專題4角的數(shù)量關(guān)系問題

核心歸納

編寫說明：將此類難題的核心要點(diǎn)總結(jié)、結(jié)合例題加深理解，之后練綜合題目易有解題思路.

何時(shí)

類型輔助線方法及核心常用結(jié)論

用

角平分線法：作二倍角的平分線，為得到相等的角.

條件:/AOB=2NCO'D、

得到等角：Z

輔助線作OE平分/AOB、AOE=ZBOE=Z

CO'D.

0乙----------B0'^---------------D0^-----------------B

加倍法：加倍半角，為得到相等的角.

條件:/AOB=2NCO'D.

得到等角：Z

輔助線：作NCO'E=乙COD

題DO'E=ZAOB.

二倍/J

目中出

角問題。乙-------B0'^^--------D0'^-----------D

現(xiàn)21首用

等腰法：由二倍角關(guān)系，構(gòu)造以二倍角鄰補(bǔ)角為頂角或一倍角為底角得到等角：

的等腰三角形，從而得到等角.輔助線1：

條件:/B=2NC.ZABD=

ZDBC=ZC.

輔助線1：作BD平分/ABC.

輔助線2：

輔助線2:作NCAD=NC.

ZABD=

輔助線3:延長CB至點(diǎn)D,使DB=AB.

ZADB.

AA,

/XAx,/f\輔助線3：

二

--、CBL——君——'ey-——2------------NDNC.

反向延長OB.

得到等角：

絕C、Rz

兩個(gè)

2a+3=180°AOD=ZAOC=a.

配角問條

CD/

角a，B共頂z

題（若兩件中出

A反向延長OA.

點(diǎn)得到等角：Z

個(gè)角滿現(xiàn)絕配

BOD=ZAOC=a.

足a+2（3角或者

以a為底角構(gòu)造等腰三角形.

=180°,則導(dǎo)角后得到等角：Z

兩個(gè)2a+p=180°X

稱a,p為得到絕ACB=0.

角a,|3不共

-組絕配角

以P為頂角構(gòu)造等腰三角形.得到等角：

a

頂點(diǎn)

)￡

配角）kZE=

科----'EZDFE=a.

類型突破

編寫說明：每類例題由淺入深設(shè)置，包含該類型的經(jīng)典情況且在不同幾何圖形背景下，讓學(xué)生先練透每個(gè)類型,

抓住核心本質(zhì)后再綜合練習(xí).

類型1?二倍角問題

例1.如圖在△ABC中、AB=3,AC=4,/B=2/C,求BC的長.（請(qǐng)用三種方法解答）

例1題圖

例2.如圖在48CD中、E是AD的中點(diǎn)，連接BE,CE,若.BE=2巡,BC=5,4DEC=2NAEB,求AB的長.

E

AD

例2題圖

例3如圖，在Rt△ABC中，“=90。,〃48=30。，，D是平面內(nèi)一點(diǎn)，AD^BD,^E在AB的延長線上，

乙E=2/-DAE,BC=V10,BE=等，求AD的長.

例3題圖

類型2.絕配角問題

例4.如圖，D是內(nèi)一點(diǎn)，且BD^CDf/-A=乙BCD,乙ABD=180°-2zCBZ)),AB=3BD,BC=5,^<AC的

長.

例5.如圖，在△ABC中,BC=2AB=2,且乙A=90°+求AC的長?

A

8C

例5題圖

例6.如圖，在RtAABC中,.乙4=90°,D是BC上方一點(diǎn)，且.UBD+2乙ABC=180°,AB+BD=2AC,點(diǎn)E在B

C上,.BD=BE,,射線CF與DE的延長線相交于點(diǎn)F,且/BCF=NACB,若DF=4,BC=3,求CF的長.

綜合提升練

1.在AABC中.CDLAB,/.BCD=^A.

⑴如圖1,求證:AB=AC;

⑵如圖2,延長CD至點(diǎn)E,使CE=AC,連接AE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)F,連接EB,當(dāng)EBLBC時(shí)，探究BC

和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明:

(3)如圖3,將⑵中的“EBLBC”改為“EBLAF”,其他條件不變.

①求證:BC=BF;

若BC=2,求AE的長.

2如圖，在△48c中,BD是中線,E是AB上一點(diǎn),CE與BD相交于點(diǎn)F.EB=EF.

⑴在圖中與ADFC相等的角有和

⑵在圖中找出與線段AB相等的線段，并證明；

⑶若AADB=90°-2BD、

①求證：BD=BA-,

若4B=0C,求案的值、

4DF

第2題圖

3.【模型建立】

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給出如下問題：如圖1,△ABC是等腰三角形，AB=AC,過點(diǎn)B作BDLAC于點(diǎn)

D.若BC=2,AD=3,求CD的氏

第3題圖3

同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自己的思路：

小亮:在RtAABD和RtACBD中,分別利用勾股定理即可求得CD的長;

小星：通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)NA與/I的數(shù)量關(guān)系是/A=2/l,由此在AD上取一點(diǎn)K,使BK=BC,如圖

2，使二倍角轉(zhuǎn)化為等角，再利用相似即可求得CD的長；

⑴請(qǐng)你按照小星的思路解決問題；

小星的思路運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想.王老師為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，將圖1進(jìn)行了變換，并提出下面的問題:

⑵如圖3,在RtAABC中,/ABC=9（F,/C=2NDAB,點(diǎn)E在邊AC上，且DE=CE若AB=CD=6.求AE的長；

【模型遷移】

⑶如圖4公ABC是等腰三角形,AB=AC,CD，AB交BA的延長線于點(diǎn)D,E是邊AC上一點(diǎn)，乙BEA=90°-

^ACB,AE=1,AD=7,求BC的長.

4.2024遼寧模擬【模型建立】

如圖1,點(diǎn)O在直線AB上，射線OC,OD位于直線AB兩側(cè)若/1=/2,則稱/1,N2是關(guān)于直線AB的對(duì)稱角.

當(dāng)射線OC,OD位于直線AB同側(cè)且N1=N2時(shí)，可以通過作對(duì)頂角構(gòu)造出對(duì)稱角，可以反向延長射線OC,

得到N2=N3（如圖2）,或者反向延長射線OD,得到/1=/3（如圖3）.

第4題圖3

【模型應(yīng)用】

（1）小明受到模型啟發(fā)，運(yùn)用兩種方法構(gòu)造出對(duì)稱角解決了下面的問題：

如圖4,點(diǎn)C,D均在AB上點(diǎn)E,F在直線AB外，連接CE,CF,DE,DF,DE與CF相交于點(diǎn)。.若/FDB=NEDA=4

5o,EC=CF,求NECF的度數(shù).

方法一:延長ED至點(diǎn)H,使DH=DF,連接CH.

方法二:延長FD至點(diǎn)H,使DH=DE,連接CH.

請(qǐng)你依照小明的解題思路，任選一種方法，寫出證明過程；

(2)小明又嘗試將(1)中問題進(jìn)行變式提出了新問題，請(qǐng)你應(yīng)用“對(duì)稱角”模型構(gòu)造全等三角形或者按照自己的解題

思路解答.

如圖5,在RtAABC中,NBAC=9(T,D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在AC,BC上,NAFB=NCFE,/AED=/CEF,猜

想AF,EF與DE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

【學(xué)以致用】

⑶如圖6,在四邊形ABCD中，AD\\BC,^BAC=90°-|zCXD,AC,BD相交于點(diǎn)E,且/BEC=60。若AD=5,BD

=15,求AC的長.

5.在四邊形ABCD中,，^ABD=2乙CBD,CD=5,AD=3V10.

⑴如圖1,當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，求BD的長；

(2)如圖2.當(dāng)乙4=NC=乙4BC時(shí)，求BC的長；

(3)如圖3,當(dāng)/BAD+/BCD=18(F,AB=AD時(shí)，直接寫出BC的長.

第5題圖3

專題4角的數(shù)量關(guān)系問題

例1.解方法1：如圖1,作/ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D.

ZABC=2ZABD=2ZDBC.

ZABC=2ZC,.\ZABD=ZDBC=ZC.

；.BD=CD.

VZA=ZA,ZABD=ZC,.\AABD^AACB.

AB_AD_BD3_AD_BD

AC~AB~BC"4-3-BC

9Q7

???AD=-????BD=CD=AC-AD=4

444

47

???BC=-BD=

33

方法2:如圖2,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作NBCD=NACB,交AB的延長線于點(diǎn)D.

JZACD=2ZACB=2ZBCD.

ZABC=2ZACB,ZABC=ZBCD+ZD,

???/ABC=NACD,NACB=ND=NBCD.

△ACB△ADC,BC=BD.

.?.絲=變，即2=

ADACAD4

AD=—：.BC=BD=AD-AB-3=-.

333

方法3:如圖3,延長CB至點(diǎn)D,使BD=AB,連接AD.

???BD=AB=3,NBAD=ND.

ZABC=ZBAD+ZD=2ZD,ZABC=2ZC,

AZBAD=ZD=ZC.

AAC=AD=4,ABAD^AACD.

AB_AD.3_4

??G4-CO，4-CD'

ACD=BC=CD-BD=--3=

333

例2.解如圖，在BC上取一點(diǎn)F,使BF=EF,過點(diǎn)E作EHJ_BC于點(diǎn)H,過點(diǎn)C作CGLAD于點(diǎn)G.

.,.ZEBF=ZBEF,ZEHC=ZCGE=ZCGD=90°.

???ZEFC=ZEBF+ZBEF=2ZEBF.

??.四邊形ABCD是平行四邊形，

JAD//BC,AD=BC=5,AB=DC.

AZAEB=ZEBF,ZDEC=NECF,EH=CG,ZHCG=ZDGC=90°.

J四邊形EHCG是矩形..?.CH=EG.

ZDEC=2ZAEB,.\ZECF=2ZEBF=ZEFC.

BF=EF=EC.FH=CH=-CF.

2

設(shè)BF二EF=EC=x廁（CF=5-x.

FH=CH=?BH=等，在RtAEBH和RtAEFH中、：由勾股定理，EH2=BE2BH2,EH2=E

F2-FH2,

???BE2-BH2=EF2-FH2.

，（2匈,一段￥2

=X

解得x=3（負(fù)值已舍）.

BF=EF=EC=3,EG=CH=FH=1,CG=EH=2V2

VE為AD的中點(diǎn),AD=BC=5,DE=^AD=

3

DG=DE-EG=

2

根據(jù)勾股定理、得DC=y/DG2+CG2=叵.：.AB=叵.

22

例3.解如圖，在AB上取一點(diǎn)M,使AM二DM,過點(diǎn)D作DNLAE于點(diǎn)N.

???NDAE=NADM.

JZDME=ZDAE+ZADM=2ZDAE.

ZE=2ZDAE,.\ZE=ZDME.

1

/.DM=DE.DN±AE,MN=EN=jME.

VAD±BD,.\ZADB=90°.

???ZMDB=90°-ZADM,ZDBM=90°-ZDAE.

JZMDB=ZDBM.AMD=MB=AM.

???在RtAABC中,NCAB=3(r,BC=V10

??.AB=2BC=2V10,??.MD=AM=MB=V10.

CL3>/10CL,CM8V10

BE=—ME=BE+BM=—.

…71J,”4y/10

.?.MN=-ME=-----.

25

???AN=AM+MN=V10+^=等.

在RtAMDN中,根據(jù)勾股定理，得

DN=<MD2-MN2=蜉

.?.在RtAADN中，根據(jù)勾股定理彳導(dǎo)

AD=y/AN2+DN2=6.

例4.解:如圖，在AB的延長線上取點(diǎn)E,使BE=BD,連接CE.

ZABD=180°-2ZCBD,.\ZABC=180°-ZCBD.

XZABC=180°-ZCBE,ZCBD=ZCBE.

XBD=BE,BC=BC,AABCD^ABCE.

ZBCD=ZBCE=ZA,ZE=ZD=90°.

XZE=ZE,/.ABCE^ACAE..1.EE=CEE.

???CE2=BExAE.

AB=3BD,BD=BE,AE=4BE.

???CE2=4BE2,,即CE=2BE.

在RtABCE中，：根據(jù)勾股定理，BE2+CE2=BC2,BC=5,：.BE2+4BE2=25..-.BE=V5.

???AE=4A/5,CE=2V5.

.??根據(jù)勾股定理，得AC=VXE2+CE2=10.

例4版圖例5題圖

例5.解如圖，在CA的延長線上取一點(diǎn)D,使BD=BA,連接BD.AZD=ZDAB..\ZDBA=180°-2ZDAB=180°-2(l

80°-ZBAC)=2ZBAC-180°.

???4BAC=90°+-ZC,

2

,-.4DBA=2(90。+2)-180°=ZC.

又/D=/D,ADBA^ADCB..\DBC=ABD=ABC.

???BC=2AB=2,.-.AB=BD=1..■.—=—=

DC12

13

???AD=-DC=2.AC=DC-AD=

2f2

例6.解:如圖，延長DB,CF相交于點(diǎn)G延長BG至點(diǎn)H,使BH=BC,連接CH.

NABD+2NABC=180o,NABD+NABC+NGBC=180。,，NABC=NGBC.

又BC=BC,ZACB=ZGCB,AAABC^AGBC.

.*.AB=GB,AC=GC,ZA=ZBGC=90°..\ZCGH=90o.

AB+BD=2AC,???BD+BG=2GC,即DG=2GC.設(shè)NABC二NGBC=a.

VBD=BE,BC=BH=3,

???乙BDE=乙BED=二乙BCH=ZH=90°-

22

???Z.CGH=90°,.-?乙GCH=90°—NH=2=ZD.

，2

又/CGH=NDGF,MGCHS/\GDF.

.GH_CH_GC.GH_CH_1

"GF-DF-GD'"GF-4-2

；.GF=2GH,CH=2.

?.?在RtABCG和RtAHCG中，根據(jù)勾股定理,CG?-BC2-BG2,CG2=CH2-GH2,BG=3—GH,

BC2-BG2=CH2-GH2.

32-(3-GH?=22-GH2,GH=|.

1.解:⑴證明:??,CD_LAB,；.NBDC=90。.

11

???乙BCD=???乙B=90°-(BCD=90°--^A.

22

???乙ACB=180°-AA-AB=180°-^A-90°+-^A=90°--^A=￡B.

22

/.AB=AC.

⑵BC=V2EF.

證明:如圖1,過點(diǎn)A作AJJ_BC于點(diǎn)J.

又AB=AC,

1

??乙

?CJA=90°f^BAJ=Z.CAJ=^BAC,B]=CJ.

設(shè)NBAC=a,貝UZ-CA]=^a.

ii

???乙BCD=^BAC=，,；?乙BCD=ACAJ

VEBXBC,.'.ZEBF=ZEBC=90°=ZCJA.

又/BCE=ZCAJ,CE=AC,；.ACBE^AAJC.

BE=JC=BJ.：.BE=|BC.

???ZXCB=90°--ABAC=90°--a,

22

???乙ACE=AACB-乙BCD=90°----=90°-a.

22

???CE=AC,：-/.CAE=/.CEA=3飛。~)=45。+巴.

22

???/.CEA=NF+乙BCD,；.45°+-=ZF+

22

JZF=45°.

在RtABEF中，sinF=

EF

：.BE=EF-sin450=—EF.

2

???yFF=|sc,gpBC=近EF.

(3)①如圖2,過點(diǎn)E作EKXBF于點(diǎn)K.

由⑵可知,NF=45o,BC=2EK.

VBE±EF,.-.ZBEF=90°.

ZEBF=45°=ZF..,.EF=EB.

/.△BEF是等腰直角三角形.

,?EK_LFB,BF=2EK.BC=BF.

②如圖2,過點(diǎn)C作CR±AF于點(diǎn)R.

ZCRE=90°.

又CA=CE,，AE=2ER.

,/ZBEF=ZCRE=90°,.".BE^CR.

又BF=CB,EF=ER./.AE=2EF.

?.?在RtABEF中,cosF=—,BF=BC=2,

BF

■■EF=2xcos45°=y/2.AE=2EF-2y/2.

2.解:(1)NEFB;/EBF點(diǎn)撥：EB=EF,AZEBF=NEFB=NDFC.

(2)CF=AB.

證明:如圖L延長BD到點(diǎn)G,使BD=GD,連接CG.

VBD是4ABC的中線,AD=CD.

又ZADB=/CDG,BD=GD,AABD^ACGD.

/.AB=CG,ZABD=ZG.

由⑴，知/GFC=NEBF.

ZGFC=ZG.ACF=CG.CF=AB.

一題多解如圖2,在BD的延長線上取一點(diǎn)H，使CD=CH.

ZH=ZCDH=ZADB.

VBDBAABC的中線,.，.AD=CD=CH.

由(1),知/ABD=NHFC.

又AD=CH,ZADB=ZH,

AABD^ACFH.AB=CF.

⑶①證明:設(shè)/ABD=a.

???乙4DB=90°--乙ABD=90°--a.

22

AZBAD=180°-ZABD-ZADB=180°-a-(90°-=90°-

???ZADB=ZBAD..\BD=BA.

②如圖3,在FD的延長線上取一點(diǎn)M,使FM=FC,連接CM.

第2題圖3

JZM=ZMCF.

由①知BD=AB,NBAD=NADB.

■:ZMFC=ZABD,

JZM=ZMCF=ZADB=ZBAD.

ZADB=ZMDC,AZM=ZMDC.

二?CM=CD二AD.

設(shè)CM=CD=AD=a,JJUAC=2a.

VCF=AB,I.CF=FM=AB=BD.DM=BF.

33

???AB=-AC,??.AB=BD=CF=FM=-a.

42

NBAD=NADB=NCDM=NM、AAABD^ADCM.

ADAB32

DM=-a=BF.

DMDC23

clccclB25BF4

???DF=BD—BF=-a—a=-a.—

236DF51

3.解:⑴如圖1,在AD上取一點(diǎn)K,使BK=BC.

VBD±AC,BK=BC,

???ZBDC=90°,Z1=ZKBD,CD=KD.

???ZC=9O°-Z1,ZCBK=2Z1.

???AB=AC；?ZABC=ZC=9O°-Z1.

???ZA=18O°-ZABC-ZC=2Z1=ZCBK.

又NC=NC,???Z\CBKs/iCAB..?.登=竺.

CACB

...3=三￡..."。=口負(fù)值已舍）.

CD+3227

A

第3題圖1第3題圖2

(2)如圖2,延長CB到點(diǎn)G,使BD=BG,連接AG,過點(diǎn)A作AFXDE于點(diǎn)F.

VZABC=90°,.-.AB±BD.

又BD=BG,；.AG=AD.

ZDAG=2ZDAB,ZG=ZADG.

又NC=2NDAB,；.NDAG=/C.

又/G=NG,AAGDsACGA.

ZADG=ZCAG..\ZG=ZCAG..\AC=GC.

設(shè)BD=x，貝(JBG=x.

?.?CD=6,JAC=GC=6+2x,BC=6+x.

在RtAABC中根據(jù)勾股定理，AB2+BC2=AC2.

62+(6+%)2=(6+.解得x=2(負(fù)值已舍).

JAC=6+2x=10,BD=DG=2.

設(shè)NC=2NDAB=2a,則ZDAB=a.

???ZABC=90°,.\ZADB=90°-a.

VDE=CE,.\ZEDC=ZC=2a.

.,.ZADE=180°-ZADB-ZEDC=90°-a=ZADB.

VAFXDE,AZAFD=90°=ZABD.

又AD=AD,ZADB=ZADF,△ADB△ADF.

???AB=AF=6,BD=FD=2.

設(shè)EF=y,!MDE=CE=2+y.

???AE=AC-CE=10-(2+y)=8-y.

在RtAAFE中，根據(jù)勾股定理，AF2+EF2=AE2.

62+y2=(8-y)?.解得y=：.

4

725

.-.AE=8--=—.

44

⑶如圖3,延長CA至點(diǎn)G,使BE=BG,過點(diǎn)B作BF_LEG于點(diǎn)F.

AEF=GF.

設(shè)NACB=2a,貝!]^BEA=90°-^ACB=90°-a.

VBE=BG,AZBEA=ZG=90°-a.

???ZEBG=180°-ZBEA-ZG=2a=ZACB.

又NG=NG,???AEBG^ABCG.

JZBEG=ZCBG.AZG=ZCBG,「.CB=CG.

VCD±AB,BF±EG,AZD=ZBFA=90°.

又ZCAD=ZBAF,AC二AB,

JACAD^ABAF.AD=AF=7.

AE=1,：.GF=EF=AF+AE=7+1=8.

設(shè)AC=x,貝?。軦B=x,BC=CG=AC+AF+GF=x+7+8=x+15,BD=AB+AD=x+7.

在RtAACD和RtABCD中，根據(jù)勾月殳定理，CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.

??222

?AC-AD=BC-即/_72=（%+15）2一（%+7）2.解得x=25（負(fù)值已舍）.

???BC=25+15=40.

4.解:（1）選擇方:去一.

如圖1,延長ED至點(diǎn)H,使DH=DF,連接CH.

VZFDB二NEDA=45°,AZBDH=ZEDA=45o,ZEDF=180°-ZEDF=180o-ZEDA=90°.

??.Z,FDC=（HDC=90°+45°=135°.

又CD=CD、DF=DH,AFDC^AHDC.

二?CH=CF,NF二NH.

???EC=CF,???EC=CH..??ZE=ZH.ANE=NF.

ZEOC=ZFOD,AZECF=ZEDF=90°.

第4題圖1第4題圖2

一題多解選擇方法二.

如圖2,延長FD至點(diǎn)H,使DH=DE,連接CH.

ZFDB=ZEDA=45°,AZCDH=ZFDB=45°=ZEDA,ZEDF=180°-ZEDA-ZFDB=90°.

又CD=CD,DE=DH,AEDC^AHDC.

.*.EC=HC,ZE=ZH.

VEC=CF,.\CF=HC..\NF=NH=NE.

???ZEOC=ZFOD,.\ZECF=ZEDF=90°.

(2)AF二EF+DE.理由如下：

如圖3,延長FE至點(diǎn)H,使HE=DE,連接AH,AD.

ZAED=ZCEF,ZCEF=ZAEH,

ZAED=ZAEH.

又DE=HE,AE=AE,AAED^AAEH.

JNHAE=NDAE.

???在RtAABC中,NBAC=90o,D是BC的中點(diǎn).

???AD=CD..??ZC=ZDAE=ZHAE./.AH//CB.

JZH=ZCFE=ZAFB=ZHAF.JAF=HF.

HF=EF+EH,AF=EF+DE.

⑶如圖4,延長DA至點(diǎn)F,使AF=AC,過點(diǎn)F作FG^DB于點(diǎn)G,連接BF.

i

???ABAC=90°--ZCXD,

2

i

???4BAF=180°-Z,CAD-^BAC=90°--Z.CAD=NBAC.

2

又AF=AC,AB=AB,???△ABF^△ABC.ABF=BC.

又AD〃BC,???ZBAF=ZABC=ZABF.

???BF二AF二AC=BC..二四邊形ACBF是菱形.

ABF//AC.AZFBG=ZBEC=60°.

VFG±BD,.\ZFGB=ZFGD=90°..\ZBFG=30°.

i

???BG=-BF.

2

設(shè)AC二BC=BF=AF=x,貝!]BG=|x.

在RtABFG中根據(jù)勾股定理得FG=y/BFi2-BG2=y%.

1

AD=5,BD=15,JDF=5+x,DG=15-x.

2

在RtAFDG中，根據(jù)勾股定理,FG2+DG2=DF2.

G")+(15-|x)=(5+%)2.%=8.AC=8

5.解:⑴如圖1,在BD上取一點(diǎn)E,使BE=CE,過點(diǎn)C作CFLBD于點(diǎn)F.

:.ZDEC=2ZCBD=2ZECB.

丁NABD=2NCBD,???NDEONABD.

??.四邊形ABCD是平行四邊形，

...AD=BC=3^10,AB\\CD.

：.ZEDC=ZABD.JZDEC=ZEDC.

JCD=CE=BE=5.???EF=DF.

??,在RtABFC和RtAEFC中，根據(jù)勾股定理,CF2=BC2-BF2,CF2=EC2-EF2,

???BC2-BF2=EC2-EF2,BP(3V10)2-(5+EF)2=52-EF2.

：.DF=EF=4.JBD=B