樂(lè)山市普通高中2027屆高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的位置判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選：A.2.下列說(shuō)法正確的是（）A.若為單位向量，則 B.若為平行向量，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】由向量相等的概念進(jìn)行判斷即可.【詳解】由向量相等的概念可知且方向相同.對(duì)A：為單位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：平行向量，不能說(shuō)明，也不能說(shuō)明方向相同，所以不能說(shuō)明，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：僅，不能說(shuō)明，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，則正確，故D正確.故選：D3.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論中正確的是（）A.相等的線段在直觀圖中仍然相等 B.平行的線段在直觀圖中仍然平行C.垂直的線段在直觀圖中仍然垂直 D.相等的角在直觀圖中仍然相等【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)法的規(guī)則對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】首先分析斜二測(cè)畫法的規(guī)則：斜二測(cè)畫法中，平行性不變，即平行的線段在直觀圖中仍然平行；對(duì)于線段長(zhǎng)度，軸方向線段長(zhǎng)度不變，軸方向線段長(zhǎng)度減半，所以相等的線段在直觀圖中不一定相等；原來(lái)垂直的線段，在直觀圖中不一定垂直，比如平面直角坐標(biāo)系中垂直的軸和軸，在斜二測(cè)畫法中軸成45°（或135°）角，不再垂直；相等的角在直觀圖中不一定相等，比如平面直角坐標(biāo)系中90°的角，在斜二測(cè)畫法中可能變成45°或135°等.故選：B.4.小王參加射擊比賽考核，每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，規(guī)定若第一次命中，才能進(jìn)入第二次射擊，且這兩次射擊相互獨(dú)立．第一次未命中得0分，僅第一次命中得10分，兩次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（）A.0.16 B.0.64 C.0.8 D.0.96【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合對(duì)立事件概率公式計(jì)算求解.【詳解】第一次未命中得0分，僅第一次命中得10分，兩次都命中可得20分，那么小王此次考核得分低于10分的概率是，則小王此次考核得分不低于10分的概率是.故選：C.5.下列命題中正確的有（）個(gè)①過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這個(gè)平面垂直②過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線平行③如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面④垂直于同一條直線的兩條直線平行A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】對(duì)于①②，可直接進(jìn)行判斷；③可假設(shè)平面內(nèi)存在直線垂直于平面，推出矛盾，得到③正確；④可舉出反例.【詳解】①過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這個(gè)平面垂直，正確；②過(guò)直線外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行，錯(cuò)誤；③假設(shè)平面內(nèi)存在直線垂直于平面，則可以推出平面垂直于平面，所以假設(shè)不成立，故③正確；對(duì)于④，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，也可能相交或異面，錯(cuò)誤.故選：B．6.某班級(jí)對(duì)60名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績(jī)分布如下表：分?jǐn)?shù)段人數(shù)61218159則這次測(cè)試成績(jī)的第80百分位數(shù)是（）A.84 B.85 C.88 D.92【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出各組的頻率，根據(jù)百分位數(shù)的求解方法，即可求得答案.【詳解】由題意可知，，，，的頻率依次為：，由于，故這次測(cè)試成績(jī)的第80百分位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)為x，則，解得，故選：C7.函數(shù)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為，相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意先確定函數(shù)的最小正周期，即可求出，利用點(diǎn)的坐標(biāo)可求出，即可得答案.【詳解】由題意函數(shù)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為，相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)坐標(biāo)為，可得函數(shù)最小正周期為，故，且，即，將代入得，即，則，即，結(jié)合選項(xiàng)可知，故選：D8.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)．則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】?jī)蓛纱怪?，三棱錐外接球就是以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球，從而求出外接球半徑，得到表面積.【詳解】顯然，兩兩垂直，其中，故三棱錐外接球就是以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球，故外接球半徑為，故三棱錐外接球表面積為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列推斷正確的是（）A.A，B，，A，B，，且A，B，C不共線重合B.C.已知平面和直線l有交點(diǎn)，則“直線l與平面垂直”是“平面內(nèi)存在兩條夾角為的直線m，n，使得且”的充要條件D.已知m，l是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的有關(guān)公理、定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A．有三個(gè)不共線的點(diǎn)在平面中，重合，故A正確對(duì)于B．若，則有，但，故B錯(cuò)誤對(duì)于C．若直線l與平面垂直，則l垂直內(nèi)的任意一條直線，若平面內(nèi)存在兩條夾角為的直線m，n，則且，故充分性成立；若平面內(nèi)存在兩條夾角為的直線m，n，使得且，由線面垂直的判定定理可知直線l與平面垂直，故必要性成立；所以“直線l與平面垂直”是“平面內(nèi)存在兩條夾角為的直線m，n，使得且”的充要條件．故C正確．對(duì)于D．，則，又，設(shè)過(guò)的平面與平面的交線為，則則，所以，故D正確.故選：ACD10.設(shè)向量，下列說(shuō)法正確的是（）A.若時(shí)，則 B.與垂直C.若時(shí)，則 D.若時(shí)，在上的投影向量為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系判斷A，應(yīng)用數(shù)量積公式及模長(zhǎng)公式計(jì)算判斷B，應(yīng)用向量夾角余弦公式計(jì)算判斷C，應(yīng)用投影向量公式計(jì)算判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，A選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以與垂直，B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11.在對(duì)某中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生體重（單位：kg）的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)的比例用分層隨機(jī)抽取90名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量．已知抽取的男生體重的平均數(shù)和方差分別為54，20，抽取的女生體重的平均數(shù)和方差分別為45，11，則（）A.抽取的男生有50人B.抽取的女生有50人C.估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生體重的平均數(shù)為50D.估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生體重的方差為36【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣確定抽取的男生及女生判斷A，B，再應(yīng)用分層抽樣得出平均數(shù)及方差計(jì)算求解判斷C，D.【詳解】按男、女生人數(shù)的比例用分層隨機(jī)抽取90名學(xué)生抽取的男生有人，抽取的女生有人，故A正確，B錯(cuò)誤；由分層隨機(jī)抽樣樣本平均數(shù)公式可得，根據(jù)分層隨機(jī)抽樣樣本方差公式，故C正確，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.計(jì)算:________．【答案】1【解析】【分析】先利用平方差公式展開，再結(jié)合即可.【詳解】.故答案為：113.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息（如圖），這些石凳是14個(gè)面的半正多面體，如果石凳的棱長(zhǎng)為1，則石凳的表面積是________，體積是________．【答案】①.②.##【解析】【分析】弄清楚正方形和正三角形的個(gè)數(shù)，求其表面積；弄清楚幾何體的構(gòu)造，利用正方體的體積求該幾何體的體積.【詳解】石凳的表面是由6個(gè)正方形和8個(gè)正三角形構(gòu)成，其邊長(zhǎng)均為1，所以其表面積為：.如圖：該幾何體是由正方體截去8個(gè)一樣的三棱錐得到的，且正方體的棱長(zhǎng)為，截去的小三棱錐的體積為：.所以該幾何體的體積為：.故答案為：；14.已知梯形ABCD，點(diǎn)P是梯形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則三角形面積為________．【答案】##【解析】【分析】先確定梯形ABCD的具體形狀，再確定的準(zhǔn)確位置，即可求面積.【詳解】如圖：在梯形中，因?yàn)?，所?取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，.由得.所以中點(diǎn).如圖：因?yàn)?，所以，，，所?故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟.15.若某袋中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，記事件“第一次摸到紅球”，事件“第二次摸到紅球”．（1）求和的值；（2）求兩次摸到的不都是紅球的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用首先計(jì)算樣本容量，再計(jì)算事件和包含的樣本點(diǎn)，即可求解；（2）利用對(duì)立事件概率公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】將兩個(gè)紅球編號(hào)為1，2，三個(gè)黃球編號(hào)為3，4，5．第一次摸球時(shí)有5種等可能的結(jié)果，對(duì)應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，第二次摸球時(shí)都有4種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對(duì)，組成20種等可能的結(jié)果，第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種，即，所以．第二次摸到紅球的可能結(jié)果也有8種，即，所以．【小問(wèn)2詳解】事件“兩次摸到都是紅球”包含2個(gè)可能結(jié)果，即，則兩次摸到都是紅球的概率，故兩次摸到的不都是紅球的概率．16.《哪吒之魔童鬧?！纷陨嫌骋詠?lái)，票房一路高歌猛進(jìn)，截至2025年5月，票房已突破158億．根據(jù)燈塔數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)，某團(tuán)隊(duì)隨機(jī)抽取1000人為樣本，統(tǒng)計(jì)他們的年齡，并繪制如下的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組數(shù)分組頻數(shù)第一組100第二組第三組250第四組300第五組第六組50（1）請(qǐng)求出各年齡段頻數(shù)分布表中的值，并補(bǔ)全各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖；（2）試估計(jì)觀眾年齡的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)（每組年齡用中間值代替）．【答案】（1），，直方圖見解析（2）眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算頻率，進(jìn)而可得到頻數(shù).（2）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】第二組的頻率為，，，補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：【小問(wèn)2詳解】觀眾年齡的眾數(shù)為，設(shè)年齡的中位數(shù)為，，中位數(shù)位于.則，解得，年齡的平均數(shù).17.的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）求C；（2）若，邊AB上的高為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)，再應(yīng)用二倍角正弦計(jì)算求出角；（2）應(yīng)用面積公式求出，再結(jié)合余弦定理求出邊即可得出周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】，，，，即，，或；【小問(wèn)2詳解】，，邊AB上的高為，，則，又由余弦定理得，，又，或，的周長(zhǎng).18.如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過(guò)和的平面交于，交于．（1）求證：；（2）求證：；（3）設(shè)與平面所成角為，且．求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先用線面平行判定定理證明平面，再用線面平行的性質(zhì)定理即可；（2）先用線面垂直的判定定理證明平面，再根據(jù)線面垂直的定義得出，結(jié)合，可得；（3）先找到直線與平面所成的角，用余弦定理求出，再根據(jù)線面垂直判定定理得出平面，找到棱錐的高，計(jì)算底面梯形的面積，最后根據(jù)錐體體積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】證明：四邊形是矩形，又中平面，平面，平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，【小?wèn)2詳解】在等邊中，為中點(diǎn)，側(cè)面為矩形，．又，平面平面平面，又，.【小問(wèn)3詳解】過(guò)作的垂線，垂足為，由（1）（2）可知平面，平面又平面，又，且兩直線在平面內(nèi)，平面，又，則就是與平面所成的角，，在中由余弦定理可得，所以，易知，即為的中點(diǎn)，，又且，且兩直線在平面內(nèi)，平面，四邊形為梯形且，平面，.19.（1）敘述正弦定理；（2）用向量法證明正弦定理（以銳角三角形為例）；（3）類比上述方法，解決以下問(wèn)題：如圖，直線l與的邊AB，AC分別相交