專(zhuān)題05根與系數(shù)的關(guān)系（8大類(lèi)型精準(zhǔn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：X大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系文字語(yǔ)言：一元二次方程的兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比使用條件：(1)方程是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)a≠0：(2)方程有實(shí)數(shù)根，即△≥02.有關(guān)根與系數(shù)的關(guān)系的兩個(gè)重要推論3.幾種主要的代數(shù)式求值問(wèn)題【課前熱身】1．判別下列方程根的情況．若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求出兩個(gè)根的和與積．【分析】各個(gè)小題均根據(jù)根的判別式判斷方程根的情況，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根和與兩根積．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為：，，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為：，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為：，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為：，，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．（2）【分析】（1）、（2）直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解；【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求得兩根的和及兩根的積，又知一根為1，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可解得另一個(gè)根及的值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．【答案】的值為1，的值為．的值為1，的值為．【題型1】不解方程求兩根之和與兩根之積A． B．1 C． D．3【答案】【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出的值．故選：．【答案】1．【分析】把方程化為一般形式，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可得到答案．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系．熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積．【分析】（1）首先去括號(hào)，進(jìn)而整理為一元二次方程的一般形式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出即可；（2）首先整理為一元二次方程的一般形式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出即可．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，正確記憶根與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．求下列方程兩根的和與兩根的積：【題型2】利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值A(chǔ)．4 B．5 C．2 D．6【答案】故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．A．0 B．1 C．4036 D．2018【答案】故選：．【答案】．．故答案為：．【題型3】已知代數(shù)式的值求參數(shù)A．2 B． C．2或 D．不存在【答案】故選：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．【答案】．故答案為：．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍：的值為1．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】（1）；（2）0、1、2．解得；而，的整數(shù)值為0、1、2．【題型4】已知方程的一根求另一個(gè)根【答案】【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，解得，所以方程的另一個(gè)根為1．故選：．（1）若方程的一個(gè)根為2，求方程的另一個(gè)根；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得另外一根；（2）把代入，再利用根的判別式，列出不等式，即可解答．【詳解】解：（1）設(shè)方程的另一個(gè)根為，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟記相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵．設(shè)方程的另一個(gè)根為，解得，即方程的另一個(gè)根為2．（1）若該方程有一個(gè)根為，求方程的另一根；（2）求證：不論取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【答案】（1）0；（2）見(jiàn)解答．設(shè)方程的另一個(gè)根為，即方程的另一根為0；△，不論取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【題型5】已知兩根求一元二次方程20．（2024秋?平頂山期末）已知一元二次方程的兩根分別是3和，則這個(gè)一元二次方程是【答案】【分析】可利用根與系數(shù)的關(guān)系直接寫(xiě)出方程，也可用檢驗(yàn)的辦法確定符合條件的選擇支．故選：．法二、把3和分別代入各個(gè)選擇支，同時(shí)滿足方程成立的只有．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，難度不大．掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可知求得該方程的系數(shù)，再寫(xiě)出該方程即可，答案不唯一．【詳解】解：【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義以及一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程的方法求出即可．23．（2024秋?輝縣市校級(jí)月考）解某個(gè)一元二次方程時(shí)，甲看錯(cuò)了方程的常數(shù)項(xiàng)，因而得出的兩根為8和2；乙看錯(cuò)了方程的一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得出兩根為或，那么正確的方程為故選：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1．【分析】（1）利用因式分解法解出方程，根據(jù)倍根方程的定義判斷即可；（2）利用因式分解法解出方程，根據(jù)倍根方程的定義，以及根的判別式求出的值．是3的倍，解得，【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的解法和判別式，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【題型6】判別式和根與系數(shù)的關(guān)系綜合問(wèn)題（1）求的取值范圍；（2）8．【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式即可解決問(wèn)題．（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問(wèn)題．所以的值為8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式及絕對(duì)值，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式是解題的關(guān)鍵．（1）求證：不論為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）2015．【分析】（1）先計(jì)算根的判別式的值得到△，則△，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；不論為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；是方程的根，（2）若、同號(hào)，求的取值范圍；【答案】（1）證明見(jiàn)解析過(guò)程；（2）根據(jù)題意得出關(guān)于的不等式，據(jù)此可解決問(wèn)題．由（1）知，因?yàn)?，同?hào)，（3）解：由上述過(guò)程可知，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（3）若對(duì)于任何實(shí)數(shù)，此方程都有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】（1）50；即兩根的平方和為50．對(duì)于任何實(shí)數(shù)，此方程都有實(shí)數(shù)根，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程，根的判別式，完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法及根的判別式．【題型7】根與系數(shù)的關(guān)系與幾何問(wèn)題（1）證明：該方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）已知該方程的兩根分別是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度，當(dāng)這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為時(shí)，求的值．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；【分析】（1）求出根的判別式的符號(hào)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及勾股定理進(jìn)行求解即可．不論實(shí)數(shù)取何值，該方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)根為，，【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系、勾股定理．掌握一元二次方程根的判別式與根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系以及根與系數(shù)之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合根的判別式，找出關(guān)于的一元二次方程；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的一根求出方程的另一根．（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）計(jì)算判別式△，即可得證；無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由（1）得，無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)是10，設(shè)等腰三角形的底為，設(shè)等腰三角形的底為，解得，解得或，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，涉及等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)．【題型8】新定義探究問(wèn)題（1）下列方程中，屬于“鄰根方程”的是③（填序號(hào)）．【分析】（1）分別求得①②③中兩個(gè)方程的根，再根據(jù)“鄰根方程”的定義判斷即可；（2）先求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)“鄰根方程”的定義列出關(guān)于的方程求解即可；故答案為：③．該方程是“鄰根方程”，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，正確理解“鄰根方程”的定義是，解答的關(guān)鍵．（1）下列是“差根方程”的是①；（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】（1）①；【分析】（1）根據(jù)“差根方程”定義判斷即可．（3）分為直角邊和斜邊兩種情況，根據(jù)韋達(dá)定理計(jì)算即可求得答案．該方程是差根方程；該方程不是差根方程；故答案為：①【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，正確的理解“差根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共6小題）A． B．1 C．6 D．【答案】【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．故選：．【答案】【分析】根據(jù)判別式判斷根的情況，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，判斷兩根的符號(hào)，即可得出結(jié)論．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，根與系數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．A．2020 B．2024 C．2026 D．2028【答案】故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．A． B． C．1 D．2【答案】【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由題知，所以此方程的兩根之和為．又因?yàn)樗囊粋€(gè)根為，所以另一個(gè)根為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．A． B． C．1 D．2【答案】故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用根的判別式△，得出關(guān)于的方程．【答案】【分析】由方程的兩實(shí)數(shù)根異號(hào)，可得出兩根之積小于零，再利用二次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)及△即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由題知，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）【答案】．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握其計(jì)算方法是關(guān)鍵．【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合整體思想即可解決問(wèn)題．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及代數(shù)式求值，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及巧用整體思想是解題的關(guān)鍵．【答案】．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)要熟練掌握并能根據(jù)題意列出關(guān)系式是關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)兩條直角邊的長(zhǎng)分別是，，直角三角形斜邊的長(zhǎng)是，【答案】6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)關(guān)系，一元二次方程的解等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【答案】2或5．是正整數(shù)，能被整除或能被3整除，故答案為：2或5．三．解答題（共6小題）（1）求的取值范圍；（2）．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，列不等式即可求解；的最大正整數(shù)值為2，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【分析】（1）先把方程的解代入方程，得關(guān)于的新方程并求解，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系或解方程求出方程的另一個(gè)解；（2）先利用根的判別式判斷方程解的情況，再利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代入，得結(jié)論方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．（1）若方程有一個(gè)根為2，求的值；【答案】（1）；（2）同意．理由見(jiàn)解答．即的值為；（2）同意老師的觀點(diǎn)．理由如下：（1）證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【答案】（1）見(jiàn)解答；無(wú)論取何值方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若是這個(gè)方程的一個(gè)根，求的值和它的另一個(gè)根；綜上所述，無(wú)論取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根．解得，方程的另一根是2；故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10．【點(diǎn)評(píng)】重點(diǎn)考查了根與系