單元及課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)單元教學(xué)設(shè)計(jì)單元基本信息課程標(biāo)準(zhǔn)模塊幾何與代數(shù)使用教材版本2019年人教A版單元名稱(chēng)在解答解析幾何題中優(yōu)化運(yùn)算單元課時(shí)數(shù)3一、單元學(xué)習(xí)主題分析主題名稱(chēng)優(yōu)化解題思路，提升運(yùn)算素養(yǎng)主題概述（1）內(nèi)容本質(zhì)：解析幾何是歷年高考中的主干知識(shí)點(diǎn)之一，涉及解析幾何的試題經(jīng)常出現(xiàn)運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，因此，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算、簡(jiǎn)化解題過(guò)程成了圓錐曲線問(wèn)題中追求的一個(gè)目標(biāo)．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不僅是算得對(duì)、算得快，更要求學(xué)生掌握一定的運(yùn)算技巧，能從多角度分析問(wèn)題，盡可能地降低運(yùn)算難度和運(yùn)算量．因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開(kāi)邏輯推理能力的提升．（2）知識(shí)上下位關(guān)系：學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了解析幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并可以利用這些知識(shí)點(diǎn)解決一些中低檔題目，會(huì)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，并進(jìn)行初步運(yùn)算，但是對(duì)于綜合性題目存在著運(yùn)算準(zhǔn)確率低、耗時(shí)長(zhǎng)等問(wèn)題，沒(méi)有多角度分析問(wèn)題、優(yōu)化解題思路的意識(shí)．（3）內(nèi)容蘊(yùn)含的思想方法：利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系；通過(guò)“執(zhí)果索因”確定研究方向，建立解題過(guò)程中的目標(biāo)意識(shí)．從而真正落實(shí)“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”的解析幾何思想，領(lǐng)悟解析幾何中的運(yùn)算基本特征，感受“合理轉(zhuǎn)化、多想少算”的解題策略．（4）育人價(jià)值：強(qiáng)化作圖意識(shí)，通過(guò)“一題多解”引導(dǎo)學(xué)生思考如何有效簡(jiǎn)化解題過(guò)程中的運(yùn)算量，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．（5）明確教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)圖形中幾何特征與數(shù)量關(guān)系的綜合分析．二、單元學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)單元學(xué)習(xí)目標(biāo)1.初步理解優(yōu)化運(yùn)算的路徑．2.在探究?jī)?yōu)化方案過(guò)程中，感悟解析幾何結(jié)論發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，體驗(yàn)研究解析幾何的方法，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．三、課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)解析第1課時(shí)對(duì)2023年高考北京卷19題一題多解．通過(guò)學(xué)生自主探究，對(duì)問(wèn)題多角度分析，初步感受對(duì)于不同轉(zhuǎn)化方式導(dǎo)致解題過(guò)程繁簡(jiǎn)不一的巨大差異．第2課時(shí)總結(jié)優(yōu)化運(yùn)算路徑．強(qiáng)化作圖意識(shí)，通過(guò)“一題多解”引導(dǎo)學(xué)生思考如何有效簡(jiǎn)化解題過(guò)程中的運(yùn)算量，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．第3課時(shí)應(yīng)用優(yōu)化運(yùn)算路徑解決問(wèn)題．通過(guò)讓學(xué)生對(duì)高考題進(jìn)行變式，拓展學(xué)生思維廣度，提升對(duì)解析幾何問(wèn)題的認(rèn)識(shí)．四、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)情分析很多學(xué)生難以駕馭綜合性比較強(qiáng)的解析幾何問(wèn)題。表面看，是由于學(xué)生缺少解題方向，畏難心理嚴(yán)重，缺少優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的理念與方法，即“想的少、算得多”；究其本質(zhì)，學(xué)生在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的過(guò)程中缺少數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，不能深挖幾何條件背后的數(shù)量關(guān)系。由于平時(shí)缺少科學(xué)的解題訓(xùn)練，如忽視“反思”，導(dǎo)致欠缺不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的意識(shí)．五、各課時(shí)核心任務(wù)提煉與設(shè)計(jì)意圖課時(shí)任務(wù)核心任務(wù)內(nèi)容表述設(shè)計(jì)意圖第1課時(shí)自主探究初探2023年高考北京卷第19題．通過(guò)學(xué)生自主探究，對(duì)問(wèn)題多角度分析，初步感受對(duì)于不同轉(zhuǎn)化方式導(dǎo)致解題過(guò)程繁簡(jiǎn)不一的巨大差異．第2課時(shí)小組交流小組成員交流解題方案。合作交流，總結(jié)解題方法，為學(xué)生搭建思考、探究的平臺(tái)．方法對(duì)比各小組派代表闡述本組解題方案，相互之間對(duì)比解題過(guò)程的繁簡(jiǎn)程度．一題多解，解法對(duì)比，為后續(xù)的討論指明了方向，讓學(xué)生能說(shuō)、敢說(shuō)．總結(jié)優(yōu)化運(yùn)算路徑通過(guò)方法對(duì)比，總結(jié)如何有效簡(jiǎn)化解題過(guò)程中的運(yùn)算量．強(qiáng)化作圖意識(shí)，通過(guò)“一題多解”引導(dǎo)學(xué)生思考如何有效簡(jiǎn)化解題過(guò)程中的運(yùn)算量，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．第3課時(shí)變式應(yīng)用針對(duì)2023年高考北京卷第19題做變式改編并求解．通過(guò)讓學(xué)生對(duì)高考題進(jìn)行變式，拓展學(xué)生思維廣度，提升對(duì)解析幾何問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性．六、單元教學(xué)結(jié)構(gòu)圖課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)題目?jī)?yōu)化解題思路，提升運(yùn)算素養(yǎng)第2課時(shí)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容以2023年高考數(shù)學(xué)北京卷解析幾何解答題為例內(nèi)容解析運(yùn)算能力是最基本的數(shù)學(xué)能力．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將數(shù)學(xué)運(yùn)算作為六大核心素養(yǎng)之一．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，主要表現(xiàn)為理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果．可見(jiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算不等同于數(shù)學(xué)計(jì)算，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不僅是算得對(duì)、算得快，更要求學(xué)生掌握一定的運(yùn)算技巧，能從多角度分析問(wèn)題，盡可能地降低運(yùn)算難度和運(yùn)算量．因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開(kāi)邏輯推理能力的提升．在具體教學(xué)過(guò)程中，教師要注重在數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中融入對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度有邏輯地思考與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，在減少運(yùn)算量、降低運(yùn)算難度、提高運(yùn)算效率的目標(biāo)指引下，助力學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算思路、提升運(yùn)算素養(yǎng)．二、學(xué)情分析解析幾何因其運(yùn)算繁瑣、復(fù)雜等特點(diǎn)，成為歷年高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的較好載體，但是很多學(xué)生難以駕馭綜合性比較強(qiáng)的解析幾何問(wèn)題。表面看，是由于學(xué)生缺少解題方向，畏難心理嚴(yán)重，缺少優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的理念與方法，即“想的少、算得多”；究其本質(zhì)，學(xué)生在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的過(guò)程中缺少數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，不能深挖幾何條件背后的數(shù)量關(guān)系。由于平時(shí)缺少科學(xué)的解題訓(xùn)練，如忽視“反思”，導(dǎo)致欠缺不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的意識(shí)．三、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)1.初步理解優(yōu)化運(yùn)算的路徑．2.在探究?jī)?yōu)化方案過(guò)程中，感悟解析幾何結(jié)論發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，體驗(yàn)研究解析幾何的方法，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．目標(biāo)解析1.會(huì)在“設(shè)點(diǎn)”和“設(shè)線”兩個(gè)基本思路和方法上做出選擇；針對(duì)具體的“點(diǎn)”或“直線”能夠選擇恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式；會(huì)用“執(zhí)果索因”“先猜后證”等思想方法進(jìn)行逆推；會(huì)用平面幾何知識(shí)進(jìn)行適度的推理與轉(zhuǎn)化，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)．2.在探究?jī)?yōu)化運(yùn)算路徑的過(guò)程中，體會(huì)通過(guò)研究已知條件和要證結(jié)論之間的邏輯關(guān)系（例如解析幾何問(wèn)題中蘊(yùn)含了哪些幾何條件？這些幾何條件有什么關(guān)系?從這些幾何關(guān)系出發(fā)又能得到什么樣的新的幾何關(guān)系?某些幾何關(guān)系成立需要有怎樣的幾何條件?）找到最優(yōu)解題方案，發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)對(duì)優(yōu)化運(yùn)算路徑的選擇．教學(xué)難點(diǎn)1.對(duì)優(yōu)化運(yùn)算路徑的選擇；2.尋找以“減少運(yùn)算量、降低運(yùn)算難度、提高運(yùn)算效率”為目標(biāo)的合理轉(zhuǎn)化方式．四、教學(xué)方法分析為了讓學(xué)生尋找以“減少運(yùn)算量、降低運(yùn)算難度、提高運(yùn)算效率”為目標(biāo)的合理轉(zhuǎn)化方式，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺(tái)．因此，在教學(xué)過(guò)程中優(yōu)化不同解題方案，可以讓學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)中來(lái)．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問(wèn)題引導(dǎo)方式來(lái)組織課堂教學(xué)．問(wèn)題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題主線，通過(guò)自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)的目的．在教學(xué)過(guò)程中，重視優(yōu)化運(yùn)算路徑的選擇，讓學(xué)生體會(huì)到從繁到簡(jiǎn)的基本過(guò)程．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容與核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合的嘗試。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教師活動(dòng)與任務(wù)設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)與任務(wù)解決設(shè)計(jì)意圖或達(dá)成目標(biāo)核心任務(wù)一環(huán)節(jié)一引入課題，明確目標(biāo)解析幾何是歷年高考中的主干知識(shí)點(diǎn)之一，涉及解析幾何的試題經(jīng)常出現(xiàn)運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，因此，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算、簡(jiǎn)化解題過(guò)程成了圓錐曲線問(wèn)題中追求的一個(gè)目標(biāo)．本節(jié)課我們針對(duì)2023年北京高考第19題進(jìn)行求解分析，探索如何優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，希望對(duì)同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)有所幫助．求橢圓的方程；針對(duì)第（2）問(wèn)，我們來(lái)共同思考如下問(wèn)題：1.你認(rèn)為題干中的關(guān)鍵詞有哪些?2.你想如何解決這個(gè)問(wèn)題？3.根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為自己在解決問(wèn)題過(guò)程中會(huì)遇到哪些困難？準(zhǔn)備如何克服？動(dòng)點(diǎn)——點(diǎn)；要證明的是變化中的不變關(guān)系，可以將幾何中的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系．轉(zhuǎn)化過(guò)程中，不同的轉(zhuǎn)化結(jié)果所帶來(lái)的運(yùn)算量和運(yùn)算難度是不一樣的．因此，我們要尋找以“減少運(yùn)算量、降低運(yùn)算難度、提高運(yùn)算效率”為目標(biāo)的合理轉(zhuǎn)化方式．從學(xué)生自身學(xué)習(xí)體驗(yàn)出發(fā)提出問(wèn)題，獲得學(xué)生心理認(rèn)同，搭建思考、探究的平臺(tái)，為后續(xù)的討論指明了方向，讓學(xué)生能說(shuō)、敢說(shuō)．第（1）問(wèn)比較簡(jiǎn)單，容易得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．第（2）問(wèn)通過(guò)3個(gè)設(shè)問(wèn)幫助學(xué)生分析題意，梳理解題思路，明確探究目標(biāo)．環(huán)節(jié)二分組探究交流我們已經(jīng)在上節(jié)課進(jìn)行了自主探究，現(xiàn)在每個(gè)小組成員之間進(jìn)行交流討論，然后每組派代表闡述本組解題方案．解法1思路清晰，難點(diǎn)在于化簡(jiǎn)直線的斜率時(shí)運(yùn)算量較大，學(xué)生容易出錯(cuò)．解法2因?yàn)辄c(diǎn)的三角形式中已經(jīng)蘊(yùn)含了點(diǎn)在橢圓上的信息，所以利用三角形式進(jìn)行運(yùn)算會(huì)減少運(yùn)算量．但是由于是化簡(jiǎn)求值，所以三角形式的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)得不是很充分，三角形式在求解代數(shù)式取值范圍時(shí)優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯．解法3思路簡(jiǎn)潔，但是由于直線的方程繁瑣而導(dǎo)致聯(lián)立化簡(jiǎn)的過(guò)程較復(fù)雜.設(shè)直線的方程在與橢圓聯(lián)立化簡(jiǎn)的過(guò)程中會(huì)減少一定的計(jì)算量，也是一種優(yōu)化．在解析幾何綜合問(wèn)題中，往往依據(jù)題目條件步步推進(jìn)便可以形成解題路徑，若能有邏輯地“翻譯”相關(guān)條件則可以大幅度提高解題效率．“設(shè)點(diǎn)”和“設(shè)線”是處理解析幾何綜合問(wèn)題常用的思路和方法，若能從優(yōu)化運(yùn)算思路的角度對(duì)從“點(diǎn)”入手還是從“線”入手進(jìn)行細(xì)致比較，則邁出了運(yùn)算素養(yǎng)提升的第一步．解法1.設(shè)點(diǎn)代入設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)后，按照試題給出的已知條件分別求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)均可以用點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，表示，求解直線的斜率后利用橢圓方程化簡(jiǎn)即可以得到其為定值．解法2.設(shè)點(diǎn)的三角形式解法3：設(shè)線聯(lián)立這一環(huán)節(jié)，老師讓學(xué)生交流自己的解題方案，積極參與到課堂的過(guò)程中，在輕松、融洽的教學(xué)氛圍中，緊扣優(yōu)化解題思路進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生的思維有明確的方向，并使之發(fā)生碰撞，激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，水到渠成地引出優(yōu)化方案，使學(xué)生覺(jué)得很簡(jiǎn)單、很有趣．這樣既加強(qiáng)了“雙基”，又培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維品質(zhì)．核心任務(wù)二環(huán)節(jié)一顯然，這樣轉(zhuǎn)化后計(jì)算量會(huì)大幅度減少．首先，不用求解點(diǎn)的縱坐標(biāo)；其次，避免了對(duì)直線斜率的化簡(jiǎn)運(yùn)算．請(qǐng)同學(xué)們按照這種思路對(duì)解法1和解法3的優(yōu)化．解法4：所以，對(duì)于學(xué)生前面探究的解法13,計(jì)算量大，想要快速解決問(wèn)題存在困難，因此想到“執(zhí)果索因，優(yōu)化過(guò)程”．學(xué)生對(duì)自己原先的理解產(chǎn)生質(zhì)疑,與原有的知識(shí)產(chǎn)生了碰撞,產(chǎn)生了對(duì)優(yōu)化解題過(guò)程的強(qiáng)烈渴望．整個(gè)教學(xué)流程體現(xiàn)了“以生為本,因材施教”的教學(xué)準(zhǔn)則,讓學(xué)生易于接受、掌握．環(huán)節(jié)二上述解法4和解法5是從代數(shù)角度對(duì)平行關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．由于解析幾何兼具代數(shù)和幾何的特性，所以我們是不是也可以嘗試從幾何角度，通過(guò)分析幾何關(guān)系“執(zhí)果索因”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步優(yōu)化運(yùn)算思路呢？這是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算的體現(xiàn)。環(huán)節(jié)三總結(jié)優(yōu)化運(yùn)算的路徑對(duì)于解析幾何綜合問(wèn)題來(lái)說(shuō)，優(yōu)化運(yùn)算的方法和途徑有很多，細(xì)節(jié)往往決定著解題的成?。趧偛诺慕忸}過(guò)程中，你有哪些感悟？1.解題方法的選擇.要在“設(shè)點(diǎn)”和“設(shè)線”兩個(gè)基本思路和方法上做出選擇，關(guān)鍵是要注意直線與圓錐曲線聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系所得到的數(shù)式能否被有效利用．2.具體的“點(diǎn)”或“直線”及其形式的選擇．設(shè)點(diǎn)時(shí)，選擇哪個(gè)點(diǎn)，用哪種形式？設(shè)直線時(shí)，選擇哪條直線，用哪種形式？往往關(guān)系著運(yùn)算過(guò)程能否繼續(xù)化簡(jiǎn)，問(wèn)題能否繼續(xù)解決．選擇時(shí)要以參數(shù)少、形式簡(jiǎn)單為基本標(biāo)準(zhǔn)．

3.逆向思維明確方向.利用“執(zhí)果索因”“先猜后證”等思想方法進(jìn)行逆推，以在明確研究目標(biāo)的情況下優(yōu)化過(guò)程.4.要深挖幾何條件背后的數(shù)量關(guān)系．可以利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行適度的推理與轉(zhuǎn)化，盡可能直接得到易于用坐標(biāo)表達(dá)的數(shù)量關(guān)系．在解析幾何問(wèn)題的求解過(guò)程中，教師要以思路清晰、運(yùn)算量小、復(fù)雜程度低為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生在推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、簡(jiǎn)潔性、靈活性，運(yùn)算的正確性、敏捷性，以及算法的有效性和高效性選擇上進(jìn)行充分思考和比較，不斷優(yōu)化運(yùn)算思路，鼓勵(lì)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理方法的基礎(chǔ)上真正提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。環(huán)節(jié)四拓展問(wèn)題，提升認(rèn)識(shí)我們已經(jīng)對(duì)這道試題進(jìn)行了深入分析，總結(jié)了優(yōu)化運(yùn)算的一些路徑，同學(xué)們能否針對(duì)這道題進(jìn)行變式，并應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)解決問(wèn)題？（根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容完成情況待定）變式1.改變橢圓的方程變式2.改變點(diǎn)位置變式3.改變兩條平行線的位置變式4.改變兩條線的平行關(guān)系通過(guò)讓學(xué)生對(duì)高考題進(jìn)行變式，拓展學(xué)生思維廣度，提升對(duì)解析幾何問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性．課堂小結(jié)六、作