區(qū)間矩陣的仿射運算分析綜述1.1區(qū)間矩陣的基本運算由式(2.6)和(2.7)可以得知，也可以用“中點和半徑”的方法表示為：(1.17)添加一個新的系數(shù)給變量進行賦值，則區(qū)間矩陣的仿射形式可以表示為：(1.18)假設(shè)存在兩個區(qū)間矩陣和，其仿射形式可以表示為：由式(1.4)和(3.7)可以得知，區(qū)間矩陣的基本運算可以表示為：(1.19)遺憾的是，由于切比雪夫法和最小范圍近似法只適用于標量的求倒和指數(shù)運算，不適用矩陣的相關(guān)運算。1.2仿射形式逆矩陣區(qū)間矩陣的逆矩陣可以表示為：(1.20)除了標稱值外所有的變量區(qū)間都包含了隨機系數(shù)，如果將全部帶入運算，計算難度之大，耗費時間精力之多，顯然都是不現(xiàn)實的，因此我們必須采取更適合的計算方式來解決這個問題。當(dāng)計算兩個區(qū)間矩陣和的逆矩陣，其中一個矩陣可逆時，可以表述為：假設(shè)是一個階可逆區(qū)間矩陣，和是維的任意向量，則有下面關(guān)系式：(1.21)其中表示和的輸出結(jié)果，且。不難發(fā)現(xiàn)就是的倒數(shù)形式。這個公式僅被應(yīng)用在秩時。為了快速地得到相應(yīng)結(jié)論，這里假設(shè)區(qū)間矩陣只包含一個隨機系數(shù)：，并且矩陣滿足秩為1，則有下列關(guān)系式：(1.22)是新的標稱值，是的新系數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，秩為。接下來，考慮在式(1.20)中的標準表達形式，當(dāng)階區(qū)間矩陣隨著任意符號的變化而變化，并且每一個系數(shù)矩陣都以階次排序。為了滿足式(1.21)中對秩的要求，首先要把每個系數(shù)矩陣分解為秩的形式：(1.23)假設(shè)存在：(1.24)則由式(1.22)可以逐步推導(dǎo)出：(1.25)其中可以由“誤差的傳播”方法中的式(1.16)得出：如此反復(fù)，則式(1.23)矩陣中的第一行可以表示為：(1.26)兩個系數(shù)和都可以用式(1.16)的方法得出：對上述方法作一般性歸納：假設(shè)存在元素，下標表示其位置是在矩陣的第行，第列，為前這一行所有噪聲符號的和，因此：(1.27)最后，的求逆計算為：(1.28)可由式(1.27)得出。在這種反復(fù)運算的過程中，雖然計算步驟繁多，計算效率不高，不適用于大規(guī)模矩陣計算，但其優(yōu)點是矩陣的區(qū)間操作不會產(chǎn)生新的隨機系數(shù)。另外一種方法叫做泰勒擴張法，兩個矩陣之和的逆矩陣可以表示為：(1.29)結(jié)合式(1.20)可得：(1.30)將方程展開為只有三項的泰勒展開式，所有的高階項都近似為一個新的噪聲符號。通過反復(fù)求解法得出的式(1.27)和泰勒展開近似法得出的式(1.30)都得出了精確的數(shù)字結(jié)果，并且都成功地將區(qū)間矩陣轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的矩陣形式。反復(fù)求解的方法必須滿足區(qū)間矩陣秩為1的條件，如果不能滿足，就必須對矩陣進行分解。前者在求解小規(guī)模矩陣的問題時能更精確也更高效，但如果矩陣較復(fù)雜，更適合用泰勒展開法，求解速度更快，效率更高。1.3矩陣的指數(shù)運算區(qū)間矩陣的指數(shù)運算同樣可以用泰勒展開近似求解，兩個矩陣之和的指數(shù)運算的泰勒展開形式可以表示為：(1.31)其中為與A，B相同維度的單位矩陣。由上式不難看出，矩陣的指數(shù)運算可以簡化為矩陣求和的乘法運算。假設(shè)存在區(qū)間矩陣其指數(shù)運算可以表示為：(1.32)根據(jù)式(1.16)可以求得：(1.33)可以近似的得到仿射形式：(1.34)其中，標稱矩陣：系數(shù)矩陣：在進行