2015年深圳市高中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分.每小題各有四個選擇支，僅有一個選擇支正確.請

把正確選擇支號填在答題卡的相應(yīng)位置.)

1.集合A={0,4,〃},B=若Au〃={0,l,2,4,16},則。的值為

A.OB.IC.2D.4

2.一個簡單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖不可能

是①長方形：②正方形；③圓；④菱形.其中正確的是

A.①②B.(2X3)C.③?D.①④

3.設(shè)。=0.54\〃=log。30.4,c=C0Sy,則

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<c

4.平面上三條直線x—2y+l=0,x—l=0,x—@=0,如果這三條直線將平面劃分為六部分，則實數(shù)A的

值為

A.1B.2C.0或2D.0,1或2

7T

5.函數(shù)/(/)=Asin((yx+。)(其中A>0,|eK,)的圖象如圖所

示，為了得到g(/)=cos2x的圖像,則只要將八X)的圖像

A.向右平移工個單位長度B.向右平移2個單位長度

612

7TTV

C.向左平移2個單位長度D.向左平移,個單位長度

612

6.在棱長為1的正四面體A44Al中，記%=|44?44|6/=1,2,3,4,7工J),則q./不同取值的個

數(shù)為

A.6B.5C.3D.2

二、填空題(本大題共6小題，每小題6分，共36分.請把答

案填在答題卡相應(yīng)題的橫線上.)

7.已知￡=(，〃,—1),b=(1,-2),若G+6_L0—力,則

ni=.

8.如圖，執(zhí)行右圖的程序框圖，輸出的T=.

9.已知奇函數(shù)/(x)在(YO,0)上單調(diào)遞減,且〃2)=0,

則不等式(x-1)?/。)v0的解集為.

(第8題圖)

11

10.求值:----------1---r=----------

cos70°V3sin250°

11.對任意實數(shù)x,y,函數(shù)/(x)都滿足等式/(x+y2)=/(x)+2/2(),),且/⑴工0,則/(2011)=.

12.在坐標(biāo)平面內(nèi)，對任意非零實數(shù)〃7,不在拋物線）=出￡+（2川+1）工一（36+2）上但在直線），二一工十1

上的點的坐標(biāo)為.

答題卡

一、選擇題（本大題共6小題，每小題6分，共36分.）

題號123456

答案

二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分.）

7.8.9.

10.11.12.

三、解答題（木大題共6小題，共78分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）

13.（本小題滿分12分）

為預(yù)防匕2病毒暴發(fā)，某生物技術(shù)公司研制出一種新流感疫苗，為測試該疫苗的有效性（若疫苗有效

的概率小于90%,則認(rèn)為測試沒有通過），公司選定2000個流感樣本分成三組，測試結(jié)果如下表：

A組B組C組

疫苗有效673XV

疫苗無效7790Z

已知在全體樣本中隨機抽取1個，抽到B組的概率是0.375.

（1）求X的值；

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全部測試結(jié)果中抽取360個，問應(yīng)在C組中抽取多少個？

（3）已知），>465,z>25,求該疫苗不能通過測試的概率.

14.（本題滿分12分）

已知函數(shù)/（x）=2cos2++sin2x.

（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；

（2）若/（a）=l,a￡（0,4），求a的值.

15.（本題滿分13分）

如圖，在直三棱柱ABC-AqG中，AC=BC=A4,=2,ZACB=90°,E,￡G分別是

AC,AA，A3的中點.

BA

E

(1)求證：耳G〃平面石尸G；

(2)求證：FG±AC,；

(3)求三棱錐用-EFG的體積.

16.(本題滿分13分)

已知函數(shù)f(x)=/一2x--+31.當(dāng)xt上,+8)時，記/(X)的最小值為q(f).

(1)求g(求的表達式;

(2)是否存在/vO,使得式。=式3?若存在，求出入若不存在，請說明理由.

t

17.(本題滿分14分)

已知圓M:2/+2y2-8九一8)，-1=0和直線/:戈+丁一9=0,點C在圓〃上，過直線/上一點A作

\MAC.

(1)當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為4且NMAC=45°時，求直線AC的方程；

(2)求存在點C使得ZMAC=45。成立的點A的橫坐標(biāo)的取值范圍.

18.(本題滿分14分)

在區(qū)間。上，若函數(shù)y=g(x)為增函數(shù)，而函數(shù)y=LgCv)為減函數(shù)，則稱函數(shù))，=&(》)為區(qū)間。

x

上的“弱增”函數(shù).已知函數(shù)f(x)=1—.

\/\+X

(1)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1］上是否為“弱增”函數(shù)，并說明理由；

(2)設(shè)X］,%￡［。,+8),工產(chǎn)七，證明|/(占)一/(芭)|<3卜2一%|；

(3)當(dāng)xe［0,l］時，不等式l—恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

2014年深圳市高中數(shù)學(xué)競賽決賽

參考答案

一、選擇題：CBADDC

二、填空題：7.±28.299.(-00-2)U(0,1)U(2,4-oo)

10.孚H.第12.(1,-1),(1,0),(-3,4)

J乙乙乙

三、解答題：

13.(本題滿分12分)

解：(1)因為在全體樣本中隨機抽取1個，抽到B組的概率0.375,

X+90

所以43=0.375,...........2分

2000

即x=660.......................3分

（2）C組樣本個數(shù)為y+z=2000—（673+77+660+90）=500,......................4

分

現(xiàn)用分層抽樣的方法在全部測試結(jié)果中抽取360個，則應(yīng)在C組中抽取個數(shù)為

當(dāng)"x500=90個.............7分

2（X）0

（3）設(shè)事件“疫苗不能通過測試”為事件M.

由（2）知），+z=500,且），,zeN,所以C組的測試結(jié)果中疫苗有效與無效的可能的情況有：

（465,35）、（466,34）、（467,33）、..（475,25）共11個.............9分

由于疫苗有效的概率小于90%時認(rèn)為測試沒有通過，所以疫苗不能通過測試時，必須有

673+660+），<09,..........................10分

2000

即673+660+y<1800,

解得yv467,

所以事件M包含的基本事件有：（465,35）、（466,34）共2個...............11分

2

所以尸（加）二百，

2

故該疫苗不能通過測試口勺概率為—...............12分

11

14.（本小題滿分12分）

ft?：/（x）=1+cos（2x+—）+sin2x.........................1分

6

7171

=1+cos2xcos-----sin2犬sin—+sin2x

66

]

=1+——cos2x+—sin2x..........................2分

22

=sin(2x+—)+1...........................4分

3

(1)/(x)的最小正周期為7=券=4；..........................5分

47171

又由2x+V￡[2A萬一」2k兀+-1，..........................6分

322

得龍￡伙乃一四次乃+2](AEZ),..........................7分

1212

從而f(x)的單調(diào)增區(qū)間為伙乃一；|M乃+￡Z).

..........................8分

7Tjr

(2)由/(a)=sin(2a+—)+1=1得sin(2a+—)=0,..........................9分

33

所以弓=%萬，?=---(keZ).

2a+..........................10分

326

又因為ae(0,4),所以。=工或網(wǎng).

..........................12分

36

15.(本題滿分13分)

解：(1)因為G、￡分別是48.AC的中點，所以GE〃BC.……1分

又B\CJIBC,所以gCJ/GE：..............2分

又GEq平面EFG,4G?平面EFG,

所以eG〃平面E尸G...............3分

(2)直三棱柱ABC-AqG中，因為NAC3=9O°,

所以3C_L平面A4CC；

又GE//BC,所以GE_L平面AACC，即GE_LAQ；..........5分

又因為AC=AA]=2,所以四邊形ACGA是正方形，即AG；..........6分

又瓦/分別是AC,A4的中點，所以E尸〃AC，從而有EF工AC1，..................7分

由EFcGE=E,所以AG，平面石尸G,即尸G_LHG?..................8分

(3)因為81G〃平面后/G,所以匕=匕-E尸G,..................10分

由于GE_L平面AAGC，所以匕JFFC=LS、FFC-GE,且GE=l3C=l..................11分

IIJ]LJ

又由于S&EFR=S正方形ACGA_S“EF—S5FG_S.ca=4_[_1..................12分

所以=-S^,.GE=--1=~,即匕...................13分

CJ-crC|3AcrXC|322B\一匕卜口?

16.(本題滿分13分)

解：(1)f(x)=x~-2x—1~+3f

=(x-l)2-t2+3t-\...................1分

①當(dāng)INI時，在X￡”,+8)時為增函數(shù)，所以

f(x)在xe[/,+8)時的最小值為“Q)=/?)=[；.................3分

②當(dāng)，＜1時，4。）=/⑴=-「+3/-1；..........5分

綜上所述，q（t）=],'（/~0...........6分

[-r+31（r＜l）

（2）由（1）知，當(dāng)，＜0時，q（t）=-t2+3t-\,

所以當(dāng)rvO時，t7（l）=-l+--l..........7分

trt

\1Q

由貝。二虱一）得：一/+3，一1二一--+--1,.........8分

trt

即3/+3r—1=0,.........9分

整理得（/一1）（產(chǎn)一3z+l）=0,.........11分

解得：，=±1或，=仝5

12分

又因為，＜(),所以，=一1.即存在，=T,使得式，)=貝1)成立..........13分

t

17.(本題滿分14分)

解：(1)圓M的方程可化為：(工-2)2+()，-2猿=口，所以圓心M(2,2),半徑廠二半.....1分

由于點4的橫坐標(biāo)為4,所以點4的坐標(biāo)為(4,5),即=..........2分

若直線4c的斜率不存在，很顯然直線AM與4C夾角不是45,不合題意,故直線AC的斜率

一定存在，可設(shè)AC直線的斜率為則AC的直線方程為y-5=&(x-4),即

心:一y+5-4Z=()..........3分

由于NAMC=450所以M到直線AC的距離為4=立|43|=運，此時4＜〃，即這樣的

22

點C存在...........4分

|2%-2+5-4川V26,|3-22|癡，，-，]

由^——7——[=—,得I1=3,解得攵=一5或〃=-...................5分

VFTT225

所以所求直線AC的方程為5x+y—25=0或x—5）-21=0...........6分

⑵當(dāng)|從加|二五/?時，過點A的圓M的兩條切線成直角，從而存在圓上的點C（切點）使得

ZMAC=45°...........7分

設(shè)點A的坐標(biāo)為（x,丁），則有

?J(x-2)2+(y—2尸=41-=Vf7,8分

x+y-9=0

,x=3-[%=6

解得《或^..........9分

y=6[y=3

記點（3,6）為尸，點（6,3）為。，顯然當(dāng)點A在

線段PQ上時，過A的圓的兩條切線成鈍角，從

而必存在圓上的一點C使得N/WAC=45'；……11分

當(dāng)點A在線段PQ的延長線或反向延長線上時，過

M

A的圓的兩條切線成銳角，從而必不存在圓上的

點。使得N/WAC=45'，13分

所以滿足條件的點4為線段P。上的點，即滿足條件的點A的橫坐標(biāo)取值范圍是［3,6］.……14分

18.（本題滿分14分）

解：（1）由/*（x）=l—rL可以看出，在區(qū)間（0J上，/（6為增函數(shù).

1分

J1+X

又：,/（幻=_1（1一1Vi+x-lx1

)=3分

xx7rhXJ1+XXJl+x(Jl+x+l)I+X+Jl+x

顯然一/（幻在區(qū)間（0,1］上為減函數(shù),

X

/（x）在區(qū)間（0,1］為“弱增”函數(shù).4分

]|_卜1+*。1+&|_

1|々一'|

(2)|/(x)-/(x,)|...6分

21