＝210(m/s)，即t＝20時(shí)的瞬時(shí)速度為210m/s.工作效率問題[例2]一名工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量y(單位：g)是工作時(shí)間x(單位：h)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)表示為y＝f(x)＝eq\f(x2,20)＋4eq\r(x).(1)求x從1h變到4h時(shí)，y關(guān)于時(shí)間x的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；(2)求f′(1)，f′(4)，解釋它的意義．[思路點(diǎn)撥]利用平均變化率的計(jì)算公式求解，然后結(jié)合實(shí)際問題正確解釋其意義．[精解詳析](1)當(dāng)x從1h變到4h時(shí)，產(chǎn)量y從f(1)＝eq\f(81,20)(g)變到f(4)＝eq\f(176,20)(g)，此時(shí)平均變化率為eq\f(f4－f1,4－1)＝eq\f(\f(176,20)－\f(81,20),3)＝eq\f(19,12)(g/h)，它表示從1h到4h這段時(shí)間這個(gè)人平均每小時(shí)生產(chǎn)eq\f(19,12)g產(chǎn)品．(2)f′(x)＝eq\f(x,10)＋eq\f(2,\r(x))，于是f′(1)＝eq\f(21,10)(g/h)，f′(4)＝eq\f(7,5)(g/h)，f′(1)和f′(4)分別表示在第1小時(shí)和第4小時(shí)這個(gè)人每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品eq\f(21,10)g和eq\f(7,5)g.[一點(diǎn)通]工作效率即產(chǎn)量對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)．解決該類問題時(shí)要正確表示出工作時(shí)間與產(chǎn)品數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用相應(yīng)的求導(dǎo)公式及法則解決．3．某考生在參加2011年高考數(shù)學(xué)科考試時(shí)，其解答完的題目數(shù)量y(單位：道)與所用時(shí)間x(單位：分鐘)近似地滿足函數(shù)關(guān)系y＝2eq\r(x).(1)求x從0分鐘變化到36分鐘時(shí)，y關(guān)于x的平均變化率；(2)求f′(64)，f′(100)，并解釋它的實(shí)際意義．解：(1)x從0分鐘變化到36分鐘，y關(guān)于x的平均變化率為：eq\f(f36－f0,36－0)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答完eq\f(1,3)道題．(2)∵f′(x)＝eq\f(1,\r(x))，∴f′(64)＝eq\f(1,8)，f′(100)＝eq\f(1,10).它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時(shí)每分鐘可解答eq\f(1,8)和eq\f(1,10)道題．4．東方機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)械，已知生產(chǎn)總利潤c元與生產(chǎn)量x臺(tái)之間的關(guān)系式為c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求產(chǎn)量為1000臺(tái)的總利潤與平均利潤；(2)求產(chǎn)量由1000臺(tái)提高到1500臺(tái)時(shí)，總利潤的平均改變量；(3)求c′(1000)與c′(1500)，并說明它們的實(shí)際意義．解：(1)產(chǎn)量為1000臺(tái)時(shí)的總利潤為c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝(元)，平均利潤為eq\f(c1000,1000)＝5000.6(元)．(2)當(dāng)產(chǎn)量由1000臺(tái)提高到1500臺(tái)時(shí)，總利潤的平均改變量為eq\f(c1500－c1000,1500－1000)＝eq\f(－5000600,500)＝2000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)，c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)，它指的是當(dāng)產(chǎn)量為1000臺(tái)時(shí)，每多生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利3000元．而當(dāng)產(chǎn)量為1500臺(tái)時(shí)，每多生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利1000元.導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用[例3]某機(jī)械廠生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件，假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系為C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.(1)當(dāng)日產(chǎn)量由10件提高到20件時(shí)，求總成本的平均改變量，并說明其實(shí)際意義；(2)求當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本，并說明其實(shí)際意義．[思路點(diǎn)撥](1)利用函數(shù)平均變化率計(jì)算，然后結(jié)合實(shí)際問題解釋．(2)用瞬時(shí)變化率的意義解釋．[精解詳析](1)當(dāng)x從10件提高到20件時(shí)，總成本C從C(10)＝2675(元)變到C(20)＝3350(元)，此時(shí)總成本的平均改變量為eq\f(C20－C10,20－10)＝67.5(元/件)，其表示產(chǎn)量從x＝10件提高到x＝20件時(shí)，平均每件產(chǎn)品的總成本的改變量．(2)∵C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，∴C′(75)＝eq\f(1,2)×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是當(dāng)產(chǎn)量為75件時(shí)，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需增加成本97.5元．[一點(diǎn)通]生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)y＝f(x)中，f′(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí)，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是產(chǎn)量為x0時(shí)，每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量，需增加f′(x0)個(gè)單位的成本．5．建造一幢長度為xm的橋梁需成本y萬元，函數(shù)關(guān)系為y＝f(x)＝eq\f(1,10)(x2＋x＋3)(x>0)．(1)當(dāng)x從100變到200時(shí)，平均每米的成本為________；(2)f′(100)＝________，其實(shí)際意義為________．解析：(1)f(100)＝1010.3，f(200)＝4020.3，∴eq\f(f200－f100,200－100)＝30.1(萬元/m)即平均變化率為30.1萬元/m.(2)f′(x)＝eq\f(1,10)(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(萬元/m)，即當(dāng)長度為100m時(shí)，每增加1m的長度，成本就增加20.1萬元．答案：(1)30.1萬元(2)20.1萬元/m當(dāng)長度為100m時(shí)，每增加1m的長度成本就增加20.1萬元6．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)＝eq\f(5284,100－x)(80<x<100)．(1)求c′(x)；(2)求c′(90)，c′(98)，并解釋它們的實(shí)際意義．解：(1)c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5284,100－x)))′＝eq\f(5284′×100－x－5284×100－x′,100－x2)＝eq\f(0×100－x－5284×－1,100－x2)＝eq\f(5284,100－x2).(2)c′(90)＝eq\f(5284,100－902)＝52.84(元/噸)，c′(98)＝eq\f(5284,100－982)＝1321(元/噸)．因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)是凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率，所以純凈度為90%時(shí)，純凈度每提高1個(gè)百分點(diǎn)，每噸水的費(fèi)用就要增加52.84元．純凈度為98%時(shí)，純凈度每提高1個(gè)百分點(diǎn)，每噸水的費(fèi)用就要提高1321元．1．解決實(shí)際問題一般按下列思路：2．解決實(shí)際問題的一般步驟：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評估，定性、定量分析，作出正確的判斷，確定其答案．eq\a\vs4\al([對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練十七])1．圓的面積S是半徑r的函數(shù)S(r)＝πr2，那么在r＝3時(shí)，面積的變化率是()A．6 B．9C．9π D．6π解析：面積S在r＝3時(shí)的變化率即為S′(3)＝2π×3＝6π.答案：D2．速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為v＝f(t)＝t2－10t，則t＝1時(shí)的加速度為()A．－9 B．－8C．9 D．8解析：f′(t)＝2t－10，∴f′(1)＝2×1－10＝－8，即為t＝1時(shí)的加速度．答案：B3．某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時(shí)需在2s內(nèi)完成剎車，其位移(單位：m)關(guān)于時(shí)間(單位：s)的函數(shù)為s(t)＝－eq\f(1,3)t3－4t2＋20t＋15，則s′(1)的實(shí)際意義為()A．汽車剎車后1s內(nèi)的位移B．汽車剎車后1s內(nèi)的平均速度C．汽車剎車后1s時(shí)的瞬時(shí)速度D．汽車剎車后1s時(shí)的位移解析：由導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義知，位移關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為該時(shí)刻的瞬時(shí)速度．答案：C4．從時(shí)刻t＝0開始的ts內(nèi)，通過某導(dǎo)體的電量(單位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，則第5s時(shí)電流強(qiáng)度為()A．27C/s B．20C/sC．25C/s D．23C/s解析：某種導(dǎo)體的電量q在5s時(shí)的瞬時(shí)變化率就是第5s時(shí)的電流強(qiáng)度．∵q′＝4t＋3，∴當(dāng)t＝5時(shí)，電流強(qiáng)度為4×5＋3＝23(C/s)．答案：D5．某物體的位移是時(shí)間的函數(shù)s＝2t3－at，物體在t＝1時(shí)的速度為8，則a的值為________．解析：s′＝6t2－a，由題意得6×12－a＝8，∴a＝－2.答案：－26．某商品價(jià)格P(單位：元)與時(shí)間t(單位：年)有函數(shù)關(guān)系式P(t)＝(1＋10%)t，那么在第8個(gè)年頭此商品價(jià)格的變化速度是________．解析：P′(t)＝1.1tln1.1，∴P′(8)＝1.18ln1.1(元/年)．答案：1.18ln1.1元/年7．在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(時(shí)間：s)間的關(guān)系式為h(t)＝－4t2＋7t＋16.(1)求t從2s到3s時(shí)，高度關(guān)于時(shí)間t的平均變化率；(2)求h′(2)，h′(3)，并解釋它們的實(shí)際意義．解：(1)∵h(yuǎn)(2)＝14，h(3)＝1，∴t從2s到3s時(shí)，h關(guān)于t的平均變化率為eq\f(h3－h(huán)2,3－2)＝eq\f(1－14,1)＝－13(m/s)．(2)∵h(yuǎn)′(t)＝－8t＋7，∴h′(2)＝－9m/s，h′(3)＝－17m/s.h′(2)和h′(3)分別表示t＝2s和t＝3s時(shí)，運(yùn)動(dòng)員每秒向下運(yùn)動(dòng)的高度為9m和17m.8．蜥蜴的體溫隨周圍環(huán)境的溫度而變化，T(t)＝eq\f(120,t＋5)＋15表示蜥蜴的體溫T(t)(單位：℃)為太陽落山后的時(shí)間t(單位：min)的函數(shù)．(1)從t＝0min到t＝10min，蜥蜴的體溫下降了多少？(2)從t＝0min到t＝10min，蜥蜴的體溫下降的平均變化率是多少？它代表什么實(shí)際意義？(3)求T′(5)，并解釋它的實(shí)際意義．解：(1)∵T(10)－T(0)＝eq\f(120,10＋5)＋15－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,5)＋15))＝－16(℃)，∴從t＝0min到t＝10min，蜥蜴的體溫下降了16℃.(2)從t＝0min到t＝10min，蜥蜴體溫的平均變化率是：eq\f(T10－T0,10)＝eq\f(－16,10)＝－1.6(℃/min)，它表示從t＝0min到t＝10min這段時(shí)間內(nèi)，蜥蜴體溫平均每分鐘下降1.6℃.(3)∵T′(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,t＋5)＋15))′＝eq\f(－120,t＋52)，∴T′(5)＝－eq\f(120,102)＝－1.2(℃/min)，它表示t＝5min時(shí)蜥蜴體溫的下降速度為1.2℃/min.2．2最大值、最小值問題eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P54])假設(shè)函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像都是一條連續(xù)不斷的曲線(如下圖所示)，觀察圖像．問題1：這三個(gè)函數(shù)在[a，b]上一定能夠取得最大值、最小值嗎？提示：一定能．問題2：y＝h(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有最值和極值嗎？提示：無最值，也無極值．問題3：如何求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的最值？提示：先求出(a，b)內(nèi)的極值，再求區(qū)間端點(diǎn)值進(jìn)行比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值．1．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都不超過(不小于)f(x0)．2．最大值和最小值統(tǒng)稱為最值．1．函數(shù)的最大值、最小值是一個(gè)整體概念，最大(小)值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中最大(小)的．2．如果在[a，b]上函數(shù)y＝f(x)圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值．eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P54])求函數(shù)的最值[例1]求下列函數(shù)的最值．(1)f(x)＝x3－2x2＋1，x∈[－1,2]；(2)f(x)＝eq\f(1,2)x＋sinx，x∈[0,2π]．[思路點(diǎn)撥]先求函數(shù)在給定區(qū)間的極值，然后再與端點(diǎn)值比較，即可確定函數(shù)的最值．[精解詳析](1)f′(x)＝3x2－4x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝eq\f(4,3).因此x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－1(－1,0)0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))2f′(x)＋0－0＋f(x)－2極大值1極小值－eq\f(5,27)1∴當(dāng)x＝0或2時(shí)，f(x)取最大值1；當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取最小值－2.(2)f′(x)＝eq\f(1,2)＋cosx，令f′(x)＝0，且x∈[0,2π]，∴x1＝eq\f(2π,3)，x2＝eq\f(4π,3).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))eq\f(2π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(4π,3)))eq\f(4π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，2π))2πf′(x)＋0－0＋f(x)0極大值eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)極小值eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2)π∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最小值0；當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)取最大值π.[一點(diǎn)通]求解函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，在熟練掌握求解步驟的基礎(chǔ)上，還須注意以下幾點(diǎn)：(1)對函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)；(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值；(3)比較極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小．1．函數(shù)y＝x＋2cosx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值為()A.eq\f(π,6)＋eq\r(3) B．2C.eq\f(π,6)＋2 D.eq\r(3)解析：令y′＝1－2sinx＝0，得x＝eq\f(π,6)，比較函數(shù)在0，eq\f(π,6)，eq\f(π,2)處的函數(shù)值，得ymax＝eq\f(π,6)＋eq\r(3).答案：A2．求下列函數(shù)的最值．(1)f(x)＝x＋eq\f(4,x)x∈[3,4]；(2)f(x)＝－x3＋3xx∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]．解：(1)f′(x)＝1－eq\f(4,x2)＝eq\f(x2－4,x2)，∵x∈[3,4]，∴f′(x)>0，即f(x)在[3,4]為增函數(shù)，∴當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取最小值f(3)＝3＋eq\f(4,3)＝eq\f(13,3)；當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取最大值f(4)＝4＋eq\f(4,4)＝5.(2)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝±1.而f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(－eq\r(3))＝0，f(eq\r(3))＝0，∴x＝1時(shí)，f(x)取最大值f(1)＝2；x＝－1時(shí)，f(x)取最小值f(－1)＝－2.與最值有關(guān)的恒成立問題[例2]設(shè)f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；(2)當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，f(x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[思路點(diǎn)撥](1)利用導(dǎo)數(shù)易求f(x)的單調(diào)區(qū)間，對于(2)可轉(zhuǎn)化為求f(x)的最大值小于m.[精解詳析](1)f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0?x＝1或x＝－eq\f(2,3).所以當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))時(shí)f′(x)>0，f(x)為增加的；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減少的．當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增加的．所以f(x)的遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))和(1，＋∞)，f(x)的遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)).(2)當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，f(x)<m恒成立，只需使f(x)在[－1,2]上的最大值小于m即可．由(1)知f(x)極大值＝f(－eq\f(2,3))＝5＋eq\f(22,27)，f(x)極小值＝f(1)＝eq\f(7,2).又f(－1)＝eq\f(11,2)，f(2)＝7，所以f(x)在[－1,2]上的最大值為f(2)＝7.所以m>7，即m的取值范圍為(7，＋∞)．[一點(diǎn)通]解決恒成立問題，常用方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，通過分離參數(shù)，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x)的最大值即可，同理，要使m<f(x)恒成立，只需m<f(x)的最小值即可．3．設(shè)f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)求a的取值范圍，使得g(a)－g(x)＜eq\f(1,a)對任意x＞0都成立．解：(1)由題設(shè)知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋eq\f(1,x)，x＞0，所以g′(x)＝eq\f(x－1,x2)，令g′(x)＝0得，x＝1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．因此，x＝1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以g(x)的最小值為g(1)＝1.(2)由(1)知g(x)的最小值為1，所以g(a)－g(x)＜eq\f(1,a)對任意x＞0成立?g(a)－1＜eq\f(1,a)，即lna＜1，從而得0＜a＜e.故a的取值范圍為(0，e)．4．已知函數(shù)f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)若對所有的x≥1都有f(x)≥ax－1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx，令f′(x)>0，解得x>eq\f(1,e)，令f′(x)<0，解得0<x<eq\f(1,e).從而f(x)在(0，eq\f(1,e))上減少，在(eq\f(1,e)，＋∞)上增加，所以當(dāng)x＝eq\f(1,e)時(shí)，f(x)取得最小值－eq\f(1,e).(2)由題意得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤lnx＋eq\f(1,x)對于x∈[1，＋∞)恒成立．令g(x)＝lnx＋eq\f(1,x)，則g′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x－1,x2).當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0，∴g(x)在[1，＋∞)上是增加的，所以g(x)的最小值為g(1)＝1.則a≤1.故a的取值范圍是(－∞，1].面積、體積(容積)的最值問題[例3]某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園．已知AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|＝|BC|＝4km，|AO|＝2km，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段．如果要使矩形的兩邊分別落在AB，BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段OC上，應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園的用地面積最大？并求出最大的用地面積(精確到0.1km2)．[思路點(diǎn)撥]建立坐標(biāo)系，求出OC所在拋物線的方程，用P(在OC上)的坐標(biāo)表示矩形的面積，再求最大值．[精解詳析]以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，依題意可設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p>0)，且過點(diǎn)C(2,4)，所以22＝2p×4，解得p＝eq\f(1,2).故曲線段OC的方程為y＝x2(0≤x≤2)．設(shè)p(x，x2)(0<x<2)是矩形落在曲線段OC上的一個(gè)頂點(diǎn)，則PM＝2＋x，PN＝4－x2，∴工業(yè)園的用地面積S＝PM·PN＝(2＋x)(4－x2)＝－x3－2x2＋4x＋8，則S′＝－3x2－4x＋4.令S′＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝－2(舍去)．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))時(shí)，S′>0，S是增加的；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))時(shí)，S′<0，S是減少的．∴當(dāng)x＝eq\f(2,3)時(shí)，S取得最大值，此時(shí)PM＝eq\f(8,3)，PN＝eq\f(32,9)，Smax＝eq\f(8,3)×eq\f(32,9)＝eq\f(256,27)≈9.5(km2)．故把工業(yè)園規(guī)劃成長為eq\f(32,9)km，寬為eq\f(8,3)km時(shí)，工業(yè)園的用地面積最大，約為9.5km2.[一點(diǎn)通]對于面積、容積的最值問題，正確設(shè)出變量，準(zhǔn)確寫出面積、容積的表達(dá)式是解決問題的關(guān)鍵．利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最值是解決問題的方法；若在所給區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f(x)存在唯一的極值，必為函數(shù)的最值．5．建造一個(gè)容積為8立方米，深為2米的無蓋長方體蓄水池，池壁的造價(jià)為每平方米100元，池底的造價(jià)為每平方米300元，則總造價(jià)的最小值為()A．400元 B．1200元C．1600元 D．2800元解析：設(shè)總造價(jià)為y元，池底的一邊長x米，池底的面積為8÷2＝4(平方米)，池底的另一邊長為eq\f(4,x)米，池壁的面積為4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))平方米，故有y＝4×300＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×100＝400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))＋1200(x＞0)．y′＝400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x2)))，令y′＝0得x＝2，由y′＞0得x＞2，由y′＜0得0＜x＜2，即y在(0,2)上是減少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值，且ymin＝2800.答案：D6．用總長為14.8m的鋼條制成一個(gè)長方形容器的框架，如果所制作容器的底面一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．解：設(shè)容器底面短邊長為xm，則另一邊長為(x＋0.5)m，容器的高為eq\f(1,4)[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)(m)．由x>0,3.2－2x>0，得0<x<1.6.∴容器的體積為y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0<x<1.6)．∵y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，∴令y′＝0，得15x2－11x－4＝0.∴x1＝1，x2＝－eq\f(4,15)(不合題意，舍去)．當(dāng)0<x<1時(shí)，y′>0，當(dāng)1<x<1.6時(shí)，y′<0.∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取極大值，也是最大值，此時(shí)y＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，高為3.2－2×1＝1.2.∴容器的高為1.2m時(shí)容積最大，最大容積為1.8m3.生活中的最值問題[例4]如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形，且面積為200m2的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16m，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋)．(1)寫出總造價(jià)y(元)與污水處理池長x(m)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；(2)污水處理池的長和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià)．[思路點(diǎn)撥]可設(shè)長為xm，則寬為eq\f(200,x)m，然后表示出外周壁造價(jià)、中間隔墻造價(jià)及池底造價(jià)，這三部分的和即為總造價(jià)，用導(dǎo)數(shù)可求出最小值．[精解詳析](1)設(shè)長為xm，則寬為eq\f(200,x)m，據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤16，,0<\f(200,x)≤16，))解得eq\f(25,2)≤x≤16，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(200,x)))×400＋eq\f(400,x)×248＋16000＝800x＋eq\f(,x)＋16000(eq\f(25,2)≤x≤16)．(2)y′＝800－eq\f(,x2)＝0，解得x＝18.當(dāng)x∈(0,18)時(shí)，函數(shù)y為減少的；當(dāng)x∈(18，＋∞)時(shí)，函數(shù)y為增加的．又∵eq\f(25,2)≤x≤16，∴當(dāng)x＝16時(shí)，y取最小值45000.∴當(dāng)且僅當(dāng)長為16m、寬為12.5m時(shí)，總造價(jià)y最低為45000元．[一點(diǎn)通]費(fèi)用、用料最省、成本最低、利潤最大等問題是日常生活中常見問題，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象，正確寫出函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實(shí)際問題中去．7．某工廠生產(chǎn)的機(jī)器銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y1＝17x2(x＞0)，生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x＞0)，，為使利潤y(萬元)最大，應(yīng)生產(chǎn)()A．6千臺(tái) B．7千臺(tái)C．8千臺(tái) D．9千臺(tái)解析：利潤y＝y(tǒng)1－y2＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝－6x2＋36x，令y′＝0得x＝6；由y′＞0得0＜x＜6，y單調(diào)遞增；由y′＜0得x＞6，y單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝6時(shí)，y取得最大值．答案：A8．某工廠生產(chǎn)某種水杯，每個(gè)水杯的原材料費(fèi)、加工費(fèi)分別為30元、m元(m為常數(shù)，且2≤m≤3)，設(shè)每個(gè)水杯的出廠價(jià)為x元(35≤x≤41)，根據(jù)市場調(diào)查，水杯的日銷售量與ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例，已知每個(gè)水杯的出廠價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10個(gè)．(1)求該工廠的日利潤y(元)與每個(gè)水杯的出廠價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每個(gè)水杯的出廠價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的日利潤最大，并求日利潤的最大值．解：(1)設(shè)日銷售量為s，則s＝eq\f(k,ex)，因?yàn)閤＝40時(shí)，s＝10，故10＝eq\f(k,e40)，則k＝10e40，所以s＝eq\f(10e40,ex)，故y＝eq\f(10e40,ex)(x－30－m)(35≤x≤41)．(2)y′＝10e40×eq\f(ex－x－30－mex,ex2)＝10e40×eq\f(31＋m－x,ex).令y′＝10e40×eq\f(31＋m－x,ex)＝0，則x＝31＋m.當(dāng)2≤m≤3時(shí)，y′＜0，所以y在35≤x≤41上為減函數(shù)，所以x＝35時(shí)，日利潤取得最大值，且最大值為10e5(5－m)元．用導(dǎo)數(shù)解決應(yīng)用問題求最值的方法步驟：eq\a\vs4\al([對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練十八])1．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ex)在x∈[2,4]上的最小值為()A．0 B.eq\f(1,e)C.eq\f(4,e4) D.eq\f(2,e2)解析：∵f(x)＝eq\f(x,ex)，∴f′(x)＝eq\f(ex－xex,ex2)＝eq\f(1－x,ex).當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，f′(x)＜0，即函數(shù)f(x)在[2,4]上是減少的，故當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為eq\f(4,e4).答案：C2．函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0,2]上的最大值是3，則a的值為()A．2 B．1C．－2 D．－1解析：由題意f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－eq\f(1,3)(舍去)又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，所以f(x)的最大值為a＋2＝3，故a＝1.答案：B3．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：∵f(x)＝ax－lnx，f(x)>1在(1，＋∞)內(nèi)恒成立，∴a>eq\f(1＋lnx,x)在(1，＋∞)內(nèi)恒成立．設(shè)g(x)＝eq\f(1＋lnx,x)，∴x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＝eq\f(－lnx,x2)<0，即g(x)在(1，＋∞)上是減少的，∴g(x)<g(1)＝1，∴a≥1，即a的取值范圍是[1，＋∞)．答案：D4.如圖，將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強(qiáng)度系數(shù)為k，k＞0)．要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬x應(yīng)為()A.eq\f(d,3) B.eq\f(d,2)C.eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(2),2)d解析：設(shè)斷面高為h，則h2＝d2－x2.設(shè)橫梁的強(qiáng)度函數(shù)為f(x)，則f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0＜x＜d.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±eq\f(\r(3),3)d(舍去負(fù)值)．當(dāng)0＜x＜eq\f(\r(3),3)d時(shí)，f′(x)＞0，f(x)是增加的；當(dāng)eq\f(\r(3),3)d＜x＜d時(shí)，f′(x)＜0，f(x)是減少的．所以函數(shù)f(x)在定義域(0，d)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)x＝eq\f(\r(3),3)d.所以x＝eq\f(\r(3),3)d時(shí)，f(x)有最大值．答案：C5．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M－m＝________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.計(jì)算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.答案：326.如圖，已知一罐圓柱形紅牛飲料的容積為250mL，則它的底面半徑等于________時(shí)(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最?。馕觯涸O(shè)圓柱的高為h，表面積為S，容積為V，底面半徑為r，則表面積S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝eq\f(250,πr2)，則S＝2πr·eq\f(250,πr2)＋2πr2＝eq\f(500,r)＋2πr2，S′＝－eq\f(500,r2)＋4πr，令S′＝0得r＝eq\f(5\r(3,π2),π)，因?yàn)镾只有一個(gè)極值，所以當(dāng)r＝eq\f(5\r(3,π2),π)時(shí)，S取得最小值，即此時(shí)所用的材料最?。鸢福篹q\f(5\r(3,π2),π)7．函數(shù)f(x)＝x3＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x2－x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(cosx)的最小值和最大值．解：(1)f′(x)＝3x2＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x－1，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))×eq\f(2,3)－1，得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－1，故f(x)＝x3－x2－x.令f′(x)＝3x2－2x－1＞0，解得x＜－eq\f(1,3)或x＞1.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))和(1，＋∞)；同理可得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)).(2)設(shè)cosx＝t∈[－1,1]，由(1)知f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))上是增加的，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))上是減少的，故f(cosx)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(5,27)；又f(－1)＝f(1)＝－1，故f(cosx)min＝－1.8．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米．余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋eq\r(x))x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素．記余下工程的費(fèi)用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？解：(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.當(dāng)0＜x＜64時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減少的；當(dāng)64＜x＜640時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增加的．所以f(x)在x＝64處取得最小值．此時(shí)n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9個(gè)橋墩才能使y最?。?、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間．特別注意寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“∪”連接．二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗(yàn)f′(x)＝0的根的兩側(cè)的f′(x)的符號，若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值．否則此根不是f(x)的極值點(diǎn)．三、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)，f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值．特別地，①當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值，則可以判斷f(x)在該點(diǎn)處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．四、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意的問題：(1)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去．(2)在實(shí)際問題中，由f′(x)＝0常常僅解到一個(gè)根，若能判斷函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值．(時(shí)間90分鐘，滿分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．函數(shù)f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．無最值 B．有極值C．有最大值 D．有最小值解析：∵f(x)＝2x－cosx，∴f′(x)＝2＋sinx＞0恒成立．故f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上是增加的，既沒有最大值也沒有最小值．答案：A2．函數(shù)f(x)＝2x2－lnx的遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：f′(x)＝4x－eq\f(1,x)＝eq\f(4x2－1,x)(x>0)，令f′(x)>0，得x>eq\f(1,2).∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).答案：C3．已知對任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝f(x)，且x＞0時(shí)，f′(x)＞0，則x＜0時(shí)()A．f′(x)＞0 B．f′(x)＜0C．f′(x)＝0 D．無法確定解析：因?yàn)閒(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．又x＞0時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在x＞0時(shí)為增加的，由偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，可知當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)為減少的．答案：B4．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，則f(x)在R上為增加的充要條件是()A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac≤0解析：要使f(x)在R上為增加的，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0在R上恒成立(但f′(x)不恒等于零)，故只需Δ＝4b2－12ac≤0，即b2－3ac≤0.答案：D5．若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上可導(dǎo)，且滿足f(x)＞－xf′(x)，則一定有()A．函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,x)在(0，＋∞)上為增加的B．函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,x)在(0，＋∞)上為減少的C．函數(shù)G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上為增加的D．函數(shù)G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上為減少的解析：設(shè)y＝xf(x)，則y′＝xf′(x)＋f(x)＞0，故y＝xf(x)在(0，＋∞)上為增加的．答案：C6．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值與最小值分別是()A．5，－15 B．5,4C．－4，－15 D．5，－16解析：y′＝6x2－6x－12，令y′＝0，得x＝－1,2，又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，∴最大值、最小值分別是5，－15.答案：A7．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3處取得極值，則a＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3處取得極值，∴f′(－3)＝30－6a＝0.得a＝5.答案：D8．把長為12cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形的面積之和的最小值是()A.eq\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：設(shè)一個(gè)三角形的邊長為xcm，則另一個(gè)三角形的邊長為(4－x)cm，兩個(gè)三角形的面積和為S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)x2－2eq\r(3)x＋4eq\r(3)(0<x<4)．令S′＝eq\r(3)x－2eq\r(3)＝0，則x＝2，且x<2時(shí)，S′<0,2<x<4時(shí)，S′>0.所以x＝2時(shí)，S取最小值2eq\r(3).答案：D9．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖像不可能為y＝f(x)的圖像的是()解析：∵[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f′(x)＋f(x)]ex，又x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′(－1)＋f(－1)＝0，而選項(xiàng)D中f′(－1)>0，f(－1)>0，故D中圖像不可能為y＝f(x)的圖像．答案：D10．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)為()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元解析：設(shè)毛利潤為L(p)，由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時(shí)，L(30)＝23000.因?yàn)樵趐＝30附近的左側(cè)L′(p)>0，右側(cè)L′(p)<0，所以L(30)是最大值，即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，最大毛利潤為23000元．答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確的答案填在題中的橫線上)11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)))x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是________．解析：令f′(x)＝3x2＋2ax＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)))＝0，此方程應(yīng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ>0.即4a2－12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)))>0，∴a2－3a＋2>0，∴a>2或a<1.答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)12．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2＋2x－lnx(a≠0)在區(qū)間[1,2]上是增加的，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．解析：易知x＞0，且f′(x)＝ax＋2－eq\f(1,x)＝eq\f(ax2＋2x－1,x)，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增加的，∴f′(x)≥0對x∈[1,2]恒成立，即不等式ax2＋2x－1≥0對x∈[1,2]恒成立，即a≥eq\f(1－2x,x2)＝eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1恒成立，故a≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－12－1))max，而當(dāng)x＝2時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1取到最大值－eq\f(3,4)，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥－eq\f(3,4)，即實(shí)數(shù)a的最小值為－eq\f(3,4).答案：－eq\f(3,4)13．某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價(jià)P(萬元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：P＝eq\f(500,\r(x))，則產(chǎn)量定為________件時(shí)，總利潤最大．解析：總利潤L(x)＝x·eq\f(500,\r(x))－1200－eq\f(2x3,75)＝－eq\f(2x3,75)＋500eq\r(x)－1200(x＞0)．由L′(x)＝－eq\f(2,25)x2＋eq\f(250,\r(x))＝0得x＝25；令L′(x)＞0得0＜x＜25；令L′(x)＜0得x＞25.故L(x)在(0,25)上是增加的，在(25，＋∞)上是減少的，所以當(dāng)產(chǎn)量定為25件時(shí)，總利潤最大．答案：2514．已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋eq\f(a,x2)(a＞0)．若當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)≥2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2lnx，令g(x)＝2x2－2x2lnx，則g′(x)＝2x(1－2lnx)．由g′(x)＝0，得x＝eeq\f(1,2)，0(舍去)，且0＜x＜eeq\f(1,2)時(shí)，g′(x)＞0，當(dāng)x＞eeq\f(1,2)時(shí)，g′(x)＜0，∴x＝eeq\f(1,2)時(shí)，g(x)取最大值g(eeq\f(1,2))＝e，∴a≥e.答案：[e，＋∞)三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且