第17章勾股定理單元試卷2024-2025學年人教版數(shù)學八年級下冊

一、選擇題

1.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.9,40,41B.5,12,15C.1.5,2,2.5D.13,14,15

2.已知一個直角三角形，兩直角邊的平方和為400,則斜邊長為（）

A.10B.20C.30D.40

3.如圖，字母B所代表的正方形的邊長是（）

D.12

4.如圖，在RtZXOBC中，OC=1,03=2,BA=BC則數(shù)軸上點N所表示的數(shù)是（）

C.V5-2D.-V5+2

5.如圖，大正方形/3CD由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形跖組成,

FH=也，較短直角邊與較長直角邊和為5,則正方形N8CD的面積為（）

A.5B.5A/2C.10D.13

6.如圖，V/3C中，ZC=90°,4S的垂直平分線分別交48、4c于點￡）、E,若

BC=5AE:EC=3:2,則AB的長為（）

A.V41B.V30c.VioD.3

7.如圖，在V/BC中，ABAC=90°,N3=6,/C=8,點。是8c的中點，將△48。沿

折疊，得到△/￡￡>,連接CE,則CE的長度為（）

8.勾股定理是數(shù)學史上的一顆璀璨明珠.被譽為清代“歷算第一名家”的著名數(shù)學家梅文鼎

先生（圖①）在《梅氏叢書輯要》（由其孫子梅轂成編纂）的“勾股舉隅”卷中給出了多種勾

股定理的證法，其中一種是在圖②的基礎(chǔ)上，運用“出入相補”原理完成的.如圖，在V/8C

中，ZACB=90°,四邊形/8OE,ACFG,3C印均為正方形，〃/與/E相交于點J,可

以證明點D在直線印上.若△DEJ的面積分別為2和6,則直角邊/C的長為

()

D.y[f>

二、填空題

9.在V/BC中，/8=15,AC=13,8c邊上的高/。=12,則邊2C之長等于.

10.如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點3300m,

結(jié)果他在水中實際游了500m,則該河流的寬度為.

11.如圖，在中，ZACB=90°,通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交NB,AC

于。，E,連接CD.若CE=；/E=1,則CD=.

12.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離

為0.7米，頂端距離地面2.4米.如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端

距離地面2米，則小巷的寬度為米.

13.如圖，學校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了

一條“路”.他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草.

14.如圖，已知釣魚桿/C的長為10米，露在水面上的魚線8C長為6米，某釣魚者想看

看魚鉤上的情況，把魚竿NC轉(zhuǎn)動到NC的位置，此時露在水面上的魚線"C長度為8米,

則匹'的長為米.

A

15.如圖，一只螞蟻從點Z沿圓柱表面爬到點5,圓柱高為8cm,底面半徑為一cm,那么

71

最短的路線長是.

口

A

三、解答題

16.如圖，在Rt/XNBC中，NBCA=90°,/C=12,AB=13,點。是RtZ\/8C外一點,

連接DC,D3,且。C=4,05=3

(1)求8C的長；

(2)求證：△BCA是直角三角形.

17.風箏能夠飛行的主要原因就是風力會產(chǎn)生一個向上的分力，風對風箏產(chǎn)生的作用力是

垂直于風箏向上的，而線產(chǎn)生的拉力是斜向下的，這樣就有可能達到受力平衡，風箏就可

以穩(wěn)定的飛在天上.“風大放線，風小收線”，其實說的就是通過調(diào)整拉力的大小來改變迎

角，這樣風箏就可以穩(wěn)定的飛行了.某校八年級的王明和孫亮兩位同學在學習了“勾股定理”

之后，為了測得風箏的垂直高度CE,他們來到了西區(qū)廣場進行了如下操作：①測得8。的

長度為8米；(注：2。_LCE)②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為17米；③

牽線放風箏的王明身高L6米；

(1)求風箏的垂直高度CE.

(2)若王明同學想讓風箏沿CA方向下降9米到點M的位置，則他應該往回收線多少米?

18.如圖，在四邊形/BCD中，AB=20,BC=15,CD=1,AD=24,05=90°.

⑴求證：CD1AD

⑵求四邊形/BCD的面積.

19.一梯子/C長2.5m,如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m.

(1)這架梯子的頂端離地面有多高？

(2)設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為m,底端到垂直墻面的距離為，?，若竺=%根據(jù)經(jīng)驗

n

可知：當2.7＜。＜5.6時，梯子最穩(wěn)定，使用時最安全.若梯子的頂端下滑了0.4m,請問

這時使用是否安全.

20.【材料閱讀】

平面內(nèi)兩點加(占,%)，N(x2,y2),則由勾股定理可得，這兩點間的距離

ACV="占一下『+包-力丫?

例如，如圖1,M(3,l),N(l,-2),則=J(3_l)2+(l+2)2=屈.

⑴已知尸(2,-3),2(-1,3),求尸、。兩點間的距離；

(2)如圖2,在平面直角坐標系中，OB=41，03與x軸正半軸的夾角是45。.

①求點3的坐標；

②試判斷的形狀.

參考答案

1.【答案】A

【分析】滿足1+〃=C2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).根據(jù)勾股數(shù)的概念判斷即可.

【詳解】解：A、V92+402=81+1600=1681412=1681,

92+402=412,

，9,40,41是勾股數(shù)，故本選項符合題意；

B、：5?+12?=25+144=16915?=225,

，52+122^152,

，5,12,15不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；

C、：1.5與2.5不是正整數(shù)，

/.1.5,2,2.5不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；

D、V132+142=169+196=365,152=225,

A132+142^152，

...13,14,15不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；

故選A.

2.【答案】B

【分析】如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為。，那么1+62=,2.直

接根據(jù)勾股定理得到/+〃=°2,根據(jù)題意計算，得到答案.

【詳解】解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,

由勾股定理得：a2+b2=c2,

由題意得：a2+b2^c2=400,

c2=400,

Ac=20,即斜邊長為20.

故選B.

3.【答案】D

【分析】根據(jù)題意，8的面積+25=169,可得正方形8的面積，再求算術(shù)平方根即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，8的面積+25=169,

,正方形B的面積為144,

,正方形B的邊長為V144=12，

故選D.

4.【答案】D

【分析】利用勾股定理求得8c的長度，然后結(jié)合數(shù)軸求得。的值即可.

【詳解】解：在中，OC=\,OB=2,

BC=yj0C2+0B2=A/12+22=，

設(shè)點/所表示的數(shù)為。，

BA=BC,

2-67=V?,

?-47=—\[5+2，

.?.數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是：一6+2.

故選D.

5.【答案】D

【分析】設(shè)直角三角形較短直角邊為。，較長直角邊為6,由題意得。+6=5,求得

a2+b2+2ab=25?,由F〃=亞，a2-2ab+b2=1@,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：設(shè)直角三角形較短直角邊為“，較長直角邊為6,

由題意得。+6=5,BPa2+b2+2ab=25@,

EH=EF=b-a,

■:FH=丘，

：.{b-af=Flf=2,

（Z?-a）2=1,

=1②，

①+②得2（/+〃）=26,

a2+Z>2=13,

正方形ABCD的面積為a2+b2=13,

故選D.

6.【答案】B

【分析】連接3E,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到/￡=BE,再根據(jù)勾股定理計算即可.

【詳解】解：如圖，連接3E,

-.?DE是AB的垂直平分線,

設(shè)AE=BE=3x,

■：AE:EC=3:2,

/.EC=2x,

在RGEBC中，BE2=BC2+EC2,即（3x>=（府+（2x）2,

解得：尤=1（負值舍去），

貝!!/E=3x=3,EC=2x=2,

AC=AE+EC=5,

AB=y/BC2+AC2=b+（9=屈,

故選B.

7.【答案】D

【分析】連接3E交/。于O,作4HLBO于H,首先證明垂直平分線段是

直角三角形，求出BC,BE,在RtABCE中，利用勾股定理即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接3E交4D于O,作3c于

在RtAABC中，

5C=V62+82=10>

CD=DB,

AD=DC=DB=5,

?：-BC-AH=-AB-AC,

22

24

/.AH=——，

5

由翻折得：AE=AB,

"：DE=DB=DC,

：.ZDEB=NDBE/DEC=ZDCE,

ZDEB+ZDBE+ZDEC+ZDCE=180°,

/.NBEC=ZDEB+/DEC=90°,

/.NO垂直平分線段BE,ABCE是直角三角形,

'：-ADBO=-BDAH,

22

24

Z.0B=—^

VO,D為BE,BC中點、,

故選D.

8.【答案】A

【分析】先證明RQ48C也RtA￡?8/（HL）得SJBC=S?/，設(shè)/C=a,BC=b,AB=c,

由勾股定理得/+人2=,2,進而得$正方物CFG+La/=<￡>￡/,正方形4CFG=4,即可得出答案.

【詳解】解：；四邊形/2DE,BCHI為正方形,

AB=BD,BC=BI,^ACB=DDIB=90°,

RtAZBC也RtAQB/（HL）,

?V—V

一u^ABC-?ADB1，

設(shè)4C=Q,BC=b,AB=c,

由勾股定理得，a2+b2=c2,

即S正方形ZCFG+S正方形gm=§正方揚BDE，

S正方形4c尸G+S“BC+S&AHJ+S四邊形^BID+^DEJ+S四邊形/加，

?*?S正方形/CFG+SqAHJ=^DEJ>

1?S正方形ZCFG=\DEJ~^^AHJ-6-2=4,

即/=4,

a=29

即ZC=2,

故選A.

9.【答案】14或4

【分析】根據(jù)題意作出兩個圖，分兩種情況分別求解即可.

【詳解】①如圖，在V45C中，45=15,AC=\3,邊上的高40=12,

A

RDC

BD=^AB2-AD2=V152-122=9，

CD=^AC--AD2=V132-122=5,

BC=BD+DC=9+5=14.

②如圖，在V4BC中，48=15,AC=13,8c邊上的高/D=12,

CD=yjAC2-AD2=V132-122=5,

BC=BD+DC=9-5=4.

10.【答案】400m

【分析】根據(jù)題意可知△NBC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊的距離

【詳解】解：根據(jù)題意可知NC=500m,BC=300m,

由勾股定理得AC^AB^BC2,

即5002=3002+4g2,解得48=400.

答：該河的寬度為400米.

11.【答案】V6

【分析】先求解AC,再連結(jié)BE,證明愈=應；AD=BD,利用勾股定理求解5C,

AB,從而可得答案.

【詳解】解：.?.C￡=g/￡=1,

\AE=3,AC=4,

如圖，連結(jié)跖，

由作圖可得，"N是NB的垂直平分線，

-.■ZACB=90°,

22

\BC二V3-!=272，

CD=—AB=V6.

2

12.【答案】2.2

【分析】將圖形進行標注，利用勾股定理算出/C,再利用勾股定理算出CD,根據(jù)

AD=8C+CD計算求解，即可解題.

【詳解】解：根據(jù)上圖，進行如下標注：

MBCD

由題知，AB=2.4m,BC=0.7m,DE=2m,ZABC=90°,ZEZ)C=90°,

:.AC=^AB2+BC2=A/2.42+0.72=2.5m，

???梯子長度不變，

EC=AC=2.5m,

CD=4EC1-DE1=V2.52-22=1.5m，

/.BD=BC+CD=0.7+1.5=2.2m.

13.【答案】8

【分析】先根據(jù)勾股定理求出N8的長，再根據(jù)少走的路為/C+8C-即可求得結(jié)果.

【詳解】解：：ZACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=4AC1+BC2=762+82=10m，

???少走的路為/C+8C-/8=6+8-10=4m,

2步為1米，

???少走了4x2=8(步)

14.【答案】2

【分析】先根據(jù)勾股求出N8,再根據(jù)勾股定理求出N8',最后根據(jù)5力=”-4"即可求解.

【詳解】解：在RtZUBC中，4c=10m乃C=6m,

/.AB=-JAC2-BC2=V102-62=8(m),

在Rt^AB'C‘中，/C'=10m,B'C'=8m,

/.AB'=y/AC'2-B'C'2=V102-82=6(m),

/.BB'=AB-AB'=8-6=2(m)

15.【答案】10cm

【分析】將圓柱的側(cè)面展開，然后利用勾股定理即可求得最短路線.

【詳解】展開之后如圖，此時43的長度即為最短路線長，

止匕時/C=！x2兀x9=6,SC=8,

2兀

AB=yjAC2+BC2=A/62+82=10cm.

16.【答案】(1)5

(2)見解析

【分析】(1)在中，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長;

(2)利用勾股定理逆定理即可證明△BCD是直角三角形.

【詳解】(1)解：?:/BCA=90°,4c=12,N8=13,

BC=ylAB2-AC2=5?

(2)證明：?.?在△BCD中，DC=4,DB=3,BC=5

DC2+DB2=32+42=25=52=5C2

...△3C。是直角三角形.

17.【答案】（1）16.6米

（2）他應該往回收線7米

【分析】（1）利用勾股定理求出的長，再加上OE的長度，即可求出CE的高度；

（2）根據(jù)勾股定理求出然后3C-8M即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：在RtACDB中，

由勾股定理得CD=yjBC2-BD2=V172-82=15，

：.CE=CD+DE=15+1.6=16.6（米），

???風箏的垂直高度CE為16.6米；

（2）由題意得CA/=9米，

ADM=CD-CM=15-9=6（米），

BM=yjDM2+BCT=A/62+82=10（米），

BC-BM=17-10=7（米）

.?.他應該往回收線7米.

18.【答案】⑴見詳解;

（2）234

【分析】（1）連接/C,根據(jù)勾股定理計算出/C長，再利用勾股定理逆定理判定ANCD是

直角三角形，即可得到結(jié)論；

（2）利用A/C。和V/2C的面積求和，即可.

【詳解】（1）連接/C,

AC=^AB2+BC2=7400+225=25，

V242+72=252,BPAD2+CD2=AC2,

：.DD=9Q°,

CD1AD；

（2）解：四邊形/BCD的面積=%s+%cB=gx24x7+；x20xl5=234.

故面積為234.

19.【答案】（1）這架梯子的頂端離地面2.4m；

（2）此時使用不安全

【分析】（1）利用勾股定理求解；

（2）由勾股定理求出8