/湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．已知向量，向量，若，則m等于()A. B. C. D.1000，950.為調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為300的樣本，那么應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為()A.195 B.105 C.100 D.954．已知邊長為2的正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接，則()A.－2 B.－1 C.1 D.25．甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機(jī)出拳，則一次游戲兩人平局的概率為()A. B. C. D.6．對(duì)于兩個(gè)平面，和兩條直線m，n，下列命題中為真命題是()A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則7．科技是一個(gè)國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國科學(xué)院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月，“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇成功升至9032米高空，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實(shí)力.“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，如圖2所示，是該浮空艇的軸截面圖，則它的體積約為()（參考數(shù)據(jù)：，，，）A.9064m3 B.9004m3 C.8944m3 D.8884m38．隨著北京冬奧會(huì)的舉辦，中國冰雪運(yùn)動(dòng)的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng)，號(hào)召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則()A.A與B為對(duì)立事件 B.A與C互斥C.B與C相互獨(dú)立 D.A與C相互獨(dú)立二、多項(xiàng)選擇題9．某校1000名學(xué)生在高一模擬測試中數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則()A. B.C.70分以下的人數(shù)約為6人 D.本次考試的平均分約為93.610．如圖所示，為了測量A，B兩島的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則下列結(jié)論正確的是()A.B.A，D之間的距離為海里C.B，D之間的距離為海里D.A，B兩島間的距離為海里11．正三棱柱的各棱長均相等，D是的中點(diǎn)，M，N是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是()A.平面平面B.三棱錐的體積為定值C.可能為直角三角形D.平面DMN與平面ABC所成的銳二面角的范圍是三、填空題12．在9，10，11，13，15，16這六個(gè)數(shù)中，第50百分位數(shù)是__________.13．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則__________.14．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，則球O的表面積為__________.四、解答題15．某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).①；②；③（i是虛數(shù)單位）.（1）從三個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（2）根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論.16．全國文明城市簡稱文明城市，是指在全面建設(shè)小康社會(huì)中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市.全國文明城市稱號(hào)是反映中國城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號(hào).為普及相關(guān)知識(shí)，爭創(chuàng)全國文明城市，張家界市組織了文明城市知識(shí)競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取了甲、乙兩個(gè)單位各5名職工的成績（單位：分）如下表：甲單位8788919193乙單位8589919293（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個(gè)單位5名職工的成績的平均數(shù)和方差，并比較哪個(gè)單位的職工對(duì)文明城市知識(shí)掌握得更好；（2）用簡單隨機(jī)抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕對(duì)值不小于4的概率.17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，O為AC中點(diǎn)，平面，，M為PD的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.18．乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分.如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C、D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球，規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為，在D上的概率為；對(duì)落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為，在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A、B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：（1）小明對(duì)落點(diǎn)在A、B上的來球回球的得分為0分的概率；（2）小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；（3）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率.19．已知G點(diǎn)為的重心，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且（i），求實(shí)數(shù)m的值；（ii），求實(shí)數(shù)的值.

參考答案1．答案：D解析：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故選D2．答案：C解析：因?yàn)橄蛄?，向量，且，所以，解得，故選C3．答案：B解析：采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為300的樣本，則應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為：.故選：B.4．答案：B解析：；故選B.5．答案：A解析：甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行"剪子、包袱、錘"的游戲，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：甲乙錘剪子包袱錘剪子包袱由表格可知，共有9種等可能情況.其中平局的有3種：、、，甲和乙平局的概率為：.故選：A6．答案：D解析：A.n可能在內(nèi)，故A為假命題；B.m也可能與相交或與平行，故B為假命題；C.m與n可能平行，故C為假命題；D.，，則或，若，則由得；若，則內(nèi)有直線，易知，，故D為真命題.故選：D.7．答案：A解析：由題圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為，而圓臺(tái)另一個(gè)底面的半徑為，則，，，所以.故選A8．答案：D解析：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形：①有1門相同，②2門都相同，③2門都不相同，A與B互斥不對(duì)立，A與C不互斥，故A，B均錯(cuò)誤；，，，，，，，A與C相互獨(dú)立，B與C不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤，D正確。故選：D.9．答案：AD解析：對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，因?yàn)榈诹M有40人，第五組有160人，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，70分以下的人數(shù)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，平均成績，D正確，故選：AD.10．答案：ABD解析：由題意可得，，，，故A正確；在中，由正弦定理可得，即，解得，故B正確；在中，由，可得，，故C錯(cuò)誤；在中，由余弦定理可得即，解得，故D正確.故選：ABD.11．答案：ABD解析：對(duì)于A：當(dāng)M、N分別在、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若滿足，則線段必過正方形的中心O，而平面，平面平面，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)M、N分別在、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積不變，N到平面的距離不變，棱錐的體積不變，即三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)于C：若為直角三角形，則必是以為直角的直角三角形，但的最大值為，而此時(shí)，的長大于，不可能為直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)M、N分別為，中點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成的角為0，當(dāng)M與B重合，N與重合時(shí)，平面與平面所成的銳二面角最大，為，等于，平面與平面所成的銳二面角范圍為，故D正確.故選：ABD.12．答案：12解析：因?yàn)?，則第50百分位數(shù)為.故答案為：12.13．答案：，解析：復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，，解得.，則故答案為：.14．答案：解析：三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，根據(jù)勾股定理易得，，又，平面，設(shè)底面三角形的外接圓的半徑為r，球O的半徑為，易知，，，，球O的表面積為.故答案為：.15．答案：（1）i；（2）證明見解析解析：（1）選①：，選②：，選③：.（2）根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及（1）的計(jì)算結(jié)果，可以得到：（且a，b不同時(shí)為零），下面進(jìn)行證明：要證：，只需證：，，成立.（或直接利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算得出結(jié)果）16．答案：（1），，，；甲單位的職工比乙單位的職工對(duì)文明城市知識(shí)掌握得更好；（2）解析：（1），，，，顯然，，可知，甲單位的成績比乙單位穩(wěn)定，即甲單位的職工比乙單位的職工對(duì)文明城市知識(shí)掌握得更好.（2）從乙單位5名職工中隨機(jī)抽取2名，他們的成績組成的所有基本事件（用數(shù)對(duì)表示）為，，，，，，，，，共10個(gè).記“抽取的2名職工的成績差的絕對(duì)值不小于4”為事件A，則事件A包含的基本事件為，，，，，共5個(gè).由古典概型計(jì)算公式可知.17．答案：（1）證明見解析；（2）解析：（1）證明：連接，為平行四邊形，且O為AC中點(diǎn)O也為BD中點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)又平面，平面平面.（2）取OD中點(diǎn)，連結(jié)，，則為AM與平面ABCD所成角，為等腰直角在中，易得：，直線AM與平面ABCD所成角的正切值為.（注：如有其它解法請(qǐng)酌情給分.）18．答案：（1）；；（2）；（3）可能的取值為0，1，2，3，4，6；答案見解析解析：（1）記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”（），則，，；記為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”（），則，，.（2）記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.由題意，，由事件的獨(dú)立性和互斥性