2024—2025學年湖南省永州市永華高級中學高三下學期三月月考數(shù)學試卷

一、單選題(★)1.設集合，則（）

A．B．C．D．(★)2.二項展開式中，有理項的項的個數(shù)是

A．3B．4C．5D．6(★★★)3.設甲：，乙：，則（）

A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件(★★★)4.復數(shù).若，則（）的值與a、b的值無關.

A．B．C．D．(★★★)5.設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）

A．B．C．D．(★★★)6.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則錯誤的是（）

A．B．C．D．(★★★)7.雙曲線的左、右焦點分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為P．已知，直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（）

A．B．2C．D．3(★★★★)8.已知數(shù)列的各項均為實數(shù)，為其前n項和，若對任意，都有，則下列說法正確的是（）

A．為等差數(shù)列，為等比數(shù)列B．為等比數(shù)列，為等差數(shù)列C．為等差數(shù)列，為等比數(shù)列D．為等比數(shù)列，為等差數(shù)列二、多選題(★★★)9.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為，則（）．

A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側面積為C．D．的面積為2(★★★)10.在中，角，，所對的邊分別為，，，給出下列命題，其中正確的命題為（）．

A．若，則；B．若，，，則滿足條件的有兩個；C．若，則是銳角三角形；D．存在角，，，使得成立；(★★★★)11.設，函數(shù)，則（）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞減；B．當時，存在最大值；C．設，則；D．設．若存在最小值，則a的取值范圍是．三、填空題(★★)12.的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，已知，，則_______.(★★★)13.在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為______．(★★★)14.已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則ab等于______.四、解答題(★★★)15.已知等差數(shù)列的前n項和為，且.(1)求實數(shù)k的值和；(2)設，且數(shù)列的前n項和為，證明：.(★★★)16.2023年6月7日，21世紀汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求和，并判斷事件和事件是否獨立；(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設：假設1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設2：按結果的可能性大小，概率越小獎項越高；假設3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；請你分析獎項對應的結果，設為獎金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學期望．(★★★)17.如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，到平面的距離為1．(1)求AC的長；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．(★★★★★)18.已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點