05筆尖型

一、單選題

1.如圖所示，AB/7CD,則NA+NE+NF+NC等于（）

A.180°B.360°C.540°D.720°

【答案】C

【詳解】解：作EM〃AB,FN〃AB,

：AB〃CD,；.AB〃EM〃FN〃CD.

.".ZA+ZAEM=180°,ZMEF+ZEFN=180°,ZNFC+ZC=180",

ZA+ZAEF+ZEFC+ZC=540°.

故選：C.

2.如圖，直線4〃6，N1=3O。，則N2+N3=()

A.150°B.180°C.210°D.240°

【答案】C

【詳解】解：作直線，平行于直線〃和L.

’2

???////"〃2，

.?.Nl=N4=30°,Z3+Z5=180°.

?.?N2=N4+N5,

...Z2+Z3=Z4+Z5+Z3=30°+180°=210°.

故選C.

3.如圖，已知AB〃CD,則/a,",N7之間的等量關(guān)系為（）

C.Za+Z/7+Z/=36O°D.Zcr+Z^+Z/=180°

【答案】C

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB,則EF〃CD,如圖，

?「AB〃EF〃CD,

AZy+ZFED=180°,

VZABE+ZFEB=180°,ZABE=Za,ZFED+ZFEB=ZP,

Zy+ZFED+ZABE+ZFEB=360°,

AZa+Z0+Zy=360°,

故選：C.

4.如圖，已知AB〃CD,ZA=140°,ZE=120°,則/C的度數(shù)是（）

C.100°D.140°

【答案】C

【詳解】解：過(guò)￡作直線W/Aft如下圖所示,

'：MN//AB,

...N/+/l=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）,

.\Z1=18O°-Z^=180°-140°=40°,

,/ZAEC=Z1+Z2=12O°,

Z2=ZAEC-Z1=120°-40°=80°

'：MN//AB,AB//CD,

：.MN//CD,

.?.NB/2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）,

：.ZC=180°-Z2=180°-80°=100°,

故選：C.

5.①如圖1,AB//CD,貝!|NA+NE+NC=36O。；②如圖2,AB//CD,則NP=NA-NC；③如圖3,AB

//CD,則NE=NA+N1；④如圖4,直線AB〃CZ)//EF,點(diǎn)O在直線所上，則Na-"+々=180。.以

上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

【答案】C

【詳解】解:

①如圖1,過(guò)點(diǎn)石作直線甌746,

'：AB//CD,

：.AB//CD//EF,

.".ZJ+Z1=18O°,Z2+ZC=180°,

AZ^+Z1+Z2+ZC=36O°,

：.ZA+ZAEaZC=3^°,

故①正確；

②如圖2,TNI是△位的外角，

：.Zl=ZC+ZPf

9：AB//CD,

???//=Nl,

即/片44-NG

故②正確；

③如圖3,過(guò)點(diǎn)￡作直線廝〃四，

'：AB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZA+Z3=180°,Z1=Z2,

：.ZA+ZAEC-Zl=180°,

即N/￡C=180°+Z1-N4

故③錯(cuò)誤；

④如圖4,U：AB//EF,

AZa=/B0F,

???CD//EF,

：.Zy+ZCOF=180°,

?：4B0F=/C0R/B,

:?/COF=/a-ZP,

AZy+Za-ZP=180°,

故④正確；

綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為3,

故選：C.

6.如圖，兩直線A5、CD平行，則ZL+N2+N3+N4+N5+N6=().

C.800°D.900°

【答案】D

【詳解】分別過(guò)E點(diǎn),F點(diǎn)、,G點(diǎn),〃點(diǎn)作Z1,12,L3,￡4平行于AB

觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，

貝！］Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180°x5=900\

故選D

7.如圖所示，h//h,Nl=105°,Z2=140°,則N3的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【詳解】解:

過(guò)點(diǎn)/作

■：1：//12,

：.AB//h//12,

.,.Zl+Z4=180°,Z2+Z5=180°,

VZ1=105°,Z2=140°,

.\Z4=75O,N5=40°,

VZ4+Z5+Z3=180°,

.\Z3=65°.

故選：C.

8.如圖，直線相〃〃，在RMABC中，?B90?,點(diǎn)A落在直線機(jī)上，BC與直線〃交于點(diǎn)。，若N2=13O。,

則N1的度數(shù)為（）.

c

\r\

m--------------------

A

A.30°B.40°C.50°D.65°

【答案】B

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作直線〃/機(jī),

,直線m〃n,IIIm,

I/In,

.?.Z2+Z3=180°,

VZ2=130°,

AZ3=50°,

VZB=90°,

.*.Z4=90°50°=40°,

*.*Illm,

.,.Zl=Z4=40°.

故選：B.

9.如圖，AB//ED,ZB+NC+ZD=()

C.540°D.270°

【詳解】

E

如圖，過(guò)C點(diǎn)作直線CF〃AB,

-/AB\\EDf

:.CF||ED,

.?.N3+4C尸=180。，ZFCD+ZD=180°

.*.ZB+ZBCF+ZFCD+AD=360°,

即ZB+ZBCD+ND=360°.

故選：B

10.如圖所示，若AB〃EF,用含a、/、7的式子表示無(wú)，應(yīng)為（）

A.a+/3+yB.P+y-aC.18O°-a-/+/3D.180°+a+j3-/

【答案】C

【詳解】過(guò)C作CD〃AB,過(guò)M作MN〃EF,

VAB//EF,

；.AB〃CD〃MN〃EF,

A?+ZBCD=180°,ZDCM=ZCMN,ZNMF=/

ZBCD=180°a,/DCM=/CMN=P/,

x=ZBCD+ZDCM=180°-a-/+^,

故選：C.

11.如圖，在五邊形ABCDE中滿足AB//CD,則圖形中的x的值是

【答案】85

【詳解】解：：AB〃CD,ZC=60°,

.,.ZB=180°-ZC=120°.

???(5-2)X180°=x°+150°+125°+60°+120°.

:?x=85.

故答案為：85.

12.如圖，如果46〃切，那么6+/￡+/小—

【答案】540

【詳解】過(guò)點(diǎn)￡作四〃8,過(guò)點(diǎn)尸作引V〃CD,如圖,

VAB//CD,EM//CD,FN//CD,

：.AB//FN,EM//FN,

：.,NFE骷NEF1^\8Q°,/ANDEM='80°,

VADEF-ZDEM-rZFEM,ABFB^ABFNyAEFN,

N班//濟(jì)N/m/氏/6+N母用N/Wn/HMN"■/頌=540°,

故答案為：540.

13.如圖，若直線4〃3Na=S,N1=3O。，則N2的度數(shù)為一

【答案】150°

【詳解】如圖所示，點(diǎn)A在直線4上，點(diǎn)8、￡）在直線4上，點(diǎn)C在/1、4之間，/ABD為N3,

T32

D

???直線/1〃4,

N3=N1=3O°,

,/Z.a—Z-P,

,ABHCD,

N2=180?！狽3=150。，

故答案為：150。.

14.如圖，直線a與///的一邊射線》相交，Zl=130°,向下平移直線a得到直線6,與///的另

一邊射線的相交，則/2+/3=.

【答案】230°

【詳解】解:過(guò)點(diǎn)。作OC〃a,

:直線a向下平移得到直線b,

：.a//b,

OCHb,

：.Z1+ZAOC=180°,ZCOB+Z3=180°,

Zl+Z2+Z3=360°,

Z2+Z3=360°-Zl=230°.

故答案為：230。.

15.如圖，AD//CE,ZABC=100°,則N2—N1的度數(shù)是

【答案】80°

【詳解】作BFHAD,

?：AD//CE,

：.AD//BF//EC,

AZ1=Z3,Z4+Z2=180°,Z3+Z4=100°,

AZl+Z4=100°,Z2+Z4=180°,

Z2-Zl=80°,

故答案為80。.

16.如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸.如

圖2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB〃CD,CG//EF,NA4G=150。，

ZDEF=130°,則NAGC的度數(shù)是.

圖1圖2

【答案】80°

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作

9：AB//CD,

：.AB//CD//FM,

AZZ)EF+Z￡?=180°,ZMM+ZBAG=180°,

VZBAG=150°,ZDEF=130°,

：.ZMFA=30°,ZEFM=50°,

：.ZEFA=ZEFM+ZAFM=80°,

■:CG//EF,

ZAGC=ZEFA=80°.

故答案為80。.

17.如圖，一環(huán)湖公路的A5段為東西方向，經(jīng)過(guò)四次拐彎后，又變成了東西方向的FE段，則

ZB+NC+NO+ZE的度數(shù)是

AB

FE

【答案】540°

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：AB〃EF,

分別過(guò)點(diǎn)C,D作AB的平行線CG,DH,

所以AB〃CG〃DH〃EF,

則NB+/BCG=180°,ZGCD+ZHDC=180°,ZHDE+ZDEF=180°,

：.ZB+ZBCG+ZGCD+ZHDC+ZHDE+ZDEF=180°X3=540°,

.\ZB+ZBCD+ZCDE+ZE=540°.

故答案為：540°.

AB

FE

18.一大門(mén)的欄桿如圖所示，歷1垂直地面/￡于點(diǎn)4切平行于地面/￡,則//戊7+/頗

AE

【答案】270°

【詳解】過(guò)6作即〃

VCD//AE,

則CD//BF//AE,

CD

AE

.,.z5mzi=i80o,

：.ABA.BF,

；.NAB尺9Q°,

/.ZABaZBCD=90°+180°=270°.

故答案為：270.

三、解答題

19.如圖所示，AB//CD,—ABE與NCDE的角平分線相較于點(diǎn)/，ZE=8O°,求NBFD的度數(shù).

【詳解】設(shè)ZABE=2x,NCDE=2y,

ZABE與NCOE的角平分線相交于點(diǎn)F,

：.ZABF=ZFBE=x,NEDF=ZCDF=y,

由筆尖圖ABEDC知，ZABE+ZE+ZCDE=360°,

即2x+80°+2y=360°,x+y=140°,

由側(cè)M圖ABFDC知，NBFD=ZABF+NCDF=x+y=140°.

20.如圖所示，直線〃4,NC4B=145。，NDBE=85°,求4+N2的度數(shù).

【答案】Zl+Z2=60°.

【詳解】如圖，作AT〃4,易證AT//[,由筆尖圖TABDS知,ZTAB+ZABD+ABDS=360°，又因?yàn)锳T〃《，

所以ZPCA+ZCAT=180°,所以ZTAB+ZABD+ZBDS+ZPCA+ZCAT=540°

Zl+Z2=180°+l80°+145°+180°-85°-540°=60°.

21.如圖所示，AD//BC,NCFE=N1+ND,NB-NCFE=30°,求N2的度數(shù).

E

【答案】Z2=30°.

【詳解】因?yàn)锳D//3C,結(jié)合題意，由靴子圖ABEFC知，NB=NCFE+N1,Zl=ZB-ZCFE=30°f由靴

子圖ABEDC知，ZB=ZBED+ZD=Z1+N2+ZD,

?;NB=NCFE+/1,

.?.Z1+Z2+ZD=ZCFE+Z1即Z2+/D=/CFE,

?；NCFE=N1+ND,.?.N2=N1=3O。

22.綜合探究：已知AB//CD,點(diǎn)、M、N分別是A3、CD上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CO之間，連接MG、NG.

圖1圖2

(1)如圖1,若GM1GN,求NAMG+NOVG的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)P是。。下方一點(diǎn)，MG平分/BMP,ND斗分/GNP,已知NBMG=40。，求

NMQV+NMPN的度數(shù).

【答案】(1)90°；(2)120°

【詳解】解：(1)如圖1,過(guò)G作GH//AB,

?.?AB//CD,

.-.GH//AB//CD

:.ZAMG=NHGM,ZCNG=ZHGN

?:MGING

...ZMGN=ZMGH+ZNCH=ZAMG+ZCNG=90。

(2)如圖2,過(guò)G作GK//AB,過(guò)點(diǎn)尸作尸Q//AB設(shè)NGND=a

-.?GK//AB,AB//CD,

:.GK//CD

:.4KGN=4GND=a,

?.-GK//AB,ZBMG=40°,

ZMGK=ZBMG=40°

?.?MG平分NBMP,ND平分/GNP,

NGMP=ZBMG=40°

:.ZBMP=80°,

■.■PQ//AB,

:.ZMPQ=ZBMP=S0°

?；ND平分NCNP,

:.ZDNP=ZGND=a,

-.■AB//CD,

PQ//CD,:.ZQPN=ZDNP=a,

:.ZMGN=40°+a,ZMPN=80°-a,

ZMGN+ZMPN=40°+tz+80°-?=120°

圖2

23.問(wèn)題情境：如圖1,AB//CD,ZPAB=130°,NPCD=120。，求/APC的度數(shù).

圖5備用圖1備用圖2

思路點(diǎn)撥:

小明的思路是：如圖2,過(guò)P作PEUAB,通過(guò)平行線性質(zhì),可分別求出/4PE、NCPE的度數(shù)，從而可

求出/APC的度數(shù);

小麗的思路是：如圖3,連接AC,通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出/APC的度數(shù)；

小芳的思路是：如圖4,延長(zhǎng)AP交。C的延長(zhǎng)線于反通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出

/APC的度數(shù).

問(wèn)題解決:請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的NAPC的度數(shù)為

問(wèn)題遷移:

(1)如圖5,AD//BC,點(diǎn)戶在射線。河上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)戶在/、6兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZADP=Za,

ZBCP=Z/3.ZCPD,Za,"之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)在(1)的條件下，如果點(diǎn)戶在力、6兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)戶與點(diǎn)點(diǎn)B、。三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)你直接寫(xiě)

出NCPD、”間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】110；(1)ZCPD=Za+Z/?,理由見(jiàn)解析；(2)ZCPD=4/3—4a或4CPD=4a-4/3,理由見(jiàn)

解析

【詳解】解：小明的思路：如圖2,過(guò)P作PEHAB,

：.PE//AB//CD,

：.ZAPE=180°-ZA=50°,ZCPE=180°-ZC=60°,

ZAPC=50°+60°=110°,

故答案為：110；

(1)ZCPD=Aa+A/3,理由如下：

如圖5,過(guò)戶作尸石〃AD交8于￡,

AD//BC,

：.AD//PE//BC,

：.Za^ZDPE,Z/?=ZCPE,

：.ZCPD=ZDPE+NCPE=Na+/￡；

圖5

(2)當(dāng)戶在&L延長(zhǎng)線時(shí)，ZCPD=ZJ3-Za-

理由：如圖6,過(guò)戶作PE〃A￡＞交以)于￡,

,/AD//BC,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,Z/3=ZCPE,

；.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z^-Za；

圖6

當(dāng)尸在8。之間時(shí)，4CPD=4a-4/3.

理由：如圖7,過(guò)戶作PE〃AD交CD于其

---AD//BC,

：.AD//PE//BC,

：.Na=NDPE,ZJ3=ZCPE,

圖7

24.問(wèn)題探究：

如下面四個(gè)圖形中，AB//CD.

(1)分別說(shuō)出圖1、圖2、圖3、圖4中，/I與/2、N3三者之間的關(guān)系.

解決問(wèn)題：

(3)如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于。點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線如、在經(jīng)燈碗反射后平行

射出.如果//及＞57°,NDCO=M°,那么/切信0.

【答案】（1）圖1：Z1+Z2=Z3；圖2：Z1+Z2+Z3=36O°；圖3：Z1=Z2+Z3；圖4：

Z1+Z3=Z2；（2）見(jiàn)解析；（3）101。

【詳解】（1）圖1：Z1+Z2=Z3；

圖2：Zl+Z2+Z3=360°

圖3：Z1=Z2+Z3；

圖4：Z1+Z3=Z2；

（2）選擇圖1,

如圖所示：過(guò)點(diǎn)、P焊EPHAB

'：ABHCD,EPIIAB

：.AB/IEP/ICD

：.Z1=ZAPF,Z2=ZEPC

又,：43=4APE+乙EPC

.\Z1+Z2=Z3；

⑶由圖1可得：4B0C=AABO^ADCO,

又':乙ABO=E°,/DCW44°,

e57°+44°=101°

25.(1)如圖1,AM//CN,求證：

①/MAB+NABC+NBCN=360°；

②/MAE+NAE抖NEFC+/FCN=540°；

（2）如圖2,若平行線■與比間有〃個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫(xiě)出你的猜想并證明.

【答案】（1）①詳見(jiàn)解析；②詳見(jiàn)解析；（2）猜想：若平行線間有〃個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（加1）780°,

證明詳見(jiàn)解析

【詳解】解：（1）①證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)作加〃超mHCNHBG

：.ZABG+ZBAM=180°,ZCBG+ZBCN=180°

：.ZABG+ZBAilfl-ZCBG+ZBCN=360°

/MAB+NABC+/BCN=36Q°

②如圖，過(guò)￡作尾〃/弘達(dá)F忤FQ〃CN,

'JAM//CN,：.EP//FQ,

：.ZMAE+ZAEP^180°,/FE丹/EFg180°,4CFa4FCN=M

：.AMAE+AAEPrZEFC+AFCN^\^°義3=540°；

（2）猜想：若平行線間有〃個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（加1）780°.

證明：如圖2,過(guò)〃個(gè)點(diǎn)作/〃的平行線，則這些直線互相平行且與比平行,

結(jié)合（1）問(wèn)得：

所有角的和為（加1）780°.

26.（1）問(wèn)題情境：如圖1,AB//CD,ZPAB=120°,ZPCD=130°,求/APC的度數(shù).

小辰的思路是：如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PE//AB,通過(guò)平行線性質(zhì)，可求得NAPC的度數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出具體求解過(guò)程.

（2）問(wèn)題遷移：

①如圖3,AD〃BC,點(diǎn)P在射線0M上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A,B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)/CPD=/1,NADP=P,

/BCP=N/,問(wèn)：/a、B、//之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

②在①的條件下，如果點(diǎn)P不在A,B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,0三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出

B、/7間的數(shù)量關(guān)系.

D

圖1

【答案】(1)110°；(2)①Na=NQ+Ny；②Na=々-N6或Na=N￡-N/

【詳解】解：(1)如圖,過(guò)點(diǎn)P作PE〃AB,則由平行線的性質(zhì)可得PE〃CD,所以:

ZPCD+ZEPC=180°,所以:

NEPA=1800-ZPAB=180°-120°=60,ZEPC=1800-ZPCD=180-130°=50°

所以，ZAPC=ZEPA+ZEPC=110°;

(2)①Na="+Ny,理由如下：

如圖，過(guò)P作PQ〃AD交DC于Q,則由平行線的性質(zhì)得PQ〃BC,所以：

/DPQ=4(3,NCPQ=Ny,

?：ZDPQ+ZCPQ=Za,Za=Z/?+Zy；

②分兩種情況討論：

第一種情況，P在射線AM上，如圖，過(guò)P作PQ〃AD交射線DN于Q,則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC,所以:

ZQPD=Z/3,ZQPC=Zy,Na=NQPC-NQPD=々一ZJ3；

第二種情況，點(diǎn)P在OB之間，如圖，過(guò)P作PQ//AD交射線0D于Q,則由平行線的性質(zhì)得PQ〃BC,所以:

M

A

B

N/D/C/Q0

乙DPQ=4/3,NCPQ=Ny,Za=2DPC=2DPQ-4CPQ=4/3-勺

27.閱讀下面材料，完成（1）?（3）題.

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：

如圖1,已知A5//C。，點(diǎn)E,尸分別在AB,CZ）上，EP±FP,Z1=6O°.求N2的度數(shù).

圖1

同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：

小明：“如圖2,通過(guò)作平行線，發(fā)現(xiàn)/1=N3,N2=N4,由已知EP，F(xiàn)P,可以求出N2的度數(shù).”

圖2

小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過(guò)推理，得N2=N3=N4,也能求出/2的度數(shù)

圖3

小華：?.?如圖4,也能求出N2的度數(shù)

圖4

⑴請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫(huà)的圖形（圖2）,描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：；

（2）請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫(huà)的圖形，直接寫(xiě)出N2的度數(shù)為°；

老師：”這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過(guò)一點(diǎn)作平行線來(lái)解決問(wèn)題，這個(gè)方法可以推廣

請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問(wèn)題：

⑶如圖，AB//CD,點(diǎn)瓦尸分別在9，CD上，F(xiàn)P平分NEFD,NPEF=NPDF,若/EPD=a,請(qǐng)?zhí)骄縉CFE

與的數(shù)量關(guān)系（（用含a的式子表示），并驗(yàn)證你的結(jié)論.

【答案】（1）過(guò)點(diǎn)P作；（2）30；（3）ZCFE-1ZPEF=180°-a.

【詳解】（1）由圖中虛線可知PQ〃AC,

小明同學(xué)輔助線的做法為過(guò)點(diǎn)尸作PQ//AC,

故答案為：過(guò)點(diǎn)尸作尸Q〃AC

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作尸。〃AC,

VAB//CD,

/.PQ//AB//CD,

.\Z1=Z3,N2=/4,

VEP±FP,

；.NEPF=/3+N4=90°,

.*.Zl+Z2=90o,

VZ1=6O°,

.".Z2=30°,

故答案為：30

B

圖2

(3)如圖，設(shè)ZCFE=x/PEF=/PDF=y,過(guò)點(diǎn)P作尸。〃AB,

NBEP+ZEPQ=180°,ZCFE=/FEB=x

■.■ABI/CD,

PQI/CD,

NPDF=ADPQ

Z.DPQ=NEHF=ZPDF=y

'：ZCFE=/FEB=x=ZFEP+ZBEP

x=y+(180-a+y)

:.x-2y=l80-a,即NCFE_2ZP￡F=180°—a.

28.(1)如圖(1)AB//CD,猜想/BPD與NB、”的關(guān)系，說(shuō)出理由.

(2)觀察圖(2),已知AB〃C￡>,猜想圖中的NBPD與N&NO的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知AB〃C￡>,猜想圖中的18叨與NB、”的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由.

(1)(2)(3)(4)

【答案】(1)ZB+ZBPD+ZD=360°,理由見(jiàn)解析；(2)ZBPD=ZB+ZD,理由見(jiàn)解析；(3)圖(3)

ZBPD=ZD-ZB,圖(4)ZBPD=ZB-ZD

【詳解】(1)解：猜想NB+NBP_D+ND=360。.

理由：過(guò)點(diǎn)戶作砂〃

ZB+ZBPE=180°,

?/AB//CD,EF//AB,

；.EF\\CDf

：.ZEPD+ZD=180°,

ZB+NBPE+NEPD+ND=360°,

AB+ZBPD+ZD=360°；

(2)ZBPD=ZB+ZD.

理由：如圖，過(guò)點(diǎn)〃作尸石〃A3,

(2)

?：ABHCD,

：.PE//AB//CD,

：.Z1=ZB,N2=ZD,

:.ZBPZ)=Z1+Z2=ZB+ZD；

(3)如圖(3)：ZBPD=ZD-ZB.

理由：VAB//CD,

P

(3)

/.4=ZD,

VZ1=ZB+ZP,

/.ZD=ZB+NP,

SPZBPD=ZD-ZB；

如圖(4)：ZBPD=ZB-ZD.

理由：VAB//CD,

(4)

???N1=N3,

VZ1=ZD+ZP,

?*.ZB=ZD+NP,

即NBPD=NB—ND.

29.（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖①，直線AB//CD,E是與AT＞之間的一點(diǎn)，連接BE,CE,可以發(fā)現(xiàn)：NB+NC=NBEC,請(qǐng)

你寫(xiě)出證明過(guò)程;

（2）拓展探究

如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：ZB+ZC=360°-ZBEC.

（3）解決問(wèn)題

如圖③，AB//DC,ZC=120°,ZAEC=80°,則/A=.（直接寫(xiě)出結(jié)論，不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）

圖①圖②圖③

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）20。

【詳解】（1）證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)后作跖〃/R,

圖①

,/AB//DC（已知），EF//AB（輔助線的作法）.

EF//DC（平行于同一直線的兩直線平行），

ZC=ZC￡F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

,/EF//AB,

NB=ZBEF,

/.ZS+ZC=/BEF+/CEF（等量代換）

即N3+NC=/BEC.

（2）證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,

圖②

,/AB//DC（已知），EF//AB（輔助線的作法）.

EF//DC（平行于同一直線的兩直線平行）.

/.ZC+ZCEF=180°,ZB+ZBEF=180°,

ZB+ZC+ZBEC=360°,

ZB+ZC=360°-NBEC.

(3)解：如圖③，過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,

圖③

AB//DC（已知），EF//AB（輔助線的作法），

EF//DC（平行于同一直線的兩直線平行），

ZC+ZCEF=180°,ZA=ZBEF,

VZC=120°,ZAEC=80°,

Z.CEF=180°-120°=60°,

ZAEF=80°-60°=20°,

ZA=ZAEF=20°.

故答案為：20°.

30.如圖，AB//CD,定點(diǎn)E,尸分別在直線A3,C￡）上，在平行線AB,8之間有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸，滿足

0°<ZEPF<180°.

（1）試問(wèn)：ZAEP,ZEPF,NPR?滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解:由于點(diǎn)P是平行線AB,8之間一動(dòng)點(diǎn)，因此需對(duì)點(diǎn)尸的位置進(jìn)行分類討論.如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在跖的

左側(cè)時(shí)，易得NAEP,ZEPF,/PFC滿足的數(shù)量關(guān)系為=尸；如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在跖的

右側(cè)時(shí)，寫(xiě)出NAEP,Z.EPF,NP/C滿足的數(shù)量關(guān)系.

（2）如圖3,QE,QF分別平分/PEB和NPFD,且點(diǎn)尸在EF左側(cè).

①若ZEPF=100°,則ZEQF的度數(shù)為；

②猜想NE尸尸與NEQ尸的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

③如圖4,若NBEQ與的角平分線交于點(diǎn)。1，NBEQ與/DfQ的角平分線交于點(diǎn)必，々E2與

NDF2的角平分線交于點(diǎn)2，以此類推，則尸與/石。2必尸滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)果）

圖1圖2圖3

圖4

【答案】（1）ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；（2）@130°；②NEP尸+2ZEQ/=360。，見(jiàn)解析；③N次舛22°以

ZEQ2O2OF=360°

【詳解】解：（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)〃在斯的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、P忤PMIIAB,則冏///⑺

???乙他4N明仁180°,ZPFaZMPF=180°,

:/AE抖/EP帖/PF*/MPF=360°,

即：/AEP^/EP我NPFC=36G°；

故答案為：/AE抖4EPF+4PFC=360°；

(2)①由(1)得：/DF6/BEQ=/EQF,/PEA+/PFC=/EPF,

?/N及齊=100°,

：.ZPEA+ZPFC=100°,

YQE,〃分別平分N煙和N4叨，

：.ZDFP=2ZDFQ,/BEP=2/BEQ,

■:/PFC+/DFP=\8G°,ZPEA+ZBEP=180°,

:?/PFC+2/DFQ=\8G。,ZPEA+2ZBEQ=180°,

，/PFC+2/DFQ+/PEA+2/BEQ=360°,

.*.100°+2ZDFQ+2ZBEQ=360°,

：.ZDFQi-ZBEQ=130°,

AZEQF=ZDF^-ZBEQ=130°,

故答案為：130。；

②/EPR2/EQF=36G。,理由如下：

,:QE,QF分界N分4PEB鄭/PFD,

：.ZDFP=2ZDFQ,ABEP=2ABEQ,

■:/PFC+/DFP=\8s,ZPEA+ZBEP=180°,

:?/PFC+2/DFQ=\8G,/PEA+2/BEQ=\8G0,

：.ZPFa2ZDFQ+ZPEA+2ZBEQ=360°,

：.ZPFC+ZPEA+2(N/W+N龐0=360°,

:由(1)得：4DF》4BEg/EQF,/PEA+/PFC=/EPF,

:./EPF+2/EQF=36Q°；

③?：QiE,勖尸分別平分/四和/十刃，

AADFP=2ADFQ=^ZDFQI,ABEP=2ABEQ=^ZBEQj,

■:NPFC+/DFP=\8Q°,NPEA+/BE仁\8Q°,

:.NPFC+聽(tīng)/DFQi=180°,Z.PEA+聽(tīng)/BEQLM,

:./PFC或/DFQ1+/PEA+*4BEQi=36Q。,

：.APFC+APEA+方(NDFQi+NBEQ)=360°,

?由(1)得：NDFQj+NBEQ尸/EQF,/PE供/PFC=ZEPF,

：.4EPF+聽(tīng)Z.EQF=360°；

同理可得：AEPF+23ZM77=360°,/笈呼+24/￡。/=360°,.......

Z7Em22021ZM^=360°.

31.問(wèn)題情景：如圖1,AB//CD,Z^=140°,/PCD=135°,求//AC的度數(shù).

(1)麗麗同學(xué)看過(guò)圖形后立即口答出：/"C=85°,請(qǐng)補(bǔ)全她的推理依據(jù).

如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作〃〃/反

因?yàn)橄唷á伲訮E〃CD.(_)

所以//+//依=180°,NC+NCPE='8Q°.(_)

因?yàn)镹B46=140°,/PCX135°,所以/加/=40°,/CPE=45°,

ZAPC=ZAPE+ZC7^=850.

問(wèn)題遷移：

(2)如圖3,AD//BC,當(dāng)點(diǎn)尸在4、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，AADP=Za,/〃/=/￡,求NCPD與/a、

/￡之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)尸在/、8兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)尸與點(diǎn)/、8、。三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)直接寫(xiě)出

ZCPD與/a、/￡之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）

ACPD=Za+A/3,理由見(jiàn)解析；（3）2CPD=3-2a或4CPD=4a-3

【詳解】解：（1）如圖2,過(guò)點(diǎn)戶作心〃/昆

AB

因?yàn)?6〃切，際以PE〃CD.（平行于同一條直線的兩條直線平行）

所以//+//郎=180°,/價(jià)NC叨=180°.（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

因?yàn)?以8=140°,/-。=135°,

所以N//=40°,/陛=45°,

NAPC=2APE+NCPE=85°.

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ);

（2）ACPD=Aa+Ze,理由如下：

如圖3所示，過(guò)P作PE//AD交CD于E,

：.AD//PE//BC,

.\Za=ADPE,28=/CPE,

：.ZCPD=ADPE+ACPE=Za+N￡；

(3)當(dāng)P在及1延長(zhǎng)線時(shí)，如圖4所示:

同(2)可知：/a=/DPE,/8=ZCPE,

:./CPF/B2a.

當(dāng)戶在四延長(zhǎng)線時(shí)，如圖5所示:

同(2)可知：Za=ADPE,28=/CPE,

：.4CPF4a/B.

綜上所述，/CPD與Na、/￡之間的數(shù)量關(guān)系為：次。或/叱/

32.綜合與探究：

(1)問(wèn)題情境：如圖1,AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求/APC的度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒(méi)有解答完：

如圖2,過(guò)戶作：.ZAPE+ZPAB=180°.

：.ZAPE=180°-ZPAB=180。-130°=50°.

?/AB//CD.；.PE//CD.

請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答.

(2)問(wèn)題探究：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問(wèn)題：

如圖3,AD〃8C,點(diǎn)戶在射線上運(yùn)動(dòng)，^ADP=Na,NBCP=S.當(dāng)點(diǎn)戶在48兩點(diǎn)之間時(shí),

之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)110°；(2)ZCPn=Za+Z/?,理由見(jiàn)解析

【詳解】解：(1)過(guò)？作

:.ZAPE+ZPAB=180°,

：.ZAPE=180°-ZPAB=180°-130°=50°.

?：ABHCD,

：.PE//CD.

：./CPE+/PCD=180°,

.??ZCPE=180°-120°=60°,

：.ZAPC=50o+60°=110°.

(2)NC/Z)=Ncr+N/?,

如圖3,過(guò)P焊PE//AD交CD千E,

AD//BC,

J.AD//PE//BC,

:?/a=/DPE,/B=/CPE,

：?4CPF/DPE+4CP序/。+/￡；

M/

圖3

33.如圖，已知直線《〃4，4、乙和4、12分別交于點(diǎn)A、B、C、D,點(diǎn)P在直線4或4上且不與點(diǎn)A、

B、C、D重合.記ZAEP=N1，NPFB=N2,AEPF=Z3-

/0\

二二

(1)'(2)

⑴若點(diǎn)P在圖(1)位置時(shí)，求證：？3?1?2；

⑵若點(diǎn)P在圖(2)位置時(shí)，寫(xiě)出Nl、N2、/3之間的關(guān)系并給予證明

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）/3+/1+/2=360。，證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）過(guò)尸作尸?！?，

PQ//lA//l2,

由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得:

Zl=ZQPE,Z2=ZQPF.

?/Z3=ZQPE+ZQPF,

，？3?1?2.

(2)關(guān)系：N3+/l+/2=360°.

同(1)可證得：N3=NCEP+NDFP；

'：ZCEP+Z1=18O°,NDFP+Z2=180°,

，ZCEP+ZDFP+Z1+Z2=360°,

即/3+/l+/2=360°.

34.AB〃CD,點(diǎn)P為直線AB,切所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn).

(1)如圖1,寫(xiě)出/4笠、//、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,寫(xiě)出//R:、//、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,點(diǎn)￡在射線胡上，過(guò)點(diǎn)石作如'〃闈作4PEG=NPEF,點(diǎn)G在直線3上，作的平分

線EH交.PC千點(diǎn)、H,若/加「30°,/*6=140°,求陽(yáng)的度數(shù).

【答案】(1)ZA+ZC+ZAPC=3&0°,證明詳見(jiàn)解析；(2)ZAPC=ZA-Za證明詳見(jiàn)解析；(3)55°.

【詳解】(1)ZA+ZC+ZAPC=360°,證明如下：

如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PQ〃AB,

圖1

AZA+ZAPQ=180°,

又?.,AB〃CD,

APQ/7CD,

.\ZC+ZCPQ=180o,

???NA+NAPQ+NC+NCPQ=360°,

即NA+NC+NAPC=360°；

(2)ZAPC=ZA-ZC,證明如下:

如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PQ〃AB,

圖2

???NA=NAPQ,

???AB〃CD,

???PQ〃CD,

???NC=NCPQ,

VZAPC=ZAPQ-ZCPQ,

.\ZAPC=ZA-ZC；

(3)由(2)知，ZAPC=ZPAB-ZPCD,

VZAPC=30°,ZPAB=140°,

.,.ZPCD=110°,

：AB〃CD,

.,.ZPQB=ZPCD=110°,

VEF//PC,

；.NBEF=NPQB=110°,

VZPEG=ZPEF,

.\ZPEG=1-ZFEG,

：EH平分/BEG,

.".ZGEH=yZBEG,

.\ZPEH=ZPEG-ZGEH

ZFEG-^ZBEG

=JZBEF

=55°.

35.已知AB〃CD,定點(diǎn)E,歹分別在直線AB,CD±,在平行線AB,8之間有一動(dòng)點(diǎn)P.

CFD

備用圖1

(EB

.4fB

FD

CFD

備用圖3

備用圖2

(1)如圖1所示時(shí)，試問(wèn)/4￡P(guān),/EPF,NPPC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.

(2)除了(1)的結(jié)論外，試問(wèn)Z4￡P(guān),NEPF,NPPC還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)畫(huà)圖并證明

(3)當(dāng)NEPF滿足0。＜