專題15解答中檔圓的計(jì)算與證明

一、解答題

1.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△48。中，AB=BD,。。為△48。的外

接圓，2E為。。的切線，NC為。。的直徑，連接。。并延長交于點(diǎn)E.

D

（1）求證：DE工BE；

（2）若48=5n，BE=5,求。。的半徑.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)。，A,5均在格

點(diǎn)上，OA=3,AB=2,以。為圓心，04為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回

答問題：

①過點(diǎn)/作切線ZC,且NC=4（點(diǎn)C在Z的上方）；

②連接。C,交。。于點(diǎn)。；

③連接RD,與NC交于點(diǎn)￡.

（1）求證：AD為。。的切線；

（2）求4E的長度.

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)＞先向上平移6個(gè)單位，再向右平移3

個(gè)單位，用光滑的曲線畫在平面直角坐標(biāo)系上.

初中

y=2x-y=2(x-3)2+6

(0,0)(3,m)

(1,2)（4,8）

（23）（5叫

（T2）僅8）

(-2尚UM

（1）加的值為；

1,1

（2）在坐標(biāo)系中畫出平移后的圖象并求出J=-Q-+5與y=5》29的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)尸（石,%）,0（%,%）在新的函數(shù)圖象上，且尸，。兩點(diǎn)均在對稱軸的同一側(cè)，若

匕>力，則占%2（填“>”或“〈”或“=”）

4.（2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模）如圖，在N48c中，=以45為直徑的。。分

別交幺C、BC于點(diǎn)、D、E.點(diǎn)/在幺C的延長線上，且NCBF=L/C4B.

2

初中

初中

（1）求證：直線跳1是。。的切線；

⑵若AB=3,smZCBF=—，求6尸的長.

5

5.（2024?廣東深圳?福田區(qū)三模）如圖1,4g為。。的直徑,C為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。為就

的中點(diǎn)，連接ND,CD,過點(diǎn)C作CE〃Z。交48于點(diǎn)E,連接?！?DB.

（2）如圖2,過點(diǎn)。作。。的切線交EC的延長線于點(diǎn)尸，若40=0,且7^=前，

求石尸的長.

6.（2024?廣東深圳-33校聯(lián)考二模）如圖，在等腰A48C中，AB=BC,平分

/ABC,過點(diǎn)工作3c交BO的延長線于D,連接CD,過點(diǎn)D作DELBD交BC

的延長線于￡.

（1）判斷四邊形45C。的形狀，并說明理由;

初中

初中

（2）若?！?10,smZDAO=—，求四邊形45CD的面積.

5

7.（2024?廣東深圳-33校聯(lián)考一模）如圖，。。是V4SC的外接圓，直徑8。與NC交于

點(diǎn)E,點(diǎn)尸在8c的延長線上，連接。E,NF=NBAC.

（1）求證：。/是。。的切線；

（2）從以下三個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作為條件，使。尸〃NC成立，并說明理由;

①4B=4C；②[D=DC；③NCAD=NABD；

你選的條件是：.

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖，AD是矩形/BCD的對角線.

（1）求作。，，使得。力與臺。相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設(shè)2。與。/相切于點(diǎn)￡,CF±BD,垂足為尸.若直線C尸與。/

相切于點(diǎn)G,求tanN4D8的值.

9.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模）如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后

可近似看成一個(gè);圓，即?。┿?，已知和遮陽棚桿子0。在同一條直線上，且與地面

垂直，當(dāng)上午某一時(shí)刻太陽光從東邊照射，光線與地面呈45。角時(shí)，光線恰好能照到桿子底

部。點(diǎn)，已知0。長為2m.

初中

初中

（2）如圖（2）當(dāng)下午某一時(shí)刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈60。角，在遮陽棚外，距

離遮陽棚外檐C點(diǎn)正下方￡點(diǎn)（百-1）萬的尸點(diǎn)處有一株高為1.2m的植物，請問植物頂端

能否會(huì)被陽光照射？請說明理由.（671.73）

（3）如圖（3）為擴(kuò)大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一

12

部分，已知新遮陽棚上最高點(diǎn)仍為/點(diǎn)，且外檐點(diǎn)。到2。的距離為《m、到?！ǖ木?/p>

TO

離為丁m.現(xiàn)需過遮陽棚上一點(diǎn)尸為其搭設(shè)架子，架子由線段GP、線段？H兩部分組成,

其中與地面垂直，若要保證從遮陽棚上的任意一點(diǎn)尸（不含N點(diǎn)）都能按照

上述要求搭設(shè)架子，則至少需要準(zhǔn)備m的鋼材搭設(shè)架子.

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）如圖，。。是A48C的外接圓，連接。4交于點(diǎn)

D.

（1）求證：N。4c與互余；

（2）若40=6,BD=10,CD=8,求O。的半徑.

11.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）如圖，在448C中，AB=AC,以4B為直徑的。。

交邊幺C于點(diǎn)。，連接AD,過點(diǎn)C作4g.

初中

初中

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)B作。。的切線，交CE于點(diǎn)、F；（不寫作法，

保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF；

（3）在（1）的條件下，CF=2,BF=6,求。。的半徑.

12.（2024?廣東深圳?光明區(qū)二模）如圖，過圓外一點(diǎn)尸作。。的切線，切點(diǎn)為448是。。

的直徑.連接尸。，過點(diǎn)A作尸。的垂線，垂足為。，同時(shí)交O。于點(diǎn)C,連接

BC,PC.

（1）求證：尸C是。。的切線：

（2）若BC=2,OB=AOD,求切線的長.

13.（2024?廣東深圳-33校三模）如圖，O。是V/5C的外接圓，4D是。。的直徑，F(xiàn)

是延長線上一點(diǎn)，連接CD,CF,且CE是。。的切線.

（1）求證：ZDCF=ZCAD;

（2）若CF=4也,DF=4,求。。的半徑.

14.（2024?廣東深圳?龍華區(qū)二模）如圖，以45為直徑的。。交8C于點(diǎn)。，DE1AC,

垂足為￡.

初中

初中

（1）在不添加新的點(diǎn)和線的前提下，請?jiān)黾右粋€(gè)條件,使直線為。。的切線,

并說明理由；

2

（2）在（1）的條件下，若DE=6,tanZADE=-,求。。的半徑.

3

15.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)二模）如圖，28是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)、E,點(diǎn)P

在。。上，ZPBC=ZC.

（1）求證：CB//PD；

（2）若5c=12,BE=8,求。。的半徑.

16.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)三模）如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上；按下列步完

成作圖，并回答問題：

①作NBAC的平分線2。交。。于點(diǎn)。，

②過點(diǎn)。作直線ZC的垂線，交幺C的延長線于點(diǎn)E,

③連接8。，CD,

（1）求證：直線是。。的切線；

（2）若?！?6，48=4,求4D的長.

初中

初中

17.（2024?廣東深圳?南山區(qū)三模）如圖，以等腰A/BC的腰45為直徑作。。，交底邊8C

于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。垂足為E

（1）求證：為O。的切線;

（2）若DE=4,DC=6,求。。的半徑.

18.（2024?廣東深圳?南山區(qū)二模）如圖，在AASC中，/4C8=90。，點(diǎn)。是4g上一點(diǎn),

且點(diǎn)。在8C上，以點(diǎn)。為圓心的圓經(jīng)過C,D兩點(diǎn).

2

（1）求證：4B是。。的切線；

3

（2）若sin8=1,。。的半徑為3,求NC的長.

19.（2024?廣東深圳?九下期中）家用電滅蚊器的發(fā)熱部分使用了PTC發(fā)熱材料，電阻R（單

位kQ）隨溫度乂單位℃）（在一定范圍內(nèi)）變化而變化，通電后該表記錄了發(fā)熱材料溫度

初中

初中

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中描出實(shí)數(shù)對億R）的對應(yīng)點(diǎn)，猜測并確定R與1之間的函數(shù)

解析式并畫出其圖象；

4

（2）當(dāng)，230時(shí)，R與/的函數(shù)解析式為氏=石/—6.在圖中畫出該函數(shù)圖象；

（3）根據(jù)以上信息，家用電滅蚊器在使用過程中，溫度在什么范圍內(nèi)發(fā)熱材料的電阻不超

過6kQ?

20.（2024?廣東深圳?紅嶺中學(xué)模擬）如圖，在中，4480=90°,點(diǎn)。是邊上

一點(diǎn)，以CD為直徑的。。與邊NC交于點(diǎn)E,連接BE,AB=BE.

（1）求證：是。。的切線；

（2）若tan/ZC8=L,。。的直徑為4,求8D的長.

2

初中

初中

專題15解答中檔圓的計(jì)算與證明

一、解答題

1.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△48。中，AB=BD,。。為△48。的外

接圓，2E為。。的切線，NC為。。的直徑，連接。。并延長交于點(diǎn)E.

D

（1）求證：DE工BE；

（2）若48=5指，BE=5,求O。的半徑.

【答案】（1）見解析（2）375

【解析】

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：

（1）連接8。并延長，交4D于點(diǎn)X,連接OD,易證8。垂直平分4D,圓周角定理,

切線的性質(zhì)，推出四邊形加為矩形，即可得證；

（2）由（1）可知=5,勾股定理求出BH的長，設(shè)。。的半徑為r,在RtAAOH

中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接8。并延長，交4D于點(diǎn)H,連接OD,

D

；AB=BD,OA=OD,

8。垂直平分4D,

/.BH1AD,AH=DH,

初中

初中

為O。的切線，

?；4C為。O的直徑,

ZADC=90°,

，四邊形AfflM為矩形，

/.DE工BE；

【小問2詳解】

由（1）知四邊形AM組為矩形，BHJ.AD,AH=DH,

AH=DH=BE=5,

?■-BH=飛AB?-AH?=545，

設(shè)。。的半徑為「，貝的OA=OB=r,OH=BH-OB=5#-r,

在中，由勾股定理，得：r2=（5）2+（5V5-r）\

解得：r=3A/5;

即：。。的半徑為3行.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)。，A,8均在格

點(diǎn)上，04=3,48=2,以。為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回

答問題：

①過點(diǎn)N作切線ZC,且NC=4（點(diǎn)C在/的上方）;

②連接。C,交。。于點(diǎn)。；

③連接RD,與4c交于點(diǎn)E.

（1）求證：AD為。。的切線；

（2）求NE的長度.

初中

初中

【答案】（1）畫圖見解析，證明見解析

⑵AE=\

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到oc=SA2+Ze?=5，然后證明出

AAOC^ADOB（SAS）,得到NGMC=NOD8=90。，即可證明出AD為。。的切線；

（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=NC=4,然后證明出VA4￡SV8。。，利用

相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

如圖所示，

???ZC是。。的切線,

-.0A1AC,

???04=3,AC=4,

■OC=+AC2=5>

OA=3,AB=2,

OB=OA+AB=5,

：.0B=0C,

又OD=OA=3,ZAOC=ZDOB,

.-.^AOC^DOB(SAS),

.-?ZOAC=ZODB=90°,

ODLBD,

,點(diǎn)。在。。上，

；.BD為OO的切線；

初中

初中

【小問2詳解】

「7AOC咨DOB,

BD=AC=4,

NABE=ZDBO,NBAE=ZBDO,

:NBAE3BDO,

AEABAE2

——=——，即nn——=一，

ODBD34

3

???解得ZE=—.

2

【點(diǎn)睛】此題考查了格點(diǎn)作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角

形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn).

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)先向上平移6個(gè)單位，再向右平移3

個(gè)單位，用光滑的曲線畫在平面直角坐標(biāo)系上.

J=2x2J=2（X-3）2+6

（0,0）（3,加）

（1，2）（4,8）

（2用（5叫

（T2）（2對

初中

初中

”4)

（1）加的值為；

1,1

（2）在坐標(biāo)系中畫出平移后的圖象并求出j=-萬一+5與j=-x29的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)尸（西,%）,0（%,%）在新的函數(shù)圖象上，且尸，。兩點(diǎn)均在對稱軸的同一側(cè)，若

匕＞%，則占々（填“〉”或“〈”或“=”）

【答案】（1）m=6

（2）圖見解析，（6,0）和（—6,0）

（3）＜或＞

【解析】

【分析】（1）把點(diǎn)（3,加）代入y=2（x—3）2+6即可求解.

（2）根據(jù)描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象可得平移后的圖象，在根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)得一元二次方程,

解出方程即可求解.

（3）根據(jù)新函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得：當(dāng)尸，0兩點(diǎn)均在對稱軸的左側(cè)時(shí)，若必〉必，則

網(wǎng)＜9，當(dāng)尸，。兩點(diǎn)均在對稱軸的右側(cè)時(shí)，若%〉％,則再＞/，進(jìn)而可求解.

【小問1詳解】

解：當(dāng)x=3時(shí)，機(jī)=2（3—3,+6=6,

,,m=6.

【小問2詳解】

平移后的圖象如圖所示：

初中

初中

當(dāng)》=后時(shí)，y=0,則交點(diǎn)坐標(biāo)為：旗,0),

當(dāng)x=—6時(shí)，＞=0,則交點(diǎn)坐標(biāo)為：(-75,0),

綜上所述：J=-1x2+5與y=gx的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,0)和(-75,0).

【小問3詳解】

由平移后的二次函數(shù)可得：對稱軸x=3,a=2＞0,

...當(dāng)x＜3時(shí)，7隨x的增大而減小，當(dāng)x23時(shí)，歹隨x的增大而增大，

...當(dāng)P,。兩點(diǎn)均在對稱軸的左側(cè)時(shí)，若%〉外,則為＜々，

當(dāng)尸，0兩點(diǎn)均在對稱軸的右側(cè)時(shí)，若必〉外，則石＞/，

綜上所述：點(diǎn)尸(國,必),。(/，必)在新函數(shù)圖象上，且P。兩點(diǎn)均在對稱軸同一側(cè)，若

%〉內(nèi)，則玉＜X?或再＞/，

故答案為：＜或＞.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，理解二次函數(shù)的性質(zhì),

初中

初中

利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

4.(2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模)如圖，在&48c中，=以4B為直徑的。。分

別交NC、BC于點(diǎn)、D、E.點(diǎn)/在NC的延長線上，且=4g.

2

(1)求證：直線3廠是O。的切線;

(2)若N3=3,smZCBF=—，求AF的長.

5

【答案】(1)見解析(2)4

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，熟練掌握各種

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)連接/E,利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩

銳角相等得到直角，從而證明結(jié)論；

(2)作CGLAF于點(diǎn)G,利用已知條件證明△ZGCSA48/，利用比例式求出線段

長.

【小問1詳解】

證明：連接4E,

4g是。。的直徑，

NAEB=90°,

ZEAB+ZEBA=90°,

???AB=AC,

AEAB=NEAC,

???ZCBF=-ZCAB,

2

ZCBF=ZEAB,

ZCBF+ZEBA^9Q0,

即//BE=90°,

初中

初中

???直線6/是O。的切線;

【小問2詳解】

解：作CGLAF于點(diǎn)G,

在RtZXZBE中，sinZEAB=sinZCBF=—

5

EB_亞

AB~5

AB=3,

..?警

在Rt^5CG中，mZCBF=—=—

SBC5

--CG=I

?/CG//AB,

.GF_CG

???BG=^BC2-CG2=—,

5

:.GF=BF-BG=BF--,

5

?：CG=-,AB=3,

5

BF-5

解得砥=4.

初中

初中

5.（2024?廣東深圳?福田區(qū)三模）如圖1,48為O。的直徑，。為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。為就

的中點(diǎn)，連接2。，CD,過點(diǎn)C作C￡〃Z。交48于點(diǎn)￡,連接?！?DB.

（2）如圖2,過點(diǎn)D作。。的切線交EC的延長線于點(diǎn)尸，若AD=6，且％=前，

求E尸的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）2+72

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，弧與弦，圓心角，圓周角之間的關(guān)系,

等腰直角三角的性質(zhì)與判定，勾股定理等等：

（1）由直徑所對的圓周角是直角得到=90°,由平行線的性質(zhì)得到

NEGB=/CGB=90。,證明△C8G四/XEBG,得到￡G=CG,再證明

△DGE/DGC（SAS）,即可證明?！?￡（C；

（2）如圖所示，連接OD、OC,先求出NZOC=/8DC=90°,貝U

ZCDB=-ZBOC=45°,進(jìn)而得到NZQC=N4D5+NCD5=135°,由平行線的性質(zhì)

2

得到NQCE=45°,則可證明△DCE是等腰直角三角形，可得CD=DE=AD=6，

初中

初中

則CE=41CD=2；

：DE是。。的切線，再證明NCD尸=22.5。=//，得到。尸=CD=g，則

EF=CE+CF=2+血.

【小問1詳解】

證明：設(shè)CE,BD交于G,

???4B為。。的直徑，

/.ZADB=90°,

CE//AD,

：./EGB=ZADB=90°,

ZEGB=ZCGB=90°,

:點(diǎn)。為公的中點(diǎn)，

-'-AD=CD'

：.NEBG=Z.CBG,

又,：BG=BG,

ACBG2AEBG,

EG=CG,

又"：DG=DG,ZDGE=ZDGC,

：.ADG^ADGC(SAS),

：.DE=DC；

AC=BC>

：.ZAOC=ZBDC=90°,

初中

初中

ZCDB=-ZBOC=45°,

2

Z.ZADC=NADB+ZCDB=135°,

ADHCE,

NDCE=180?！猌ADC=45。，

由（1）可得DE=DC,

：./DEC=ZDCE=45°,

/XDCE是等腰直角三角形，

:丁點(diǎn)。為％的中點(diǎn)，

ZD=CD-

CD=DE=AD=6，

CE=亞CD=2；

；DE是OO的切線，

ZODF=90°,

/.ZBDF=67.5°,

ZF=90°-ZFDB=22.5°,

■:AD"EF,

ZADF=180°-ZF=157.5°,

：.NCDF=22.5°=NF,

CF=CD=①,

:?EF=CE+CF=2+6.

圖2

初中

初中

6.（2024?廣東深圳—33校聯(lián)考二模）如圖，在等腰A48C中，AB=BC,平分

/ABC,過點(diǎn)工作〃3c交BO的延長線于D,連接CD,過點(diǎn)D作DELBD交BC

的延長線于￡.

（2）若?！?10,smZDAO=—，求四邊形48CD的面積.

5

【答案】（1）四邊形4BCD是菱形，理由見解析；

（2）25.

【解析】

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角的相關(guān)計(jì)算、菱形

的面積計(jì)算，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

第一問，由等腰三角形三線合一，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可證也C8。，得到

AD=BC,推出四邊形4BC。是平行四邊形，再結(jié)合鄰邊相等，得證；

第二問，由sinND40=sinN5C0,得到5。和BC的比，再利用勾股定理得到8。和CO

的長度，最后由菱形的面積公式得出答案.

【小問1詳解】

四邊形4BC。是菱形，理由如下，

AB=BC,BO平分/ABC,

：.AC1BD,AO=CO,

■：ADHBE,

ZADO=ZCBO,

AADO=^CBO（AAS）,

AD=BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，.

AB=BC,

初中

初中

..?四邊形45C。是菱形.

【小問2詳解】

???GC//CE,。是AD的中點(diǎn)，

???ABOCSABDE,

BO_BC_0C

"BD~BE~DE~2'

：.OC=-D￡=-xlO=5,

22

???ADHBE,

：.ZDAO=ZBCO,

■■■sin/DAO=sinNBCO-

BC5

設(shè)80=x,則5C=VL;，

由Rt^BOC得,X2+52=(V5x)2,

55

x=—，即BO=~,

22

???四邊形/BCD是菱形，

BD=2B0=5,AC=2C0=10,

???^cn=|^C=|x5xlO=25.

故答案為：25.

7.(2024?廣東深圳-33校聯(lián)考一模)如圖，。。是V48C的外接圓，直徑8。與ZC交于

點(diǎn)￡,點(diǎn)尸在8c的延長線上，連接。/，NF=NBAC.

(1)求證：是。。的切線；

(2)從以下三個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作為條件，使。尸〃NC成立，并說明理由;

①4B=AC；②]D=DC；③NCAD=NABD；

你選的條件是：.

初中

初中

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，理解并掌握相關(guān)圖形

的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵.

（1）由直徑所對圓周角為直角可知NA4C+ND4c=90。，結(jié)合圓周定理可知

ADAC=ND3C,由/尸=ABAC，可知ZF+ZDBC=90°，進(jìn)而可知BD1.CF,即

可證明結(jié)論；

（2）若選②，由等弧所對圓周角相等可知結(jié)合（1）證N4DB=NF,

由圓周角定理可知NZD8=N8G4,證得NF=N8C4,進(jìn)而可得結(jié)論；

若選③由同弧所對圓周角相等可知NC4D=NZ）8C,結(jié)合NCAD=NABD,可知

ZABD=ZDBC,得［D=DU同②，可證。E〃NC.

【小問1詳解】

證明：???BD是。。的直徑，

ZBAD=90°,

ABAC+ADAC=9Q°,

''CD=CD

：.ADAC=ZDBC,

又,：NF=NBAC,

：.ZF+ZDBC=90°,則ZBDF=90°,

/.BDVCF,

/是O。的切線；

【小問2詳解】

若選②AD=DC；

;AD=DC'

：.ZABD=/DBF,

由（1）可知：ZABD+AADB=90°=ZDBF+ZF=90°,

NADB=NF,

由圓周角定理可知NADB=ZBCA,

初中

初中

NF=ZBCA,

：.DF//AC；

若選③NC4D=NABD；

CD=CD>

：.ACAD=ZDBC,

ACAD=NABD,

NABD=NDBC,

AD=DC'

同②，可知。9〃NC；

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖，2D是矩形/BCD的對角線.

（1）求作。a使得。/與8。相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，設(shè)AD與。/相切于點(diǎn)E,CFA.BD,垂足為凡若直線C尸與

相切于點(diǎn)G,求tanN4D8的值.

【答案】（1）作圖見解析

⑵

2

【解析】

【分析】（1）先過點(diǎn)/作2。的垂線，進(jìn)而找出半徑，即可作出圖形；

（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)NADB=a,。/的半徑為r,先判斷出進(jìn)而得

出四邊形/EFG是正方形，然后在及中，根據(jù)勾股定理建立方程求解8￡=rtana,

再判定△4SEm△CZJF,根據(jù)8E=DF=rtana,DE-DF+EF=rtana+r,在

4E

RtAADE中,利用tan/4DE=—,得到tan?cz+tana—1=0，求解得到tan/NDB的

DE

值為上1.

2

【小問1詳解】

初中

初中

解：如圖所示，。/即為所求作:

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意，作出圖形如下:

設(shè)NADB=a,。/的半徑為廠，

與。/相切于點(diǎn)E,C/與。/相切于點(diǎn)G,

J.AELBD,AGLCG,BPAAEF=ZAGF=90°,

:CF1BD,

：.ZEFG=90°,

四邊形4BFG是矩形，

又AE=AG=r,

.,?四邊形4EFG是正方形，

EF=AE=r，

在RtAAEB和RtADAB中,NBAE+NABD=90°,NADB+ZABD=90°,

NBAE-NADB=a,

BE

在必△48E中，tanNA4E=——，

AE

BE=rtan?,

?..四邊形/BCD是矩形，

AB//CD,AB=CD,

初中

初中

:./ABE=/CDF,又/AEB=/CFD=90。,

：./\ABE^/\CDF,

BE-DF=尸tana,

DE=DF+EF-rtana+r,

4E

在RtAADE中，tan/ADE=---,即DE?tana=AE,

DE

???(ytana+r)tan^z=r,即tan2a+tana—1=0,

*.*tana>0,

：.tana=1二，即^nZADB的值為避二1.

22

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線

段長建立方程是解決問題的關(guān)鍵.

9.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模）如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后

可近似看成一個(gè);圓，即弧而忑，已知04和遮陽棚桿子0。在同一條直線上，且與地面

垂直，當(dāng)上午某一時(shí)刻太陽光從東邊照射，光線與地面呈45。角時(shí)，光線恰好能照到桿子底

（2）如圖（2）當(dāng)下午某一時(shí)刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈60。角，在遮陽棚外，距

離遮陽棚外檐C點(diǎn)正下方E點(diǎn)（G-1）乃的尸點(diǎn)處有一株高為1.2m的植物，請問植物頂端

能否會(huì)被陽光照射？請說明理由.（有“1.73）

（3）如圖（3）為擴(kuò)大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一

初中

初中

部分，已知新遮陽棚上最高點(diǎn)仍為/點(diǎn)，且外檐點(diǎn)C'到ZD的距離為《m、到。〃的距

2Q

離為一m.現(xiàn)需過遮陽棚上一點(diǎn)尸為其搭設(shè)架子，架子由線段GP、線段？H兩部分組成,

25

其中與地面垂直，若要保證從遮陽棚上的任意一點(diǎn)尸（不含/點(diǎn)）都能按照

上述要求搭設(shè)架子，則至少需要準(zhǔn)備m的鋼材搭設(shè)架子.

【答案】（1）2m

（2）植物頂端不能被太陽照射，理由見解析

【解析】

【分析】（1）解直角三角形。）。，求得結(jié)果；

（2）連接延長尸G交用”于廠，可證得RtAHPW=RtAHOD,從而得出

ZWHO=ZDHO=30°,DH=WH,從而求得?！ǖ闹担M(jìn)而得出

FH=DH-DE-EF=73-1-從而得出

FF=FH-tan=（V3-1）-tan600-tan60°=3-V3?3-1.73=1.27m,進(jìn)一步

得出結(jié)果；

（3）以?！ㄋ谥本€為無軸，D4所在的直線為了軸建立坐標(biāo)系，可求得拋物線的解析式

為y=-^x2+4,從而可設(shè)設(shè)P（m,--m2+4）,從而表示出

22

119

PG+PH=——機(jī)9’+加+4=——（m-l）92+-,進(jìn)一步得出結(jié)果.

222

【小問1詳解】

解：如圖1,

圖1

OA1DX,ZCDX=45°,

初中

初中

ZODC=45°,

VZCOD=90°,OD=2,

OC=OD-taaZODC=2,

\OA=OC=2；

【小問2詳解】

圖2

植物頂端不能被太陽照射，理由如下:

連接。打，延長尸G交用”于「，

?.?用”與。。相切，

ND=AOWH=90°,

OW=OD=2,OH=OH,

Rt^HPW^RtAHOD(HL),

ZWHO=ZDHO=30°,DH=WH,

:.DH=j—=2A/3,

tan/DHOtan30°

?：FH=DH-DE-EF=2^-2-e-D=^-\,

.％=W?tan/￡>以瓶=(G—1)?tan60°-tan60°=3—G標(biāo)3—1.73=1.27機(jī)，

?.-1.27>1.2,

植物頂端不能被太陽照射；

【小問3詳解】

解：如圖3,

初中

初中

圖3

以所在直線為x軸，￡%所在的直線為了軸建立坐標(biāo)系,

.?.幺（0,4）,

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+A,

y=—x"+4,

2

設(shè)p｛機(jī),一g■機(jī)2+4）,

11?a

PH+PG=——nr+m+4=——(m-\\+—,

22V'2

9

當(dāng)加=1時(shí)，PH+PG有最大值為一,

2

9

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì),

解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是理解題意，列出函數(shù)關(guān)系式.

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）如圖，。。是的外接圓，連接。4交BC于點(diǎn)

D.

初中

初中

（1）求證：N。4c與互余；

（2）若40=6,80=10,CD=8,求。。的半徑.

【答案】（1）證明見解析

29

（2）—

3

【解析】

【分析】（1）延長NO交。。于點(diǎn)E,連接C￡,如圖所示，由直徑所對的圓周角是直角,

利用互余及圓周角定理代換即可得證；

40

（2）由題中條件得到ANDBSADCE,利用相似比，代值求解得到。E=——即可確定答

3

案.

【小問1詳解】

證明：延長40交O。于點(diǎn)E,連接C￡,如圖所示：

是。。的直徑，

ZACE=90°,

ZE+ZOAC=90°,

,/NB=NE,

ZOAC+ZB=90°；

【小問2詳解】

解：NADB=NEDC,

初中

初中

AADBSADCE,

.DBDA

,?瓦一而‘

,ZBD=10,CD=8,AD=6,

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及圓周角定理、互余、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)等

知識，熟練掌握圓的性質(zhì)及三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

11.（2024?廣東深圳?福田區(qū)二模）如圖，在&48c中，AB=AC,以4B為直徑的。。

交邊ZC于點(diǎn)。，連接8。，過點(diǎn)C作CE〃4B.

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)B作。。的切線，交CE于點(diǎn)F；（不寫作法，

保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF；

（3）在（1）的條件下，CF=2,BF=6,求。。的半徑.

【答案】（1）畫圖見解析

（2）證明見解析（3）。。的半徑為5.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過點(diǎn)8作4g的垂線，交CE于點(diǎn)、F,即可求解；

（2）根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對的圓周角是直角，證明根據(jù)平

行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出BCD=NBCF,進(jìn)而證明ABCDABCF（AAS）,

即可得證.

（3）由（2）得：BD=BF=6,CD=CF=2,設(shè)48=ZC=2r,再利用勾股定理可

得（2.21+62=（2療，再解方程即可.

【小問1詳解】

初中

初中

解：方法不唯一，如圖所示.

【小問2詳解】

?/AB=AC,

/ABC=NACB.

又,：CE〃AB,

，ZABC=ZBCF,

：.ZBCF=ZACB.

:點(diǎn)。在以48為直徑的圓上,

NADB=90°,

/BDC=90。.

又；BF為00的切線，

ZABF=90°.

?ZCE//AB,

：.ABFC+AABF=130°,

：.NBFC=90°,

ZBDC=ZBFC.

:在△BCD和△8CE中，

ZBCD=NBCF,

<ZBDC=ZBFC,

BC=BC,

/.ABCD^BCF（AAS）.

BD=BF.

【小問3詳解】

由（2）得：BD=BF=6,

初中

初中

Rt^BDC空Rt^BFC,

CD=CF=2,

設(shè)/8=ZC=2r,

AD=2r-2,

?：NADB=90°,

A（2F-2）2+62=（2r）2,

解得：r=5,

.??0。的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性

質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

12.（2024?廣東深圳?光明區(qū)二模）如圖，過圓外一點(diǎn)尸作。。的切線，切點(diǎn)為44S是。。

的直徑.連接尸。，過點(diǎn)A作尸。的垂線，垂足為。，同時(shí)交O。于點(diǎn)C,連接

BC,PC.

（1）求證：尸。是。。的切線：

（2）若BC=2,OB=MJD,求切線尸/的長.

【答案】（1）見解析（2）3V10

【解析】

【分析】⑴連接。C,由垂徑定理可得2。=CD,通過ACM。絲△OCD（SSS）,得

ZAOD=ZCOD,通過ACMP烏AOCNSAS）,可得/。。尸=/。42=90。，根據(jù)切線的

判定定理，即可求解；

（2）由三角形的中位線得到。D=g5C=gx2=l,OA=OB=AOD=5,

在Rt^4DO中，根據(jù)勾股定理，得到4D的長，tanZAOD=3,在RM4P。中，根據(jù)

正切三角函數(shù)，即可求解，

初中

初中

【小問1詳解】

解：連接。C,

13.（2024?廣東深圳-33校三模）如圖，是V45c的外接圓，4D是。。的直徑，F(xiàn)

（2）若CF=，DF=4,求O。的半徑.

【答案】（1）見解析（2）O。的半徑為2

【解析】

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、圓周角、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出

輔助線是解題關(guān)鍵.

（1）連接OC,結(jié)合“直徑所對的圓周角為直角”可得//C0=9O°,即有

ZOCD+ZOCA=9Q°,再結(jié)合切線的性質(zhì)可得。CCE,進(jìn)而可得

ZDCF+ZOCD=90°,可證明NOC4=NDCF,結(jié)合OC=CM,易得

ZCAD=ZOCA,即可證明結(jié)論；

（2）設(shè)。C=O￡>=x,在RtZiOCF中，根據(jù)勾股定理可得0。2+仃2=。92,代入數(shù)

值并計(jì)算，即可獲得答案.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OC,

?/40是。。的直徑,

^ACD=90°,

初中

初中

ZOCD+ZOCA=90°,

：FC是。。的切線，OC為。。半徑,

/.OC1CF,

：.ZDCF+NOCD=90°,

/.ZOCA=ZDCF,

OC=OA,

：.ZCAD=ZOCA,

：.ZDCF=ACAD；

【小問2詳解】

解：設(shè)OC=OD=x,

?；CF=4血，DF=4,

OF=OD+DF=x+4,

OCLCF,

ZOCF=90°,

???OC2+CF2=OF2，

AX2+（4A/2）2=（x+4）2,

解得x=2,

即。。的半徑為2.

?：ACIPO,

：.AD=CD,

,：OA=OC,OD=OD,

：.^OAD^OCD（SSS）,

：.NAOD=ZCOD,

初中

初中

OA=OC,OP=OP,

ZOCP=NOAP,

；P4是OO的切線，

ZOAP=90°,

ZOCP=ZOAP=90°,

尸c是。。的切線，

【小問2詳解】

解：?：AD=CD,AO=BO,

OD=-BC=-x2=l,

22

OA=