第7章線段與角的畫(huà)法（壓軸30題專練）

能力提升

一.選擇題（共4小題）

1.（2021春?東營(yíng)區(qū)校級(jí)月考）借助一副三角尺不能畫(huà)出的角是（）

A.95°B.105°C.120°D.135°

【分析】結(jié)合一副三角板的度數(shù)即可得答案.

【解答】解：：一副三角板的度數(shù)分別是：30°,60°,90°和45°,45°,90°,

.,.60°+45°=105°,30°+90°=120°,45°+90=135°,

因此可以拼出105°,120°,135°的角，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)三角板的認(rèn)知，關(guān)鍵在于學(xué)生要結(jié)合具體圖形答題.

2.（2021春?射洪市期末）通過(guò)下面幾個(gè)圖形說(shuō)明“銳角a,銳角0的和是銳角”，其中錯(cuò)誤的例證圖是（）

【分析】判斷“兩個(gè)銳角的和是銳角”什么情況下不成立，即找出兩個(gè)銳角的和>90即可.

【解答】解：找出兩個(gè)銳角的和是銳角，在什么情況下不成立，故只有C滿足/a+N2>90°,所以銳角a,

銳角0的和是銳角是假命題.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，判斷命題的真

假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理

3.（2018秋?昆都侖區(qū)期末）已知點(diǎn)M在線段A2上，在①AB=2AM；②③@AM+BM

2

=A8四個(gè)式子中，能說(shuō)明M是線段AB的中點(diǎn)的式子有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，借助圖形逐一判斷即可.

【解答】解：如圖：

f-----------弋--------w

'：AB^2AM,

...點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，

2

...點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，

二點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，

故①②③都能說(shuō)明點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，

根據(jù)：④不能判斷點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間距離，借助圖形分析是解題的關(guān)鍵.

4.數(shù)形結(jié)合A,B,C三個(gè)住宅區(qū)分別住有某公司職工30人、15人、10人，且這三個(gè)住宅區(qū)在一條大道上（A,

B,C三點(diǎn)共線），如圖所示，已知AB=1007〃，BC=2Q0m,為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在

此區(qū)間內(nèi)設(shè)一個(gè)停靠點(diǎn)，為使所有的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）

區(qū)3區(qū)C區(qū)

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)A,B之間D.點(diǎn)B,C之間

【分析】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，由題意設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到停靠點(diǎn)的路程之和最小，肯

定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點(diǎn)間線段最短定理.

【解答】解：①以點(diǎn)A為?？奎c(diǎn)，則所有人的路程的和=15X100+10X300=4500（米），

②以點(diǎn)8為?？奎c(diǎn)，則所有人的路程的和=30X100+10X200=5000（米），

③以點(diǎn)C為停靠點(diǎn)，則所有人的路程的和=30X300+15X200=12000（米），

④當(dāng)在A8之間?？繒r(shí)，設(shè)?？奎c(diǎn)到4的距離是處則（0<m<100）,則所有人的路程的和是：30切+15（100

-m）+10（300-m）=4500+5m>4500,

⑤當(dāng)在3C之間?？繒r(shí)，設(shè)停靠點(diǎn)到8的距離為〃，則（0<n<200）,則總路程為30（100+〃）+15?+10（200

-〃）=5000+35n>4500.

，該停靠點(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在點(diǎn)A;

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，考查知識(shí)點(diǎn)為兩點(diǎn)之間線段最短.

二.填空題（共8小題）

5.（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖，把一根繩子對(duì)折成線段AB,48上有一點(diǎn)P,已知AP=2P8,PB=40c〃z,

2

則這根繩子的長(zhǎng)為120cm.

B

【分析】AP=xc〃z,則8P=2xc相當(dāng)含有線段AP的繩子最長(zhǎng)時(shí)，得出方程x+x=40求出每個(gè)方程的解，代入2

（x+2x）求出即可

【解答】解：^AP=xcm,貝l]8P=2尤an,

當(dāng)含有線段AP的繩子最長(zhǎng)時(shí)，x+x=40,

解得：x=20,

即繩子的原長(zhǎng)是2（x+2x）=6x=12。（cm）；

故繩長(zhǎng)為120aw.

故答案為：120.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解.

6.一條直街上有5棟樓，按從左至右順序編號(hào)為1、2、3、4、5,第左號(hào)樓恰好有火（k=l、2、3、4、5）個(gè)A

廠的職工，相鄰兩樓之間的距離為50米.A廠打算在直街上建一車站，為使這5棟樓所有4廠職工去車站所

走的路程之和最小，車站應(yīng)建在距1號(hào)樓150米處.

【分析】假設(shè)車站距離1號(hào)樓x米，然后運(yùn)用絕對(duì)值表示出總共的距離，繼而分段討論x的取值去掉絕對(duì)值,

根據(jù)數(shù)的大小即可得出答案.

【解答】解：假設(shè)車站距離1號(hào)樓x米，

則總距離S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|,

①當(dāng)0WxW50時(shí)，S=2000-13x,最小值為1350；

②當(dāng)50WxW100時(shí)，S=1800-9x,最小值為900；

②當(dāng)100W工W150時(shí),S=1200-3%,最小值為750（此時(shí)x=150）；

當(dāng)150WxW200時(shí)，S=5x,最小值為750（此時(shí)x=150）.

綜上，當(dāng)車站距離1號(hào)樓150米時(shí)，總距離最小，為750米.

故答案為：150.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查比較線段長(zhǎng)短的知識(shí)，難度中等，與實(shí)際結(jié)合較緊，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出位置后運(yùn)用

分段討論的思想進(jìn)行解答.

7.（2021秋?汝陽(yáng)縣期末）已知NAOB=40°,過(guò)。作射線。C,使NCOB=60°,若射線是NC04的平分

線，則NOOA的度數(shù)是50°或10°.

【分析】可分兩種情況：當(dāng)/BOC與NAQB在OB的同側(cè)時(shí)；當(dāng)N3OC與NAO8在OB的異側(cè)時(shí)，根據(jù)角的和

差可求解NAOC的度數(shù)，再利用角平分線的定義可求解NOOA的度數(shù).

【解答】解：當(dāng)/80C與/AOB在。8的同側(cè)時(shí)，

VZBOC=60°,ZAOB=40°,

ZAOC=ZBOC-ZAOB=60°-40°=20°,

平分NAOC,

/OOA=1/AOC=10°；

2

當(dāng)/BOC與NAOB在03的異側(cè)時(shí)，

VZBOC^60°,ZAOB=40°,

ZAOC=ZBOC+ZAOB=600+40°=100°,

"OD^ZAOC,

NOOA=2/AOC=50°,

2

綜上，N￡>OA的度數(shù)為50°或10°.

故答案為：50°或10°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的計(jì)算，角平分線的定義，分類討論是解題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?金牛區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABC￡>,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)RG在邊CQ上，連接EREG.將/

BEG對(duì)折，點(diǎn)8落在直線EG上的點(diǎn)次處，得折痕EM；將/AE/對(duì)折，點(diǎn)A落在直線班'上的點(diǎn)處，得折

痕硒.NFEG=2Q°,則NMEN=100°或80°.

DC

B

AE

【分析】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右側(cè)；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)，根據(jù)/MEN=NNE/+NMEG+NFEG或

/MEN=/NEF+/MEG-ZFEG,求出NNEF+NMEG即可解決問(wèn)題.

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右側(cè),

YEN平分NAEREM平分/BEG,

:./NEF=LNAEF,/MEG=L/BEG,

22

ZNEF+ZMEG^lZAEF+lZBEG^l.(NAEF+/BEG)=』(NAEB-/FEG),

2222

VZAEB^180°,NFEG=20°,

；.NNEF+NMEG=L(180°-20°)=80°,

2

：.ZMEN=ZNEF+ZFEG+ZMEG=800+20°=100°；

當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)，

?:EN平分NAEF,EM平分NBEG,

ZNEF=^LZAEF,NMEG=LNBEG,

22

:./NEF+NMEG=L/AEF+工/BEG=L(NAEF+NBEG)=』(/AEB+NFEG),

2222

VZAEB=180°,ZFEG=20°,

:./NEF+/MEG=L(180°+20°)=100°,

2

AZMEN=ZNEF+ZMEG-ZFEG=100°-20°=80°,

綜上，NMEN的度數(shù)為100°或80°,

故答案為：100°或80°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的計(jì)算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分

類討論的思想思考問(wèn)題.

9.（2021秋?巴彥縣期末）如圖，已知/AOB=150°,NCOD=40°,NCO。在/AOB的內(nèi)部繞點(diǎn)O任意旋

轉(zhuǎn)，若OE平分NAOC,則2NBOE-NBOD的值為110

【分析】根據(jù)角平分線的意義，設(shè)/DOE=尤，根據(jù)NAO8=150。，ZCOD=40°,分別表示出圖中的各

個(gè)角，然后再計(jì)算2NBOE-NB。。的值即可.

【解答】解：如圖：平分NAOC,

/AOE=/COE,

設(shè)NDOE=x,,：ZCOD=40°,：.ZAOE=ZCOE=x+40°,

/.ZBOC=ZAOB-ZAOC=150°-2(x+40°)=70°-2x,

：.2ZBOE-ZBOD^2(70°-2x+40°+x)-(70°-2x+40°)

=140°-4x+80°+2x-70°+2x-40°

=110°,

當(dāng)角AOC小于80度時(shí)，?！辏驹贠E左側(cè)，同法可得，2NBOE-NBOD=110°

當(dāng)?！辏竞蚈E重合時(shí)，同法可得，2N8OE-/8。。=110°

故答案為：110.

【點(diǎn)評(píng)】考查角平分線的意義，利用代數(shù)的方法解決幾何的問(wèn)題也是常用的方法，有時(shí)則會(huì)更簡(jiǎn)捷.

10.（2021秋?牡丹區(qū)期末）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、8E為折痕.若NABE=30°,則

【分析】根據(jù)折疊思想，通過(guò)角的和差計(jì)算即可求解.

【解答】解：:Bn、BE為折痕，BE分別平分NCBC'、ZABA'

：.ZA/BE=/ABE=30°,

ZDBC=ZDBC'

VZA'BE+ZABE+ZDBC+ZDBC'=180°

，ZABE+ZDBC^9Q°

：.ZDBC=60°.

故答案為60°

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，用正確角分線是解決本題的關(guān)鍵.

11.（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）一副三角板AOB與C。。如圖1擺放，且/A=NC=90°,ZAOB=60°,Z

COD=45°,ON平分/COB,OM平分NAOD.當(dāng)三角板COD繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（從圖1到圖2）.設(shè)圖1、

圖2中的NNOM的度數(shù)分別為a,p,a+B=105度.

【分析】根據(jù)角平分線的意義，以及角的和與差，分別表示出NMGW,然后利用兩個(gè)圖形分別計(jì)算a、0即

可.

【解答】解：如圖1,YON平分NCOB,0M平分NAOD

ZNOB=ZCON=XZBOC=1.(45°+ZBOD),

22

ZMOD=ZMOA=^ZAOD=1(60°+NBOD),

22

:./MON=a=NNOB+NMOD-ZBOD^l.(45°+60°),

2

如圖2,YON平分NCOB,OM平分NAO￡).

:.NNOB=NCON=L/BOC=L(45°-NBOD),

22

ZMOD=ZMOA=^-ZAOD^1(60°-NBOD),

22

:./MON=B=NNOB+NMOD+NBOD=L(45°+60°),

2

.,.a+P=45°+60°=105°,

故答案為：105.

【點(diǎn)評(píng)】考查角平分線的意義，圖形中角的和與差，等量代換和恒等變形是常用的方法.

12.（2020秋?馬鞍山期末）有兩根木條，一根長(zhǎng)60厘米，一根長(zhǎng)100厘米.如果將它們放在同一條直線上,

并且使一個(gè)端點(diǎn)重合，這兩根木條的中點(diǎn)間的距離是200”或80c〃z.

【分析】分兩種情況：兩條線段的另一個(gè)端點(diǎn)在重合端點(diǎn)的同旁或異側(cè).

【解答】解：若兩條線段的另一個(gè)端點(diǎn)在重合端點(diǎn)的同旁，則中點(diǎn)間的距離為50-30=20c加；

若兩條線段的另一個(gè)端點(diǎn)在重合端點(diǎn)的異側(cè)，則中點(diǎn)間的距離為50+30=80c%

故答案為20cm或80CTM.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查兩點(diǎn)間的距離，注意分類討論.

三.解答題（共18小題）

13.（2017春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）根據(jù)圖形填空

????

ABCD

AB+BC^AC,AD^AC+CD,CD^AD-AC

BD=CD+BC=AD-AB.

【分析】根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解.

【解答】解：AB+BC=AC,AD^AC+CD,CD=AD-AC

BD^CD+BC^AD-AB

故答案為：AC,AC,AC,BC,AB.

【點(diǎn)評(píng)】考查了兩點(diǎn)間的距離，本題是線段長(zhǎng)度的加減，是基礎(chǔ)題型.

14.（2017春?浦東新區(qū)月考）如圖所示，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開(kāi)始，先向右移動(dòng)3單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)5

個(gè)單位長(zhǎng)度，可以看到終點(diǎn)表示的數(shù)是-2,已知點(diǎn)A,B是數(shù)軸上的點(diǎn)，請(qǐng)參照下圖并思考，完成下列各

題.

（1）如果點(diǎn)A表示數(shù)3,將A點(diǎn)向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，那么終點(diǎn)B表示的數(shù)是1,

A,8兩點(diǎn)間的距離為2

（2）如果點(diǎn)A表示數(shù)-4,將4點(diǎn)向右移動(dòng)68個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)156個(gè)單位長(zhǎng)度，那么終點(diǎn)2表示的數(shù)

是-92,A,8兩點(diǎn)間的距離是88.

（3）一般地，如果A點(diǎn)表示數(shù)為如將A點(diǎn)向右移動(dòng)"個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)P個(gè)單位長(zhǎng)度，那么，請(qǐng)你猜

想終點(diǎn)8表示什么數(shù)？A,B兩點(diǎn)間的距離為多少？

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)向右平移加，向左平移減，可得2點(diǎn)表示的數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是

大數(shù)減小數(shù)，可得答案；

（2）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)向右平移加，向左平移減，可得8點(diǎn)表示的數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是大數(shù)減小

數(shù)，可得答案；

（3）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)向右平移加，向左平移減，可得2點(diǎn)表示的數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是大數(shù)減小

數(shù)，可得答案.

【解答】解：（1）???點(diǎn)A表示數(shù)3,...將4點(diǎn)向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，

那么終點(diǎn)表示的數(shù)是3-7+5=1,A,8兩點(diǎn)間的距離為3-1=2；

故答案為：1,2；

（2）;點(diǎn)A表示數(shù)-4,.?.將A點(diǎn)向右移動(dòng)68個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)156個(gè)單位長(zhǎng)度，

那么終點(diǎn)B表示的數(shù)是-4+68-156=-92,A、B兩點(diǎn)間的距離是|-4+92|=88；

故答案為：-92,88；

（3）：A點(diǎn)表示的數(shù)為如.?.將4點(diǎn)向右移動(dòng)力個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)p個(gè)單位長(zhǎng)度，

那么點(diǎn)8表示的數(shù)為（〃計(jì)〃-p）,A,B兩點(diǎn)間的距離為I”-加.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)軸的定義及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，正確利用數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵.

15.（2012春?普陀區(qū)期末）一只螞蟻從點(diǎn)。出發(fā)，沿北偏東45°的方向爬行了線段a的長(zhǎng)度時(shí)碰到障礙物4

原路返回爬行了工線段b的長(zhǎng)度到達(dá)B處，然后向北偏西60°的方向爬行2cm到達(dá)C處.

2

（1）畫(huà)出螞蟻的爬行路線圖，并標(biāo)出相關(guān)字母.（角度可以用量角器畫(huà)出）

（2）請(qǐng)用a、b表示線段。B：OB=a--b.

2—

（3）ZBOC=40°.

b

O

【分析】（1）根據(jù)題意要求畫(huà)出螞蟻行走路線即可;

（2）根據(jù)。4=a,AB=l-b,即可表示出。8；

2

（3）用量角器量出NBOC的度數(shù)即可.

【解答】解：（1）所畫(huà)圖形如下：

(2)：OA=a,AB=lb,

2

OB=a-—b；

2

(3)量得N8OC=40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角及量角器的使用，解答本題關(guān)鍵是掌握方向角的定義及表示方法.

16.(2015春?普陀區(qū)期末)如圖，。。是/BOC的平分線，

(1)用直尺和圓規(guī)作NAO2的平分線OP.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(2)結(jié)合圖形，猜測(cè)與NAOC之間的數(shù)量關(guān)系，然后逐步填空.

解：/P。。與/AOC之間的數(shù)量關(guān)系是：ZPOO=-l-/AnC.

因?yàn)椤是NA08的平分線，

所以ZAOB,

2

同理，ZBOC,

2

于是NPOQ=ZPOB+ZBOQ=―ZAOB+AZBOC=工(ZAOB+ZBOC)=」

2222

OA

【分析】(1)根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得；

(2)由0P平分/A08知Np0B=]/AO8、由。。平分/B0C知/B0Q=_|_/80C,根據(jù)NP0Q=/P08+

/80。可得答案.

【解答】解：(1)如圖，0P即為所求：

(2)/P。。與NA0C之間的數(shù)量關(guān)系是：NPOQ=/NA0C，

因?yàn)镺P是乙4。2的平分線，

所以NPQB=//AO8,

同理，/BOQ=1/B℃

于是/POQ=NPOB+/BOQ=JL/AO8+1/8OC=2(ZAOB+ZBOC)=AZAOC,

2222

故答案為：ZPOB.ZBOQ.ZAOB.ZBOC,ZAOB./BOC、ZAOC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖-尺規(guī)作圖及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖及

角平分線的定義和性質(zhì).

17.(2009春?青浦區(qū)期末)如圖，點(diǎn)A、O、C在一直線上，OE是NBOC的平分線，NEOF=9Q°,Nl=(4x+20)°,

N2=(x-10)0.

(1)求：N1的度數(shù)；(請(qǐng)寫(xiě)出解題過(guò)程)

(2)如以。尸為一邊，在/COF的外部畫(huà)4DOP=NCOR問(wèn)邊?！?與邊08成一直線嗎？

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)因?yàn)?E是N8OC的平分線所以/BOC=2N2,再根據(jù)點(diǎn)4、。、C在一直線上，求出N1和

N2關(guān)于x的關(guān)系式，列出等式求出x的值；

(2)根據(jù)/EOF=/EOC+NCOF=90°和/EOC=」/BOC,ZFOC=^ZDOC,XzBOC+^ZDOC

2222

=90°,得出/友^:+/￡＞。7=180°,進(jìn)而可可判斷邊OD與邊。8成一直線.

【解答】解：⑴因?yàn)镺E是/BOC的平分線所以NBOC=2N2,

因?yàn)辄c(diǎn)4、。、C在一直線上所以Nl+N8OC=180°,

因?yàn)镹l=(4x+20)°,N2=(x-10)°,

所以(4x+20)+2(x-10)=180,

解得：x=30,Zl=140°,

所以N1的度數(shù)為140。；

(2)邊。。與邊02成一直線，

因?yàn)镹EOF=ZEOC+ZCOF=90°

又因?yàn)镹E0C=_l/80C,ZFOC=^ZDOC,l.ZBOC+l-ZDOC=90°,

2222

所以點(diǎn)。、O、B在一直線上，

即邊。。與邊08成一直線.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的計(jì)算和角平分線的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用角之間的等量關(guān)系，此

題難度不大.

18.(2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末)如圖，。是直線上一點(diǎn)，/COD是直角，0E平分NBOC.

(1)若NBOD=30°,則/COE=30°；

(2)若NAOC=a,求/Z)OE=_Ag_(用含ct的式子表示)；

—2—

(3)在/AOC的內(nèi)部有一條射線OR滿足』(/AOC-NAOF)=2ZAOF+ZBOE,試確定NAO廣與/

3

OOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

C

【分析】(1)先根據(jù)NCOD是直角，NBOO=30°,求出NBOC=60°,再根據(jù)角平分線性質(zhì)即可得出

結(jié)論；

(2)現(xiàn)根據(jù)平角的定義求出/BOC,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出/BOE,再根據(jù)/COD=90°得出結(jié)論;

(3)設(shè)/￡>OE=x,ZAOF=y,先根據(jù)平角的定義和角平分線的性質(zhì)求出/4OC=2x,ZBOE=90°-x,

再根據(jù)已知等式得出結(jié)論.

【解答】解：(1)是直角，ZBO￡>=30°,

：.ZBOC^ZCOD-ZBOD=90°-30°=60°,

'：OE^^-ABOC,

：.ZCOE=1ZBOC=30°,

2

故答案為：30°；

(2)VZAOC=a,

.?.ZBOC=180°-ZAOC=180°-a,

"OE^^ZBOC,

：.ZCOE=1ZBOC=90°-Aa,

22

又?.?/COO=90°,

/.ZDOE=90Q-ZCOE=90°-(90°-』a)=』a,

22

故答案為：la；

2

(3)5ZDOE-1ZAOF=210°.

理由：設(shè)NDOE=x,ZAOF^y,

VZAOC=180°-ZBOC,ZBOC=2ZCOE=2(90°-NDOE),

：.ZAOC=180°-2(90°-ZDOE)=180°-180°+2ZDOE=2ZDOE=2x,

NBOE=NCOE=90°-NDOE=90°-x,

VJi(ZAOC-ZAOF)=2ZAOF+ZBOE,

3

AA(2x-y)=2y+90°-x,

3

；.5x-7y=270°,

即5NDOE-7NAOF=270°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)及角的計(jì)算，關(guān)鍵是正確運(yùn)用好有關(guān)性質(zhì)準(zhǔn)確計(jì)算角的和差

倍分.

19.(2021秋?武侯區(qū)期末)【閱讀理解】

定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點(diǎn)的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射

線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”.如圖1,點(diǎn)P在直線/

上，射線PR,PS,PT位于直線/同側(cè)，若PS平分NRPT,貝IJ有NRPT=2NRPS,所以我們稱射線PR是射線

PS,PTI的“雙倍和諧線”.

【遷移運(yùn)用】

⑴如圖1,射線尸S不是（選填"是”或“不是”）射線尸已尸7的“雙倍和諧線”；射線PT是（選

填“是”或“不是"）射線PS,PR的“雙倍和諧線”；

（2）如圖2,點(diǎn)。在直線跖V上，0ALMN,NAOB=40°,射線0c從ON出發(fā)，繞點(diǎn)。以每秒4°的速度逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)射線0C與射線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.

①當(dāng)射線OA是射線02,OC的“雙倍和諧線”時(shí)，求f的值；

②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，NAOB繞點(diǎn)。以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線平分/

AOB.當(dāng)射線0c位于射線。￡）左側(cè)且射線0C是射線。。的“雙倍和諧線”時(shí)，求/CON的度數(shù).

MN

0

圖1備用圖

【分析】（1）利用“雙倍和諧線”的意義結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可;

（2）①由題意得：ZAOC=90°-4°t,ZAOB=40°,利用分類討論的思想方法分NAOC=2NAO2或

NAOB=2NAOC兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結(jié)論;

②由題意得：ZC0N=4°t,ZAON=90°+2°t,ZAOD=20°,ZDON=ZAON-ZAOD=10a+2°t,

利用分類討論的思想方法分/=2/C0￡＞或NC0D=2/兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方

程即可求得結(jié)論.

【解答】解：（1）:PS平分NRPT,

：.ZRPS=ZTPS,

...射線PS不是射線尸R,PT的“雙倍和諧線”；

?.同平分/脂7,

:./TPR=2/TPS.

射線尸7是射線尸S,PR的“雙倍和諧線”.

故答案為：不是；是；

（2）①由題意得：ZAOC=90°-4°t,ZAOB=4Q°.

?..射線04是射線OB,0c的“雙倍和諧線”，

?.ZAOC^2ZAOB^ZAOB=2ZAOC.

當(dāng)/AOC=2NAQB時(shí)，如圖，

則:90-4r=2X40.

解得：

2

當(dāng)NAQB=2NAOC時(shí)，如圖,

O

則:40=2(90-4。.

解得：片里..

2

綜上，當(dāng)射線0A是射線OB,OC的“雙倍和諧線”時(shí)，r的值為5或絲.

22

②由題意得：NCON=4°t,NAON=90°+2°t,N4OO=20°,/DON=/AON-NAOD=10°+2°t.

:當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，

,此時(shí)/4ON=NCON.

/.90+2/=4九

/.Z=45.

J當(dāng)%=45秒時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，此時(shí)NAON=180°.

?.?射線OC位于射線。。左側(cè)且射線OC是射線OM,。。的“雙倍和諧線”,

；./=2NCOD或NCO￡>=2N.

即：180°-ACON=1(NCON-NOON),

則:180-32(41-70-2力.

解得：t—40.

；.NCON=4°X40=160°.

當(dāng)NCOD=2/時(shí)，如圖,

則：4f-(70+2r)=2(180-4r).

解得：f=43.

:"CON=4°X43=172°.

綜上，當(dāng)射線OC位于射線。。左側(cè)且射線OC是射線OM,OO的“雙倍和諧線”時(shí)，/CON的度數(shù)為160°

或172。.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，本題是新定義型，理解并熟練應(yīng)用新定義是解題的

關(guān)鍵.

20.(2010春?黃浦區(qū)校級(jí)期末)已知NAOB=40°,NBOC與NAOB互為補(bǔ)角，OD是/BOC的平分線，求/

AOD的度數(shù).

【分析】①先求出/BOC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出的度數(shù)，繼而能得出/AOD的度

數(shù).

②

解：VZAOB=40°,NBOC與NAOB互為補(bǔ)角,

/BOC=140°,

又,/OO是/8OC的平分線，

:.NDOB=10°,

ZAOD=ZAOB+ZBOD=110°.

B

V

②r\

VZAOB=40°,N8OC與NAOB互為補(bǔ)角，

/BOC=140°,

又是NBOC的平分線，

:.NDOB=10°,

ZAOD=ZBOD-ZAOB=30°.

綜上可得NA。。的度數(shù)為110°或30°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了補(bǔ)角及角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握互為補(bǔ)角的兩角之和為180。，屬于基

礎(chǔ)題.

21.(2021秋?孟村縣期末)以直線AB上一點(diǎn)。為端點(diǎn)，在直線A8的上方作射線OC,使NBOC=50°,將一

個(gè)直角三角板。OE的直角頂點(diǎn)放在。處，即NOOE=90°,且直角三角板OOE在直線AB的上方.

(1)如圖1,若直角三角板DOE的一邊OE在射線上，則/(%>￡>=40°

(2)如圖2,直角三角板DOE的邊OD在NBOC的內(nèi)部.

①若OE恰好平分NAOC,求NCOE和N8OO的度數(shù)；

②請(qǐng)直接寫(xiě)出ZCOE與NBOO之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)①根據(jù)平角定義先求出NAOC,根據(jù)角平分線的定義得NCOE=/AOE卷NA0C=65°，進(jìn)而求出/

BOD；

②根據(jù)角的和差關(guān)系求出NCOE與N5OO之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)分兩種情況分別論述：第一種情況，如圖②，當(dāng)NCOD在N30C的內(nèi)部時(shí)，第二種情況，如圖③，當(dāng)

NCOD在N30C的外部時(shí)，分別計(jì)算.

【解答】解：(1),：ZDOE=90°,

/.ZDOB=90°,

9：ZBOC=50°,

???NCOQ=40°,

故答案為:40°；

(2)如圖②

①,??N5OC=50°,

/.ZAOC=180°-50°=130°,

〈OE恰好平分NAOC,

AZC0E=ZA0E^-ZA0C=65"

：.ZBOD=ISO°-ZAOE-ZDOE=25°；

②NCOE1與N5OQ之間的數(shù)量關(guān)系為：ZCOE-ZBOD=AO°；

VZCOD=ZBOC-ZBODfZCOD+ZCOE=90°,

：.ZBOC-ZBOD+ZCOE=90°,

/.ACOE-ZBOD=90°-ZBOC.

9：ZBOC=50°,

：.ZCOE-ABOD=^°；

(3)第一種情況，如圖②，當(dāng)NCO。在N50C的內(nèi)部時(shí)，

VZCOD=ZBOC-ZBOD.NBOC=50°,

：.ZCOD=50°-ZBOD.

VZAOE+ZDOE+ZBOD=1SO°,NDOE=9U°,

JZAOE=90°-ZBOD.

7ZC0D=4^A0E>

o

???50°-ZBOD=4(90°-ZBOD))

：.ZBOD=30°；

第二種情況，如圖③，當(dāng)NCO。在N30C的外部時(shí)，

VZCOD=ZBOD-ABOC,ZBOC=50°,

：.ZCOD=ZBOD-50°.

VZAOE+ZDOE+ZBOD=1^°,ZDOE=90°,

JNAO￡=90°-ZBOD.

vZCOD=yZAOE'

?■?ZBOD-500=4(90°-ZBOD))

o

/.ZBO￡>=60°.

綜上所述，NBO￡>的度數(shù)為30°或60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角，角平分線的定義，熟練掌握余角，角平分線的定義的應(yīng)用，分情況討論是解題

關(guān)鍵.

22.(2021秋?陽(yáng)新縣期末)如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC,使NAOC：NBOC=1：2,Z

MON的一邊OM在射線OB上，另一邊CW在直線AB的下方，且NMON=90°.

(1)如圖1,求/CON的度數(shù)；

(2)將圖1中的/MCW繞點(diǎn)。以每秒20°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，如圖2,若直線

ON恰好平分銳角/AOC,求NMON所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間f值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)NAOC與/M9C互余時(shí)，求出/80C與/MOC之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】(1)由角的比值，求解NAOC的度數(shù)，結(jié)合NMON=NAON=90°,利用/CON=NAOC+NAON

可求NCON的度數(shù)；

(2)可分兩種情況：射線ON平分/AOC；直線ON恰好平分銳角/40C,計(jì)算出ON沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，

最后求出時(shí)間即可；

(3)由NAOC與/NOC互余，結(jié)合圖形推N2OC與NMOC之間的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：(1)VZAOC：ZBOC=1：2,ZAOC+ZMOC=180°，

：.ZAOC=1.X180?=60。,

o

:NMON=90°,

：.ZAON=90°,

/CON=/AOC+NAON=90°+60°=150°；

(2)當(dāng)直線ON平分NAOC時(shí)，如圖，ON平分NAOC,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度至OM時(shí)，直線ON平分所以f=3,

(Nj①

VZAOC=60°,

二/ACW=30°,

此時(shí)射線ON逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，

二/MON所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間f=60+20=3(s)；

如圖②，

,/直線ON恰好平分銳角ZAOC,

.?.ON沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為90°+150°=240°,

/MON所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間f=2"=12(s)；

20

綜上，NMON所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間f值為3s或12s；

(3)如圖③所示：

蜜

VZAOC+ZNOC=90°,0M與04重合

...NBOC與NMOC互補(bǔ).

如圖②所示：

當(dāng)ON平分NAOC時(shí)，ZAOC+ZNOC=9Ga,

:.NNOC=30°,ZMOC=120°,ZBOC=120°,

ZBOC=ZMOC.

綜上所述：/BOC與/MOC互補(bǔ)或相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題，掌握逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的角度，畫(huà)出符合題意的圖形是解題關(guān)鍵.

23.（2021秋?濱?？h期末）【閱讀理解】

射線OC是NA08內(nèi)部的一條射線，若/C04=」NA0B,則我們稱射線OC是射線。1的“友好線”.例如，

3

如圖1,ZAOB=60°,ZAOC=ZCOD=ZBOD=20°,則/40C=4/A08,稱射線0c是射線04的友

3

好線；同時(shí)，由于稱射線是射線08的友好線.

3

【知識(shí)運(yùn)用】

（1）如圖2,NAOB=120°,射線OM是射線。1的友好線，則NAOM=40°；

（2）如圖3,ZAOB=180°,射線OC與射線04重合，并繞點(diǎn)。以每秒2。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線。￡）與

射線。8重合，并繞點(diǎn)。以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線?？谂c射線。1重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止；

①是否存在某個(gè)時(shí)刻f（秒），使得/COD的度數(shù)是40°,若存在，求出珀勺值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)f為多少秒時(shí)，射線OC、OD.04中恰好有一條射線是另一條射線的友好線.（直接寫(xiě)出答案）

D、

B0A

0-------------A

圖1圖2圖3

【分析】（1）根據(jù)新定義直接可得答案;

（2）①分兩種情況：在OC、。。相遇前，180°-3,2f=40°,在OC、OO相遇后，3r+2r-180°=40°,

即可解得答案；

②分4種情況：相遇之前，（I）OC是。4的友好線時(shí)，/AOC=」＞/A。。，即2/=工（180°-3t）,（II）

33

OC是?！辏镜挠押镁€時(shí)，ZDOC=1ZAOD,即180°-3z-2f=A（180°-3f）,相遇之后：（III）0。是

33

OC的友好點(diǎn)NCO￡?=』NAOC,即5+2L180°=lx2f,（IV）。。是04的友好點(diǎn)，ZAOD=1ZAOC,

333

即180。-3f=lx26分別解方程即可.

3

【解答】解：（1）:射線是射線。4的友好線，

ZAOM=1ZAOB=40°,

3

故答案為：40°；

（2）射線0。與射線OA重合時(shí)，f=60（秒），

①存在某個(gè)時(shí)刻f（秒），使得NCOD的度數(shù)是40°,有兩種情況：

在。C、?！辏┫嘤銮埃?80°-3Z-2/=40°,

："=28；

在OC、OD相遇后，3r+2r-180°=40°,

.../=44,

綜上所述，當(dāng)f為28秒或44秒時(shí)，NCOC的度數(shù)是40°；

②相遇之前，

OC是。4的友好線時(shí)，

ZAOC=1.ZAOD,即2f=1(180°-3力,

33

："=20；

（II）如圖:

D

C

BOA

OC是。￡＞的友好線時(shí)，

ZDOC=1ZAOD,即180°-3?-2z=l(180°-3r),

33

.*.r=30；

相遇之后：

?！?是0c的友好點(diǎn)

ZCOD=1.ZAOC,即3什2f-180°=Ax2f,

33

13

。。是CM的友好點(diǎn)，

ZAOD=^ZAOC,BP180°-3f=2X2f,

33

?t=540

11

綜上所述，當(dāng)f為20秒或30秒或四秒或可秒時(shí)，射線OC、OD、。4中恰好有一條射線是另一條射線的

1311

友好線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的和差及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義，用方程的思想解決問(wèn)題.

24.（2021秋?涼山州期末）如圖，已知線段

（1）請(qǐng)用尺規(guī)按下列要求作圖：

①延長(zhǎng)線段A8到C,使BC=A2,

②延長(zhǎng)線段BA到D,使AD=AC(不寫(xiě)畫(huà)法，當(dāng)要保留畫(huà)圖痕跡)

(2)請(qǐng)直接回答線段與線段AC長(zhǎng)度之間的大小關(guān)系

(3)如果AB=2c機(jī)，請(qǐng)求出線段2。和C。的長(zhǎng)度.

A'R

【分析】(1)以8為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB的延長(zhǎng)線于C,以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BA的

延長(zhǎng)線于。

(2)依據(jù)圖形，即可得到線段與線段AC長(zhǎng)度之間的大小關(guān)系；

(3)依據(jù)4B=2c機(jī)，可得AC=248=4c機(jī)，AO=4cm,進(jìn)而得出BO=4+2=6cm,CD=2A￡>=8cm.

【解答】解：(1)如圖所示，BC.AO即為所求；

(2)由圖可得，BD>AC；

(3)\'AB=2cm,

.\AC=2AB=4cm,

.\AD=4cmf

BD=4+2=6cm,

CD—2AD—^cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，平面上任意兩點(diǎn)間都有一定距離，它指的是連接這兩點(diǎn)的線段的

長(zhǎng)度，注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個(gè)字“長(zhǎng)度”.

25.(2021秋?天門(mén)期末)【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合.研

究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)8表示的數(shù)分別為a、b,則A,8兩點(diǎn)之間的距離A8

=\a-b\,線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為生也.

2

【問(wèn)題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,點(diǎn)8表示的數(shù)為8,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f

秒(f>0).

【綜合運(yùn)用】

(1)填空：

①A、2兩點(diǎn)間的距離43=10,線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為3；

②用含珀勺代數(shù)式表示：f秒后，點(diǎn)尸表示的數(shù)為-2+3/；點(diǎn)。表示的數(shù)為8-用.

(2)求當(dāng)f為何值時(shí)，P、。兩點(diǎn)相遇，并寫(xiě)出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；

(3)求當(dāng)/為何值時(shí)，尸。=2A&

(4)若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為尸8的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)

說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段MV的長(zhǎng).

ABAB

-208-208

爸用圖

【分析】(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論；

(2)當(dāng)P、。兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、。表示的數(shù)相等列方程得至Uf=2,于是得到當(dāng)f=2時(shí)，P、。相遇，即可得到

結(jié)論；

(3)由f秒后，點(diǎn)尸表示的數(shù)-2+33點(diǎn)。表示的數(shù)為8-2f,于是得到尸。=|(-2+3f)-(8-2f)|=|5L

10|,列方程即可得到結(jié)論；

(4)由點(diǎn)M表示的數(shù)為.：2+(-2+3<)=3t_2,點(diǎn)N表示的數(shù)為8+(-2+3t)=3t+3;即可得到結(jié)論.

2222

【解答】解：(1)①10,3；

②-2+3?,8-2r；

(2)