第56講二項(xiàng)分布與超幾何分布鏈教材夯基固本激活思維1.(人A選必三P76練習(xí)T1(2))將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則E(X)＝__________________，D(X)＝___________________．2.(人A選必三P74例1改)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，則恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率是___________________．3.(人A選必三P80練習(xí)T1)一箱24罐的飲料中4罐有獎(jiǎng)券，每張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)勵(lì)飲料一罐．從中任意抽取2罐，則這2罐中有獎(jiǎng)券的概率是___________________．4.(人A選必三P80練習(xí)T2)學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4名候選人來自甲班．假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，則甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率是___________________．5.(人A選必三P80習(xí)題T2)若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率是__________________．聚焦知識(shí)一、二項(xiàng)分布1.伯努利試驗(yàn)只包含___________________可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)．將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為__________________．2.二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作__________________．3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝____________，D(X)＝___________________．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝_____________，D(X)＝__________________.二、超幾何分布1.定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，那么X的分布列為P(X＝k)＝___________________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．2.超幾何分布的均值與方差(*)(1)均值：根據(jù)均值的計(jì)算公式，當(dāng)X～H(n，M，N)時(shí)，E(X)＝eq\o(∑,\s\up6(r),\s\do4(k＝m))kPk＝__________________，其中r＝min{n，M}．(2)方差：D(X)＝eq\f(nM(N－M)(N－n),N2(N－1)).研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題說法二項(xiàng)分布例1(2024·威海二模)市場(chǎng)供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為90%，乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為65%.現(xiàn)有某質(zhì)檢部門對(duì)該商品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．(1)若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測(cè)，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率；(2)若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取4件該商品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率；(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，從而求得概率．超幾何分布例2(2024·聊城二模)某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其A，B兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查(滿分100分)，評(píng)分結(jié)果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)；(2)規(guī)定評(píng)分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．在n次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布．區(qū)別①當(dāng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)(如有放回摸球)，X服從二項(xiàng)分布；②當(dāng)n次試驗(yàn)不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)(如不放回摸球)，X服從超幾何分布聯(lián)系在不放回n次試驗(yàn)中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗(yàn)次數(shù)n很小，此時(shí)超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布變式2某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，對(duì)該流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：分組區(qū)間(單位：克)[490，495](495，500](500，505](505，510](510，515]產(chǎn)品件數(shù)34751包裝質(zhì)量在(495，510]克的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品．(1)估計(jì)從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率；(2)從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．二項(xiàng)分布中的最值問題例3-1(2024·池州二模)學(xué)校組織某項(xiàng)勞動(dòng)技能測(cè)試，每位學(xué)生最多有3次測(cè)試機(jī)會(huì)．一旦某次測(cè)試通過，便可獲得證書，不再參加以后的測(cè)試，否則就繼續(xù)參加測(cè)試，直到用完3次機(jī)會(huì)．如果每位學(xué)生在3次測(cè)試中通過的概率依次為0.5，0.6，0.8，且每次測(cè)試是否通過相互獨(dú)立．現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測(cè)試，回答下列問題．(1)求該小組學(xué)生甲參加考試次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).(2)規(guī)定：在2次以內(nèi)測(cè)試通過(包含2次)獲得優(yōu)秀證書，超過2次測(cè)試通過獲得合格證書．記該小組3位學(xué)生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為Y，求使得P(Y＝k)取最大值時(shí)的整數(shù)k.例3-2(2024·懷化二模)現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪某項(xiàng)比賽的獎(jiǎng)金，規(guī)定兩名運(yùn)動(dòng)員誰先贏k(k＞1，k∈N*)局，誰便贏得全部獎(jiǎng)金a元．假設(shè)每局甲贏的概率為p(0＜p＜1)，乙贏的概率為1－p，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立．在甲贏了m(m＜k)局，乙贏了n(n＜k)局時(shí)，比賽意外終止，問：獎(jiǎng)金如何分配才合理？評(píng)委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比P甲∶P乙分配獎(jiǎng)金．(1)若k＝3，m＝2，n＝1，p＝eq\f(3,4)，求P甲∶P乙；(2)記事件A＝“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)k＝4，m＝2，n＝2時(shí)，比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率f(p)，并判斷當(dāng)eq\f(6,7)≤p＜1時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說明理由．規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件．隨堂內(nèi)化1.某電視節(jié)目采用組團(tuán)比賽的方式進(jìn)行，參賽選手需要全部參加完五場(chǎng)公開比賽，其中五場(chǎng)中有四場(chǎng)獲勝，就能取得參加決賽的資格．若某參賽選手每場(chǎng)比賽獲勝的概率均是eq\f(2,3)，則這名選手能參加決賽的概率是()A.eq\f(80,243) B.eq\f(16,243)C.eq\f(76,243) D.eq\f(112,243)2.根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，PM2.5日均值(單位：μg/m3)在35以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35～75空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75以上，空氣質(zhì)量為超標(biāo)．工作人員從某自然保護(hù)區(qū)2024年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(25，35](35，45](45，55]頻數(shù)311PM2.5日均值(55，65](65，75](75，85]頻數(shù)113從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，則X的均值是()A.eq\f(9,10) B.eq\f(10,9)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,9)3.(多選)已知隨機(jī)變量X～B(4，p)，E(X)＝2，則()A.p＝eq\f(1,2) B.Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＜X＜\f(11,3)))＝eq\f(7,8)C.D(X)＝2 D.E(4X＋3)＝114.現(xiàn)有高三年級(jí)學(xué)生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，要從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的學(xué)生人數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是___________________；設(shè)事件A＝“抽取的3人中，既有睡眠充足的學(xué)生，也有睡眠不足的學(xué)生”，則事件A發(fā)生的概率為___________________．配套精練一、單項(xiàng)選擇題1.已知隨機(jī)變量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，則D(3ξ)＝()A.eq\f(8,3) B.8C.12 D.24.2024年5月中國(guó)郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》(5枚)、《鄱陽湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四個(gè)登上特種郵票的第五大淡水湖．現(xiàn)從15枚郵票中隨機(jī)抽取2枚，記取到郵票《巢湖》的枚數(shù)為X，則E(X)＝()A.eq\f(2,5) B.eq\f(2,3)C.1 D.eq\f(3,2)3.(2024·臨沂期初摸底)一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球、n個(gè)白球(n∈N*)，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同．從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球、1個(gè)白球的概率為eq\f(9,20)，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，則E(X)＝()A.eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)C.1 D.24.A，B兩組各3人獨(dú)立的破譯某密碼，A組每個(gè)人譯出該密碼的概率均為p1，B組每個(gè)人譯出該密碼的概率均為p2，記A，B兩組中譯出密碼的人數(shù)分別為X，Y，且eq\f(1,2)＜p1＜p2＜1，則()A.E(X)＜E(Y)，D(X)＜D(Y)B.E(X)＜E(Y)，D(X)＞D(Y)C.E(X)＞E(Y)，D(X)＜D(Y)D.E(X)＞E(Y)，D(X)＞D(Y)二、多項(xiàng)選擇題5.(2025·亳州期初)已知隨機(jī)變量X滿足X～B(4，p)，0＜p＜1，E(X)＝eq\f(3,2)D(X)，則()A.p＝eq\f(2,3) B.E(X)＝eq\f(4,3)C.E(2X＋1)＝eq\f(11,3) D.D(2X＋1)＝eq\f(32,9)6.下列說法正確的有()A.已知事件A，B，且P(A)＝eq\f(5,6)，P(B)＝eq\f(2,3)，P(A|B)＝eq\f(1,2)，則P(B|A)＝eq\f(2,5)B.設(shè)火箭發(fā)射失敗的概率為0.01，若發(fā)射10次，其中失敗的次數(shù)為X，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,10)×0.01k×0.9910-kC.若從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有1名女生的概率為eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,14),Ceq\o\al(4,15))D.設(shè)甲乘汽車、動(dòng)車前往某目的地的概率分別為0.3，0.7，汽車和動(dòng)車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.6，0.8，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為0.587.某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)A＝a1a2a3a4…an，其中ai(i＝1，2，3，…，n)∈{0，1}．若在A的各數(shù)位上出現(xiàn)0和1的概率均為eq\f(1,2)，記X＝a1＋a2＋a3＋…＋an，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)()A.P(X＝0)＝eq\f(1,2n)B.P(X＝k)＝P(X＝n－k)(0≤k≤n，k∈N*)C.E(X)＝eq\f(n,2)D.D(X)＝eq\f(n2,4)三、填空題8.某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過三次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為___________________．9．(2024·開封二模)袋中有4個(gè)紅球，m個(gè)黃球，n個(gè)綠球．現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為ξ，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為eq\f(1,6)，則E(ξ)＝__________________．10.50張彩票中只有2張中獎(jiǎng)票，現(xiàn)從中任取n張，為了使這n張彩票里至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于0.5，則n至少為__________________．四、解答題11.(2024·晉城二模)長(zhǎng)跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，較長(zhǎng)時(shí)間有節(jié)奏的深長(zhǎng)呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收氧氣量若超過平時(shí)的7—8倍，就可以抑制人體癌細(xì)胞的生長(zhǎng)和繁殖．其次長(zhǎng)跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，加快了心肌代謝，同時(shí)還使心肌肌纖維變粗，心收縮力增強(qiáng)，從而提高了心臟工作能力．某學(xué)校對(duì)男、女學(xué)生是否喜歡長(zhǎng)跑進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200，統(tǒng)計(jì)得到如下2×2列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計(jì)男生12080200女生100100200合計(jì)220180400(1)試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對(duì)長(zhǎng)跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)？(2)為弄清