期末選擇填空壓軸必考題(U考點60題)

【人教版】

【必考點1二次根式的化簡與求值】............................................................1

【必考點2勾股定理與面積問題綜合】..........................................................4

【必考點3四邊形中的折疊問題】..............................................................11

【必考點4四邊形中的動點問題】..............................................................18

【必考點5四邊形中最值問題】...............................................................25

【必考點6四邊形中多結(jié)論問題】.............................................................32

【必考點7動點問題的函數(shù)圖象】.............................................................44

【必考點8從函數(shù)的圖象獲取信息】...........................................................50

【必考點9一次函數(shù)圖象與方程、不等式綜合問題】............................................60

【必考點10一次函數(shù)圖象交點問題求參】......................................................65

【必考點11一次函數(shù)與幾何綜合題】...........................................................68

【必考點1二次根式的化簡與求值】

1,1,

1.已知X,y為實數(shù)，a=3,那么一Jx3y+R久y3的值為()

xy/

A.V3B.±V3C.2V3D.±2V3

【分析】根據(jù)x,y為實數(shù)，刈=3,可知x、y同號，同時為正或同時為負(fù)，然后分別計算所求式子即可.

【解答】解：y為實數(shù)，xy=3,

同號，同時為正或同時為負(fù)，

當(dāng)x、y同時為正時,

1___1___

一xy

=2-y/xy

=2小

當(dāng)小歹同時為負(fù)時，

1_1,_____

~4/x^y+~y[xy^

-xy/xy-yy/xy

=------+

%y

=-(V^y+y[xy^

~~2\xy

=-2V3；

1(____1

由上可得，一J%3y+目盯3的值為土2扇,

xy

故選：D.

2.已知a滿足|2024-a\+Va—2025=a,則a-20242的值為.

【分析】根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)可得a-202520,進而得到a—2024+Ua-2025=a,則可求出。-2024?=

2025.

【解答】解；：|2024—a|+Na—2025=a有意義,

：?a-202520,

；?a22025,

2024-a〈0,

V|2024一a|+Ya—2025=a,

?*.a—2024+Va—2025=a,

?Ha—2025=2024,

：.a-2025=20242,

：.a-20242=2025.

故答案為：2025.

3.若0<x<l,化簡J(x—1)2+4—J(x+])2—4=.

121242121

【分析】由(%—亍)+4=(%+-),(x+-)-4=(%--),又0<x<l,則有1-x>0,通過變形

化簡原式即可得出最終結(jié)果.

【解答】解：原式=J(X+.)2

11

='+一一(-一x)=2x.

XX

4.已知己25—m2—"15—m2=2,那么＜25—m2+，15—m2的值為.

【分析】利用平方差公式進行計算，即可解答.

【解答】解：(V25—m2+V15—m2)(V25—m2—V15—m2)

=25-m2-(15-m2)

=25-m2-15+加2

=10,

V25—m2—V15—m2=2,

V25—m2+V15—m2=5,

故答案為：5.

5.已知％=—--,貝!jX4+2X3+X2+1=.

【分析】先把工4+2工3+/+1變成x2G+1)2+1,再代入求出答案即可.

【解答】解：..”=夸二，

/.X4+2X3+X2+1

=N(N+2x+l)+1

=x2(x+1)2+l

=(W)2x(—+1)2+1

22

(V5-1)2(V5+1)2,

__4~-4~+1

[(V5-l)x(V5+l)]2,,

―16+1

42

=—+1

16

=1+1

=2,

故答案為：2.

6.已知Jx+y—l+|x—3|=7a—2x72—a,則優(yōu)+層的值為.

【分析】利用二次根式有意義的條件，絕對值及算術(shù)平方根的非負(fù)性求得X,外。的值后代入/+層中計

算即可.

【解答】解：已知Jx+y—1+|x-3|=yJa—2xV2—a,

???Q-220,2520,

',a-2=0,

則a=2,

那么J%+y-l+|x-3|=0,

.\x+y-1=0,x-3=0,

解得：x=3,y=-2,

那么yx+a1=(-2)3+22=-8+4=-4,

故答案為：-4.

【必考點2勾股定理與面積問題綜合】

7.勾股定理是我國古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一.如圖，以(N4c5=90°)的各邊向外作正方形,

得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作用,左下

不重疊部分的面積記作S2,若當(dāng)=3,則出的值是()

【分析】設(shè)RtZ\/5C的直角邊4C=a,BC,BA=c.得到必=(c-“)(c-b)=c2-(a+b)c+ab,

舟=(〃+6-C)2=3,由完全平方公式，勾股定理，即可求解.

【解答】解：設(shè)RtZX/BC的直角邊4C=q,BC=b,BA=c.

222

/.a+b=cf

二?面積為出的矩形的長和寬分別是c-q,c-b,

S2=(c-6z)Qc-b)=。2-(q+b)c+ab,

二?面積為目的正方形的邊長是a-(c-b)=a+b-c,

Si=Ca+b-c)2=3,

/.a~+b2+c2+2ab-lac-26c=3,

2c2+2ab-lac-26c=3,

.,.c2-(a+Z?)c+ab=1.5,

：.S2=1.S.

故選：B.

8.如圖，在RtzX4BC中，ZACB^90°,/C=3,BC=4.分別以/5、AC.3c為邊在N5的同側(cè)作正方

形ABMN、ACDE,8CGF,點朋?剛好在GF上，點N剛好在ED的延長線上.四塊陰影部分的面積，四

邊形/ED0的面積記為Si，四邊形PC0N的面積記為S2，△PMG的面積記為S3，△臺兒不的面積記為

的，貝U&-2s2-3s3+4S4等于()

【分析】過N作NG的垂線交NG于H,通過證明四(AAS),/\HNP^/\CAQ,得出$2=

SMHN=S"BC；證明△M3。2ZU/GP(3S)，可得出&+S3=S^EN=SA”C；證明△/BCg/sAfflR

得出S4=SMBC，利用勾股定理求出酒，PM,GP,進而即可求解.

【解答】解：過N作/G的垂線交/G于〃，則/NHA=/HAE=/E=90°,

四邊形4KVE為矩形，

:.NENH=90°,ZA?C=90°,

四邊形ABMN為正方形，

：.AB=AN,NNAB=90°=ZNAH+ZCABf

又???N4C8=90°,

：.ZCAB+ZABC=90°,

/.ZNAH=/ABC,

VZACB=ZAHN=90°,

:?△AHN9ABCA(AAS),

:?HN=AC,

同理可得△HVP絲△C40,

:?S?=S2AHN=S4ABC?

由△HAP之△C40,

：?NP=AQ,ZHPN=ZCQA,

：.PM=NQ,ZGPM=ZNQD,

又?：/G=/NDQ=90°,

:?叢NDQQ叢MGP(AAS),

:?S3=S4NDQ'

??,四邊形AHNE為矩形,

:?s4EN=S4HN=S"CB，

?，?Si+S3=S4EN=S^ABC-

同理可證明AABC咨AMBF,

:?S4=SMBC，

VZACB=90°,AC=3,BC=4,

：.AB=AN=5,AH=BC=4,NH=AC=3,

設(shè)HP=x,

NP2=NH2+HP2=AP2-AN2,

.*.32+X2=(4+X)2-52,

99

解得％=彳，即尸”=

155

.\NP=—,MP=—,

44

GM=DN=CH=4-3=1,

3

???GP=Z，

...S]—2s2—3s3+4S4,

=&-2s2+2S4-3s3+2S4

=81+284-2s3-5*3

=Si+2Si-晶

=3Si-S3

=3SA^BC-4s3

113

=3x-x3x4—4x—xlx-

L24

33

=~;

故選D

9.如圖，在直線/上依次擺放著九個正方形，已知斜放置的四個正方形的面積分別是1,2,3,4,正放置

的五個正方形的面積依次是Si，S2,S3,S4,$5，則S5-S1的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】如圖所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得△CDG注△HGE可得CZ）2+切2=〃G2,即SI+S2=1,同理

可得62+83=2,63+64=3,64+65=4,由此進行等量代換即可求解.

【解答】解：如圖所示，四邊形/BCD,四邊形。EFG,四邊形EfflJ是正方形，

BCGHl

：.AB=BC=CD=AD,DE=EF=FG=DG,FH=HI=HJ=FJ,/BCD=/DCG=NDGF=NFHG=N

FHI=90°,

：./\CDG^/\HGF,

：.CD=HG,CG=FH,

211

在RtZ^CDG中，CD+CG=DG,即C￡>2+F〃2=DG2,

222

,/SI=CD,DG=1,S2=FH,

；.S1+S2=1，

同理，5*2+53=2,邑+$4=3,S4+S5=4,

：.S2=1-S1，則1-S1+S3=2,

I

.*.S3=1+5，貝I1+51+54=3,

；.S4=2-SI，則2-SI+5*5=4,

：.S5-Si=2,

故選：B.

10.勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的

記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理.圖2是

由圖1放入矩形內(nèi)得到的，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,點、D,E,F,G,H,/都在矩形的邊

上，則矩形KLW的面積為（）

A.121B.110C.100D.90

【分析】延長交狂于點。，延長/C交GM于點尸，可得四邊形zap是正方形，然后求出正方形

的邊長，再求出矩形KL10的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解.

如圖，延長交狂于點。，延長NC交GM于點尸,

所以，四邊形NOL尸是正方形，

VZBAC=90°,AB=3,BC=5,

：.AC=VBC2-AB2=V25-9=4,

：.AO=AB+AC=3+4=1,

；.KL=3+7=10,ZM=4+7=11,

因此，矩形KLM/的面積為10X11=110,

故選:B.

11.如圖，由趙爽弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形N2CD,正方形

EFGH,正方形肱VK7的面積分別為Si，a，S3,若用+a+邑=”，53=1,則當(dāng)?shù)闹凳?

B

【分析】根據(jù)八個直角三角形全等，四邊形/BCD,EFGH,MNKT是正方形,得出CG=NG,CF=DG

22

=NF,再根據(jù)其=(CG+DG),SZ=GF2,S3=(NG-NF),51+$2+邑=27得出3G產(chǎn)=27,求出

GF2的值即可.

【解答】解：??,八個直角三角形全等，四邊形48CD,EFGH,必次「是正方形,

：.CG=NG,CF=DG=NF,

：.Si=CCG+DG)2

=CG1+DG1+2CG'DG

^GF2+2CG'DG,

5,2=GF2,

222

S3=(NG-NF)=NG+NF-2NG-NF,

：.S1+S2+S3=GF-+1CG'DG+GF-+N(fi+NF1-2NG?NF=3GF^=\5,

：.GF2=5,

：.S2=5,

??6=1,

.*.5i的值是9.

故答案為：9.

12.如圖，在△/2C中，ZACB^90°,分別以△4BC的三邊為邊向外構(gòu)造正方形/50E,BCGF,ACHI,

分別記正方形8CGRNCZ〃的面積為Si，必.

(1)比較CE,2/的大小：CEBI；

Si

(2)若/ACE=30°,則不的值為.

22

(2)作交CN的延長線于點。，設(shè)5C=a,AC=b,則51=8。2=。2,s2=AC=b,根據(jù)

一線三垂直模型證明△4E。g△8/C(AAS),可得NQ=BC=a,QE=AC=b,由NNC￡=30°可得，

,_________Si

QC=飛EC2_QE2=聞E,即a=(遮一l)b,再代入計算即可得出丁.

【解答】解：(1)???/c印為正方形，

：.AI=AC,ZIAC=90°,

為正方形，

J.AB^AE,/EAB=90°,

：?/IAB=/CAE=90°+NC4B,

在AAIB和△ZCE中，

(AI=AC

\AB=AE,

1MB=/.CAE

：.AAIB^AACE(&4S),

：.CE=BI,

故答案為：=；

(2)作E0J_C4交C4的延長線于點。，則N0=9O°,

設(shè)5c=q,AC=b,則Si=BC2=q2,=AC2=b2,

VZACB=90°,Z0=9O°,ZEAB=90°,

：.ZQAB=ZABC=90°-/CAB,

■:AB=AE,

:.AAEQ經(jīng)LBAC(AAS),

:.AQ=BC=a,QE=AC=b,

：.QC=QA+AC=a+b

VZACE=30°,

：.EC=2QE,

.??QC=JE"2_QE2=V3QE,

.\a+b=Wb,

ci——l)b

(V3-l)2b2

=4—2V3,

,,S2—b2b2

故答案為：4-2V3.

【必考點3四邊形中的折疊問題】

13.如圖，平行四邊形紙片/5CQ,BC=7cm,CD=5cm,面積為28c加2,將其沿對角線5。折疊，使點C

落在點尸處，BF與邊AD交于點E,則的長為（）

A.5cmB.5.6cmC.5.8cmD.6cm

【分析】作ZGLBC,EH1BC,利用平行四邊形的面積公式求得4G=比/=4c冽，由折疊的性質(zhì)結(jié)合平

行四邊形的性質(zhì)求得設(shè)AE=GH=x,在中，利用勾股定理列式計算即可求解.

【解答】解：作EHLBC,垂足分別為G、H,

：.AG//EH,

???平行四邊形紙片/5C。，則/5=CQ=5c加

：.AE//GH,AG=EH,

???四邊形4G/汨是矩形,

:,AE=GH,

由題意得BCXAG=2^cm2,

:?AG=EH=4cm,

在RtZX/BG中，8G=7AB2一g=V52-42=3cm,

???平行四邊形紙片ZBCZ）,

：.AD//BC,

：./ADB=/DBC,

由折疊有性質(zhì)知ADBE=/DBC,

???/DBE=/BDE,

:?BE=DE,

設(shè)AE=GH=x(cm),貝ij5E=Z)E=(7-x)(cm),BH=BG+GH=(3+x)(cm),

在中，BH2+EH2=BE2,即(3+x)2+42=(7-x)2,

解得x=1.2,

:.DE=7-x=5.Scm,

故選：C.

14.如圖，在矩形/8CZ)中，已知N8=8,BC=\2,點。，P分別是邊N8,的中點，點〃是邊CO上

的一個動點，連接。打，將四邊形02cx沿折疊，得到四邊形0E陽，連接PE,則PE長度的最小

值是.

【分析】如圖，連接E。、PO、OC.根據(jù)三邊關(guān)系，PE^OE-OP,求出OE,OP即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接EO、PO、OC.

E

.四邊形N8CD是矩形，

/.ZB=ZOAP=9Q°,

在RtZkOBC中，8c=12,05=4,

OC==A/42+122=4V10,

在RtZXZOP中，04=4,PA=6,

?*.OP—V42+62—2V13,

"：OE=OC=4V10,PE^OE-OP,

:.PE的最小值為4V10-2V13.

故答案為：4V10-2V13.

15.如圖，長方形紙片49CO中，AB=6cm,BC=3cm.點E是3C邊上一點，連接/￡并將△/￡8沿4E

折疊，得到,以C,E,B'為頂點的三角形是直角三角形時，3E的長為

【分析】分①/夕￡C=90°時，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出N/E3=45°,然后判斷出△N8E是等腰直

角三角形，從而求出2E=48；（2）ZEB'C=90°時，ZAB'E=90°,判斷出/、夕、C在同一直線

上，利用勾股定理列式求出/C,再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得/夕=4B,BE=B'E,然后求出夕C,

設(shè)BE=B，E=x,表示出EC,然后利用勾股定理列出方程求解即可.

【解答】解：①/"EC=90°時，如圖1,ZBEB'=90°,

1

由翻折的性質(zhì)得=-x90°=45°,

AABE是等腰直角三角形，

；?BE=AB=6cm；

（2）ZEB1C=90°時，如圖2,

由翻折的性質(zhì)N/夕E=ZB=9Q°,

；./、B'、C在同一直線上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC—y/AB2+BC2—462+82=10cm,

：.B'C=10-6=4cw,

設(shè)BE=B'E=x,則EC=8-x,

在Rtz\8'EC中，B'E2+B'C2^EC2,

即X2+42=(8-x)

解得x=3,

即BE=3cm,

綜上所述，的長為3或6c加.

故答案為：3或6.

16.如圖，。為正方形48co對角線/C的中點，將2C沿著過點C的直線/翻折，使點8的對應(yīng)點E落在

正方形的內(nèi)部，連接BE,CE,OE,若AE=2五,BE=4.貝U點N到直線的距離為,OE

的長為—.

【分析】在/上截取。/=2￡=4,過點/作/G_L3E交的延長線于點G,證明△48E段ZYSCF,進而

可得AE/吆是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出點/到直線3E的距離為2,根據(jù)中位線的性質(zhì)

即可得出0E的長.

【解答】解:如圖所示，在/上截取匿=8￡=4,過點N作交的延長線于點G,

將BC沿著過點C的直線/翻折，使點B的對應(yīng)點E落在正方形的內(nèi)部,

垂直平分防，CB=CE,

設(shè)/3CF=a,則/CB￡=90°-ZABE=90°-a,

：.NBCF=NABE,

又,：BC=AB,

.?.△ABE沿ABCF（.SAS）,

：.AE=BF,

又?.?F在E2的垂直平分線上，F(xiàn)E=FB=AE=2五,

'：EF1+FB-=EB-,

/.LEFB是等腰直角三角形，

..AAEG—ZFEB—45,AG=-^-AE—2,

即點N到直線BE的距離為2,

11

?；/O=OC,AE=EF,。石=5。尸=嚴(yán)=2,

故答案為：2；2.

17.如圖，在口/5CD中，AB=4V2.3c=10,N/=45°,點￡是邊4D上一動點，將△/砂沿直線5E

折疊，得到△FE2,設(shè)BF與AD交于點、M,當(dāng)2尸與口4BCD的一邊垂直時，DM的長為.

【分析】如圖1,當(dāng)8尸，時，如圖2,當(dāng)3尸，時，根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖1,當(dāng)以U/D時，

:平行四邊形/8C。中，AD//BC,

J.BFLBC,

圖1

/.ZAMB=90°,

?.,將沿翻折，得到△FEB,

45°,

ZABM=45

■:AB=4a,

AM=BM=4>/2x日=4,

'：BC=AD=IO,

：.DM=AD-AM=10-4=6；

如圖2,當(dāng)8尸，時，

?.?平行四邊形/BCD中，AB//DC,

圖2

,/將△/E8沿BE翻折，得到△尸￡8,

；./A=NEFB=45°,

ZABF=90°,

此時尸與點“重合，

,:AB=BF=A?

.'.AF—4y/2XV2=8,

：.DM^IQ-8=2.

綜合以上可得。M的長為2或6.

故答案為：2或6.

18.鄰邊長分別為2,a（a>2）的平行四邊形紙片，如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于2的菱形（稱為

第一次操作）；再把剩下的平行四邊形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時平行四邊形一邊長的菱

形（稱為第二次操作）；再把剩下的平行四邊形如此反復(fù)操作下去.若在第三次操作后，剩下的平行四

第一次操作第二次操作

【分析】根據(jù)題意，進行分類討論，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，列出方程求解即可.

【解答】解：①如圖，經(jīng)歷三次折疊后，四邊形為菱形,

???四邊形45CD為菱形，

：.AB=AD=BC=CD=2,

:?DF=CE=a-2,

?..四邊形GCEH為菱形,

：.GC=CE=a-2,

:.DG=FH=2-(a-2)=4-a,

?.?四邊形。G〃為菱形，

：.DI=DG=4-a,

?.IF=a-2-(4-a)=4。-6,

??,四邊形〃^為菱形，

：.IF=HF,即4-a=4a-6,

10

圖1

②如圖，經(jīng)歷三次折疊后，四邊形。〃行為菱形,

??,四邊形/5CD為菱形，

：.AB=AD=BC=CD=2,

：.DF=CE=a-2,

???四邊形JCEG,UGH,都為菱形，

22

:?DI=-CD=—

2

.'?a-2=~

8

解得：

圖2

108

綜上：a的值為彳或丁

108

故答案為：可或1

【必考點4四邊形中的動點問題】

19.如圖，在矩形/BCD中，49=3,8c=4.點￡在邊/。上，且￡D=3,M、N分別是邊8c上的

動點，且BM=BN,P是線段CE上的動點，連接尸”，PN.若PM+PN=4,則線段尸C的長為（）

LL3廠

A.2V2B.V2C.2D.-V2

【分析】由題意知，ED=3=CD,則NOCE=45°,NBCE=45°,如圖1,在CD上取點N',使

CN'=CN,連接PM,MN',貝i|PM+PN=PM+PN'=4,由PM+PN'>MN,MN1W4,可得AW'

=4,MN'//BC,即M、P、N'三點共線，如圖2,則四邊形8CN'河是矩形，則PN'=CN'=CN=

BM=BN,由CN+8N=4,可求PN'=CN'=CN=2,由勾股定理得PC=、PN'2+CN?,計算求解即

可.

【解答】解：：矩形N8CD,

:.CD=AB=3,ZADC^90°,

,:ED=3=CD,

：.ZDCE=45°,

；.NBCE=45°,

如圖1,在CZ＞上取點N,使CN=CN,連接尸N',MN,

：.PM+PN=PM+PN'=4,

'JPM+PN'^MN',MN'24,

：.MN'=4,

.".MN'/ZBC,

即M、P、N三點共線，

：.PN'=CN'=CN=BM=BN,

■:CN+BN=4,

：.CN=BN=2,PN=CN=CN=2,

由勾股定理得PC=7PN2+CN*=2V2,

故選：A.

20.如圖，CJ4BCD中,AB=22cm,BC=8acm,ZA=45°,動點E從4出發(fā)，以2c加/s的速度沿向

點3運動，動點尸從點C出發(fā)，以ICH/S的速度沿著CD向。運動，當(dāng)點￡到達點8時，兩個點同時停

止.則EF的長為10c加時點E的運動時間是（）

A.6sB.6s或10sC.8sD.8s或12s

【分析】過點。作DG,48于點G,由N/=45°,可得△/DG是等腰直角三角形，過點尸作

于點〃，得矩形OGAR,利用勾股定理得防■MGCTO,由題意可得CF=tcm,然后分兩種情

況列方程求出f的值即可.

【解答】解：在匚〃8CD中，CD=AB=22cm,AD=BC=^y[2cm,

如圖，過點。作于點G,

VZA=45°,

...△/OG是等腰直角三角形，

：.AG=DG^—AD=S,

2

過點尸作于點區(qū)

得矩形DGHF,

：.DG=FH=8cm,DF=GH,

?；EF=10cm,

EH=A/EF2—FH2=6cm,

由題意可知：AE=2tcm,CF=tcm,

:?GE=AE=AG=(2Z-8)cm,DF=CD-CF=(22-t)cm,

：.GH=GE+EH=(2f-8)+6=(2-2)cm,

：.2t-2=22-t,

解得r=8,

當(dāng)尸點在E點左側(cè)時，

由題意可知：AE—1tcm,CF—tcm,

：.GE=AE-AG=(2「8)cm,DF=CD-CF=(22-f)cm,

：.GH=GE-EH=(2z-8)-6=(2?-14)cm,

；.2f-14=22-t,

解得t-\2,

?..點E到達點3時，兩點同時停止運動，

；.2fW22,解得fWll.

.7=12不符合題意，舍去，

：.EF的長為10cm時點E的運動時間是8s,

故選：C.

21.如圖，菱形/BCD中，對角線NC,2。交于點。，/。=4,2。=3,點尸在48上，￡為/。的中點，

連接PE與P。，M和N分別是P。，PE的中點.連接MN,則點尸從8向N運動的過程中，線段

所掃過的圖形面積是

【分析】分別取/￡，的中點凡G,并連接FN,EM,MG,尸尸，根據(jù)三角形中位線定理易證點E,

M,G三點共線，再證明四邊形小和化是平行四邊形，根據(jù)&W所掃過的圖形面積為由E尸平移到GN,

構(gòu)成的平行四邊形的面積，等于SAGMRS^FN，利用三角形中線的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：分別取/E,的中點凡G,并連接KV,EM,MG,PF,

菱形/BCD中，對角線NC,8。交于點。，AO=4,80=3,

：.AOLBO,

為NO的中點，點、F,G為AE,的中點，"和N分別是尸。，PE的中點,

是尸的中位線，F(xiàn)N是尸的中位線，

11

：.EM||AP,EM=~AP,FN\\AP,FN=~AP,

1

：.EM||FN,EM=FN=~AP,

四邊形FNME是平行四邊形，

掃過的面積為由環(huán)平移到GN,構(gòu)成的平行四邊形的面積，如圖所示，

此時，點尸，3重合，點M,G重合,

11111111113

?SxSBOE=XX△施=XXX萬0B

:S^GME=2^BGE=22^225s222M,4,

11111111113

同理：SAEFN=5s△BGE=5x-S=5X5X-S=5X5X5X-0A-OB=~,

ZZZABOEZZZAABOZZZZ4

?'.ACV掃過的面積為SAGME+SAEFN=5,

3

故答案為：

22.如圖，在矩形4BCD中，48=5,40=12,對角線NC與2D交于點。，點E為2C邊上的一個動點,

EF1.AC,EGLBD,垂足分別為點尸，G,則EF+EG=

【分析】連接?！?根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出NC，從而求出OC,進而表示出SABOC=SABOS+SA

1

COE，可得。5（第+跖）=于18?8。即可求解.

???四邊形NBCA是矩形,

；.NABC=90°,BC=4D=12,A0=C0=B0=D0,

"：AB=5,

：.AC=7AB2+BC2=13,

13

-'-0C=~

111

:?S"（）?=SABOE^SACOE=508-EG+-0C-EF=~SAABC

1

：.0B?EG+OC?EF=S"BC，即。。?（EF+EG）=-AB?BC,

131

-9?—（EF+EG）=5x5x12,

60

/.EF+EG=—,

故答案為：TT.

23.如圖，四邊形NADC是平行四邊形.AB=8cm,/C=6c加，點G在CD上，CG=3cw,動點￡從點8

出發(fā)，沿折線的方向以2cm/s的速度運動，動點尸從點2出發(fā)，沿折線3f4-C-。一

2的方向以ls?/s的速度運動，若動點E,尸同時出發(fā)，相遇時停止運動，在第s時，以點/,

E,F,G為頂點的四邊形是平行四邊形.

【分析】分兩種情況：①如圖1,當(dāng)點E與。重合時，2t=6,可解答；②如圖2,四邊形/EGF是平

行四邊形，根據(jù)NF=￡G,列方程可解答.

【解答】解：分兩種情況:

圖1

；"=3,

'：AB=8,

.'.AF—S-3=5,

：CG=3,

：.DG=8-3=5=AF,

,/四邊形ABDC是平行四邊形,

J.AB//CD,

J.AF//DG,

...四邊形/GEF是平行四邊形,

即在第3s時，四邊形/G斯是平行四邊形;

②如圖2,四邊形NEG尸是平行四邊形，

圖2

：.AF=EG,

??8一t—2t-6-5,

19

:?t=—,

19

即在第亍時，四邊形/EG尸是平行四邊形；

19

綜上，在第3s或亍時，以點/,E,F,G為頂點的四邊形是平行四邊形.

19

故答案為：3s或可.

【必考點5四邊形中最值問題】

24.如圖，在線段上有一點C（不與端點/、2重合）且/2=9,分別以/、2為直角頂點構(gòu)造兩個等

腰直角和△8CE,點尸為邊CE上一點，連接DE、。尸，點”是。尸的中點，連接則8"

的最小值是.

【分析】取DC,OE的中點0,N,CE的中點P,連接NP,NQ,PB,證明四邊形CQM3是矩形，進而

證明尸在NB上，則根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)“點在N點時，2川最小，根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解：：等腰直角三角形NCD和8CE,

；./DC4=NECB=45°,

ZDCE=180°-45°-45°=90°,

如圖所示，取。C,OE的中點0,N,CE的中點尸，連接NP,NQ,PB,

J.QN//CE,NP//QC,

...四邊形CQNP是平行四邊形，

又,：NDCE=90°,

四邊形C”P是矩形，

又?；ACBE是等腰直角三角形，

:.NBPC=9Q°,

:.P在NB工,

C.BNLNQ,

,點〃■是。尸的中點，

當(dāng)尸在CE上運動時，M在QN上運動，

1111

...當(dāng)M點在N點時，5M最小，最小值為BN=BP+PN=BP+CQ=BP+-CD=~DC+~CE=-

(DC+CF),

又；AB=9,設(shè)/C=a,則CD=CB=(9-a),

CE=42(9-a),

19V2

:?BN=-(CD+CE)=一^,

，2

故答案為：9).

1

25.如圖，在菱形/BCD中，AB=2,ZBAD=60°,E,方為邊BC和4。上的動點，BE=DF,則AE+萬

EF的最小值

AFD

【分析】如圖，連接ZC,交所于。，作。關(guān)于C8的對稱點N,連接CMBN,EN,證明

11

COE,可得。E=]E戶，AO=CO,。為菱形對角線的交點，AE+~EF=AE+OE=AE+NE,連接30,證

1

明工,B,N三點共線，可得AE+qEF=AE+NEN4N,ZANC=18Q°-30°-60°=90°,再進一步

求解即可.

【解答】解：如圖，連接NC,交EF于O,作。關(guān)于C3的對稱點N,連接CMBN,EN,

.四邊形4BCD是菱形，AB=2,ZBAD=60°,

：.4B=AD=BC=2,NB4C=/BCA=30°,BC//AD,

：.ZABC^nO0,

由軸對稱的性質(zhì)可得：

CN=CO,NE=OE,ZNCE=ZACB=30°,

NACN=NNCE+NACB=60°,

'：BE=DF,AD=BC,BC//AD,

：.AF=CE,ZCEO=ZAFO,ZECO=ZFAO,

：./\AOF^/\COE,

：.OE=OF,AO=CO,。為菱形對角線的交點，

1

OE=~^EF,

1

：.AE+-EF=AE+OE=AE+NE,

連接BO,

由軸對稱的性質(zhì)可得：BN=BO,NABO=NCBO=NCBN=60°,

：.A,B,N三點共線,

1

：.AE+-EF=AE+NE^AN,

N/NC=180°-30°-60°=90°,

,:CB=2,NBCN=3Q°,

1

1

AE+~EF的最小值為AB+BN=2+\=3.

故答案為：3.

26.如圖，在RtZ\4BC中，ZBAC^90°,BC=4,在48左側(cè)構(gòu)造等邊△48。，在/C右側(cè)構(gòu)造等邊△

ACE,連接。￡,點尸為中點，連接8P,則8P的最大值是.

【分析】要求線段的最值問題主要從兩方面考慮，一個是垂線段最短，另一個是三角形三邊關(guān)系，由題

干條件多個等邊三角形可以聯(lián)想到構(gòu)造全等三角形，再利用三邊關(guān)系求解即可.

【解答】解：以8c為邊向上作等邊ABCS,連接SZ＞、SE,

：.SB=SC=BC,ZSBC=ZSCB=60°,

,/AACE和△NB。都是等邊三角形，

:"AC=CE,AB=BD,ZCBS-ZABS^ZABD-ZABS,ABCS-ZACS=ZACE-ZACS,NABD=

60°,ZACE^60°,

：.AABC=ZDBS,ZACB=ZECS,

二可證△Z3C等△DBSg/XESC(SAS),

：.AC=DS,BD=SE,

：.AE=DS,AD=SE,

四邊形NDSE是平行四邊形，

?.?尸是DE中點，

尸也是/S中點,

作SOLBC交于點。，取SO中點T,連接PT和BT,

?.?尸是NS中點，7是SO中點，

；.尸7是△/OS中位線，

111

：.PT//AO,PT=-AO=-x-BC=1,

'：SO=7BS2-B02=2V3,

1廠

：.OT=-OS=V3,

：.BT='OB2+。。2=V7,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BPWBT+PT=V7+1,

.??AP最大值是b+1,

故答案為：V7+1.

27.如圖，已知菱形的邊長為2,N2=120°,E為/。的中點，M、N是對角線/C上的兩個動點,

1

且MN=-AC,連接EM,DN,則EM+DN的最小值為.

【分析】取2C的中點尸，連接即，BF,FN,BN,根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定EM+DN的最小值為時的長度,

求出8尸的值即可.

【解答】解：如圖，取2c的中點R連接ERBF,FN,BN,

為48的中點，

1

尸為△4DC的中位線，即即〃4C,且斯=pC,

1

\"MN-AC,

:.MN=EF,

四邊形EFNM為平行四邊形,

:.EM=FN,

根據(jù)菱形的對稱性可知，BN=DN,

：.EM+DN=FN+BN,

根據(jù)兩點間線段最短可得，當(dāng)點RN,8在同一直線上時，月葉8N取得最小值，

即此時FN+BN的最小值為線段BF的長度，

連接2。，

「菱形48co的邊長為2,48=120°,

：.BC=CD,ZBCD=60°,

.,.△BCD是等邊三角形，

,:DF=CF,

J.DFLCD,

則在RtZ\C8尸中，

"：FC=1,BC=2,

：.BF=NBC—FC2=V3,

故EM+DN的最小值為6.

故答案為：V3.

28.如圖，在矩形4BCD中，4B=5,BC^10,點E是對角線AD上的動點，連接CE,以CE,CD為邊作

口CEFD,連接CF.則CE+CF的最小值為.

【分析】①識別模