新高考數(shù)學一輪復習

第講平面向量

~~(既有大小又有方向的量叫做向量)

如果w和士是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量,

那么對于該平面內(nèi)的任一向量z都存在唯一的一對實數(shù)%,七,

平面向量

使得￡=%篙+入石，我們把不共線向量石，區(qū)叫做

基本定理

衣示這一平面內(nèi)所有向吊:的一組基底，記為｛公司，

).￡+入后叫做向量法下基底日司的分解式.

平面向量基本定理和性質(zhì)

在中，若點是邊上的點，

線段定比分點ZMBCDHJP=XDC(X#-l),

則向品亞=華誓

的向量表達式

平面內(nèi)三點4,B,C共線的充要條件是：

三點共線定理

存在實數(shù)入出，使近=詼不岬的，其中1+從=1,。為平面內(nèi)一點.

在公然。中，若點D是邊5WJ中點，則中線向量亞=；(近+而

平面向量的坐標表示及坐標運算

1

已知兩個甘零向量）與譏我們把數(shù)量向的cose叫做Z與?的數(shù)量枳（或內(nèi)枳），

記作即7萬=1司歷|??0,規(guī)定：零向量與住?向吊的數(shù)埴積為0.

平面向量的數(shù)量Q-向皿。叫做向量M3方向上的投影數(shù)策，

當。為銳角時，它是正數(shù)；

「（向曼的投影.

當。為鈍角時，它是倒數(shù)；

4平面向量數(shù)量積的幾何意義,;一當。為直角時，它是0.

<刀的幾何意義）~~（數(shù)量枳3萬等廣￡的長度向與否在了方向上射影時cose的乘枳.

a-b=b'a

數(shù)量枳的運算律（歷）防=入而?同=3（坊）

(a+b)'C=a-c+b-c

|4e-a=a-e=\a\cosG')

平面向量的數(shù)量積及其應用當Z與不同向時,o*5=|a||d|；

數(shù)量枳的性質(zhì)；

當Z與否反向時，a-ft=-|a||S|.

。"8鬣。麗硼

《萬石㈤司網(wǎng)）

已知非零向量方=（玉，％）,h=（x2,y2）,夕為向最方、/）的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標表示

模\a\=-Ja-a|方卜、白+/

數(shù)量枳

a-b=\a^b|cos0ah=xix2+y,y1

co、"方"

夾角…一產(chǎn)+羋，

數(shù)量枳的坐標運算|5||*l

方的充要條件a-b=0卬/必月=°

a//b的充要條件a=Zb(b*0)xm-*2%=°

|方,，國的內(nèi)（當此僅

|方.b|與|方||b|的

1+y必IW舊+4?宿V

關系當方〃，時券號成立）

方法與技巧

技巧一.三角形四心與推論：

(1)。是AABC的重心：SABOC:S.COA:S,A0B=1：］：\<^OA+OB+OC=0.

(2)。是AABC的內(nèi)心：S^BOC::^AAOB=a：b：coaOA+bOB+cOC=0.

(3)。是八鉆。的外心：

5:5?:SMCR

ZAARonUrCZAACCZALSAOD-sin2A:sin2B:sin2Cosin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

(4)。是ZVEC的垂心：

SABOC:S^COA:S^AOB=tanA:tan3:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0?

技巧二.常見結(jié)論

內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量片+工二所在的直線上.

(1)

網(wǎng)M

(2)|AB|-PC+|BC|-PC+|C4|-PB=00P為AABC的內(nèi)心.

(2)外心：=尸為△ABC的外心.

(3)垂心：2A?尸8=P8?尸C=PC?尸AoP為△ABC的垂心.

(4)重心：PA+PB+PC=0o尸為△ABC的重心.

2

題型一：平面向量的基本概念

【典例1-1］下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

ab

C.若6都為非零向量，則使口+慟=n°成立的條件是。與6反向共線

D.若a=b,i>=c,則a=c

【答案】A

【解析】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；

B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0,故B正確；

ababab

C選項，因為R與M都是單位向量，所以只有當R與W是相反向量，即a與匕是反向共線時口+卜［=。

才成立，故C正確；

D選項，由向量相等的定義知D正確.

故選：A

【方法技巧】

準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關鍵.共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳

遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關，兩個向量方向相同且長度相等，就是相

等向量.共線向量或相等向量均與向量起點無關.

【變式1-1］給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，

但它們的模能比較大?。虎廴?a=0Q為實數(shù)），則力必為零；④已知九〃為實數(shù)，若汨血則.與

〃共線.其中錯誤命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①錯誤.兩向量共線要看其方向而不是起點與終點.

②正確.因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大小.

③錯誤.因為4a=0，所以4=0或a=o.

④錯誤.當2=2=0時，4a=,此時，°與人可以是任意向量.

所以錯誤命題有3個.

故選：C.

3

題型二：平面向量的線性運算及求參數(shù)問題

【典例2-1］如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線相交于點0,E為的中點，若

法=XA^+〃G(2,〃eR)，則彳+〃等于().

【答案】D

—>—>—>—>1—>—>1—>-?1f3T

【解析】由題意知n￡r=rH+AE=-Ar>+—AC=-AD+—(AB+A￡>)=—AB——AD,

4444

->-13]

因為。E=2AB+〃eR)，所以，=^，〃=一]，2+〃=一],

故選：D.

【典例2-2】古希臘數(shù)學家特埃特圖斯(Theaetetus)利用如圖所示的直角三角形來構造無理數(shù).已知

鉆=3。=8=1,.，30,4(7,0),4(7與8。交于點0,DO=kAB+[lAC,貝。/+〃=()

DC

A.72-1B.1-72C.72+1D.-72-1

【答案】A

【解析】以C為坐標原點，CD,C4所在直線分別為羽y軸建立如圖所示的坐標系,

峰

A

由題意得AC=加，

4

則A(0詞,8冬豐,C(O,O),AB=與，一號,AC=(0,-V2).

\/\7

因為CB=CO=1,NDC3=90+45=135,故N5DC=22.5,

因為tan45=2tan：2.5=1,所以tan22.5=72-1（負值舍去）,

1-tan222.5

所以0C=DCJan22.5=五-1，

故0（0,血-1）.又D（-1,O）,則00=0,3-1）,

[1V2

1二---X

2

因為DO='AB+NAC,所以J,

V2-l=--A-V2/Z

、2

'2=[?-

解得,,所以彳+〃=五-1,

〔〃=-1

故選：A.

【方法技巧】

(1)兩向量共線問題用向量的加法和減法運算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標向量即可，而此類問題又以“爪

子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題.

(2)進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或

首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解.

(3)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系外，有時還需要利用三角形中位線、相似

三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關系的向量來求解.

【變式2-1］如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=a,A￡>=8,點E滿足Ed=，AC,則。片=().

3

C.—a——bD.—a+—b

33333333

【答案】A

2

【解析】由題意知，點E滿足EC=1aC,可得AE=—AC,

3

2221

貝IJDX=AE_AD=5AC_AZ）=5（A5+AO）_AD=5Q_§Z?.

故選：A.

5

【變式2-2］已知矩形ABC。的對角線交于點。，E為A。的中點,^DE=AAB+]uAD（A,〃為實數(shù)）,

則分-/?=（）

3-25/21+^2

22

【答案】A

【解析】如圖

AD

DO=^DA+DC

在11mo中，

DE=^DA+DO

:.DE=-\DA+-DA+-DC\=-DA+-DC=-AB--AD,

2（22）4444

故選:A.

題型三：共線定理及其應用

【典例3-1】已知平面向量b不共線，AB=4a+6b,BC=-a+3b,CD=a+3b，貝！J（）

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

【答案】D

【解析】因為平面向量“，b不共線，所以a,B可以作為平面內(nèi)的一組基底，

又AB=4。+66，BC=—a+3b，CD=a+36，

所以8￡>=BC+C￡>=a+30-a+30=6。，AC=AB+BC=-a+3b+4a+6b=3a+9b，

對于A：因為AB=4a+6b,BD=6b,顯然不存在實數(shù)f使得AB=rBD，

所以A,B,。三點不共線，故A錯誤；

6

對于B：因為AB=4a+6Z>,AC=3a+9b,不存在實數(shù)〃使得AB="AC,

所以A,B,C三點不共線，故B錯誤；

對于C：因為8C=-“+3〃，CD=a+3b，不存在實數(shù)加使得BC=mC。，

所以B,C,D三點不共線，故C錯誤；

對于D：因為AC=3a+9b,CD=a+3b，所以AC=3C￡>，

所以AC〃CQ，故A,C,。三點共線，故D正確.

故選：D

2

【典例3-2］如圖，A5C中，點M是8C的中點，點N滿足=AM與CN交于點

AD=AAM，則彳=()

【答案】C

1122

【解析】在ABC中，點〃是BC的中點，AM=-AB+-AC,則=不48+式4。，

2222

7uum-IQUUK2uun3774

又ANRAB,于是得AO=Z-AN+}AC,因點C,D,N共線，則有彳+萬=1,解得2=丁

所以次4;

故選：C

【方法技巧】

要證明A,B,C三點共線，只需證明AB與8?共線，即證AB=/lBC(4eR).若已知A,B,C三

點共線，則必有AB與BC共線，從而存在實數(shù)彳，使得AB=/IBC.

【變式3-1】已知60是兩個不共線的單位向量，a=eY-e2,b=-2e1+ke2,若。與方共線，貝!|左=__.

【答案】2

【解析】因為a=q—與與6=—2。+左e2共線，所以b=az,

7

c_2—丸

即一2q+左4=力卜一02),又de；不共線，所以［二九，所以左=2.

故答案為：2

【變式3-2］如圖，在ABC中，AC=3AN,尸是BN上的一點，若AP=(加+，+gAC,則實數(shù)加的值

為()

【答案】D

【解析】由題意可知，AN=；NC,所以AC=3A7V，

yiAP=^m+^AB+^AC,B|JAP=^m+^AB+^AN.

因為&P、N三點共線，所以［機+；)+g=l,解得機=；.

故選：D.

【變式3?3】如圖，點G為5c的重心，過點G的直線分別交直線AB,AC點Z),E兩點，

AB=3mAD(m>0),AC=3nAE{n>0),貝(j根+〃=；若〃>相>0,則的最小值為.

mn-m

【答案】13+2近

【解析】因為點G為AABC的重心，

mr1uuniuuir

所以AG=-A5+—AC,

33

因為A5=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),

8

所以AG=mAD+nAE，

因為O,G,E三點共線，

所以根+〃=1,

111111

則〃=1一機>機，貝ljO<zn<一,代入——I-----得——I------,0<m<—

2mn-mm1-2m2

=-------,0<m<—,

、)ml-2m2

f,(m\=-^-+z-

-2m2+4m-1

m2(1-2m)2

令/'(m)=0,貝|加==1或巧&(舍)

(2-

且當〃0,---時，/遞減

I2)

“2-拒

當相￡—--時，/r(m)>0,/(m)遞增

(22)

所以當m=三色時，/(帆)有極小值，即最小值，

f.------產(chǎn)H--------=r=3+2A/2

且Lmm2-0l-(2-V2)

2

故答案為：1;3+2.72.

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用

【典例4-1】給定平面上的一組向量e；、e；,則以下四組向量中不能構成平面向量的基底的是()

A.2q+%和q-e2B.q+3e2和e2+3q

C.3q-e2和2e?-6qD.q和q+e?

【答案】C

【解析】對A：不存在實數(shù)沈，使得2[+%=彳,-《2),

故2q+02和q-e2不共線，可作基底；

對B：不存在實數(shù)彳，使得q+3e2=/l(e2+3eJ,

故e；+3e；和e2+3e；不共線，可作基底；

9

對C：對3弓-02和2e2-6q,因為q,e；是不共線的兩個非零向量,

且存在實數(shù)一2,使得2e2-6q=-2(3q-e；

故3q-e2和2e2-6q共線，不可作基底；

對D：不存在實數(shù)九，使得q=Xq+e2,故e；和令+/不共線，可作基底.

故選：C.

【典例4-2］如圖，在AA8C中，點。,D,E分別為BC和8A的三等分點，點?？拷c8,交CE于

點尸，設BA=b)則3尸)

A.-UB.L+酎C.-d+-bD.Z+匕

77777777

【答案】B

【解析】設AP=2AD，EP=juEC,

所以8P=AP—A8=；lAr)-AB=；l(Br)-8A)—A8,

y.BD=-BC,所以8尸=18C+(1-X)8A,

2

因為BE=—BA,

o0。

所以族=BE+E尸=13A+〃EC=§BA+〃(BC-8E)=”-〃)S4+〃BC

4,3

Z=—

7

所以；,，解得

1

——=

[33

1414

所以BP=—3C+—3A=—a+—b,

7777

故選：B.

【方法技巧】

應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或

數(shù)乘運算，基本方法有兩種:

(1)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止.

10

(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.

(3)三點共線定理：A,B,尸三點共線的充要條件是：存在實數(shù)；1,〃，使=+其中

2+〃=1,。為外一點.

AD

【變式4-1］在ABC中，點。在邊AB上且滿足==2,E為BC的中點，直線。E交AC的延長線于點

DB

F,貝UBF=()

A.BA+2BCB.-BA+2BCC.2BA-BCD.-2BA+BC

【答案】B

由題，A,C,尸三點共線，則班'=%&!+(I-%)BC,

D,E,尸三點共線，則2尸=〃2。+。一〃)2石=]BA+—止BC,

2

???；，得W，

1-2=1^〔〃=-3

12

-BF=-BA+2BC-

故選：B.

【變式4?2]如圖，平面內(nèi)有三個向量。4,0B，OC，其中。405=120,04,0。=30,且

OA=OB=1,0C=2。^OC=mOA+nOB，則m+n=___.

B\120°

0A

【答案】6

【解析】

O、A

連接A8，交OC于點。，

貝UZDOA=ZOAD=ZOBD=30°,NBOD=90°,\OD\=tan30°=,

II

3=以=+則=手

1?1

法一c由平面向量基本定理得OD=OA+A￡>=Q4+—AB=-OA+—OB,

333

因=26=6口葉

OC=6^OA+^OB]=4OA+2OB,m+n=6.

OC】_℃_2/

法二：根據(jù)等高線定理可得而=左=〃?+"/=而=詞=6,；?根+〃=6.

T

故答案為：6

【變式4-3］已知ABC為等邊三角形，分別以CA,C8為邊作正六邊形，如圖所示，則（)

7

B.EF=-AD+3GH

2

9

C.EF=5AD+4GHD.EF=-AD+3GH

2

【答案】A

【解析】選取AB,AC為基底，

EF=EH+HF=3AB+AC，

AD=BG=2BC=-2AB+2AC，

GH=GB+BH=2CB+AB=2AB-2AC+AB=3AB-2AC^

設EF=xAD+yGH=-2xAB+2xAC+3yAB-2yAC

=(~2x+3y)AB+(2x-2y)AC,

9

-2x+3y=3x=—

2,

2x—2y=l

y=4

9

即EF=—AO+4GH.

2

故選：A

12

題型五：平面向量的直角坐標運算

【典例5-1］已知。為ABC的外心，A(0,0),B(2,0),AC=l,ZBAC=120,>AO=AAB+juAC,則

%+〃=()

A.—B.2C.1D.—

36

【答案】D

【解析】若A(0,0),8(2,0),AC=l,NA4C=120,則有。，如圖所示,

設,ABC的外心。(y)，由儂=。卻，得"77=J(x-2『+y2,解得x=l,

解得y孝

又AC=,AB=(2,0),

由AO=AAB+pAC,=2(2,0)+〃

22-1//=l

2=-

6

,解得

G2734

N=一

3

故4+4=：

6

【典例5-2】已知梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,三個頂點A(4,2),3(2,4),C(1,2).則頂點。的坐

標.

【答案】(2,1)

【解析】:在梯形ABCD中，AB=2DC,ABIICD,44,2),3(2,4),C(l,2).

■-AB=2DC.設點。的坐標為(*，y).

則DC=(l-x,2-y),AB=(-2,2).

13

(一2,2)=2(l-x,2-y),即(一2,2)=(2—2羽4—2y),

(2-2x^-2,Ix=2,

解得,故點。的坐標為(2,1).

[4-2y=2,

故答案為：(2』).

【方法技巧】

(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標,

則應先求向量的坐標.

(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.

【變式5-1】已知點0(0,0),向量0A=(1,3),。8=(-3,5),點尸滿足AP=2PB，則點尸的坐標為.

513

【答案】

【解析】因為點0(0,0)，向量。4=(1,3),。月=(-3,5),

所以4(1,3),3(-3,5),

設尸(x,y),貝IAP=(x,y)—(1,3)=(x—1,y—3),

PB=(-3,5)-(X,J)=(-3-%,5-J),

5

X=——

x-\=2(-3-x)513

因為AP=2P6，所以解得所以尸

y-33'T

y=-

-3

513

故答案為:

題型六：向量共線的坐標表示

【典例6-1】已知。=(4,一2),人=(6,y),且q//b，貝！!〉=—.

【答案】-3

【解析】由q//b可得4y=-2x6,解得，y=-3.

故答案為：-3.

【典例6-2】已知向量A5=(2,3),BC=(2機,5),8=(3,-1),若4瓦。三點共線，則

【答案】

0

【解析】由5。=區(qū)。+8=(2機+3,4),又A民。三點共線，

所以AB=(2,3)與50=(2m+3,4)共線，得2x4-3x(2m+3)=0,解得m=一：.

14

故答案為：

6

【方法技巧】

(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若“=(和y),b=(x2,y2),則4〃6的充要條件是

jqy2-x2yt=0；②若。〃b(bwO),貝!Ja=2b.

(2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當兩向量的坐標均非零時,

也可以利用坐標對應成比例來求解.

【變式6-1】已知向量a=(3,4),6=(-1,5),c=(2,3),若a-c與fc+b共線，則實數(shù)/=.

【答案】-6

【解析】因。一，=(3,4)-(2,3)=(1,1),fc+b=r(2,3)+(-l,5)=(2r-l,3r+5),

則由a—C與ic+/?共線可得，3f+5=2f—1,解得f=—6.

故答案為：-6.

【變式6-2］在平面直角坐標系xQy中，已知點4T2),3(1,1),C(-3,l).則A3的中點坐標為；當

實數(shù)m=時，(mOC+OB)IIAB.

【答案】［o,|^|/(0,1.5)3

【解析】因為A(-U),B(l,l),C(-3,l),所以AB的中點坐標為［告L等］,即(°，|)；

又46=。,1)一(一1,2)=(2,-1),08=(1,1),OC=(-3,1),

則mOC+OB=m(-3,1)+(1,1)=(-3m+1,m+1),

因為(znOC+,則2(加+1)=-1(—3m+1),解得相=3.

故答案為：］，￡|；3

題型七：平面向量的數(shù)量積運算

【典例7-1】設平面向量。=(1,3),叫=2,且|a-6|=W,則(2&+b)(a—b)=()

A.1B.14C.714D.VlO

【答案】B

【解析】因為。=(1,3),所以同=9,又|小2,

貝lj|a—切2=〃-2。2+〃=14—2Q2=10,

所以〃力=2，

15

貝ij(2a+=a2-a-b-b2

=20-2-4=14,

故選：B.

【典例7-2】在RtA5c中，ZC=90°,AB=4,AC=2,。為:ABC的外心，則AOBC=(

A.5B.2C.-4D.-6

【答案】D

21

【解析】在RtABC中，AB=4,AC=2,.■,BC=^4-2=2A/3-ZB=30°

.?.(AO,BC)=150。

又。為J1SC的外心，是AB的中點，；.AO=2

uumuun|UtnaiIUUQ.AiA

...AO-BC=|A6>|?|BC|?cos150°=2x2V3x=-6

故選：D

【典例7-3】如圖，圓/為，IBC的外接圓，AB=5,AC=7,N為邊3c的中點，則4V.A"=

37

【答案】y

【分析】由三角形中線性質(zhì)可知4V=；(AB+AC),再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知

\AM\cosZBAM=^\AB\,同理可得kMcos/C4M=gAC,再由數(shù)量積運算即可得解.

【詳解】N是BC中點，

:.AN=^AB+AC),

M為ABC的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，

AM-AB=\AM\^AB\COSZBAM=11=1x52=y,

同理可得A"-AC=/kq=y,

:,AMAN=AM-(AB+AC}=-AMAB+-AMAC=-x—+-x—=—.

2、12222222

16

37

故答案為：y.

【方法技巧】

（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量

數(shù)量積是中學數(shù)學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛.

【變式7-1】已知向量a,b滿足|a|=2抄|=&,且a與b的夾角為專，則卜+今（2°-q=（）

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【解析】'

由|4=2憫=6,且。與b的夾角為F,

〃r、/rr、r2rrr2

所以(a+b),(2a-b)=2Q+a-b-b

=2.+口忤嘮看

=2x2?+2x退=8.

故選：B.

【變式7-2］已知同=6,W=3,向量。在匕方向上投影向量是4e，則a-b為（

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【解析】&在b方向上投影向量為問cos6-e=4e,

|a|cos0=4,z.a-b=\a\|/?|cos0=4x3=12.

故選：A

【變式7?3】已知邊長為1的正方形ABC。，點與尸分別是3GCD的中點，則（）

A.-B.-C.--D.--

4444

【答案】D

【解析】邊長為1的正方形ABC￡>,翳罰=0,網(wǎng)=M=1,

17

DC

EF=-BD=-(AD-AB

22、

故選：D.

題型八：平面向量的夾角問題

【典例8.1】已知單位向量Q,Z?滿足卜-3*3,則cos(〃,Z?)=.

【答案】7

【解析】因為卜—3可=3,且|〃|=|萬|=1,

所以|a-3匕|2=9,

所以a之一+9Z?2=9，

即〃?力=L

6

又a?b=同?|。卜05(〃,0),阿=忖=1,

所以COS(Q,=

故答案為：—.

6

【典例8?2】已知a=(2,l))=(￡-2),左￡R,〃與匕的夾角為夕.若6為鈍角，則一的取值范圍是.

【答案】左vl且左wT

八a-b2k-2

【解析】由c°s9=用"=瓦詬工，且夕為鈍角，所以2左—2＜0,解得左＜1,

當〃//〃時，貝!J2x(—2)-k=0,解得左=-4,此時a與〃夾角為兀，不成立，

.,.左＜1且左wT.

故答案為：左vl且左w-4.

【方法技巧】

18

求夾角，用數(shù)量積，由|利？g|cosq得cosq=進而求得

⑷也西中/?不

向量。力的夾角.

【變式8-1】已知°,〃均為非零向量，若|2a-切=g|=2|a|,則4與》的夾角為.

【答案】y

【解析】由|2a-6|=|b|,可得|2a-次=|邸，即41al2-4a/+|邸=|邸，解得aW=|a『，

2

因為|8|=2|a|,所以cos(a,b)=a-b|a|1

\a\\b\~2\a\2-2

又因為0W(a,?W7T,所以(a力)=4.

故答案為：—■

7T

【變式8-2】已知單位向量6與02的夾角為§，則向量q+2e2與2q-3e2的夾角為

977

【答案】-y/120°

【解析】因為單位向量e；與e；的夾角為三，

所以4芻=同?同8$三=1義1><；=3，

以(q+2e?)?(2q_3e?)=2q一+q?e,_6eJ=2+^—6=——,

\2-2---21

%+24)=G+,e?+4^=l+4x—+4=7,故卜i+2e2|=V7,

2221故忸—3可=旨,

|=4q—12^-e2+9e2=4-12x—+9=7

7

+202)，(261-3%)

-21

所以cos,i+2e2,2ex-3e2^=

卜i+2e2H2q_3477x772

又卜i+2%,2e；-36)￡［。,兀］,

所以向量令+2/與2G-3%的夾角為7.

故答案為：—

19

題型九：平面向量的模長

【典例9-1】已知向量°,b滿足同=1利=3,a-b=（2,㈣,貝中a+b卜.

【答案】3亞

【解析】問=1,忖=3,a-6=（2,n）可得卜-%］=。一+//-2a-6=22+（#）=a-b=O,

故忸+可=+b"+6a-b=yl9+9=372,

故答案為：3后

【典例9-2】平面向量a,6滿足&=（2,1）,ab,a-b=-y/10,則卜|=___.

【答案】72

【解析】設向量6=（x,y）,由可得］=

又a-b=-M,貝1]2了+、=-碗,

解得…季y一練則。=2M

5

所以石==A/2.

故答案為：V2

【方法技巧】

求模長，用平方，|a|=J廬.

【變式9-1］若向量機，"滿足M=1,|〃|=2,且（7九一九）_1_7"，則〉找一4=（）

A.1B.下C.V7D.2

【答案】B

【解析】因為（〃2-九），加，所以（加一〃）?機=0,

所以-|7"||〃|cOSe=0,所以COS(9=g,其中。是根,九的夾角,

所以,=?m-n￥=Jl+4-2x2xlxg=百.

故選：B.

【變式％2］已知平面向量a，6的夾角為『若問=1,|2"，=如，則慟的值為

【答案】3亞

20

【解析】由=V1U兩邊平方得（2a-b）=10,4a--4a-b+b~=