第2章實(shí)數(shù)（基礎(chǔ)篇）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

_7

A.&B.〃C.--D.0.10010001

6

2.式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>-2B.x>-2C.#-2D.x<-2

3.實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡⑷-而行的結(jié)果是（）

bOa

A.la-bB.-la+bC.-bD.b

4.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）

A.aQ

c.V12D.后

5.若Jx-l—j2-2x=(九+y)2,則x—y的值為（)

A.2B.3C.-1D.1

6.下列計(jì)算正確的是（）

A.3+2A/3=5A/3B.46-3百=1

715

C.573x273=1073D.64-^/5=

"V

7.下列二次根式中，最簡二次根式是()

L1C1

A.0ByD.瓜

8.估算9-1的值在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

9.如圖，矩形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，其面積分別為2和8,則圖中陰影部分的面積為（)

A.2B.2aC.4D.4>/2

10.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下:

當(dāng)輸入的X=9時(shí)，輸出的y等于（）

A.耶B.±79C.6D.±73

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11."=,36的平方根是.

12.|6一詞=—.

13.設(shè)2+"的小數(shù)部分是無，則彳=—.

14.已知％=￡2，則/4x+l的值為.

15.比較大?。?3-而.（填，'，"=”或“<”）

16.若回二T與“溝工1是最簡二次根式且是同類二次根式，貝人《=—.

Vab

17.如圖，一條長度為0T的線段繞著。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)。4與數(shù)軸重合時(shí),A點(diǎn)表示的數(shù)為

18.對于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)。、b,定義運(yùn)算“X”如下：?！饲襾儯?※2=叵^=好,

ab3x26

那么6X12=__.

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

19.（8分）把下列各數(shù)寫入相應(yīng)的集合內(nèi)：-g,2正,^64,0.26,1,0.10,5.12,|后3+727.

（1）有理數(shù)集合：｛）；

（2）正實(shí)數(shù)集合：｛）；

（3）無理數(shù)集合：｛｝

20.（8分）求下列各式中x的值：

2

(1)(%-5)-9=0;(2)64(x-l)3=27.

21.(10分)計(jì)算:

(1)1V16-V4+(3-73)(3+>/3)(2)(748+720)-(712-75)

22.（10分）已知尤=l-3a,y=4a-3.

（1）如果x的算術(shù)平方根為4,求a的值；

（2）如果x,y是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根，求這個(gè)正數(shù).

23.（10分）如圖，數(shù)軸上表示0,1,0的點(diǎn)分別為A,B,C,點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)8到點(diǎn)。的

距離相等，設(shè)點(diǎn)。所表示的數(shù)為尤.

ADBC

_________________________IIII_

ox1yj

（i）求出實(shí)數(shù)尤的值；

⑵求（X+A/§■『的值.

24.（12分）（1）填空：（右-2『=；77-473=；

（2）例題：化簡，5+2/

解：因?yàn)?+2#=3+2+2x退x0=（可+2x島友+（夜/=（有+

所以《5+2#=46+何=后+0

仿照上例的方法，化簡下列各式：

①J12+6君②，4-2』+j8-2岳

參考答案

1.A

【分析】

無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分

數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).

解：A、百是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

B、4=2,2是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

C、是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

6

D、0.10010001是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意.

故選A.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：萬，2%等；開方開不盡的

數(shù)；以及像0.2020020002...（相鄰兩個(gè)2中間依次多1個(gè)0）,等有這樣規(guī)律的數(shù).

2.B

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案.

解：由題意可知x+23O,

x>—2,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于

基礎(chǔ)題型.

3.D

【分析】

根據(jù)數(shù)軸可判斷縱仍與0的大小關(guān)系，然后利用絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)即可化簡求出答

案.

解：由數(shù)軸可知：a>0,b<a,

ab>Q,

原式=。|。例

=a(ab)

=b,

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)與絕對值化簡，解題的關(guān)鍵是正確判斷。>0,b<a,本題屬于基礎(chǔ)題

型.

4.D

【分析】

根據(jù)最簡二次根式的定義，即可求解.

解：A、〃=2，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、@=與,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、萬=2石，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、而屬于最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D

【點(diǎn)撥】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足下列兩

個(gè)條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的每個(gè)因數(shù)都是整數(shù)，因式都是整式，②被開方數(shù)中

不含有能開得盡方的因數(shù)或因式.

5.A

【分析】

先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0,可求出％、y的值，再代入代數(shù)式即可.

解：*.*A/X-1-A/2-2X=(x+有意義，

.'.xl>0且22x>0,

??x~1,

.?.(y+l)2=0,

.".y=l

?\xy=l(1)=2.

故選A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)：概念：式子&(a>0)叫二次根式；性質(zhì)：二次根

式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.

6.D

【分析】

直接利用二次根式的乘除以及二次根式加減運(yùn)算法則分別判斷得出答案.

解：A、3+26片5A原計(jì)算錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；

B、4石-3石=6原計(jì)算錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；

C、5gx2港=30原計(jì)算錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；

D、6+石=卓正確，該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

7.A

【分析】

被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式,

叫做最簡二次根式.化簡后利用最簡二次根式的定義進(jìn)行判斷即可.

解：A.應(yīng)是最簡二次根式，故選項(xiàng)正確，符合題意；

B.走，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意;

V22

c.《W，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

D.瓜=2五,故選項(xiàng)錯誤，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡和最簡二次根式，掌握二次根式的化簡是基礎(chǔ)，掌握最簡二次根

式的定義是關(guān)鍵.

8.B

【分析】

由16<19<25,得至U4VM<5,即可解答.

解：vl6<19<25,

4<A/19<5,

;.3<曬-1<4,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了估算無理數(shù)的大小：利用完全平方數(shù)和算術(shù)平方根對無理數(shù)的大小進(jìn)行估算.

9.A

【分析】

先求出大、小正方形的邊長，進(jìn)而求出整個(gè)圖形面積，最后根據(jù)陰影部分的面積=大矩形面積兩個(gè)正

方形面積，本題得以解決.

解：由題意可知，大正方形的邊長為*=2應(yīng)，小正方形的邊長為0,

，圖中陰影部分的面積為：2點(diǎn)？3夜2-8=2,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查算術(shù)平方根，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出大小正方形的邊長，利用數(shù)形結(jié)合

的思想解答.

10.C

【分析】

根據(jù)算術(shù)平方根的概念計(jì)算即可.

解：；d=3,6為3的算術(shù)平方根，且是無理數(shù)，

輸出的y等于百，

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根及無理數(shù)的概念，熟練掌握其算術(shù)平方根及無理數(shù)的概念是解題的關(guān)

鍵.

11.2±6

【分析】

根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的定義即可解題.

解：74=2，

36的平方根是±6.

故答案為：2,±6.

【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根和平方根，掌握算術(shù)平方根和平方根的定義，根據(jù)定義計(jì)算是解題關(guān)

鍵.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且他們互為相反數(shù).

12.V5-^##-V3+A/5

【分析】

比較實(shí)數(shù)大小，去絕對值即可.

解：A/3<A/5,

2-閩=若一石或石+(一揚(yáng)，

故答案為：君-血#石+(-6).

【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，絕對值的化簡，熟練掌握實(shí)數(shù)大小比較是解題的關(guān)鍵.

13.\[6-2##—2+^/6

【分析】

先求出2+卡的范圍，再求出小數(shù)部分即可.

解：V4<6<9,

a<?<囪，

?,.2<>/6<3,

.,.4<2+76<5,

2+y/6-4=&-2,

；.2+新的小數(shù)部分是后一2,

'.x=屈—2.

故答案：病一2.

【點(diǎn)撥】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能正確估算出每個(gè)無理數(shù)的大小是解此題的關(guān)鍵.

14.2

【分析】

先根據(jù)分母有理化對尤的值進(jìn)行化簡，然后利用完全平方公式對代數(shù)式變形，再代入數(shù)據(jù)求解即可.

解…人

A/5+2

一（爪-2）（有+2）

75+2

V5+2

5-4

=A/5+2

x2—4x+1

=x2—4%+4-4+1

=(X-2)2-3

把x=6+2代入上式中,

原式=（括+2-2『-3

=（扃-3

=2

故答案為：2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了代數(shù)式求值，二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于能夠利用完全平方公式對代

數(shù)式進(jìn)行變形求解.

15.>

【分析】

先利用平方法比較它們的絕對值的大小，再根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，即可比較.

解：V|-3|2=9,|-710|2=10,9<10,

二I-3年M|,

-3>-V10，

故答案為：>.

【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，掌握平方法是解題關(guān)鍵.

16.舁鵬

【分析】

根據(jù)同類二次根式的定義得到2a3=2,361=26+1,然后解兩個(gè)方程組成的方程組求得a,b的值，再代

入計(jì)算即可.

解：根據(jù)題意得2a3=2,3bl=26+1,

解得a=g,b=2.

故答案為：g.

【點(diǎn)撥】本題考查了同類二次根式的定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們

的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.

17.5/21-2

【分析】

求出點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離，確認(rèn)A的符號，就是點(diǎn)表示的數(shù).

解：點(diǎn)為2,點(diǎn)A在原點(diǎn)的右側(cè)，

當(dāng)與數(shù)軸重合時(shí)，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是⑸-2,

?e?點(diǎn)A表示的數(shù)是V21-2.

故答案為：V21-2.

【點(diǎn)撥】本題考查的是數(shù)軸上的點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是算出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，加上性質(zhì)符號就是表示的實(shí)

數(shù).

18.旦

24

【分析】

按新定義的運(yùn)算規(guī)定化簡求值.

解：6※心普!

屈

~72

372

方

V2

24,

故答案為：顯.

24

【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握、理解新定義的規(guī)定是解決本題的關(guān)鍵.

19.(1)-1,^^64-0.26,0.10,5.12(2)2百，0.26,y,0.10,5.12,|后3+用

(3)2。/，|叼，3+727

【分析】

(1)根據(jù)有理數(shù)的定義進(jìn)行作答即可；

(2)根據(jù)正數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；

(3)根據(jù)無理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.

解：⑴有理數(shù)有：V=64=-4>0.26,0.10,5.12

故答案為：-；，竹？，0.26,0.10,5.12

(2)-1,也=-4是負(fù)數(shù)，|后惚對值是正數(shù)

正實(shí)數(shù)有：2后，0.26,y,0.10,5.12,|后3+727

故答案為：2后，0.26,y,0.10,5.12,|后3+727

(3)無理數(shù)有：2母,",|后|，3+V27

故答案為：2&，y,|3+727

【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，即實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)，零，負(fù)實(shí)數(shù)；實(shí)數(shù)還可以分為有理數(shù)和無理數(shù),

有理數(shù)包括正數(shù)和分?jǐn)?shù)，無理數(shù)是無線不循環(huán)小數(shù)，熟練掌握有理數(shù)、無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

7

20.(1)匕=8,X=2(2)X=-

一24

【分析】

(1)利用求一個(gè)數(shù)的開方根的方法直接開平方即可求解.

(2)兩邊同時(shí)除以64,再直接開立方即可求解.

⑴解:移項(xiàng)得。-5)2=9,

開平方得％—5=±百=±3,即％—5=3或九一5二—3,

??%1=8,X?=2.

77

(2)兩邊同時(shí)除以64得(尤-Ip=言,

開立方根得》-1=后，即=

.x-l

"4'

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平方根和立方根，熟練掌握平方根和立方根的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題

的關(guān)鍵.

21.⑴6⑵2百+3百

【分析】

(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，平方差公式進(jìn)行計(jì)算；

(2)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后合并同類二次根式.

(1)解：原式=；x4_2+32_(J^y

=-x4-2+9-3

2

=6

⑵解：原式=4石+2石-2用石

=26+3行

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)化簡是解題的關(guān)鍵.

22.(l)a=-5(2)25

【分析】

(1)根據(jù)平方運(yùn)算，可得1-34=42,解一元一次方程，可得答案；

(2)根據(jù)同一個(gè)數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù)，可得。的值，根據(jù)平方運(yùn)算，可得答案.

(1)解：的算術(shù)平方根是4,