第四版高

等

數(shù)

學(xué)第1章

函數(shù)與極限分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁目錄第一節(jié)

函數(shù)第四節(jié)

兩極限存在準(zhǔn)則

兩個(gè)重要極限第二節(jié)

數(shù)列極限第五節(jié)

無窮小與無窮大第三節(jié)

函數(shù)極限第六節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性第

一

節(jié)

函

數(shù)

集合1區(qū)間與鄰域2

函數(shù)的概念3函數(shù)的性質(zhì)4

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)5

初等函數(shù)61.集合第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

若a是集合A的元素，則稱a屬于A，記作;否則稱a不屬于A,記作（或）.

根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)的多少，集合可分為有限集和無限集.不含任何元素的集合稱為空集，用

表示空集.

一般地，將具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象組成的全體稱為集合，將組成集合的對(duì)象稱為該集合的元素.

通常用大寫的英文字母A、B、C等表示集合，用小寫的英文字母a、b、c等表示集合的元素.高等數(shù)學(xué)表示集合的方法:(1)列舉法將集合的所有元素一一列舉出來，寫在一個(gè)花括號(hào)內(nèi).(2)描述法在花括號(hào)內(nèi)指明集合元素所具有的性質(zhì).幾個(gè)常用的數(shù)集:

一般，用N表示自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集），用

表示正整數(shù)集，用Z表示整數(shù)集，用Q表示有理數(shù)集，用R表示實(shí)數(shù)集．第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)子集的概念

設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若A的每個(gè)元素都是B的元素，則稱A是B的子集，記作A

B(或B

A),讀作A被B包含（或B包含A

）.

若A

B，且有元素a∈B

，但a

A，則說A是B的真子集，記作A

B.規(guī)定:

A.集合相等的概念若A

B

，且B

A，則稱A與B相等,記作A=B.

第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)2.區(qū)間與鄰域

設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，且a<b，數(shù)集

稱為開區(qū)間，記作(a,b)，即

(a,b)={x|a<x<b}；數(shù)集

稱為閉區(qū)間,記作[a,b];數(shù)集[a,b)={x|a≤x<b}和(a,b]={x|a<x≤b}為半開半閉區(qū)間.

以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間,其中

a和b分別稱為區(qū)間的左端點(diǎn)和右端點(diǎn)，b-a稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.2.1

區(qū)間第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)無窮區(qū)間第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)2.2

鄰域

設(shè)有實(shí)數(shù)a和

，且

，稱數(shù)集

為點(diǎn)a的

鄰域，記作.即其中a稱為這個(gè)鄰域的中心，

稱為這個(gè)鄰域的半徑.

稱數(shù)集

為點(diǎn)a的去心

鄰域，記作.第1.1節(jié)函數(shù)如下圖高等數(shù)學(xué)說明（1）不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑時(shí)，用

表示點(diǎn)

a

的某鄰域，用表示點(diǎn)

a

的某去心鄰域.（2）為了方便，稱區(qū)間

為點(diǎn)

a

的左

鄰域，稱區(qū)間為點(diǎn)

a

的右

鄰域.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)3.函數(shù)的概念

定義1

設(shè)

是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集，如果按照某一確定的對(duì)應(yīng)法則

，對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)

，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)

與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)法則

是定義在實(shí)數(shù)集

上的函數(shù)，記為函數(shù)值的全體組成的集合稱為函數(shù)

f的值域

.因變量定義域自變量第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩基本要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.函數(shù)定義域的確定有實(shí)際背景的函數(shù)，其定義域是使實(shí)際問題有意義的自變量集合.用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的函數(shù)，其定義域是使表達(dá)式有意義的自變量集合（函數(shù)的自然定義域）.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)要使數(shù)學(xué)式子有意義，x必須滿足因此函數(shù)的定義域?yàn)?1,2]．例1解求函數(shù)

的定義域.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)函數(shù)的表示法解析法（公式法）、表格法和圖形法.稱坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集為函數(shù)

的圖形.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)幾個(gè)特殊的函數(shù)（1）絕對(duì)值函數(shù)（2）符號(hào)函數(shù)1-1xy第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)（3）取整函數(shù)這里

表示不超過

的最大整數(shù)，稱為

的整數(shù)部分.例如12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo階梯曲線顯然，對(duì)任意的

有（求極限時(shí)有用）第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

上面幾個(gè)函數(shù)在其定義域的不同區(qū)間，對(duì)應(yīng)法則用不同的式子表達(dá)，這類函數(shù)稱為分段函數(shù).

例如某市出租車按如下規(guī)定收費(fèi)：當(dāng)行駛里程不超過3km時(shí)，一律收起步費(fèi)10元；當(dāng)行駛里程超過3km時(shí)，除起步費(fèi)外，對(duì)超過3km且不超過10km的部分，按2元/km計(jì)費(fèi)，對(duì)超過10km的部分，按3元/km計(jì)費(fèi).則車費(fèi)

與行駛里程

之間的函數(shù)關(guān)系為第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

狄利克萊（Dirichlet1805-1859德國(guó)）函數(shù)

黎曼（G.Riemann1826-1866德國(guó)）函數(shù)

拓展兩個(gè)特殊函數(shù)第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)（1）有界性

設(shè)函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集D上有定義.如果存在正數(shù)M，使得對(duì)任意的x∈D，都有

則稱f(x)在D上有界,或稱f(x)是D上的有界函數(shù).否則稱f(x)在D上無界．即對(duì)任何正數(shù)M,總存在一點(diǎn)

使

4.函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)有界時(shí)其圖形必夾在兩條平行于x軸的直線之間.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

例如

正弦函數(shù)

和余弦函數(shù)

在

內(nèi)是有界的.正切函數(shù)

在

內(nèi)是無界的，如下圖.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

設(shè)函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集D內(nèi)有定義，若存在數(shù)A，使得對(duì)任意的x∈D，都有f(x)≤A(或

f(x)≥A)，則稱f(x)在D內(nèi)有上界(或有下界).A為f(x)在D內(nèi)的一個(gè)上界(或下界)．另外,還可定義函數(shù)有上界或者有下界:函數(shù)f(x)在D上有界

函數(shù)f(x)在D上既有上界又有下界.

結(jié)論：第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)第1.1節(jié)函數(shù)（2）單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間

，如果對(duì)任意的

當(dāng)

則稱函數(shù)

f(x)在I上單調(diào)增加（單調(diào)減少）,并稱區(qū)間I為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間（單調(diào)減少區(qū)間）．時(shí)，有單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).高等數(shù)學(xué)

若函數(shù)

y=f(x)在定義域

D內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）,則其圖形沿

x軸正向逐漸上升（逐漸下降）.

第1.1節(jié)函數(shù)

從幾何上看,若y=f(x)在定義域D內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則任意一條平行于x軸的直線與它的圖像最多交于一點(diǎn),因此y=f(x)有反函數(shù).高等數(shù)學(xué)（3）奇偶性偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱

設(shè)函數(shù)

f(x)的定義域

D在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若對(duì)任意的

x∈D，有

則稱f(x)為

D上的奇函數(shù)；若對(duì)任意的x∈D，有

則稱f(x)為D上的偶函數(shù)．

奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱例如，

是奇函數(shù)；

是偶函數(shù).

第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)例2解

討論函數(shù)的奇偶性.所以

f(x)是（－∞,+∞）上的奇函數(shù).

函數(shù)的定義域（－∞,+∞）是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)（4）周期性

若T為f(x)的周期，則f(x)有無窮多個(gè)周期，對(duì)任何正整數(shù)k，kT都是f(x)的周期．通常函數(shù)的周期是指它的最小正周期(如果存在的話)．

設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)镈,若存在正數(shù)T,使得對(duì)任意的

x∈D,有x±T∈D,且

f(x+T)=f(x),則稱f(x)為D上的周期函數(shù),T稱為

f(x)的一個(gè)周期．第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期.例如，

狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)易證這是一個(gè)周期函數(shù)，任何正有理數(shù)都是它的周期.因?yàn)椴淮嬖谧钚〉恼欣頂?shù)，所以它沒有最小正周期.第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2

為周期的周期函數(shù).第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)正切函數(shù)和余切函數(shù)的值域都是(－∞,+∞),且它們都是以

為周期的函數(shù)，它們都是奇函數(shù).第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)5.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

設(shè)有函數(shù)

若對(duì)于每一個(gè)

，都有唯一的

使得

則在

上定義了一個(gè)函數(shù)，記為

則稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)

的反函數(shù).這里

是自變量，

是因變量.但習(xí)慣上用

表示自變量，

表示因變量，故函數(shù)

的反函數(shù)記為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且與其反函數(shù)有相同的單調(diào)性.函數(shù)

滿足什么條件就一定有反函數(shù)？

思考（1）反函數(shù)第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)相對(duì)于反函數(shù)

，原來的函數(shù)

稱為直接函數(shù).在反函數(shù)圖形上，即在直接函數(shù)圖形上，即

函數(shù)

與其反函數(shù)

的圖形關(guān)于直線

對(duì)稱.

第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)解得例3

求函數(shù)的反函數(shù).

解

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

值域?yàn)?/p>

由

故所求反函數(shù)為解得第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)反三角函數(shù)是三角函數(shù)在其特定的單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù).(1)反正弦函數(shù)y=arcsinx是正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間

上的反函數(shù)．其定義域?yàn)?值域?yàn)?/p>

,為單調(diào)增函數(shù).(2)反余弦函數(shù)y＝arccosx是余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,

]上的反函數(shù)．其定義域?yàn)?/p>

,值域?yàn)閇0,

],為單調(diào)減函數(shù).第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)(3)反正切函數(shù)y=arctanx是正切函數(shù)

y=tanx在區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)．其定義域?yàn)?－∞,+∞),值域?yàn)?/p>

，為單調(diào)增函數(shù).

(4)反余切函數(shù)y=arccotx是余切函數(shù)y=cotx在區(qū)間(0,

)內(nèi)的反函數(shù)，其定義域?yàn)?－∞,+∞),值域?yàn)?0,

),為單調(diào)減函數(shù).第1.1節(jié)函數(shù)高等數(shù)學(xué)（2）復(fù)合函數(shù)

將函數(shù)

代入另一個(gè)函數(shù)

的自變量的位置，得到的新函數(shù)

稱為函數(shù)

和函數(shù)

的復(fù)合函數(shù).復(fù)合函數(shù)

的定義域是使