2025北京高一（上）期末數(shù)學匯編

集合與常用邏輯用語章節(jié)綜合（人教B版）

一、單選題

1.（2025北京順義高一上期末）命題p:VxeR,都有e，<l,則命題。的否定為（）

A.iveR,使得e*>lB.VxeR,都有e*>l

C.HxeR,使得e'21D.VxeR,都有

2.（2025北京順義高一上期末）已知集合4={-1,0,2},3={-2,-1,0},則集合AB=（）

A.{o}B.{-1,0}C.{0,2}D.{-2,-1,0,2}

3.（2025北京石景山高一上期末）已知集合4={1,2,3,5},B={2,3},那么AB=（）

A.{3}B.{2,3}

C.{1,5}D.{1,2,3,5）

4.（2025北京豐臺高一上期末）已知集合4={1,2,3,4},3={3,4,5},則AB=（）

A.{3,4}B.{1,2,4,5)

C.{1,2,3,5}D.(1,2,3,4,5}

5.（2025北京西城高一上期末）若命題“Vx>2,都有Y+X>6,則力為（

A.Vx<2,都有爐+尤46；

B.Bx<2,使得d+x46;

C.Vx>2,都有尤46;

D.3x>2,使得V+xWG;

6.（2025北京延慶高一上期末）已知全集。={尤eN|x<6}且4=卜?川龍245},B={xe[/|0<2x<8）,

則AB=()

A.304元44}B.<x<41

C.{1,2}D.{0,1,2,3,4}

7.(2025北京密云高一上期末)已知集合4=3—1"<2},8={0,1,2,3},則AB=)

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{1,2,3}

8.(2025北京密云高一上期末)命題“VxeR,無2+2>0”的否定是()

A.eR,%2+2<0B.3XGR,X2+2>0

C.3XGR,X2+2<0D.VxGR,x2+2<0

9.(2025北京海淀高一上期末)已知集合A=(-l,3],O={-2,—1,0,1,2,3},則A3=()

A.(-1,3]B.{-1,0,1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

10.（2025北京西城高一上期末）已知命題P：3%<0,爐=-天；命題4：VxeR,|x+l|21,則（

A.P和4都是真命題B.。和4都是假命題

C.P是真命題，4是假命題D.P是假命題，鄉(xiāng)是真命題

H.（2025北京西城高一上期末）已知集合4={—2,—1,0,1},B={x\x<0^x>l}9則AB=（）

A.{一2,—1,1}B.{-1,1}C.{-2,—1,0}D.{-2,1}

12.（2025北京西城高一上期末）已知集合A={%|X=2NZ：￡Z},B=^x\x=4m+6n,m,nGz}.則“xeA”

是“xeB”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

13.（2025北京四中高一上期末）正交數(shù)組的概念在現(xiàn)代廣泛應用.設集合

A=^（%1,%2,X3,X4）|玉e{-1,1},i=1,2,3,4}任取（%,%,（%,%），（偽也也也）?A，若=。，

則稱（4,%,%,4）與3也也也）正交.若3aA,且8中任意兩個元素均正交，則B中元素個數(shù)最多是

（）

A.2B.3C.4D.6

14.（2025北京朝陽高一^上期末）已知命題。：*￡N,x2—2x+3>0,則命題，的否定是（）

A.VXGN,x2-2x+3<0B.VXGN,x2-2x+3>0

C.N,%2-2x+3<0D.3x^N,x2-2x+3>0

15.（2025北京朝陽高一上期末）己知集合A=國0<*<3},B={x|x>l},則A3=（）

A.（-8,3）B.（1,+<?）C.（0,3）D.（1,3）

16.（2025北京東城高一上期末）己知集合知={犬|一3<元<0},N={N-lVx<4},則MN=（）

A.{x|-l<x<0}B.{x|x>-3}

C.{尤|-3<尤<4}D.{JC|x<4]

17.（2025北京密云高一上期末）“VABC是等腰三角形”是“VABC是等邊三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

18.（2025北京石景山高一上期末）已知命題p：VxGR+,lnx>0,那么命題力為（）

A.3x^R+,lnx<0B.\/x^R+,lnx<0

C.3x￡R+,lnx<0D.Px￡R+,lnx<0

19.（2025北京石景山高一上期末）設xeR,則“x>1”是"/>『，的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

二、解答題

20.（2025北京豐臺高一上期末）設集合S={123,…㈤,4=其中“,/neN*,且3VmV".若

集合A同時滿足下列兩個條件，則稱集合A是集合S的和諧子集.

條件①：A=S；

條件②：對集合A中任意三個元素<%<為<〃),不存在feN*,使得4="卬+%).

⑴若集合5={1,2,3,4,5,6,7}，4={2,4,6},&={1,3,5,7},請判斷集合A，4是否為集合S的和諧子集(不

需要說明理由)；

(2)若集合5={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A是集合S的和諧子集，且集合A中的最小元素是3,求集合A中元

素個數(shù)的最大值：

⑶若集合5={1,2,3,,2024},且集合A是集合S的和諧子集，求集合A中元素個數(shù)的最大值.

21.(2025北京密云高一上期末)己知集合A={x|04x<7},B=^x\m+l<x<m+3,me'R^.

⑴求集合々A；

(2)當m=5時，求AB；

⑶若AB=B,寫出一個符合條件的根的值.

22.(2025北京密云高一上期末)已知集合A包含有〃(weN*)個元素，A*={尤+y|x,yeA}.

(1)若A={0,l,2},寫出A*;

⑵寫出一個A*,使得A=A*;

⑶當”=4時，是否存在集合4使得4={2,3,5,6,7,8,10}?若存在，求出此時的集合A,若不存在，請說

明理由.

23.(2025北京海淀高一上期末)已知關于x不等式歸-442的解集A={x|0WxW4},集合

B|m-3<x<m+3^.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求實數(shù)機的取值范圍.

條件①：[-2,4]a(AB).

條件②：AB=A.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

24.(2025北京海淀高一上期末)己知非空集合A滿足如下三個性質(zhì)，則稱集合A滿足性質(zhì)P：

①A=Z；

②"x,y,z?A,x+y-z?A?

③VXGA,4x!A；

(1)判斷下列集合是否滿足性質(zhì)P?

A={x\x=4k+2,k^Z]；3={x|x=3左+1,左eZ}.(只需寫出結論)

(2)若集合A滿足性質(zhì)尸，且存在使得-x0?A,求證：VkeZ,xeA,都有fcdA；

(3)若集合A滿足性質(zhì)尸，且{"也c,d}iA,b-a-10,d-c-2025,求所有的符合題意的集合A.

25.(2025北京清華附中高一上期末)設〃eN*,集合含有3〃個元素，若存在三個〃元集合A8,C滿足如

下兩個條件，則稱U為三分集合.

①U=ABC；

②AB,C元素可分別排列為有序數(shù)組(6,。2，，%)，(偽也，也)及(。。2，，%)，使得對Vi=l,2,3,,n,均

有=q,

特別地，當。={1,2,3,4,.,3〃-2,3〃-1,3〃}為三分集合時，稱〃為完美三分數(shù).

如：因為U={1,2,3}為三分集合，所以〃=1為最小完美三分數(shù).

(1)請判斷下列兩個集合是否為三分集合(直接寫出結論)：q={1,2,3,4,5,6},仇={1,3,5,7,8,9,10,11,12}；

(2)求出大于1的最小完美三分數(shù)；

(3)請判斷是否存在無窮多個完美三分數(shù)？若存在，請說明理由；若不存在，則求出最大的完美三分數(shù).

26.(2025北京西城高一上期末)給定正整數(shù)N23,設集合人;,weN*"=l,2,,N}.任取A中兩個元

素%,%,記4={%%}，Bl=[ai+aj,aiaj],7；(A)=4；任取1(A)中兩個元素4，生，記

A,={as,at},B2={as+a?asa,},T2(A)=B2%(匈4；L,以此類推：任取心(A)中兩個元素?！埃琣v,

記4={%,4},Bk={au+av,auav},Tk(A)=Bk4T⑷A，其中一±1，規(guī)定"(A)=A.

(1)當4={3,5,7}時,寫出一組A，耳和工⑷；

⑵是否存在集合A與正整數(shù)3使4(A)={17,37,77}?說明理由；

(3)當&={1,23,4,5}時,是否存在整數(shù)左，使4(匈={5,9,26,120,121}?若存在,寫出一組工⑷,《⑷,

L,4(A)；若不存在，說明理由.

27.(2025北京大興高一上期末)對于給定的集合A,若存在滿足如下條件的集合8：①若

m^n,則〃②Ps,tcB,若s<f,貝/eA,則稱B為A的共朝集合.

S

(1)若4={1,2,4},求A的存在共輾集合B；

⑵若A={q,%，%}，A=N*,A存在恰有4個元素的共軌集合，求證：1FA；

(3)若集合A存在共軌集合B,且A,8=N*,求集合A中的元素個數(shù)的最大值.

28.(2025北京東城高一上期末)已知集合4氏4=2,312,4,3中都至少有3個元素，且A,3滿足：

①且x滬V,總有|x+y|e8；

②且x滬y,總有|x-y|eA.

(1)若集合B={1,2,3},直接寫出所有滿足條件的集合A；

⑵已知—leA,

(i)若x,yeA,且y>x>0,求證：y-xeA.

(ii)求證：N*cA.

29.(2025北京四中高一上期末)設集合4“={1,2,3,,2磯〃eN*,〃22).如果對于的每一個含有

個元素的子集尸，尸中必有4個元素的和等于4〃+1,稱正整數(shù)加為集合&,的一個“相關數(shù)”.

⑴當〃=3時，判斷5和6是否為集合線的“相關數(shù)”，說明理由；

(2)若加為集合的“相關數(shù)”，證明：a-320；

(3)給定正整數(shù)〃.求集合的“相關數(shù)”機的最小值.

30.(2025北京石景山高一上期末)已知集合4={工|"。4“+3},3={x|尤<-2或x>6}.

(1)若AB=0,求。的取值范圍；

(2)若AB=B,求〃的取值范圍.

參考答案

1.C

【分析】由全稱命題的否定，可得答案.

【詳解】由題意可得R：h。eR,e&21.

故選：C.

2.B

【分析】由交集運算即可求解；

【詳解】A={—1,0,2},3={-2,—1,。},

所以A3={-1,0},

故選:B

3.D

【分析】利用并集的定義可求得AB.

【詳解】因為集合4=口,2,3,5},B={2,3},所以A8={1,2,3,5}「{2,3}={1,2,3,5}.

故選：D.

4.D

【分析】根據(jù)集合的并集運算求解即可.

【詳解】因為集合4={1,2,3,4},8={3,4,5},所以A8={1,2,3,4,5}.

故選：D.

5.D

【分析】利用全稱量詞命題的否定直接判斷即可.

【詳解】命題P：Vx＞2,都有/+》＞6是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題,

所以刃為：玉＞2,使得爐+尤46.

故選:D

6.D

【分析】求出集合A8后可求AB.

【詳解】。={0,123,4,5,6},故&={0,1,2},8={1,2,3,4},

故A3={0,1,2,3,4},

故選：D.

7.C

【分析】由題意，根據(jù)交集的概念與運算直接得出結果.

【詳解】由題意知，AnB={0,1,2).

故選：C

8.A

【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題求解即可.

【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，否定全稱命題時，

一是要將全稱量詞改寫為存在量詞，二是否定結論，

所以，全稱命題WxeR,/+2>0的否定為特稱命題HxeR,x2+240,

故選：A.

9.C

【分析】根據(jù)條件，利用集合的運算，即可求解.

【詳解】因為4=(T3］,5={-2,-1,0,1,2,3},

所以43={0,1,2,3},

故選：C.

10.C

【分析】根據(jù)條件，直接判斷出命題。和q的真假，即可求解.

【詳解】由V=-x,得到尤2+x=o,解得尤=0或x=-l,所以命題P為真命題，

又當x=-l時，|x+l|=o<l,所以命題4是假命題，故選項A,B和D錯誤，選項C正確，

故選：C.

11.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解.

【詳解】集合4={-2,-1,0,1},3={x|x<0或xNl},所以AB={-2,-l.l}.

故選:A

12.C

［分析］根據(jù)充分條件及必要條件的判定方法進行判斷.

【詳解】先看充分性：因為4機+6〃=2(2機+3")，當"=0,〃zeZ時，2/n+3n=2m為偶數(shù);

當〃z=l,〃eZ時，2m+3n-2+3n；當〃z=0,〃eZ時，2根+3“=3M；

當7〃=-l,7zeZ時，2m+3n=3n-2；貝!)3m+2a可表示所有奇數(shù)；

綜上，3m+2〃可表示所有整數(shù)，即4帆+6"可表示所有偶數(shù).

因為則所以“xeA”是“xeB”的充分條件；

再看必要性：因為4機+6〃=2(2機+3”)，根,〃eZ,所以“xeB”是“xeA”的充分條件，

即“xeA”是“尤的必要條件.

所以“xeA”是“尤e8”的充要條件.

故選：C.

13.C

【分析】不妨設(LU』)?3,則3中其他元素包含2個1和2個-1,最多共有6個元素，又

(1,1,-1,-1),(-1,-1,1,1),(1,-1,-1,1),(-1,1,1,-1),(1,一1,1,一1),(一1,1,—1,1)三組元素不正交，所以6個元素中

最多只有3個元素在B中，即可得到答案.

【詳解】不妨設?！?1,1"3,

由生4+〃2a+。34+〃4。4=0，則3中最多包含

(1,1,—1,一1),(1,—1,1,—1),(1,T—1,1),(-1,1,1,一1),(—1,1,—1,1),(—1,一1,1,1)6個元素,

又(1,1,一1,一1),(一1,-1,1,1),(1,-1-1,1),(-1,1,1,-1),。,一1,1,一1),(一1,1,一1,1)三組元素不正交，

所以(1』,—1,-1),(1,-1,1,-1),(1,-1,-1,1),(-1,1,1,一1),(-1,1,-1,1),(-1,一1,1,1)6個元素中最多只有3個元素在集

合B中，如8={(1,1,1,1),(1,1,—1,一1),(1,一1,1,一1),(1,一1,一1,1)},

若且8中任意兩個元素均正交，則B中元素個數(shù)最多是4.

故選：C.

14.A

【分析】根據(jù)特稱命題的否定，可得答案.

2

【詳解】由題意可得命題P的否定為“VXEN,X-2x+3<0.

故選：A.

15.D

【分析】根據(jù)集合交集的定義求解即可.

【詳解】因為A={X[0<X<3},8=卜|尤>1},

所以4<^3={印<*<3}=(1,3).

故選：D.

16.A

【分析】根據(jù)題意結合交集運算求解即可.

【詳解】因為集合〃={"3<彳<0}W={"1<彳<4},

所以MiN={x|-l<x<0}.

故選：A.

17.B

【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求解.

【詳解】因為等腰三角形不一定是等邊三角形，所以“VABC是等腰三角形”推不出“VABC是等邊三角

形”,

又等邊三角形一定是等腰三角形，所以“VABC是等邊三角形”可以推出“VABC是等腰三角形”，

所以“VABC是等腰三角形”是“VABC是等邊三角形”的必要不充分條件，

故選:B.

18.A

【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可.

【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，

故命題“0：VxGR+,hu:>0"的否定F為：mxGR+,liu<0.

故選：A.

【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，要注意兩個方面的變化：1.量詞，2.結論，屬于基礎題.

19.A

【詳解】試題分析：由x>l可得無2>1成立，反之不成立，所以“x>l”是的充分不必要條件

考點：充分條件與必要條件

20.(1)集合4不是集合S的和諧子集，集合4是集合S的和諧子集

(2)4

(3)1013.

【分析】(1)首先要理解和諧子集的定義，根據(jù)定義來判斷給定集合是否為和諧子集；

(2)(3)對于求元素個數(shù)最大值，需要根據(jù)和諧子集的條件，通過分析元素之間的關系，逐步確定可以

選取的元素.

【詳解】(1)對于集合4={2,4,6},其中6=lx(2+4),不滿足和諧子集的條件②，

所以A不是集合S的和諧子集.

對于集合4="，3,5,7},滿足和諧子集的條件①AcS,

且對集合為中任意三個元素%,apak(l<at<aj<^<7),

不存在ZeN*,使得以=?生+勺)，滿足條件②，

所以4是集合s的和諧子集.

綜上所得，集合A不是集合s的和諧子集，集合人是集合s的和諧子集.

(2)將集合S中大于3的元素按照被3除所得的余數(shù)進行分類：

被3除所得的余數(shù)為0的元素有6：

被3除所得的余數(shù)為1的元素有4,7：

被3除所得的余數(shù)為2的元素有5,8.

因為3eA,所以4與7,5與8不能同時屬于集合A,

否則3+4=7,或者3+5=8,與已知矛盾.

設⑶為集合A中元素的個數(shù)，則閾44.

構造集合4={3,6,7,8},

因為3+6>8,所以集合A是集合S的和諧子集，

故集合A中元素個數(shù)的最大值是4.

(3)不妨設集合A中的最小元素是可，

則存在唯一非負整數(shù)數(shù)對(％r),使得2024=qq+r,其中0Wr<6.

將集合S中大于％的元素按照被巧除所得的余數(shù)進行分類：

被6除所得的余數(shù)為1的元素有4+1,24+1,.l)4+1,必+1；

被％除所得的余數(shù)為2的元素有q+2,2卬+2,,(q-l)q+2,qq+2；…

被除所得的余數(shù)為r的元素有q+r,2a+r,+r,q%+廠；

被6除所得的余數(shù)為廠+1的元素有Oi+r+l,2?j+r+1,—l)q+r+l；

被4除所得的余數(shù)為q-1的兀素有4+%—1,24+4—1,,(4—1)01+%-1；

被6除所得的余數(shù)為。的元素有2q,3q,,qax.

因為q是集合A中的最小元素，所以上述各行任意兩個相鄰元素中，至多有一個元素屬于集合A.

設因為不大于x的最大整數(shù)，

則在前「行中，每行至多有然個元素符合題意，

在剩下的q-廠行中，每行至多有［與］個元素符合題意，

所以闖vi+券r+［f］(?i-r)

<l+^^r+—(6fj-r)

22'氣)

_t!qa{+r

―_T~

=1+1012

=1013.

構造集合人={1012,1013,,2024},

因為1012+1013>2024,所以集合A是集合S的和諧子集，

故集合A中元素個數(shù)的最大值是1013.

【點睛】關鍵點睛：此題涉及整數(shù)集合的新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義,

按照被將集合S中大于q的元素按照被《除所得的余數(shù)進行分類，進行推理判斷解決.

21.(l)、A={x|x<0或x>7}

(2)AuB={x|0<x<8}

(3)-1(區(qū)間［-1,4］里的任何實數(shù)都符合)

【分析】(1)根據(jù)補集定義易得；

(2)利用并集的定義易得；

(3)根據(jù)條件可得3=從而得不等式組，求出，"的范圍，依題只需在范圍內(nèi)取任何實數(shù)都符合.

【詳解］(1)由A={x|04xV7}可得\A={x|尤<0或尤>7}；

(2)當〃2=5時，B={x\6<x<8］,貝I］AuB={x|0VxV8}；

(3)由A3=3可得3=A.A={x|0VxW7},

因m+1<m+3恒成立，故；

%+347

要使需使

〃1+120

解得故區(qū)間[-1,4]里的任何實數(shù)都符合.

22.（1）4*={0,123,4}

⑵A*={0}

（3）不存在，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)集合的新定義，寫出A*中的元素即得；

（2）根據(jù)條件分析集合中的元素性質(zhì)即得；

（3）根據(jù)題意可得出不存在這樣的集合A,利用反證法證明即可.

【詳解】（1）因4={0,1,2},A*={x+y|x,yeA},

貝!J0+0=0,0+1=1,0+2=2,1+1=2,1+2=3,2+2=4都是A*中的兀素，

故￡={0,123,4}；

（2）取4={。},此時A*={x+中,yeA}={0},符合4=6；

（3）當”=4時，不存在集合A,使得A*={2,3,5,6,7,8,10},理由如下：

彳段設存在A={a，"，c,d},^a<b<c<d,貝U2ava+〃va+cv〃+c+dvc+dv2d,

故2a,a+b,a+c,b+c,b+d,c+d,2d為A*中7個不同的元素，

貝42〃=2,〃+/?=3,々+0=51+0=6,〃+1=7,。+。=8,2。=10,

由2a=2,a+6=3M+c=5,Z?+d=7角星得：a=l,b=2,c=4,d=5,

此時c+d=9wA*與9eA*矛盾，故假設不成立，即不存在這樣的集合A.

【點睛】思路點睛：本題主要考查集合新定義的應用問題，屬于難題.

解題應從集合新定義的規(guī)定入手，吃透其內(nèi)涵，經(jīng)常遵循從特殊到一般的思維方式，有時需要從反面角度

考慮，運用反證法予以證明.

23.⑴〃=2

（2）選擇見解析，答案見解析

【分析】（1）根據(jù)絕對值不等式的幾何意義，得到24%<〃+2,再結合條件，即可求解；

fTH_3W_2

（2）選擇①，根據(jù)條件，結合圖形，得到,即可求解；選項擇②，根據(jù)條件，結合圖形，得到

[m+3>0

fm-3<0

，、一即可求解.

[m+3>4

【詳解】（1）由,一。區(qū)2,得至lj一2<九一々<2,BPa-2<x<a+2,

又因為關于%不等式,―。區(qū)2的解集4={乂0?%<4},

所以解得"2,所以實數(shù)〃的值為2.

（2）選擇條件①，因為A={%|0?xW4},B={x|m-3<x<m+3},

又[―2,4]=（4。3）,由圖知,

m-3<-2

解得—3?加W1.

m+3>0

選擇條件②，因為A={M()?%W4},B=m-3<x<m+3},

又AB=Af即AqB,由圖知,

m-3<0

解得l<m<3.

m+3>4

—A-B------A--U--->

加?304m+3x

24.(1)集合A不具有性質(zhì)尸，集合3具有性質(zhì)P.

(2)證明見解析；

(3)A=Z或A={x|x=5k,keZ].

【分析】（1）根據(jù)集合新定義所需條件，逐個分析即可;

（2）分左=0,左＞0和kvO討論即可;

（3）分析得VZ：￡Z/￡{（M,2,3,4},再對集合A中的元素分類討論即可.

【詳解】（1）對集合A,當左=1,%=6,但4%=24,

令以+2=24,解得％=；"￡Z,則集合A不具有性質(zhì)尸，

對于集合3={尤|x=3左+1,左eZ},顯然A=Z,滿足條件①，

對于條件②，不妨設％=3匕+1,匕￡Z,y=3左2+1,左2￡Z,z=343+1,左3wZ,

則尤+y-z=3（4+心+%）+3=3（4+左2+%+1）?A,其中左卜/，匕三Z,滿足條件②，

對于條件③，設x=3k4+1,勺￡2,則4%=4（3&+1）=3（4勺+1）+1￡人，其中^^Z,則集合3具有性質(zhì)

P,

綜上集合A不具有性質(zhì)P,集合3具有性質(zhì)P.

(2)因為％o，—%￡A,

所以4/￡A/+%o-4%=-2A^GA,(-XO)+(-^)-(-2^)=OGA.

所以對￡A,有x+y-0=x+yeA,0+0-x=-xeA.

若左=0,丘=0EA；若%>O,AX=%+%++xeA-

若左<0,"=(一左)(一%)GA.

綜上，要證結論成立.

(3)A=Z^A={x\x=5k,k&Z].理由如下：

對VxwA,有％+〃一a=尤+1?！闍,所以x+202xl0=尤+2020￡A,

(JV+2020)+c—d=x—5eA,(x—5)+10=尤+5eA

所以VAeZ/e{0,l,2,3,4},

若5k+reA,貝!I廠eA；

若reA,則5,+reA.令3={0,1,2,3,4},則ABw0.

若leA,則4eA,4-5=TeA,

由(2)中結論知對V左eZ,都有左eA,所以A=Z.

若2eA,貝?。?eA,2+2—8=—4eA,—4+5=leA,所以A=Z.

若3eA,則3x4=12eA,12-10=2eA,所以A=Z.

若4eA,4x4=16eA,16-5-5-5=leA,A=Z.

若1,2,3,4eA,0eA,VkeZ,5Z:eA,5k+l,5k+2,5k+3,5k+4A,

所以A={x|x=5k,keZ}.

綜上，4=2或4={1尤=54，左eZ}.

【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是對上進行分類討論.

25.⑴q不是；4是

(2)4

(3)存在無窮多個完美三分數(shù)；理由見解析

【分析】(1)利用反證法可證明q不是三分集合；舉例找到滿足條件的集合AB,C可得％是三分集合；

(2)反證法說明2,3不是完美三分數(shù)，根據(jù)題意得完美三分〃的可能范圍，再找到集合A,8,C,證明

U={1,2,3,-,12}是三分集合即可；

(3)先證明“由〃=左,左eN*為三分完美數(shù)，可得到〃=4上+1/eN*也為三分完美數(shù)”的遞推關系，將集合

U.={123,,,12左+3}拆分為兩個三分集合可證，再根據(jù)基礎與遞推關系可得.

【詳解】(1)(i)5={1,2,3,4,5,6}不是三分集合，下面用反證法證明.

證明：假設。={1,2,3,4,5,6}是三分集合，

^A={al,a2},B^{bl,b2},C^{ci,c2},不妨設q＜。2，

由q+4=c1,a2+b2=Q得，

q+4+生+么+q+，2=2(q+c2)=l+2+3+4+5+6=21,

21_

則。1+。2=；~，這與q,C2￡N矛盾，

故假設錯誤，故5={123,4,5,6}不是三分集合；

(ii)仿={1,3,5,7,8,9,10,11,12}是三分集合.

理由如下：令4={1,3,5},3={9,8,7},。={10,11』2},

則4口8。。=5={1,3,5,7,8,9,10,11,12},滿足條件①；

且由1+9=10；3+8=11；5+7=12可知，滿足條件②.

故L={1，3,5,7,8,9,10,11,12}是三分集合.

(2)由(1)可知，當〃=2時，U={1,2,3,4,5,6}不是三分集合；

當〃=3時，U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

假設U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}是三分集合，

同由4+4+6/9+偽+/+4+0]+。2+。3=2(。1+。,+。3)=1+2++9=45,

45*

Cj+c2+c3=,可推出與01,02，,3eN矛盾，

故假設也錯誤，故。={1,2,3,4,5,6,7,8,9}不是三分集合；

當〃=4時，U={1,2,3,,12),

存在三個4元集合A={1,2,4,3},8={5,8,7,9},C={6,10,11,12},

滿足U={1,2,3,,12}為三分集合的兩個條件.

故大于1的最小完美三分數(shù)為4.

(3)存在無窮多個完美三分數(shù)，理由如下.

由題意知，”=1為最小完美三分數(shù).

當〃=5時，={1,2,3,,15},

存在三個5元集合A={1,3,5,7,2},8={11,10,9,8,4},C={12,13,14,15,6}滿足三分集合的條件,

故5為完美三分數(shù).

當”=21時，U={1,2,3,…,63},

存在如下三個21元的集合滿足三分集合的條件：

A={1,3,5,7,?,29,31,2,6,10,14,4},

B={47,46,45,44,33,32,22,20,18,16,8}

C={48,49,50,51,--,,62,63,24,26,28,30,12},

故21為完美三分數(shù).

首先證明：若〃=匕左eN*為三分完美數(shù)，則附=4左+1,左wN*也為三分完美數(shù).

證明：記4={1,2,3,3k},。如={1，2,3,“、12左+3},

若〃=左，左eN*為三分完美數(shù)，則入為三分集合，

即存在三個k元集合A,B,C滿足如下兩個條件,

①％=A1BlC.

②A,3,C元素可分別排列為有序數(shù)組(6,%,,%),他，由，也)及(qj，,/),

使得對Vi=1，2,3,…，左，均有6+仿=q,

則可得到:對江=1,2,3,…#,2q+2偽=2q,

故集合{2,4,6,-,6左}也滿足三分集合的兩個條件，其也為三分集合，

下面記集合{2,4,6,」,6左}=2〃.

對〃=4左+1,集合4「{1，2,3,,12左+3}=（2SW（2U）

構造集合A={1,3,5,7,…,6左+1},共有次+1個奇數(shù)；

集合8'={6左+3左+2,6左+3%+1,6左+3%,6左+3左一1,,6^+2）,

共有次+1個逐個減小的連續(xù)正整數(shù)；

集合C'={9左+3,9左+4,9左+5,9%+6,,,12k+3］,

共有弘+1個逐個增大的連續(xù)正整數(shù)；

可知這三個3k+1元集合4,B',C滿足如下兩個條件，

①集合=（2U&）；

②ABC元素可分別排列為有序數(shù)組（q,句.曲?。?他也，，%+J及、%+1），

使得對Vi=1,2,3,…,3左+1,均有al+6,=c,；

故心為三分集合，而已知七為三分集合，將其對應與A',8',C合并，

令A"=AiA',B"=BB',C"=CC,

可知這三個軟+1元集合A〃,*,C〃，滿足A'〕B"C"=U4k+l,且滿足條件②，

故U.={123,..,12左+3}為三分集合，

因此可得，若〃=%為三分完美數(shù)，則〃=必+1也為三分完美數(shù).

由1,5,21為完美三分數(shù)，結合所證結論可知，存在無窮多個完美三分數(shù).

【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵在于第（3）問中，能將一個集合〃什1={123,…,12左+3}為兩個三

分集合（交集為空集）的并集，由此借助兩個條件可證明其也是三分集合.

26.（1）答案見解析（寫出其中一組即可）

（2）不存在，理由見解析

（3）存在，答案見解析

【分析】（1）由題意生成集合的過程可得；

（2）用反證法證明.先將17,37,77分解因式，分析集合為中的元素情況，分類討論可得；

（3）嘗試任取兩個元素，逐步找到滿足題意的一組集合即可.

【詳解】（1）由題意可知，若4={3,5},則4m{8,15},7］（A）={7,8,15}；

（若4={3,7},則4={10,21},工⑷={5,10,21}；

若外={5,7},則與={12,35},工⑷={3,12,35}；寫出一組即可）.

（2）不存在集合A,使［（A）=口7,37,77}.

下面用反證法證明.

證明：假設存在集合A,使［（A）={17,37,77}.

因為17=1x17,37=1x37,77=1x77=7x11,

故集合&中必有1或同時有7,11.

①若16&時，不妨設&={1,旬,則戔={1+7%〃?}.

因為加與%+1必為一個奇數(shù)一個偶數(shù)，而瓦.口￡(A),

則，且l+me7；(A),

這與((A)={17,37,77}中元素均為奇數(shù)矛盾.

②若7eAk且11€4，則18e及，這與用U￡(A)矛盾.

綜上所述,假設錯誤,故不存在集合A,使n(A)={17,37,77}.

(3)當4={1,2,3,4,5}時,

存在左=4,使小㈤={5,9,26,120,121}.原因如下：

當4={1,2,3,4,5}時，令4={4,5},4={9,20},則看(4)={1,2,3,9,20}；

令人={2,3},層={5,6},則5(A)={l,5,6,9,20}；

令4={6,20},國={26』20},則4(A)={1,5,9,26,120}；

令&={1,120},B4={121,120},則豈⑷={5,9,26,120,121}.

【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵在于兩點，一是弄清題意，理解順序生成集合列A，紇/(A)的方

法；二是應用反證法，因式分解從“積”入手分析集合&中的可能元素，分類討論尋找矛盾即可.

27.(1)B={2,4,8)；

⑵證明見詳解；

(3)4.

【分析】(1)根據(jù)共軟集合的定義，以及A={1,2,4},可知2,4,8eB,再說明集合8中沒有第4個元素即

可得解3={2,4,8}；

(2)設的〈電＜生，假設leA,由條件①結合條件②推出矛盾，假設不成立，即可得證；

(3)由題意設＜an,由條件①和條件②逐步分析得外,a〉?，如一€A即可由2〃_44〃得解.

【詳解】(1)因為4="，2,4},由題意可得：Ix2,lx4,2x4e3,即2,4,8e8,

此時滿足題意；

假設集合5中還有第4個元素龍，則由題意知：

QQQ

若光＜2,即義＞4或2＜0,此時一eA,故不成立，

XXX

X

若x＞2,則所以x=2或4或8,這與元素的互異性矛盾，

綜上所述，集合8中沒有第4個元素，所以A的共軌集合3={2,4,8}.

(2)不妨設4＜的＜華,A恰有4個元素的共軌集合為8,

假設IEA,即《=1,貝口<〃2<。3，AoN*,且。2，。3，%。3￡3，

由條件②，■￡），因為故有今=。2,即〃3=蠟，

所以A={l,%,a；},則％,媛,母￡3.

因為集合3有4個元素，故設5={2,心,。，％},

333

若x<%,貝U&>d或&<0,此時血eA,矛盾.

XXX

JQJQ

若X>〃2，則一—，所以—二1或。2或〃；，

〃2〃2

即X="2或W或短，這與集合元素的互異性矛盾.

故假設不成立，即1把A.

（3）不妨設1<生<。2V<??-A的共軌集合為B,A,BcN*.

所以q&eB,a2aneB,又因為"的<4必，所以巴%=江€4.

同理j<n）.

%

若4=1,由⑵可知：A={1,%,名聞］,從而〃2，心母，定-3￡B.

對于任意的1（，</（2〃-3,有寸=?！籄,即〃2，雨,成，蠟〃一屋A,

a2

所以2九一44九一1,解得〃<3.

若4w1,即華之2,1<法〈二"<~a<Cln9

故卜。5智=。心,A3}4,

所以4=%，。3="1，，一1=4，?！?，

故4={%,42,〃；，故},從而?！?,

對任意的34i</42〃-1,必有/一=工eA,

ax

即6,a；,.,片ieA,

所以2〃-44”，解得〃W4.

綜上所述，〃的最大值為4.

當〃=4時，A={2,4,8,16},3={8,16,32,64,128}符合題意.

【點睛】思路點睛：在理解相關新概念、新定義時，運用學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運

算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，主要是將新性質(zhì)應用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，

此題的落腳點仍然是集合中元素的互異性，確定性，無序性.

28.(1){0,1,2},{-3,1,2},{-3,0,1,2},{-4,1,2}；

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(1)由條件證明l,2eA,設設由條件列方程求"由此可得結論；

(2)(i)由條件先證明x—1,y—1w8,再證明y-xeA,

(ii)先證明A中至少有兩個正整數(shù)，設正整數(shù)八”cA,由此證明相+L〃+lwA,同理證明出大于等于

加的正整數(shù)屬于A,結合(i)證明小于機的正整數(shù)屬于A,由此完成證明.

【詳解】(1)因為3={1,2,3},又且總有|x-y|eA,

所以3-leA,3-2eA,即leA,2eA,

設，由且工片y,總有|x+y|e8,

可得卜+l|e氏1+2|eB,

所以t=O或/=一3或t=4

但卜3+(T~8|-4+o|m

所以滿足條件的集合A有{0,1,2},{-3,1,2},{-3,0,1,2},{<1,2}；

(2)(i)又一leA,x,y&A,y>x>0,AcZ,

由①知，|y+(-1)|=y-le_B,|x+(—1)|=x—leB,

由②知，|y_l_(尤_l)|=y_xeA,

(ii)因為3中至少有3個元素，BcZ,

不妨設3={p,q,r},其中。應"互不相等的整數(shù)，

貝|],一q