第九章統(tǒng)計

9.1隨機抽樣與統(tǒng)計圖表

課程標準有的放矢

1.知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計報表和年鑒、社會調查、試驗設

計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等.

2.了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機性.

3.通過實例，了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單

隨機抽樣方法：抽簽法和隨機數(shù)法.會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總

體的關系.

4.通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍，了解分層隨機抽樣的必

要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.結合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣

本均值和樣本方差.

5.在簡單的實際情境中，能根據(jù)實際問題的特點，設計恰當?shù)某闃臃椒ń鉀Q

問題.

6.能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述，體

會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

1.總體、個體、樣本

調查對象的全體（或調查對象的某些指標的全體）稱為總體,組成總體的

每一個調查對象（或每一個調查對象的相應指標）稱為包.根據(jù)一定目的，從

總體中抽取一部分個體進行調查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷

的調查方法，稱為抽樣調查.在抽樣調查中,從總體中抽取的那部分個體稱為在

主，樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量,簡稱樣本量.

2.簡單隨機抽樣

（1）特點：逐個抽取，且每個個體被抽取的概率相等.本章主要研究不放回

簡單隨機抽樣.

（2）常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法.

（3）適用范圍：個體性質相似，無明顯層次，且個體數(shù)量較少，尤其是樣

本容量較少.

3.分層隨機抽樣

（1）定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個

個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再

把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨

機抽樣,每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大

小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.

（2）適用范圍：總體可以分層，且層與層之間有明顯區(qū)別，而層內個體差

異較小.

（3）平均數(shù)的計算：各層抽樣比乘各層平均數(shù)的和.

4.統(tǒng)計圖表

（1）常見的統(tǒng)計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布表、頻率分布

直方圖等.

（2）頻率分布直方圖.

①畫頻率分布直方圖的五個步驟：求極差、決定組距與組數(shù)、將數(shù)據(jù)分

組、列頻率分布表、畫頻率分布直方圖.

②頻率分布直方圖的特點：各個小長方形的面積表示相應各組的頻率；各

小長方形的面積的總和等于1.

常用結論

1.簡單隨機抽樣及按比例分配的分層隨機抽樣中，每一個個體入樣的概率都

是相同的.

2.按比例分配的分層（兩層）隨機抽樣中，若第一、二層的樣本容量分別為

加九平均數(shù)分別為莪則樣本平均數(shù)為X.

m+n

自主評價牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“，錯誤的畫“X”.

（1）調查一款新能源汽車的最大續(xù)航里程，宜采用全面調查.（）

（2）從高三年級1000名學生中隨機抽取50名學生的身高數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分

析，抽取的50名學生是一個樣本.（）

（3）簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關.（）

（4）在分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關.（）

（5）在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率.（）

【答案】（1）X

(2)

（3）X

（4）X

（5）X

2.某校有男生700名、女生400名.為了解男、女學生在空間想象能力方面是

否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取110名學生進行調查.宜采用的抽樣方法

是（）

A.抽簽法B.隨機數(shù)法

C.分層隨機抽樣法D.以上抽樣方法均可

【答案】C

【解】最適合采用的是分層隨機抽樣法.故選C.

3.（教材題改編）某城市收集并整理了該市2024年1月份至10月份每月最低

氣溫與最高氣溫（單位：°C）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.已知該市每月

的最低氣溫與當月的最高氣溫兩個變量具有較好的線性關系，則下列選項錯誤

的是（）

A.每月的最低氣溫與當月的最高氣溫兩個變量正相關

B.10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫

C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月份

D.最低氣溫低于0。（2的月份有4個

【答案】D

【解】由題圖，可得當最低氣溫較高時，最高氣溫也較高，故A正確.10月份的

最高氣溫不低于20。（：，而5月份的最高氣溫低于20。。故B正確.從各月的溫差

看，1月份的溫差最大，故C正確.最低氣溫低于（TC的月份是1,2,4三個月份，故

D錯誤.故選D.

4.某校為了解高一年級學生的體育健康標準測試（簡稱“體測”）成績的分布

情況，從該年級學生的體測成績（規(guī)定滿分為100分）中，隨機抽取了80名學

生的成績，并進行分組：[50,60）,[60,70）,[70,80）/80,90）,[90,100],繪制成

如圖所示的頻率分布直方圖.該圖中a=.

【答案】0.020

【解】由題意，得10x（0.01+a+0.03+0.025+0.015）=1,解得a=

0.020.故填0.020.

核心考點精準突破

考點一隨機抽樣

例1

（1）【多選題】某學生社團有男生32名、女生24名，從中隨機抽取一個容

量為7的樣本.某次抽樣結果為抽到3名男生和4名女生，則（）

A.這次抽樣可能采用的是抽簽法

B.這次抽樣不可能采用隨機數(shù)法

C.這次抽樣不可能是按性別比例分配的分層隨機抽樣

D.這次抽樣中，每名男生被抽到的概率一定小于每名女生被抽到的概率

（2）【多選題】某學校高三年級共有900人，其中男生500人.現(xiàn)采用按性別

比例分配的分層隨機抽樣的方法，從中抽取了容量為90的樣本.經(jīng)計算,得男生

樣本身高（單位:cm）的平均數(shù)為170,女生樣本身高的平均數(shù)為161.下列說法

正確的是（）

A.男、女生被抽到的人數(shù)分別為50,40

B.女生甲被抽到的概率為：

C.估計該校高三年級學生身高的平均數(shù)為166

D.若用簡單隨機抽樣方法從900人中抽取9人，則這9人的身高均值比上述90

人的身高均值更接近總體平均值

【點撥】①當總體由差異明顯的幾部分組成時，多用分層隨機抽樣.②不論哪種

抽樣方法，每個個體入樣的概率都是相同的.③在比例分配分層隨機抽樣中，若第

一、二層的樣本容量分別為71,平均數(shù)分別為元包則樣本平均數(shù)為四近.

m+n

【答案】(1)AC

(2)AC

【解析】

(1)【解】總體中個體數(shù)不多，此次抽樣可能采用的是抽簽法或隨機數(shù)法，

故A正確，B錯誤.若按性別比例分配，則抽得的男、女生應分別為4人、3人，

故C正確.在隨機抽樣中，每名男生被抽到的概率和每名女生被抽到的概率均相

等，故D錯誤.故選AC.

(2)【解】由題意，得抽樣比例為我=三，故男生被抽到的人數(shù)為Lx

9001010

500=50；女生被抽到的人數(shù)為90-50=40,故A正確.女生甲被抽到的概率

為的=2_,故B錯誤.樣本均值為包x170+竺x161=166,故C正確.90人

900-500109090

的樣本容量更大，一般更接近總體平均值，故D錯誤.故選AC.

變式1.

(1)總體由編號為1,2,3,…，89,90的90個個體組成，現(xiàn)用隨機數(shù)法選

取30個個體.利用僅顯示1?100之間的計算器，產(chǎn)生的部分隨機數(shù)如下所示，

則選出來的第5個個體的編號為.

844217895574556888

314772176335063

(2)【多選題】已知某地區(qū)有小學生120000人，初中生75000人，高中生

55000人.當?shù)亟逃块T為了解本地區(qū)中小學生的近視率，按小學生、初中生、

高中生進行分層隨機抽樣，抽取一個容量為2000的樣本，得到小學生、初中

生、高中生的近視率分別為30%,70%,80%.下列說法正確的有()

A.從高中生中抽取了460人

B.每名學生被抽到的概率為瞑

C.估計該地區(qū)中小學生總體的平均近視率為60%

D.估計高中學生的近視人數(shù)約為44000

【答案】(1)57

(2)BD

【解析】

(1)【解】按序舍掉重復的8和超過編號范圍的95,可知，前5個個體編號

為8,44,2,17,57.故填57.

(2)【解】學生總人數(shù)為120000+75000+55000=250000.高中生抽取

2000X包叫=440(人)，故A錯誤.每名學生被抽到的概率為

250000250000125

故B正確.估計該地區(qū)中小學生總體的平均近視率為出出X0.3+坐叫x0.7+

250000250000

包巴0.8=9=53%,故C錯誤.高中學生近視人數(shù)約為55000x0.8=

250000250

44000,故D正確.故選BD.

考點二統(tǒng)計圖表

例2【多選題】某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩

全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險.各種保險按相

關約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種的參保客戶進行抽樣調查，得

出如下三個統(tǒng)計圖，則()

A.18-29周歲人群參保總費用最少

B.30周歲以上的參保人群約占參?？側巳旱?0%

C.54周歲以上的參保人數(shù)最少

D.丁險種更受參保人青睞

【解】由題圖1,得54周歲及以上的參保人數(shù)比例為1-30%—33%—20%=

17%,占比最少.其余年齡段的參保人數(shù)均比18-29周歲人群參保人數(shù)多.由題

圖2,得20%X4000<17%X6000,所以18—29周歲人群參?？傎M用最少,

故A,C正確.

對于B,由題圖1,得30周歲以上的參保人群約占參保總人群的80%,故B錯

、口

沃.

對于D,由題圖3,得丁險種參保人群約占參保總人群的55%,所以最受青睞,

故D正確.故選ACD.

【答案】ACD

【點撥】扇形圖常被用來描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例，折線圖常被用來描述數(shù)

據(jù)隨時間的變化趨勢，條形圖和直方圖常被用來描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻

數(shù)和頻率.統(tǒng)計圖表，除了上述教材中出現(xiàn)過的外，莖葉圖、雷達圖、等高條形

圖等也在高考中出現(xiàn)過.

變式2.

（1）【多選題】如圖是2018—2022年國內生產(chǎn)總值及其增長速度的統(tǒng)計圖，

則（）

2018-2022年國內生產(chǎn)總值及其增長速度

億元

1400000

1200000

1000000

800000

600000

400000

200000

0

A.2018-2022年的國內生產(chǎn)總值逐年遞增，2020-2022年均已超過1000

000億元

B.2018-2022年的國內生產(chǎn)總值增長速度逐年遞減

C.2018-2022年的國內生產(chǎn)總值增長速度的平均數(shù)為5.26%

D.2018-2022年的國內生產(chǎn)總值的極差為290926億元

（2）【多選題】人均消費支出是社會需求的主體，是拉動經(jīng)濟增長的直接因

素，是體現(xiàn)居民生活水平和質量的重要指標.2022年一季度和2023年一季度我

國居民人均消費支出分別為6393元和6738元.圖1、圖2分別為2022年一季

度和2023年一季度居民人均消費支出構成分布圖，則（）

衣著

7.1%

其他

25.4%.

食品煙酒食品煙酒

32.6%31.6%

交通通信

交通通信12.2%

12.4%

居住居住

22.5%23.2°o

圖1圖2

A.2022年一季度和2023年一季度居民食品煙酒人均消費支出均超過人均總消

費支出的30%

B.2023年一季度居民食品煙酒、衣著、居住各項人均消費支出占比較上年同期

均有所降低

C.2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出

D.2023年一季度居民人均消費支出比上年同期增長約5.4%

【答案】（1）ACD

(2)AD

【解析】

（1）【解】顯然A正確，B錯誤.對于C,2018—2022年的國內生產(chǎn)總值增長

速度的平均數(shù)為?

67%+6.0%+2.2%+8.4%+3.0%=5.26%,故C正確.對于D,2018-

2022年的國內生產(chǎn)總值的極差為1210207-919281=290926（億元），故D

正確.故選ACD.

（2）【解】對于A,2022年一季度和2023年一季度居民食品煙酒人均消費支

出分別占人均總消費支出的32.6%,31.6%,故A正確.對于B,2022年一季度居

民居住人均消費支出占人均總消費支出的22.5%,2023年一季度居民居住人均

消費支出占人均總消費支出的23.2%,故B錯誤.對于C,2022年一季度居民人均

交通通信支出為6393X12.4%?793（元），2023年一季度居民人均交通通信

支出為6738X12.2%?822（元），故C錯誤.對于D,—X100%-1~

6393

5.4%,故D正確.故選AD.

考點三頻率分布直方圖

例3某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量（單位：m3）數(shù)據(jù)和使用

了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0,4)[0,4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7]

水量

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6]

水量

頻數(shù)151310165

(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

m4

z2

z0

8

z

6

z4

z2

L0

L8

L6

4

L

2

L0

S8

6

也

o4

.

S2

O

0107030,40506日用水量/n?

(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率.

(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年大約能節(jié)省多少水？(一年按365天計

算，同一組中的數(shù)據(jù)用這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值代替)

【解】(1)頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

組距

工4

32

.

30

.8

Z6

Z

4

Z

Z2

Z0

L8

L6

L4

L2

L0

8

也

66

也4

62

O

00.10.20.30.40.50.6日用水量/n?

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后,50天的日用水量小于0.35m3的頻

率為(0.2+1.0+2.6+1)x0.1=0.48.

故該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.

(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量的平均數(shù)為歡=/x(0.05x1+

0.15X3+0.25X2+0.35X4+0.45X9+0.55X26+0.65X5)=0.48.

該家庭使用了節(jié)水龍頭后,50天日用水量的平均數(shù)為逐=/x(0.05x1+

0.15x5+0.25x13+0.35X10+0.45x16+0.55x5)=0.35.

估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年大約能節(jié)省水(0.48-0.35)x365=

47.45(m3).

【點撥】①在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積就是相應的頻率或概率，

所有小矩形的面積之和為1.②在頻率分布直方圖中，縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻

率除以組距，而不是頻率，不要和條形圖混淆.

變式3.

(1)某校抽取100名學生測身高(單位：cm),其中身高最大值為186,最

小值為154.根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖，組距為5,且第一組下限為

153.5,則組數(shù)為.

(2)【多選題】某研究性學習小組為了解某校2000名學生參加2024年暑期

社會實踐的情況，隨機抽取了一個容量為N的樣本，對學生某一天社會實踐的

時間(單位：min)進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本

中位于區(qū)間［60,70)的有20人,則()

A.a=0.020

B.N=100

C.估計該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為74

D.估計全校社會實踐時間在60min以上的學生約有180人

【答案】(1)7

(2)ABC

【解析】

(1)【解】極差為186-154=32,組距為5,且第一組下限為153.5,卷=

6.4,故組數(shù)為7.故填7.

(2)【解】由(0.01+2a+0.045+0.005)x10=1,得a=0.020,故A正確.

因為樣本中位于區(qū)間［60,70)的有20人，所以祟=0.2,即N=100,故B正確.

平均數(shù)為0.1x55+0.2x65+0.45x75+0.2x85+0.05x95=74,故C正

確.因為樣本中社會實踐時間在60min以上的頻率為0.9,所以估計全校社會實踐

時間在60min以上的學生約有0.9x2000=1800(人)，故D錯誤.故選ABC.

課時作業(yè)知能提升

【鞏固強化】

1.為了解高一學生的身體發(fā)育情況，打算在高一年級10個班中隨機抽取2個

班，在這2個班的所有學生中按男、女生比例抽取樣本.恰當?shù)某闃臃椒ㄊ?/p>

（）

A.先用抽簽法，再用隨機數(shù)法

B.先用分層隨機抽樣法，再用隨機數(shù)法

C.兩次抽取均用分層隨機抽樣法

D.先用抽簽法，再用分層隨機抽樣法

【答案】D

【解】先從高一年級10個（少數(shù)）班級中抽取2個，宜用抽簽法.再從差異較

大的男、女生中按比例抽取學生，適合使用分層隨機抽樣法.故選D.

2.某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人.現(xiàn)采用按比例分

配的分層隨機抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調查專項附加扣除的

享受情況，則應從青年員工中抽取（）

A.8人B.10人C.12人D.18人

【答案】C

【解】由題意，可得抽取的30人中，青年員工有80+1；：+120X30=12（人）.

故選C.

3.某校采用分層隨機抽樣方法，從高一、高二、高三學生中分別抽取90名、

100名、120名，對餐廳服務進行評價，得到高一年級的好評率為90%,高二年

級的好評率為93%,高三年級的好評率為95%.依此估計該校學生對餐廳服務的

好評率約為（）

A.91%B.92%C.93%D.94%

【答案】C

144

【解】該校學生對餐廳服務的好評率為90X0.9+100X0.93+120X0.9593%.

90+100+120155

故選C.

4.《黃帝內經(jīng)》中十二時辰養(yǎng)生法認為子時的睡眠對一天至關重要（子時是指

23點到次日凌晨1點）.相關數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指

數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計如圖

所示，貝U()

A.睡眠指數(shù)在區(qū)間［60,80)內的人群中，早睡人數(shù)多于晚睡人數(shù)

B.早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)間［80,90)內

C.早睡人群睡眠指數(shù)的極差比晚睡人群睡眠指數(shù)的極差小

D.晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)間［60,80)內

【答案】B

【解】因為沒有給出樣本量，所以不能從占比來判斷人數(shù)，故A錯誤.

早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)間［80,90)內，晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)

間［50,60)內,故B正確,D錯誤.

早睡人群睡眠指數(shù)的極差和晚睡人群睡眠指數(shù)的極差的大小無法確定，故C錯

誤.故選B.

5.從某中學隨機選取100名學生，將他們的身高數(shù)據(jù)(單位：cm)繪制成頻

率分布直方圖.若要從身高在［150,160),［160,170),［170,180］三組內的學生中，

按比例分配的分層隨機抽樣的方法選取32人參加一次活動，則從身高在

［170,180］內的學生中選取()

【答案】B

【解】由頻率分布直方圖的性質，得a=0.025,所以身高在

［150,160),［160,170),［170,180］三組內的學生比彳列為0.025:0.035:0.02=

5:7:4.

由題意，知從身高在［170,180］內的學生中選取32x」一=8（人）.故選B.

5+7+4

6.［2023年上海春季高考卷］如圖為2018—2021年中國貨物進出口總額的條形

統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿易額描述錯誤的是（）

2018—2021年中國進出口總額統(tǒng)計圖

A.從2018年開始，2021年的進出口總額增長率最大

B.從2018年開始，進出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小

【答案】C

【解】顯然A,B正確.

2020年相對于2019的進口總額減少，故C錯誤.

2021年的進出口總額增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相

對于2018年的增量小，且計算增長率時前者的分母更大，故2020年的增長率

一定最小，故D正確.故選C.

7.［2021年全國甲卷改］【多選題】為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家

庭年收入進行抽樣調查，將農(nóng)戶家庭年收入的調查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布

直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結論中正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【答案】ABD

【解】該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為0.02+0.04=

0.06=6%,故A正確.

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為0.04+0.02x3=

0.10=10%,故B正確.

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為0.10+0.14+

0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確.

由對稱性（以7.5為對稱軸），并進行割補，可知平均值超過7（大致在7.5附

近），故C錯誤.直接計算亦可.

故選ABD.

8.某校高二年級為選拔參加數(shù)學競賽的學生組織了一次考試，最后選出13名

男生和7名女生，這20名學生的考試成績如莖葉圖所示（單位：分）.學校規(guī)

定：成績不低于130分的人到A班培訓，低于130分的人到B班培訓.若用比例

分配的分層隨機抽樣的方法從到A班的人和到B班的人中共選取5人，則5人

中到A班的有人.

」||女

831111

9651112489

6421327

50143

【答案】2

【解】由題意，結合題圖，知這20名學生有8人到A班培訓，12人到B班培訓.

所以5人中到A班的有為x5=2（人）.故填2.

9.為了解某中學女生的視力情況，對該校女生的視力進行了一次測量，所得數(shù)

據(jù)整理后列出了頻率分布表如下：

組另[0.85,0.95）[0.95,1.05）[1.05,1.15）[1.15,1.25）[1.25,1.35）[1.35,1.45]合計

頻數(shù)1420158mM

頻率0.020.080.400.300.16nN

（1）求表中n,M,N的值;

（2）將下列頻率分布直方圖補充完整;

頻率

組距

1.051.151.251.351.45視力

（3）利用組中值計算女生視力的平均值.

【解】（1）由頻率分布表，得工=0.02,即M=50.

M

所以zn=50-1-4-20-15-8=2.

所以n=&=0.04,N=1.

⑵[1.05,1.15）對應矩形的高為署=4,[1.15,1.25）對應矩形的高為首=3.補

全直方圖如下：

頻率

（3）女生視力的平均值為0.02x0.9+0.08X1+0.40x1.1+0.30x1.2+

0.16X1.3+0.04X1.4=1.162.

【綜合運用】

10.為了解某校初中學生的近視情況，按年級用比例分配的分層隨機抽樣的方

法抽取100名學生進行視力檢測.已知初一、初二、初三年級分別有800名、

600名、600名學生，則不同的抽樣結果共有（）

A.峨。（C溫尸種B.嘲°C媼C溫種

c.（嚼o）2C媼種D.（C%）2c縱種

【答案】A

【解】按年級用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取初一學生40名，初二、

初三學生各30名.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可知不同的抽樣結果共有C豺o（C含0）2種.故選A.

11.某養(yǎng)豬場定購了一批仔豬，從中隨機抽查了100頭仔豬的體重（單位：

斤）.經(jīng)數(shù)據(jù)處理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中體重最輕的14頭仔

豬的體重的頻數(shù)分布表如下所示.為了將這批仔豬分欄喂養(yǎng)，需計算頻率分布直

方圖中的一些數(shù)據(jù),其中a+5的值為（）

體重22242627282931

頻數(shù)1123322

A.0.144B.0.152C.0.76D.0.076

【答案】B

【解】由題意，得c+d=葛器xj=0.024,且[2(c+d)+ti+b]x5—1,所

以a+b=0.152.故選B.

12.【多選題】某校為更好地支持學生的個性化發(fā)展，開設了學科拓展類、創(chuàng)

新素質類、興趣愛好類三種類型的校本課程，每位學生從中選擇一門課程學習.

現(xiàn)對該校4000名學生的選課情況進行了統(tǒng)計，如圖1,并按類型用比例分配的

分層隨機抽樣的方法從中抽取2%的學生對其所選課程進行了滿意率調查，如圖

2.下列說法正確的是（）

A.抽取的樣本容量為4000

B.該校學生中對興趣愛好類課程滿意的約有700人

C.若抽取的學生中對創(chuàng)新素質類課程滿意的有24人，則a=70

D.該校學生中選擇學科拓展類課程的有1000人

【答案】BD

【解】對于A,抽取的樣本容量為4000X2%=80,故A錯誤.

對于B,該校學生中對興趣愛好類課程滿意的約有4000x35%x50%=700

（人），故B正確.

對于C,80x40%xa%=24,解得a=75,故C錯誤.

對于D,由圖1,知該校學生中選擇學科拓展類課程的頻率為1-35%-40%=

25%,則4000X25%=1000（人），故D正確.故選BD.

13.某班按座位將學生分為兩組，第一組18人，第二組27人.現(xiàn)按組采用比例

分配的分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中安排兩人去打掃衛(wèi)生，則

這兩人來自同一組的概率為.

【答案】|

【解】第一組抽取5x一二二2（人），第二組抽取5x^^=3（人）.基本

18+2718+27

事件總數(shù)n=髭=10.

這兩人來自同一組包含的基本事件個數(shù)m=禺+髭=4.所求概率P=；=:故

14.某公司招聘銷售員，提供了兩種日工資結算方案.方案一：每日底薪120

元，每銷售一單提成2元.方案二：每日底薪200元，銷售的前50單沒有提

成，從第51單開始，每完成一單提成4元.該公司記錄了銷售員的每日人均業(yè)

務量，現(xiàn)隨機抽取一個季度的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為

[25,35）,[35,45）,[45,55）,[55,65）,[65,75）,[75,85）,[85,95],共7組，整理得到如

圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

29久4；5；6；a95業(yè)務量/ll

（1）求頻率分布直方圖中a的值.

（2）若僅從人均日收入的角度考慮，請你利用所學的統(tǒng)計學知識為新聘銷售員

做出日工資方案的選擇，并說明理由.（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

代替）

（3）假設該銷售員選擇了你在（2）中所選的方案，已知公司現(xiàn)有銷售員400

人，他希望自己的收入在公司中處于前40名，求他每日的平均業(yè)務量至少應達

多少單？

【解】（1）由題圖，得（0.005x3+2a+0.03+0.015）X10=1,所以a=

0.02.

（2）每日人均業(yè)務量的平均值為（30x0.005+40x0.005+50x0.02+60x

0.03+70x0.02+80x0.015+90x0.005）x10=62.

方案一中人均日收入為120+62x2=244（元），

方案二中人均日收入為200+（62—50）x4=248（元）〉244（元），所以選

擇方案二.

（3）因為40+400=0.1,所以設該銷售員收入超過了90%的公司銷售人員.

由題圖，得前5組的頻率和為（0.005X2+0.02+0.03+0.02）X10=0.8,

前6組的頻率和為0.8+0.015x10=0.95.

設該銷售員每日的平均業(yè)務量為％.因為0.8<0.9<0.95,所以（％-75）X

0.015+0.8>0.9.解得%>81泉又％GN*,所以％最小取82,即他每日的平均業(yè)

務量至少應達82單.

【拓廣探索】

15.某單位員工按年齡分為老、中、青三組，其人數(shù)之比為1:6:3.現(xiàn)按年齡用

比例分配的分層隨機抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本.已知老年

職工組中的甲、乙二人均被抽到的概率是點，則該單位有員工人.

【答案】70

【解】從老年職工組中抽取20X工=2（人）.

10

設老年職工組共有n人，則甲、乙二人均被抽到的概率為與=三，即鬣=

C九21

竺=21.解得n=7.

所以該單位共有員工（X20=70（人）.故填70.

9.2用樣本估計總體

課程標準有的放矢

1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾

數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.

2.結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標準差、方差、極差），

理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.

3.結合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律.

4.結合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

1.百分位數(shù)

（1）第p百分位數(shù)的定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個

值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有曾％的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有（100-

小的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

（2）計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：第1步，按從小到大排列原

始數(shù)據(jù);第2步，計算i=nxp%;第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為

],則第p百分位數(shù)為第工項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i+

1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

2.眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)

（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復出現(xiàn)次數(shù)量多的數(shù)據(jù).

（2）中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，處在史

回位置的數(shù)（或中間兩個數(shù)的平均值）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（3）平均數(shù)：如果n個數(shù)%1，%2，…，xn＞那么工=+%2■1---叫

做這n個數(shù)的平均數(shù).

一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù);而對分

類型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).

3.方差與標準差

（1）方差、標準差的定義：一組數(shù)據(jù)打，為2,…，Xn,用9表示這組數(shù)據(jù)

1九171

的平均數(shù)，則坡組數(shù)據(jù)的方差為工￡8—幻2=工E好一產(chǎn)9,標準差為

ni=lni=l

（2）總體方差和總體標準差：如果總體中所有個體的變量值分別為匕，

七，…,%，總體平均數(shù)為7，則總體方差S2=匕一7）2;如果總體的N個變

N1=1

量值中，不同的值共有々（kWN）個，不妨記為匕，Y29…照，其中X出現(xiàn)的頻

1k—

數(shù)為力（i=1,2,3,--"）,則總體方差為52=!2力（匕一丫）2.

常用結論

1.頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；中位數(shù)

左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重

心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以對應小長方形底邊中點的

橫坐標之和.

2.若數(shù)據(jù)％1，久2,…,無71的平均數(shù)為高方差為s2,則數(shù)據(jù)7HK1+a,mx2+

a,…,+a的平均數(shù)為nu+a,方差為m2s2.

自主評價牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“，錯誤的畫“X”.

（1）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不太受極端值的影響，因而平均數(shù)總是接近中位數(shù).

（）

（2）若樣本量九=100,則第50百分位數(shù)是從小到大排列的第50個數(shù).（）

（3）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，中位數(shù)也具有相同的結論.（）

（4）在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù).（）

（5）如果一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都減去同一個非零常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的平均

數(shù)改變，方差不變.（）

【答案】（1）X

（2）X

（3）X

（4）V

（5）V

2.在某次聯(lián)考的閱卷工作中，質檢老師隨機抽取了10份試卷，對某題的閱卷

評分進行了復查，得分記錄分別為13,17,11,9,12,15,10,8,10,7,

則這組樣本數(shù)據(jù)的（）

A.極差為11分B.眾數(shù)為10.5分

C.平均數(shù)為11分D.中位數(shù)為10.5分

【答案】D

【解】將得分從小到大排列為7,8,9,10,10,11,12,13,15,17,故A,B錯誤,D正確.

13+17+11+9+12+15+10+8+10+7

平均數(shù)為11.2,故C錯誤.故選D.

10

3.［2021年新課標II卷］【多選題】下列統(tǒng)計量中，能度量樣本久1，&,…,出的離

散程度的有（）

A.樣本%1，%2,…,%n的標準差B.樣本%1，為2,…,%n的中位數(shù)

C.樣本%1，%2,…，馬的極差D.樣本%1，久2,…，%的平均數(shù)

【答案】AC

【解】標準差和極差符合要求.故選AC.

4.（教材題改編）一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為

1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為

【答案】14.5

【解】因為75%x20=15,所以第75百分位數(shù)為上尹=14.5.故填145

核心考點精準突破

考點一總體百分位數(shù)的估計

例1

（1）“雙減”政策實施后，學生的課外閱讀增多.某班50名學生到圖書館借書

數(shù)量統(tǒng)計如下：

借書數(shù)量/本5678910

頻數(shù)/人58131194

則這50名學生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)是（）

A.8B.8.5C.9D.10

（2）某大型聯(lián)考有16000名學生參加，已知所有學生成績的第60百分位數(shù)是

515分，則成績不低于515分至少有（）

A.6000人B.6240人C.6300人D.6400人

【點撥】第p百分位數(shù)的計算步驟（在頻率分布直方圖中）：先確定第p百分位

數(shù)所在的區(qū)間［a,5）,再確定小于a和不小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比九％，%%,則第

p百分位數(shù)為a+頭筆x（b-a）.

fb°/o-Ja/o

【答案】（1）C

（2）D

【解析】

(1)【解】由50x75%=37.5,得上四分位數(shù)為借書數(shù)量從小到大排序后的

第38個數(shù).又5+8+13+11=37<38,所以上四分位數(shù)是9.故選C.

(2)【解】成績不低于515分的至少有16000X(1-60%)=6400(人).故

選D.

變式1.

(1)某果園種植了100棵蘋果樹，從中隨機抽取的12棵果樹的產(chǎn)量(單位：

kg)分別為：

242536272832202629302633

據(jù)此預計，該果園的總產(chǎn)量為kg,第75百分位數(shù)為kg.

(2)某省全省聯(lián)考后，教育部門在該省高三學生中隨機抽取了1000名學生，

對他們的化學成績進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則估計該省學

生此次化學成績的第75百分位數(shù)為()

頻率

0.020

0.015

0.010

0.005

405060708090100成績/分

A.79.5分B.82.5分C.81分D.82分

【答案】(1)2800；31

(2)B

【解析】

(1)【解】：(24+25+36+27+28+32+20+26+29+30+

26+33)=28(kg),所以預計總產(chǎn)量為28x100=2800(kg).因為12x75%=

9,且12棵果樹的產(chǎn)量從小到大排列后的第九、十個數(shù)字分別為30,32,所以

預計總產(chǎn)量的第75百分位數(shù)為31kg.故填2800；31.

(2)【解】由題圖，知分數(shù)在［40,80)內的頻率為(0.005+0.015+0.020+

0.030)X10=0.7,在［40,90)內的頻率為0.7+0.02X10=0.9,所以第75百

分位數(shù)位于(80,90)內，且為80+絲祥X10=82.5.故選B.

考點二總體集中趨勢的估計

例2【多選題】某大學共有15000名學生，為了解學生書籍閱讀量的情況，該

校從全校學生中隨機抽取1000名，統(tǒng)計他們2024年閱讀的書籍數(shù)量，由此估

計該校學生本年度閱讀書籍數(shù)量的情況.下列估計正確的是（注：同一組數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點值作為代表）（）

A.估計該校學生2024年閱讀的書籍數(shù)量的眾數(shù)為6

B.估計該校學生2024年閱讀的書籍數(shù)量的中位數(shù)為6.6

C.估計該校學生2024年閱讀的書籍數(shù)量的平均數(shù)為6.76

D.估計該校學生2024年閱讀的書籍數(shù)量的第60百分位數(shù)為7.6

【解】由題圖，知眾數(shù)在[4,8]內，所以眾數(shù)是6,故A正確.中位數(shù)％C[4,8],所

以0.06x4+0.1x（%-4）=0.5,解得X=6.6,故B正確.平均數(shù)為4x（2x

0.06+6X0.1+10X0.07+14X0.015+18X0.005）=6.88,故C錯誤.

第60百分位數(shù)約為4+竺衛(wèi)X4=7.6,故D正確.故選ABD.

0.1X4

【答案】ABD

【點撥】①頻率分布直方圖中求中位數(shù)，一般先確定中位數(shù)所在的區(qū)間，再利

用“0.5-較低累積頻率=（久-區(qū)間左端點值）x區(qū)間縱坐標”，求得力即可.②

一般地，對一個單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的，那

么平均數(shù)和中位數(shù)應該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”，那么平均

數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”，那么平均數(shù)小于中位數(shù).

變式2.

（1）某班學生A,B在高三8次月考的化學成績用莖葉圖表示如圖，其中學生

A成績的平均數(shù)與學生B成績的眾數(shù)相等，則租=.

學生A________學生B

~93T75-

3,”5282444

32921

（2）（教材題改編）平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小

關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關.下面四個頻率分布直方圖中，最能說明平均數(shù)大

于中位數(shù)的是（）

A.。B.

D.

【答案】(1)5

(2)A

【解析】

(1)【解】由題意，得73+79+82+85+(8。+叫+83+92+93=&4,解得瓶=5.故填5.

8

(2)【解】對于B,D,直方圖形狀對稱，所以平均數(shù)和中位數(shù)相等.A中圖形在

右邊拖“邊尾”，C中圖形在左邊“拖尾”，故A正確.故選A.

考點三總體離散程度的估計

例3某果園試種了A,B兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了

這20棵桃樹的產(chǎn)量(單位：kg)如下表.記A,B兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均

數(shù)分別為麗方差分別為才和s之

A/kg60504060708070305090

B/kg40605080805060208070

(1)分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù).

(2)求心y,S1,S1.

(3)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結果分析選種哪個

品種更合適?并說明理由.

【解】(1)這10棵A品種桃樹的產(chǎn)量從小到大分別為30,40,50,50,60,

60,70,70,80,90.

所以極差為90—30=60,中位數(shù)為竺羅=60.

這10棵B品種桃樹的產(chǎn)量從小到大分別為20,40,50,50,60,60,70,

80,80,80.

所以極差為80—20=60,中位數(shù)為竺羅=60.

(2)x=^x(30+40+50+50+60+60+70+70+80+90)=60.

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