第十七章勾股定理單元測(cè)試（基礎(chǔ)卷）

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.在AABC中，/A、NB、/C的對(duì)應(yīng)邊分別是a、b、c,若/A+/C=90°,則下列等式中成立的是（）

A.a1+b2=c2B.b2+c2=a2C.a2+c2=b2D.c2-c^=b2

【解答】解：?.,在△ABC中，ZA+ZC=90°,

：.NB=90°,

.二△ABC為直角三角形，

則根據(jù)勾股定理得：a2+c2=b2.

故選：C.

【小結(jié)】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

2在一個(gè)直角三角形中，若斜邊長(zhǎng)為5cm一條直角邊的長(zhǎng)為3cm,則另一條直角邊的長(zhǎng)為（）

A.4cmB.4c根或

C.y[34：cmD.不存在

【解答】解：：一個(gè)直角三角形中，斜邊長(zhǎng)為5”?,一條直角邊的長(zhǎng)為3cm

根據(jù)勾股定理得：另一條直角邊為＜52—32=4cm.

故選：A.

【小結(jié)】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2,0）和（0,3）,則這兩點(diǎn)之間的距離是（）

A.V13B.V5C.13D.5

【解答】解：（2,0）和B（0,3）,

：.OA=2,02=3,

：.AB^y/OA2+OB2=V13.

故選：A.

【小結(jié)】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜

邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵

4.圖中不能證明勾股定理的是()

A.B.

【解答】解：A選項(xiàng)不能證明勾股定理;

2選項(xiàng)，通過大正方形面積的不同表示方法，可以列式(a+b)2=4x|ab+c2,可得。2+》2=。2；

C選項(xiàng)，通過梯形的面積的不同表示方法，可以列式與火=2x[ab+Tc2,可得a2+b2=c2；

D選項(xiàng)，通過這個(gè)不規(guī)則圖象的面積的不同表示方法，可以列式c2+2X+62+2X之防，可得a?+

b2—c2.

故選：A.

【小結(jié)】本題考查勾股定理的證明方法，熟練掌握內(nèi)弦圖、外弦圖是解題關(guān)鍵.

5.在△ABC中，ZA,ZB,/C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a+c)(a-c)=必，則()

A./A為直角B.NB為直角C.NC為直角D.NA是銳角

【解答】解：：(a+c)(a-c)=序,

.".a2-c2=b2,

.".a1=b2+c2,

...△ABC是直角三角形，

NA為直角，

故選：A.

2

【小結(jié)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體，把它分成3X3X3個(gè)小正方體，小正方體的棱長(zhǎng)都是1.如果一只螞蟻從

點(diǎn)A爬到點(diǎn)8,那么估計(jì)A,8間的最短路程d的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：過8作8O_LAC于。，

則A￡>=4,BD=3,

.,.A,B間的最短路程d=732+42=5,

故選：B.

【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用勾股定理求解是解本題的關(guān)鍵.

7.如圖在放ZkABC中，ZB=90°,AB=8,AC=10,AC的垂直平分線DE分別交A8、AC于。、E兩點(diǎn),

5

A.—B.—C.2D.-

242

【解答】解：VZB=90°,A5=8,AC=10,

：.BC=6,

??,DE是AC的垂直平分線，

：.CD=AD,

3

：.AB=BD+AD=BD+CD=8,

設(shè)CD=x,則BD=8-尤，

在心△BCD中，CD2=BC2+BD2,

即X2=62+(8-x)2,

解得x=6.25.

7

ABO=8-6.25=1.75=1

4

故選：B.

【小結(jié)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距

離相等是解答此題的關(guān)鍵.

8.如圖，已知釣魚竿AC的長(zhǎng)為10m，露在水面上的魚線BC長(zhǎng)為6口，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚

竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC的位置，此時(shí)露在水面上的魚線8C為8加，貝。88的長(zhǎng)為()

A.ImB.2mC.3mD.4m

【解答】解："：AC=10m,BC=6m,

：.AB^y/AC2-BC2=V102-62=8(m),

'：AC=10〃z,B'C=8m,

.".AB'=y/AC'2-B'C'2=V102—82=6(m),

：.BB'=AB-AB'=8-6=2(相)；

故選：B.

【小結(jié)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理，根據(jù)已知條件求出和是解題

的關(guān)鍵.

9.如圖，小明想利用"/A=30°,AB^6cm,這些條件作△ABC.他先作出了NA和AB,在用

圓規(guī)作BC時(shí)，10發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C出現(xiàn)G和C2兩個(gè)位置，那么C1C2的長(zhǎng)是()

4

A.3cmB.4cmC.2衣cmD.247cm

【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BMLAC1于點(diǎn)M,

則/BA/A=90°,

VZA=30",AB=6cm,

1

'.BM=々AB=3cm,

；BCi=BC2=4cm,BM±ACi,

22

：.CrM=C2M=V4-3=V7,

：.CXC2=2V7,

故選：D.

【小結(jié)】本題主要考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練

掌握勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,其面積記為S],以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直

角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2,…按此規(guī)律繼續(xù)下去，貝號(hào)2025的值為（）

【解答】解：在圖中標(biāo)上字母E,如圖所示.

5

?.?正方形ABC?的邊長(zhǎng)為1,△COE為等腰直角三角形,

:.DE2+CE2=CD2,DE=CE,

S2+S2—S1.

觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

S1=12=1,

s2f

邑=翔=飄

S4=|S3=(|)3,

???s尸G)

()

當(dāng)”=2025時(shí)，S2025=|2。25-1=(|)2024,

故選：B.

【小結(jié)】本題考查正等腰三角形以及三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是正

確解答的前提.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=V15,AC=顯,則BC長(zhǎng)是3

【解答】解：在△ABC中，ZC=90°,AB=V15,AC=V6,

故BC=y/AB2-AC2=V15-6=3,

6

故答案為：3.

【小結(jié)】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

12.如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為1,則數(shù)軸上的點(diǎn)P表示的實(shí)數(shù)為_2-a一

-2-10P12

【解答】解：如圖所示，由圖形可知：ZAOB=90°,OA=OB=1,由勾股定理得：AB=y/OAI2*+OB2=

Vl2+l2=V2,

：.AB=BP^V2,

7點(diǎn)2表示的數(shù)為2,

...點(diǎn)P表示的數(shù)為：2-或，

故答案為：2-

A

IIII、>

-2-10P°\B2

【小結(jié)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸和勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式.

13.有以下幾組數(shù)據(jù)①3、4、5②17、15、8(3)10,6、14④12、5、13⑤300、160、340,⑥0.3,0.4,0.5.其

中可以構(gòu)成勾股數(shù)有①②④⑤.

【解答】解：①32+42=52,符合勾股數(shù)的定義；

②82+152=289=172,符合勾股數(shù)的定義；

③1。2+62#142,不符合勾股數(shù)的定義；

@52+122=169=132,符合勾股數(shù)的定義；

⑤30()2+1602=115600=3402,符合勾股數(shù)的定義；

⑥0.3,0.4,0.5不是正整數(shù)，不符合勾股數(shù)的定義.

所以，可以構(gòu)成勾股數(shù)有①②④⑤.

故答案為①②④⑤.

【小結(jié)】本題考查了勾股數(shù)的定義，注意：

①作為勾股數(shù)的三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足/+必=。2,但是它們不是正整數(shù)，所以

它們不是夠勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).

7

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；

14.如圖，在△ABC中，是2C邊上的高，分別以線段AB,BD,DC,CA為邊向外作正方形，其中3個(gè)

正方形的面積如圖所示，則第四個(gè)正方形的面積為2.

J.ADLBC,

：.AD2+BD1=AB2=15,AD1+CD1=AC2=12,

J.BD1-C￡>2=15-12=3,

,:BN=5,

ACD2=5-3=2,

.?.第四個(gè)正方形的面積為2,

故答案為：2.

【小結(jié)】本題考查了勾股定理，利用正方形的面積是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，A,B,C是小正方形的

頂點(diǎn)，則45°.

由題意得：AC2=l2+22=5,

BC2=l2+22=5,

8

AB2=l2+32=10,

:.AC2+BC2^AB2,

.'.△ABC是直角三角形，

AZACB=90°,

-：AC=BC=^5,

：.ZABC=ZCAB=45°,

故答案為：45.

【小結(jié)】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線

是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，一牧童在A處放羊，牧童的家在8處，A、8距河岸的距離AC、8Z）分另ij為500加和700加，且C、

。兩地相距500燈，天黑前牧童要將羊趕往河邊喝水再回家，那么牧童至少應(yīng)該走1300m.

______D________C

A

R

【解答】解：作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接BE,并作BF±AC于點(diǎn)F.

貝ij￡F=J8D+AC=500+700=1200m,BF=CD=50Qm.

在RtABEF中，根據(jù)勾股定理得：BE=y/BF2+EF2=V12002+5002=1300米.

.E

…I

：A

tI

B”......-p

【小結(jié)】此題的難點(diǎn)在于確定點(diǎn)P的位置，能夠根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)正確作圖.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）如圖，在△。所中，DE=17,EF=30,跖邊上的中線08=8,請(qǐng)判斷△/5￡/的形狀？并說明

理由.

D

EH

9

【解答】解：△￡>￡尸是等腰三角形.

理由：是EF邊上的中線，EF=30cm,

，EH=l5cm,

,:DE=17cm,DH=8cm,

：.Elf+DH1=DE1,

：.DH±EF,

：.ADHEmADHF,

:.DE=DF,

△。斯是等腰三角形.

【小結(jié)】本題考查的是勾股定理的逆定理和等腰三角形的性質(zhì).

18.（6分）古詩贊美荷花：“竹色溪下綠，荷在鏡里香.”平靜的湖面上，一朵荷花婷婷玉立，露出水面

lOon,忽見它隨風(fēng)傾斜，花朵恰好浸入水面.仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)荷花偏離原地40c〃z（如圖），請(qǐng)問水深多

少？

【解答】解：設(shè)水深為心則荷花的高升10,且水平距離為40cm

則（力+10）2=402+/I2,

解得〃=75.

答：水深15cm.

【小結(jié)】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理的應(yīng)用這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是“水深/z與水平

40組成一個(gè)以/?+10為斜邊的直角三角形”這是此題的突破點(diǎn).

19.（8分）四邊形ABC。中，ZB=90°,AB=3,2C=4,CD^12,AD=13.

（1）求證：△AC。是直角三角形；

（2）求四邊形ABC。的面積.

10

C

A^---------------------------------

【解答】(1)證明：VZB=90°,AB=3,BC=4,

.,.AC=V32+42=5,

,：AC2+CD2=52+n2=169=132=AD2,

.?.△AC。是直角三角形；

(2)解：四邊形ABC。的面積=SAABC+SA4CD=/X4X3+WX12X5=6+30=36.

【小結(jié)】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷

一個(gè)角是不是直角.

20.(8分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為A(3,1),B(2,4)

(1)在圖中畫出△OA8；

(2)△OAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.

(2)△O4B是直角三角形.理由如下：

:。42=32+12=io,(9B2=22+42=20,AB2=l2+32=10,

:.O^+AB2=OB2.

是直角三角形；

1

(3)S^OAB=*AS

=^xVToxVTo

=5.

11

故答案為5.

【小結(jié)】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足。2+b2=c2,那么這個(gè)三

角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及三角形的面積.

21.(8分)如圖，一個(gè)正方體木箱子右邊連接一個(gè)正方形木板，甲螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿a,b,d三個(gè)面走

最短路徑到點(diǎn)&同時(shí)，乙螞蟻以相同的速度從點(diǎn)8出發(fā)，沿d,c兩個(gè)面走最短路徑到點(diǎn)A.請(qǐng)你通過

計(jì)算判斷哪只螞蟻先到達(dá)目的地？

【解答】解析展開a,b,c與d在同一平面內(nèi)，如圖所示.

22

由題意可知，甲螞蟻?zhàn)叩穆窂綖锳iB,ArB=V6+2=V40(cm).

22

乙螞蟻?zhàn)叩穆窂綖樽蠓剑珹2B=V4+4=V32(cm).

因?yàn)楹当悖?/p>

所以48>&28，故乙螞蟻先到達(dá)目的地.

【小結(jié)】此題考查了平面展開-最短路徑問題，勾股定理，熟練求出的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵.

22.(8分)“三農(nóng)”問題是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的根本問題，實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國(guó)的關(guān)鍵舉措.如

12

圖，公路上A、B兩點(diǎn)相距50初3C、。為兩村莊，DAIAB^A,CB±ABB,已知D4=30hw,CB

=20km,現(xiàn)在要在公路A8上建一個(gè)土特產(chǎn)品市場(chǎng)E,使得C、。兩村莊到市場(chǎng)E的距離相等，則市場(chǎng)E

應(yīng)建在距A多少千米處？并判斷此時(shí)△OEC的形狀，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：△DEC是等腰直角三角形，

理由：設(shè)AE=x,貝i]BE=50-x,

在直角△AOE中，。戌=3()2+/,

在直角△CBE中，CE2=202+(50-x)2,

解得x=20km,

即AE=20km.

答：市場(chǎng)E應(yīng)建在離A點(diǎn)20h〃的位置，

,:AE=2Qkm=CB,AD=30km=BE=50-20=30(km),ZA=ZB=90°,

.'.△ADE經(jīng)ABEC(SAS),

：.DE=CE,ZAED=ZBCE,

'：ZBCE+ZBEC=90°,

ZA￡Z)+ZBEC=90°,

.?.Z￡>￡C=90°,

.?.△DEC是等腰直角三角形.

【小結(jié)】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中根據(jù)。序=3()2+/和C￡2=202+(50-x)

2求尤的值是解題的關(guān)鍵.

23.(8分)綜合與實(shí)踐

【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角

形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2,另一種是等于四個(gè)

直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即1abx4+(b—a)2,從而得到等式c2=|abx4+(b—口尸，化

13

簡(jiǎn)便得結(jié)論+方2=。2.這里用兩種求法來表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求

法

【方法運(yùn)用】千百年來，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向

常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證