2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

橢圓

一、單選題

1.(2024北京石景山高三一模)對(duì)于曲線C:x-2+p2=i,給出下列三個(gè)命題：

①關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；

②曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2；

③曲線C與曲線忖+|"=3有四個(gè)交點(diǎn).

其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

二、解答題

2.(2025北京通州高三一模)已知橢圓E：，+/=l(a>b>0)的離心率為5，點(diǎn)/(-2,0)在橢圓￡上.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)若過(guò)N的直線/(斜率不為0)與橢圓￡的另一個(gè)交點(diǎn)為3,線段中點(diǎn)為“，射線0加交橢圓￡于點(diǎn)

N,交直線x=-2于點(diǎn)0.求證：

3.(2025北京東城高三一模)已知橢圓E：W+，=l(a>6>0)過(guò)點(diǎn)(0,1),離心率為告，E上的點(diǎn)

A(m,n)(n豐0)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為3.設(shè)。為原點(diǎn)，OH=AO4(0<A<1),過(guò)點(diǎn)H與x軸平行的直線交E于

點(diǎn)尸。

⑴求橢圓E的方程；

(2)若點(diǎn)8在以尸。為直徑的圓上，求彳的值.

丫22

4.(2025北京房山高三一模)已知橢圓氏斗+卓=1(。>6>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,一個(gè)焦點(diǎn)為尸。,0).

(1)求橢圓E的方程及離心率；

(2)過(guò)點(diǎn)尸且斜率存在的直線交橢圓E于42兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)可，使得不①=扁？若存在，

求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

5.(2025北京西城高三一模)已知橢圓￡:1+/=1(。>6>0)的離心率為g,A為橢圓E上一點(diǎn)，且點(diǎn)

A到橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于2底.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)若A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為3,過(guò)點(diǎn)A與48垂直的直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,軸于點(diǎn)H,

直線5c與x軸交于點(diǎn)用邑so”與《/耽分別表示ABOM與的面積，證明：S^BOM=2s4AOH?

6.(2025北京順義高三一模)已知橢圓￡：(+r=15>%>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為/(-2,0),離心率為等.

(1)求￡的方程和短軸長(zhǎng)；

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（2）直線/：了=丘+1與E相交于不同的兩點(diǎn)3,C,直線/C分別與直線x=4交于點(diǎn)M,N.當(dāng)|〃N|=6

時(shí)，求左的值.

22

XV=l（a>6>0）過(guò)點(diǎn)（2,0）,短軸長(zhǎng)為

7.（2025北京石景山高三一模）已知橢圓C:/十萬(wàn)4.

⑴求橢圓C的方程；

（2）橢圓C與7軸的交點(diǎn)為A,B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線/：>=履+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,

N.設(shè)直線MV與直線BM相交于點(diǎn)G.試問(wèn)點(diǎn)G是否在某定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)

明理由.

22

8.（2025北京海淀高三一模）已知橢圓沙:?+齊=1（。>6>0）,A,3分別是平的左、右頂點(diǎn)，C是少的

上頂點(diǎn)，V/BC的面積為2,且|/C|=否.

（1）求橢圓W的方程及長(zhǎng)軸長(zhǎng)；

⑵已知點(diǎn)M（2,l）,點(diǎn)P在直線/C上，設(shè)直線尸”與x軸交于點(diǎn)E,直線BP與直線EC交于點(diǎn)。，判斷點(diǎn)。

是否在橢圓印上，并說(shuō)明理由.

9.（2025北京門(mén)頭溝高三一模）已知橢圓￡:/+[=1（。>6>0）的一個(gè)頂點(diǎn)為40,1）,離心率為等.

⑴求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸（2,1）作斜率為左的直線與橢圓石交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線NC分別與x軸交于點(diǎn)N,

點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為。，求證：四邊形PMQN為菱形.

丫2v2

10.（2025北京豐臺(tái)高三一模）已知橢圓+方=1（“>6>0）,以E的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂

點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且面積為1.

（1）求橢圓￡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸（2,0）的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)過(guò)“作直線x=l的垂線，垂足為。.求證：直線N。過(guò)

定點(diǎn).

22

11.（2025北京朝陽(yáng)高三一模）已知橢圓:5+4=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸（1,0）,離心率為;.

ab2

（1）求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)“（4,0）作直線/與橢圓￡交于不同的兩點(diǎn)a反設(shè)c1U，直線8c與直線x=l交于點(diǎn)N,求證:

直線/N的斜率為定值.

12.（2025北京平谷高三一模）已知橢圓C：W+（=l（a>6>0）的離心率為母，短軸長(zhǎng)為2,斜率為人的

直線/與橢圓C交于42兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)A關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，直線BO與V軸交于點(diǎn)G,。

為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

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⑵求|OE|?|OG|的值.

22

13.(2025北京延慶高三一模)已知橢圓￡:=+與=1(°>6>0)的左，右頂點(diǎn)分別為4,B,且|AB|=4,

ab

離心率為由.

2

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是直線x=4上不同于點(diǎn)。的一點(diǎn)，直線3P與橢圓￡交于點(diǎn)直線

與直線x=4交于點(diǎn)N,判斷是否存在點(diǎn)尸，使得NPAN=NQMN?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

說(shuō)明理由.

22

14.(2024北京房山高三一模)已知橢圓氏=+三=1(">6>0)的離心率為:，左焦點(diǎn)為片(-L0),過(guò)力的

ab2

直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦48的中點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)M不與O,片重合.

⑴求橢圓E的方程；

(2)若尸是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且。尸的長(zhǎng)度為2,求四邊形。4PB面積的取值范圍.

15.(2024北京朝陽(yáng)高三一模)已知橢圓E：[+/=l(a>6>0)的離心率為A,5分別是E的左、

右頂點(diǎn)，P是￡上異于43的點(diǎn)，A4P3的面積的最大值為2收.

⑴求￡的方程；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，點(diǎn)N在直線x=2上，N,尸分別在x軸的兩側(cè)，且尸8與△NS尸的面積相等.

(i)求證：直線ON與直線NP的斜率之積為定值；

(ii)是否存在點(diǎn)尸使得△/尸8絲△A?尸，若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

16.(2024北京海淀高三一模)已知橢圓G:/+⑺2=切的離心率為號(hào),4,出分別是G的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)

是G的右焦點(diǎn).

⑴求班的值及點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)設(shè)尸是橢圓G上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在直線x=2上，且尸尸，尸0,直線尸。與x軸交于點(diǎn)M比較1Mpl2

與4HM4?|的大小.

17.(2024北京西城高三一模)已知橢圓G:1+<=l(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為-2,0),離心率為.

(1)求橢圓G的方程；

⑵設(shè)O為原點(diǎn).直線/與橢圓G交于C,。兩點(diǎn)(C,。不是橢圓的頂點(diǎn))，/與直線x=2交于點(diǎn)E,直線NC,ND

分別與直線交于點(diǎn)求證：|(W|=|0N|.

22萬(wàn)

18.(2024北京東城高三一模)已知橢圓0:^+方=l(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為26，離心率e=三.

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/是圓/+/=1的一條切線，且直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)，若平行四邊形

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OMPN的頂點(diǎn)P恰好在橢圓C上，求平行四邊形OMPN的面積.

19.（2024北京門(mén)頭溝高三一模）已知橢圓及W+g.=l（a>z>>0）的離心率為立，橢圓E的上頂點(diǎn)

ab2

為/,右頂點(diǎn)為B,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，YAOB的面積為2.

⑴求橢圓E的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)P（2,0）且不過(guò)點(diǎn)0（3,1）的直線/與橢圓E交于M,N兩點(diǎn)，直線MQ與直線x=4

交于點(diǎn)C,試判斷直線CN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（2024北京石景山高三一模）已知橢圓C:]+方=1（。>6>0）的離心率為竽，短軸長(zhǎng)為2后.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線44,直線4與橢圓相切于第三象限內(nèi)的點(diǎn)G,直線《交橢

圓C于兩點(diǎn).=\PM\-\PN\,判斷直線與直線OG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

22

21.（2024北京豐臺(tái)高三一模）已知橢圓E:三+4=1（。>6>。）的焦距為4正，以橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)為頂

ab

點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為16.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)S（0,l）的直線/交橢圓E于P,。兩點(diǎn)，線段尸。的中點(diǎn)為是否存在定點(diǎn)。，使得耨=g?若

存在，求出。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（2024北京延慶高三一模）已知橢圓E:=+與=l（a>b>0）的離心率為"，4C分別是E的上、下頂

ab2

點(diǎn)，\AC\=2,民。分別是E的左、右頂點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)尸為第二象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線尸。與直線BC交于點(diǎn)W,直線8P與直線CD交于點(diǎn)N,求證：

MNLBD.

23.（2023北京門(mén)頭溝高三一模）已知橢圓C:旦+小=l（a>>0）的離心率為g,長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)為4-2,0）.

a1b2

（1）求。的方程；

（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的任一直線/與橢圓C分別相交于N兩點(diǎn)，且/M,/N與直線x=4,分別相交于

D,E兩點(diǎn)，求證：以DE為直徑的圓恒過(guò)x軸上定點(diǎn)，并求出定點(diǎn).

24.（2023北京延慶高三一模）已知橢圓M：W+￡=l（a>6>。）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0」），離心率為M與x軸

交于兩點(diǎn)/（凡0）,5（-a,0）,過(guò)點(diǎn)C的直線/與M交于另一點(diǎn)。，并與x軸交于點(diǎn)尸，直線/C與直線此交

于點(diǎn)Q.

⑴求橢圓M的方程；

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(2)設(shè)。為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸異于點(diǎn)8時(shí)，求證：。尸.。。為定值.

22

25.(2023北京順義高三一模)已知橢圓C:二+2=1(。>6>0)過(guò)點(diǎn)/(0,2)和8(0,-2),且.=也/).

ab

⑴求橢圓C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)。(0,1)斜率為左的直線/交橢圓C于MN,直線分別交直線v=f(-2</<2)于點(diǎn)尸,0.若

\DP\=\DQ\,求才的值.

22

26.(2023北京海淀高三一模)己知橢圓：￡：4+與=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,上、下頂點(diǎn)

ab

分別為瓦,與，\B}B2\=2,四邊形444旦的周長(zhǎng)為4癡.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)設(shè)斜率為左的直線/與x軸交于點(diǎn)尸，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)N,點(diǎn)M關(guān)于了軸的對(duì)稱點(diǎn)為AT、

直線MN與y軸交于點(diǎn)Q.若△。尸。的面積為2,求左的值.

27.(2023北京房山高三一模)已知橢圓E：W+/=l(a>6>0)過(guò)點(diǎn)3(0/)，且離心率為日

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與橢圓E相切，過(guò)點(diǎn)”(1,0)作直線/的垂線，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ION|為定值.

28.(2023北京西城高三一模)已知橢圓C:f+2/=2,點(diǎn)48在橢圓C上，且。/_LO8(O為原點(diǎn)).設(shè)

NB的中點(diǎn)為射線。河交橢圓C于點(diǎn)N.

(1)當(dāng)直線48與x軸垂直時(shí)，求直線48的方程；

⑵求借的取值范圍?

22

29.(2023北京朝陽(yáng)高三一模)已知橢圓￡:、+匕=1(0<〃<4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(亞,1).

(1)求橢圓E的方程及離心率；

(2)設(shè)橢圓￡的左頂點(diǎn)為力,直線/：X=叼+1與E相交于N兩點(diǎn)，直線與直線》=4相交于點(diǎn)0.問(wèn):

直線NQ是否經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.

30.(2023北京東城高三一模)已知橢圓￡：,+《=1(°>6>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為4(0,1),離心率《=中.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸卜6,1)作斜率為左的直線與橢圓￡交于不同的兩點(diǎn)3,C,直線/C分別與x軸交于點(diǎn)跖N.

設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為。，求\扁MD的\值.

22

31.(2023北京豐臺(tái)高三一模)已知橢圓￡:=+[=1(°>6>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為4(0,1),焦距為2.

ab

(1)求橢圓￡的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(2,0)的直線與橢圓￡交于￡C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。分別作直線/:x=f的垂線(點(diǎn)2,C在直線/的

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兩側(cè)).垂足分別為M,N,記ABMP,/\MNP,ACNP的面積分別為S],S2,S3,試問(wèn)：是否存在常數(shù)3

使得H，；星，邑總成等比數(shù)列？若存在，求出/的值.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

32.(2023北京石景山高三一模)已知橢圓C:且離心率為，

⑴求橢圓C的方程；

,、\PM網(wǎng)

⑵過(guò)點(diǎn)尸(-1,1)且互相垂直的直線4,4分別交橢圓C于",N兩點(diǎn)及兩點(diǎn).求向才的取值范圍.

33.(2023北京平谷高三一模)已知橢圓E:]+，=l(a>6>0)經(jīng)過(guò)/(-2,0),4-1,|]兩點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)2(-2,1)

的直線橢圓交￡于M,N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于y軸的直線與線段交于點(diǎn)T,點(diǎn)“滿足而=而.

(1)求橢圓￡的方程：

(2)證明：直線過(guò)定點(diǎn).

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參考答案

1.C

【分析】分析兩個(gè)曲線的對(duì)稱性，并結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合，即可判斷①③，利用基本不

等式，即可判斷②.

【詳解】①將曲線C：<2+y-2=i中的X換成一X,將y換成-y,方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且關(guān)

于尤軸和了軸對(duì)稱，故①正確;

②設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為P(xj)

/+/=,2+/)&+；12+g+42+2/*=4,

22

當(dāng)看=餐，即尤2=必=2時(shí)，等號(hào)成立，

xy

所以后壽22,曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于2,故②正確；

③曲線國(guó)+帆=3中的x換成-x,將V換成一乙方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且關(guān)于x軸和V軸對(duì)

稱，并且將x換成V,V換成x,方程不變，所以曲線也關(guān)于〉=》對(duì)稱，

曲線+中，且Q1,將曲線中的x換成幾了換成“，方程不變，所以曲線

c也關(guān)于y=x對(duì)稱，

---1---=1

當(dāng)x>0)>0時(shí)，聯(lián)立彳/y2,得x=y=也，

j=x

當(dāng)X>0/>0時(shí)，y=，當(dāng)X>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

因?yàn)檠?血<3,所以點(diǎn)(也，后)在直線x+y=3的下方，如圖，在第一象限有2個(gè)交點(diǎn)，

根據(jù)兩個(gè)曲線的對(duì)稱性可知，其他象限也是2個(gè)交點(diǎn)，則共有8個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是③的判斷，判斷的關(guān)鍵是對(duì)稱性的判斷，以及將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，判

斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

2

2.⑴氏)+/=1

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（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)離心率和。=2即可結(jié)合仇c的關(guān)系求解,

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得〃［年號(hào),京進(jìn)而可得^=署［以及。［2,「

即可結(jié)合向量的數(shù)量積以及兩點(diǎn)距離公式化簡(jiǎn)求解.

'cV3

e=—=——

a2

【詳解】（1）根據(jù)題意可知，4=2,解得a=2,c=6,6=l,

a2-b2=c2

丫2

故橢圓方程為E:土+/=1

4

2

（2）設(shè)直線/:了=后（》+2）,（左NO）,聯(lián)立/：＞=左（》+2）與￡：?+/=i的方程可得

（4左2+l）x?+16左?x+16左2-4=0,

2

設(shè)8（下,%），則孫+%=-\6k-X"+X]-3k

2止+f

一財(cái)2k-8左22k

故加=左+2,故M

4左2+14r+14k2+V4k2+l'

2k

k=4.+11

OM一8kz4k

4F+1

故直線。”的方程為y=-［x,

4k

2

1N16k2

聯(lián)立'=一R與橢圓方程可得寧+=1,解得右=

4k2+1'

在直線y=_±x中，令尤=-2,貝，故。-J,

4k2k

一842116左？+1

故10M|。0=南.詼=-2x.2k

4F+12k4/C2+1-4二+1，

11164216/+1

W=4+4kXN1+16左2）4左2+1—412+1

故|ON「=1。閭

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*

【分析】（1）由橢圓"+，=1過(guò)點(diǎn)（0,1）可求出6=1,由離心率為坐及橢圓中a2=〃+c2,可求得/=3,

即可得到橢圓方程；

（2）先由條件得到民”的坐標(biāo)，再得到過(guò)H的直線方程，代入雙曲線得到尸，。的坐標(biāo)，進(jìn)而得到以尸。為

直徑的圓的方程，再利用點(diǎn)B既在圓上，又在橢圓上，化簡(jiǎn)整理即可求出X的值.

22

【詳解】⑴因?yàn)闄E圓E京+%=1（°>6>0）過(guò)點(diǎn)（0,1）,

所以/1,即X.

因?yàn)闄E圓的離心率為逅

,所以C

3a

又因?yàn)闄E圓中a2=〃+c2,代入可得a2

2

解得/=3,所以橢圓的方程為二+/=1；

3

（2）

如圖所示，因?yàn)锳關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B,A（m,n）,所以8（嘰-〃）,

因?yàn)辂愃喳?（/1加,筋），所以〃（2刃,2"）,

所以過(guò)點(diǎn)石與x軸平行的直線為>=而，

丫2

將直線y=^n代入橢圓方程土+/=1,

3

2

可得（+（2”y=l,BPX2=3（1-A2H2）,

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所以尸?3（1_萬(wàn)叫,弱），0卜如1一儲(chǔ)叫,沏卜

所以以尸。為直徑的圓的圓心為（0,4〃），半徑為網(wǎng)_萬(wàn)吟,

所以圓的方程為f+（尸加）2=3（1-%此，

因?yàn)辄c(diǎn)8在圓上，所以療+（一n-訓(xùn)2=30_%”2）,

即m2+〃2（1+a）?=3-3%麓2（*）,

2

又因?yàn)辄c(diǎn)5在橢圓上，所以2+"2=1,即/=3（1--2）,

代入（*）可得3（1-?2）+?2（1+2）2=3-3%〃2,

化簡(jiǎn)后可得2儲(chǔ)+彳-1=0,解得2=工或2=-1（舍），

2

所以人上

2

4.⑴工+片=1,離心率;；

432

（2）存在，（4,0）,

【分析】（1）由題意確定橢圓參數(shù)值，即可得橢圓方程，進(jìn)而得到離心率；

（2）設(shè)直線的方程為歹=左卜-1）,A（X1,yi）,S（x2,y2）,聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理得

芯+/=0^,王工2="二?，法一：根據(jù)面積比得到N/"F=N3MF，即直線的斜率與直線的

123+4后2'I?3+4左2

\AM\y.一

斜率互為相反數(shù)，列方程求得機(jī)=4；法二：根據(jù)面積比得扁=」，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式并整理求得"7=4,

\BM\必

即得結(jié)論.

【詳解】（1）由題意，得24=4,c=l,所以62=/一02=3.

22r1

所以橢圓E的方程為土+匕=1,離心率e=￡=

43a2

（2）設(shè)直線的方程為〉=左卜一1）（顯然左30）,點(diǎn)M（〃z,0）,

y=

設(shè)4（西，%），8（工2，%），聯(lián)立方程2,

——+—=1

[43

整理得（3+4k2）x2-8k2x+4左之一12=0.

8k24F-12

所以再+

4=3T4F,X,X2=I74F,

|FA小|皿sinAAMF

法一：因?yàn)楫a(chǎn)_AMsmAAMF

、xBFM|x|FM|x|5M|sinNBMF員MsinNBMF

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S川“\AM\

又產(chǎn)乙=匕W，所以sin/NMF=sin/8〃F.

S.BFM\BM\

所以N/MF=ZBMF,直線AM的斜率與直線BM的斜率互為相反數(shù).

設(shè)直線的斜率為左，直線的斜率為左2，

/月=?+上-=。，整理可得迎一”以西；嘰0,

xx-mx2-m-m)yx2-m)

k[xx-l)(x2-m)+A:(x2-1)(^-m)=0,因?yàn)樽體O,

所以(項(xiàng)一I//_加)+(工2-1乂再一加)=0,2x^2-(m+1)(^+x2)+2m=0,

BP2x———^-p--(m+1)x—―z-+2m=0，解得加=4.

3+4左21)3+4左2

所以點(diǎn)"的坐標(biāo)(4,0).

xwx又一=回

法二：因?yàn)闆_2llhl_%

xxS-BFM\BM\

、△BFM|l?lhl卜

的”四=2LsnJ(占一加丫+」；=2L(XL/+才=j￡

所以忸必一力’用了「mj+y［五'

國(guó)一行+左小廳=左2區(qū)_1）2

所以/\27772/1\29且后。0,

6-加）+k（x2-1）k（x2-1）

整理得（X2-1）2（%1-m）2=區(qū)一1）2（%2—冽）2，

則［（%2—1）（石一加）一（石一1）（%2一加）］［（工2一1）（石一加）+（石一1）（%2一加）］=0,

而（X2T）（再一加）一（再一1）（工2-加）=（加T）（再一%），顯然加工1,占一工2，

所以（入2—1）（再一冽）_（項(xiàng)_1）（工2—次）W0，

故-1）（^1_加）+（石-l）（x2-m）=2XJX2_（加+1）（玉+x2）+2m=0,

Air2-174“2

所以2x------------（m+1）x------------z—l-2m=0,解得加=4.

3+4左2、）3+4左2

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)(4,0).

5.⑴*口

(2)證明見(jiàn)解析

第11頁(yè)/共49頁(yè)

【分析】（1）根據(jù)橢圓性質(zhì)，己知離心率￡=逅、長(zhǎng)軸2a=2#以及/=〃+°2,通過(guò)解方程組就能得出a、

a3

6的值，進(jìn)而得到橢圓方程.

（2）先設(shè)點(diǎn)A、B、H坐標(biāo)，再設(shè)直線3c方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到％、人表達(dá)式.因?yàn)?/p>

NBJZC,根據(jù)向量垂直性質(zhì)得到方.就=0,解出外與住的關(guān)系.排除直線BC過(guò)原點(diǎn)的情況后，確定

%=3句,時(shí)直線3c方程，求出點(diǎn)W坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得出S-=25“。/

\c_4e

【詳解】（1）由題意，得2a=2幾，解得“=布，b=也,

a2=b2+c2,

所以橢圓月的方程為『+廿=1.

62

（2）由題意，設(shè)點(diǎn)/（無(wú)。,%：/%彳0）,則點(diǎn)/Z（xo,O）.

設(shè)直線8C的方程為y+%=M^+x0）,C（xc,yc）.由1。21得

[x+=6

（3左2+1）12+6后（Ax°—、0）1+3（h0—pop-6=0.

-6k（kx-y）3（5-%y-6

所以A〉0,—x+x00

oc3r+1'…3/+1'

k

故Xc=6g/；］%）+而，yc=kxc+kx0-y0=6號(hào);1%）+2foco-Jo-

又因?yàn)?B//C,

方（'（一6Mgl-%）-6〃（飆一%）。）八

所以CU?/C=（%,%）1—3kr+l-，---3PT1----+2fa:o-2yo1=°>

去分母化簡(jiǎn)得到（%-?。?-3kx。）=0,所以為=甌或%=3%.

當(dāng)歹0=何）時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)為=3履0時(shí)，直線BC的方程為〉=履-2履0，則點(diǎn)〃坐標(biāo)為（2%,0）,

所以S/OH=；x|OH|x?o|=；曷盟|'S"BOM=|x|OA/|x|y0|=|x0y0|.

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22_

6.（1）橢圓￡的方程為3+5=1,短軸長(zhǎng)為2b=2百

⑵一；

【分析】（1）由題意可得。=2,￡=變，求解即可；

a2

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)直線/與橢圓￡的交點(diǎn)為8（%,乂）和利用韋達(dá)定理可得

Xl+X2=--^-,Xlx2=-^-,求得N,M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得"當(dāng)W=l,求解即可.

1+2左21+2左2（石+2）（^2+2）

22

【詳解】（1）已知橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：T+A=l（a>b>0），

ab

因?yàn)?（-2,0）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，所以。=2。又離心率為e=￡=且，解得c=血，

a2

所以6=14-1）2，解得6=&，

22

所以橢圓E的方程為3+5=1,短軸長(zhǎng)為26=2收

可得］+kV〔弧+1=1,整理得（1+2/）/+4&-2=0,

設(shè)直線/與橢圓E的交點(diǎn)為B（X［,%）和CH，%）,

4k-2

所以…

直線的方程為：>=」、（》+2）,與直線x=4聯(lián)立求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,且1）,

國(guó)+2再+2

直線/C的方程為：y=一三（X+2）,與直線X=4聯(lián)立求得交點(diǎn)N的坐標(biāo)為G，-叱］

x2

i+1X2+2J

因?yàn)楸?g+l和%=3+1,代入得I一公2：；1=1,

第13頁(yè)/共49頁(yè)

小侑|(g+1)(*2+2)-(丘2+1)(^!+2),

化間-------(再+2)(%+2)------------1一1,

展開(kāi)分子

(kxx+1)(尤2+2)-(AX2+l)(xj+2)=g尤2+2Ax,+x2+2-kx1x2-2kx2-x1-2

=2k(x1-x2)+(JC2-x；)=(2k-1)(X]—%),

(2k—1)(再—%2)

所以=1,

(%1+2)(%+2)

所以

2J4k,2+8后“

(網(wǎng)+2)(迎+2)=西%+2&+%>4=-^-―y4-2—--------4=----------T+4

(1+2左21+2/

—2—8左+4(1+2左2)_一2—8左+4+8)2_2+8左？一89_2(2左一,

1+2左21+2/1+2421+2/

2

又上一=J（X]+X2）~—4毛工2=4k|8321+8

+

F2F?l+2p1+2左2

32r+8

所以|2l|x[+2〃1,整理得（24+1『=0,解得左=一上

2[2k-l）2

1+2后2

22

7.⑴十黃1

（2）在定直線7=1上，理由見(jiàn)詳解.

42,

----1----=1

【分析】（1）依題意可得a2b2,即可求出。、b,從而得解;

2b=4

（2）由對(duì)稱性分析該定直線為平行于橫軸的直線，將直線與橢圓聯(lián)立消了,設(shè)直線NN、的方程解

出G縱坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

421

----1----=16=2

【詳解】（1）依題意可得/b2,解得-

a=2萬(wàn)

26=4

22

所以橢圓。的方程為土+匕=1；

84

（2）在定直線了=1上，理由如下:

設(shè)點(diǎn)N（XQJ,M（X2，%乂加W±2）與直線/聯(lián)立消去〉整理得（1+2公卜2+166+24=0,

由A=（16《）2—4x24（l+2/）＞0nr〉：，且再十%二—16斤24

1+2左2"「“2-]+2產(chǎn)

2

所以再+%=—,%，

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/、/\Vi—2+2

易知/(O,2),3(0,-2),則〃N：y-2=」一無(wú)，&：夕+2=蕓一x,

y+2(外+2)?%心々+6不

故G在定直線〉=1上.

>

Ox

B

8.⑴橢圓沙的方程為：—+/=1,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；

（2）。在橢圓平上，理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)題意，列出6滿足的方程組，求得。力，即可求得橢圓方程和長(zhǎng)軸長(zhǎng)；

（2）求出4C方程，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而寫(xiě)出尸W方程，從而求得￡的坐標(biāo)；再結(jié)合已知條件，求得CE,PB

方程，聯(lián)立方程組，解得。坐標(biāo)，將其代入橢圓方程，即可檢驗(yàn)和判斷.

【詳解】（1）由題可知，”（一兄0）,8（。,0）,。（08），

VN8C的面積為2,且|4C|=J?,則:x2ax6=2,/+62=5,又a>b>Q,解得。=2,6=1；

2

故橢圓次的方程為：—+/=1,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4.

(2)由⑴可知,/(-2,0),B(2,0),C(0,l),又

OBK

故直線ZC方程為：y=；x+l,又尸在直線/C上，故設(shè)點(diǎn)尸（見(jiàn)￡+1],

當(dāng)加=2時(shí)，直線尸“斜率不存在，此時(shí)E與B重合，。也與3重合，顯然。在橢圓上;

當(dāng)羽=0時(shí)，直線9的斜率為0,與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，不滿足題意；

第15頁(yè)/共49頁(yè)

mim/

當(dāng)加。2,且加wO時(shí)，直線尸M斜率為2（加_2）'直線尸河方程為：尸1=2（加_2）（“_2），

4

令>=0,可得x=

mm

m

冽+2/、

直線尸5斜率為：直+_加+2,直線尸8方程為：y=--------(x-2；

2m-4v)

m-22m-4

直線CE斜率為：：，直線CE方程為：k-丁+I；

昨生2(X-2)

2

2m~4，消去了可得8加3、m1—r乙曰一加+4we8m-m+4

聯(lián)立x=-2—7，代入y-一一7%+1可付：y=—?—，艮口。

m1m+44m+4m2+4m2+4

y=-----x+I

4

2

8m

22

22I，即日+其=1,故點(diǎn)。在橢圓上.

又（冽2+4）+"-m+416m2m4+16-8m2m+4

22

4、m+4m2+4m2+4)(m2+4

綜上所述，。在橢圓火上.

9.(l)—+y2=l；

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由右頂點(diǎn)及離心率可得Q,c,然后可得橢圓方程.

（2）設(shè)直線小=左卜-2）+1,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可化簡(jiǎn)4+*=4'得出四

邊形對(duì)角線垂直平分即可得答案.

【詳解】（I）因橢圓頂點(diǎn)為4（0,1）,離心率為*=

則上=

b=1r所以"2,C=G故橢圓方程為:—+/=i；

a4z

（2）由題，設(shè)直線方程為＞=左（》-2）+1,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,

2

X2?

——+y=1

可得4

y=左(％_2)+1

即得小+4（丘一2左+17一4=0

化簡(jiǎn)得（1+4左2）x?+（8左一16左2）x+16左（左一1）=0

因直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,貝I]A=（8左-16左21一4（1+4〃）0642一16發(fā)）=64左>0.

、幾\口（\，士4…丁用-8左+16左之16左之-16左

設(shè)。（再,必），B[x,y）由韋達(dá)定理再+%=1,72，q%2=_1,72

2291+4左1+4左

第16頁(yè)/共49頁(yè)

又設(shè)NC:y=^~^x+l,令y=0得

X11-M

^AB:y=^-^x+l,令y=0得時(shí)二^^；

%「巴

又因?yàn)?+%_X]?x2-2中2+2(%+x2)

'1一"l-y2k(2-)kQ-%)左?-X])Q-Xz)

-2(16左2一16左)+卜8左+16/)

=1+4/=叫4

k[4+16k2-2(-8k+16k2)+^6k2-16k4k

1+4-2

所以也產(chǎn)=2,尸（2,1）,Q（2,-1）,所以PQLMN,尸。平分MN,所以四邊形PM0N為菱形.

10.（l）y+/=l

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)條件得到。,仇。的關(guān)系式，解方程組可得結(jié)果.

（2）設(shè)直線的方程為夕=左（》-2）,表示直線N0的方程，借助韋達(dá)定理可得直線過(guò)定點(diǎn).

b=ca=V2

【詳解】(1)由題意得＜，2c-6=l

解得"=1

c=l

a=b2+c2