岳陽(yáng)市2025年高二教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19道題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)和姓名填寫在答題卡指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)交集定義求解.【詳解】或，故，故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目所給的關(guān)于的等式，運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法，計(jì)算出，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)的實(shí)部與虛部得到在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，判斷該點(diǎn)所在象限即可.【詳解】由可得：，因此，且在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故選：C.3.已知等差數(shù)列，，，則（）A. B.3 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】等差中項(xiàng)的性質(zhì)可轉(zhuǎn)化可求解【詳解】等差數(shù)列，，故選：A4.已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量的模為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，向量，所以向量在向量上投影向量的模為，故選：B.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角余弦公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t.故選：A.6.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，服從正態(tài)分布，，A選項(xiàng)：，，故，命題正確；B選項(xiàng)：，所以，命題正確；C選項(xiàng)：，，所以，命題正確；D選項(xiàng)：，，所以，命題錯(cuò)誤.故選：D7.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且滿足，，則線段中點(diǎn)到軸距離的最大值為（）A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】做輔助線，結(jié)合拋物線的定義可得，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，即可得結(jié)果.【詳解】取線段中點(diǎn)，設(shè)在準(zhǔn)線的投影分別為，則，可得，因?yàn)?，，由余弦定理可得，即，可得，解得，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)到軸距離的為，所以線段中點(diǎn)到軸距離的最大值為.故選：B.8.如圖，、、，是邊長(zhǎng)為4的正方形紙片的各邊中點(diǎn)，將紙片沿虛線剪開，折成一個(gè)正四棱錐（，，，四點(diǎn)重合于點(diǎn)），則此正四棱錐體積最大時(shí)，底面正方形的邊長(zhǎng)為（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則可表示出四棱錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)可求出最值.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，設(shè)正方形的中心為，連接，，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，所以（其中），所以四棱錐的體積．設(shè)，得．令，得，令，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即體積取得最大值．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第70百分位數(shù)為16B.已知隨機(jī)變量，若，，則C.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)測(cè)值減少1.5個(gè)單位D.已知隨機(jī)事件，，若，，，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義計(jì)算可判斷A；根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式計(jì)算可判斷B；根據(jù)回歸直線方程解析式可判斷C；由全概率公式，求得可判斷D.【詳解】對(duì)于A，該組數(shù)據(jù)共10個(gè)，則，所以第百分位數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，隨機(jī)變量，所以，，解得，，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程解析式可知，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)測(cè)值減少0.8個(gè)單位，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由全概率公式可得，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，稱為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.定積分的計(jì)算可以利用牛頓一萊布尼茲公式：，其中.又的幾何意義是函數(shù)的圖象和直線，及軸所圍成的圖形的有向面積（上方為正，下方為負(fù)），如圖，.下列說法正確的是（）A.B.C.D.若過函數(shù)上一點(diǎn)作切線，該切線與函數(shù)的曲線及軸圍成的圖形面積為，則此切線方程為：【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)定義即可求解A，根據(jù)幾何意義即可根據(jù)圓的性質(zhì)求解B，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性即可求解C，求解切線方程，結(jié)合所給定義即可求解D.【詳解】對(duì)于A,，故A正確，對(duì)于B，令，則，表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以半徑為的上半圓，故表示圓在第一象限的部分的面積，即為四分之一的圓的面積，故，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,由于函數(shù)，故函數(shù)為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此根據(jù)幾何意義可得，C正確，對(duì)于D,設(shè)函數(shù)的切點(diǎn)為，則，因此切線方程為，即，設(shè)切線與軸交于，則，過作軸的垂足為，則切線與函數(shù)的曲線及軸圍成的圖形面積為，則，則此切線方程為：，故D正確，故選：ACD11.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)為正方形（包括邊界）內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為四邊形的中心，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分B.的最小值為C.的最小值為D.若，則周長(zhǎng)的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用橢圓的定義可判斷；對(duì)于B，利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離最小，對(duì)于C，可用特值法排除；對(duì)于D，由題可知，點(diǎn)在以圓心，半徑為1的圓上，利用橢圓與圓相切時(shí)取最小可解.【詳解】對(duì)于A，，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分，故A正確；對(duì)于B，延長(zhǎng)，使，根據(jù)對(duì)稱性得，則，故B正確；對(duì)于C，易知當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)底面的中心為，則，又，所以，即點(diǎn)在以圓心，半徑為1的圓上，設(shè)中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)建立平面直接坐標(biāo)系，設(shè)時(shí)取最小，即在以為焦點(diǎn)的橢圓上，故相切時(shí)取最小，由對(duì)稱性可知，切點(diǎn)在軸時(shí)取得最小值，即，所以周長(zhǎng)的最小值為，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)是_____.【答案】【解析】【分析】利用乘法分配律及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求得系數(shù).【詳解】的通項(xiàng)公式，則的展開式中的系數(shù)是.故答案為：.13.已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其漸近線方程為，則此雙曲線的離心率_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程即可求解離心率.【詳解】由題意可設(shè)雙曲線的方程為，故，故答案為：14.已知，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____（用區(qū)間表示）.【答案】【解析】【分析】首先通過對(duì)數(shù)運(yùn)算法則對(duì)已知等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)值相等及單調(diào)性得到，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷其單調(diào)性來求解最小值.【詳解】，由于，則，設(shè)，則上式表明，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，進(jìn)而可得，，令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，要使恒成立，則恒成立，故，即故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，是的角平分線，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解，（2）利用等面積法，結(jié)合三角形面積公式以及余弦定理即可求解.【小問1詳解】由和正弦定理可得，，，由于,故.【小問2詳解】由于，故，又，綜合可得：，，解得或（舍去）的周長(zhǎng)為.16.在臨床上，病毒的感染十分常見.假設(shè)某人感染病毒的概率為.若感染病毒，檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為；若未感染病毒，檢測(cè)結(jié)果呈陰性的概率為.檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求某人病毒檢測(cè)結(jié)果呈陰性的概率；（2）現(xiàn)有4人參加此項(xiàng)病毒檢測(cè)，用，分別表示這4個(gè)人中病毒檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性和陰性的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列及均值.【答案】（1）（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）分別計(jì)算感染與未感染下檢測(cè)結(jié)果呈陰性的概率，再相加（2）找出Z的所有可能取值，再分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，得出分布列【小問1詳解】設(shè)某人感染病毒為事件，某人病毒檢測(cè)結(jié)果呈陰性為事件，則：依題意有：，..【小問2詳解】因?yàn)?，又，所以?，，設(shè)“這4個(gè)人中有人EB病毒檢測(cè)結(jié)果呈陰性”為事件由于與互斥，與互斥，故..024所以17.如圖，三棱柱中，，，分別為，和的中點(diǎn)，在上，且.（1）證明：平面；（2）若四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，，平面，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）只需證明平面平面，再結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，然后結(jié)合向量夾角的余弦公式即可求解.【小問1詳解】為中點(diǎn)，且，所以為的重心.連延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，則，且，所以為平行四邊形，有，又平面，平面，平面.同理為平行四邊形，有，又平面，平面，平面.，平面平面，又平面，平面.【小問2詳解】面，如圖以為原點(diǎn)，的中垂線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，則，又，，設(shè)面的法向量為，，.直線與面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)的最大值；（3）證明：，【答案】（1）（2）的最大正整數(shù)為（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，結(jié)合點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，只需，在時(shí)，可得出，再構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出的最大整數(shù)值；在時(shí)，結(jié)合單調(diào)性驗(yàn)證即可，綜合可得出的最大整數(shù)值；（3）由（2）可得，可得出，再利用不等式的基本性質(zhì)以及等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，則切點(diǎn)為，，的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，即.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，；，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)取得最小值，只需，令，其中，，在單調(diào)遞減，又，，存在，使得，只要，恒成立，的最大正整數(shù)為3.當(dāng)時(shí)，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，恒成立.綜上，的最大正整數(shù)為.【小問3詳解】由（2）可知，時(shí)，恒成立①，又時(shí)，，令，由①有，，即.19.已知橢圓，我們稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓為橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的離心率為，上的點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的最大距離為3.（1）求橢圓的方程及橢圓的“準(zhǔn)圓”方程；（2）已知點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，，證明：；（3）過橢圓的上頂點(diǎn)作的兩條切線，與橢圓分別交于，兩點(diǎn).問：是否存在，使得直線與之相切，若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1），（2）證明見解析（3）存在，.【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率及點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離列式計(jì)算求出，即可求出橢圓方程及準(zhǔn)圓方程；（2）設(shè)切線方程，聯(lián)立直線及橢圓方程計(jì)算判別式為0，即可求出斜率乘積為，即可證明；