猜押05基礎(chǔ)幾何證明

押題依據(jù)

猜

3年北

押

京真考情分析押題依據(jù)

考

題

點

2022

菱

年第

形

21題

20232022-2024年北京中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幾何證明題注預(yù)測2025年基礎(chǔ)幾何證明

矩

年第重基礎(chǔ)知識的考查，同時強調(diào)學(xué)生的幾何直觀、題難度適中可能有所下降

形

20題邏輯推理和模型應(yīng)用能力?？忌柙趥淇歼^程但更注重邏輯嚴(yán)密性。考

中注重基礎(chǔ)知識的鞏固和綜合能力的提升，以生需確保基礎(chǔ)題型滿分，

平

應(yīng)對幾何證明題的挑戰(zhàn)。為壓軸題爭取時間。

行2024

四年第

邊20題

形

題型一三角形相關(guān)幾何證明

（2025?北京東城?一模）

1.如圖，在RtZUBC中，NACB=9W,AC=BC:,點。在上（AD<BD）,過點。作

EDYAB,交的延長線于點￡,連接/￡CD,以CD為底作等腰Rt^C。尸（,點E,F

在直線8的異側(cè)），連接B尸.

試卷第1頁，共10頁

E

⑴依題意補全圖形；

(2)求證：ED=BD；

(3)用等式表示線段NE與&尸的數(shù)量關(guān)系，并證明，

(2025?北京順義?一模)

2.在△ABC中，AC=BC,過點2作。,ZBAD=-ZCADa,￡是AB上一點,

2

連接DE交8c于點G,ZBDE=ZCAD.

(1)如圖1,用含有a的式子表示/4DE的度數(shù)；

(2)如圖2,將射線ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)4a,分別交NC,4D于點尸，H.用等式表示線

段/月，與2G之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2025?北京西城?一模)

3.在△/SC中，NBAC=9B,AB=AC,尸為邊2c上一點，點B與點E關(guān)于直線/P對稱,

過點8作5c的垂線，交線段C4的延長線于點。，連接?！杲恢本€4尸于“，連接3E,

CE,設(shè)/比!P=a.

試卷第2頁，共10頁

（1）如圖,當(dāng)0。<&<45。時.

①求N/CE的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

②請用等式表示線段EH,DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑵當(dāng)45。<a<90。時，請直接寫出線段EH,DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系.

（2025?北京通州?一模）

4.以為斜邊在它的同側(cè)分別作RtZi/BC和其中/C==90。,/。=8C,

BC、交于點E.

（2）如圖2,在上取一點歹，使得=連接尸2,過點C作COJ_4D,分別交

FB于點、O、點、H.

①依據(jù)題意補全圖形；

②求證：H是b8的中點.

（2025?北京?模擬預(yù)測）

5.如圖，在△4BC中，BA=BC,8。平分交NC于點。，點￡在線段上，點尸

在8。的延長線上，S.DE=DF,連接CE,AF,CF.

⑴求證：四邊形/EC廠是菱形；

（2）若尸，43=3,sinZABF=1,求8。和NE的長.

題型二平行四邊形形相關(guān)幾何證明

（2025?北京朝陽?一模）

6.如圖，在△NBC中，。為8C中點，延長A4至點￡,使XE=/B,延長至點尸，使

AF^AD,連接CE,斯.

試卷第3頁，共10頁

FE

⑴求證：四邊形CDEE是平行四邊形；

4

(2)若班平分/CE尸,tan2=§,/2=l,求/C的長.

(2025?北京西城?一模)

7.如圖，在四邊形N8CD中，AD//BC,對角線8DLCZ),過點/作/尸，AD于點E,

交BC于點F.

(1)求證：四邊形NFC。是平行四邊形；

(2)連接。尸，若點尸是8c的中點，DF=5,tanZADB=^,求/￡的長.

(2025?北京豐臺?一模)

8.如圖，在四邊形N8CD中，ZBCD=90°,￡為AD中點，EC//AD,BE=AD.

⑴求證：四邊形NEC?為平行四邊形；

(2)若NE=2,tanNCBO=；,求4D的長.

(2025?北京?一模)

9.如圖，已知四邊形N3C。中，AB//CD,AE平分/BAD交BC于點、F,交DC延長線

于點￡,AB=BF.

試卷第4頁，共10頁

GI)

⑴求證：四邊形/BCD是平行四邊形；

⑵作尸G〃/8交/。于G,連接BG交4E于點0.若/8=4,AD=6,AE=9,求2G的

長.

10.如圖，在口4BCD中，E,尸是對角線8。上的兩點（點E在點尸左側(cè)），且

NAEB=ZCFD=90°.

（1）求證：四邊形/EC尸是平行四邊形.

3

（2）當(dāng)/8=5,tanZABE=-,/CBE=/E4尸時，求8D的長.

題型三矩形相關(guān)幾何證明

（2025?北京順義?一模）

11.如圖，在矩形23。中，點E,尸分別在邊AD,3c上，AE=FC.

⑴求證：四邊形EBRD是平行四邊形；

（2）連接￡尸，若/3=2,AE=1,ED=3,求斯的長.

（2024?北京?模擬預(yù)測）

12.如圖，在A/OC中，。。垂直平分NC.延長/。至點8,作/C08的角平分線OH,

過點C作CV，。〃于點尸.

試卷第5頁，共10頁

(1)求證：四邊形coo尸是矩形;

4

(2)連接。尸，若siib4=『DF=i5,求AC的長.

(2024?北京?三模)

13.如圖，在矩形/BCD中，連接/C,BD,過點8作5E〃/C交。C的延長線于點E.過

點D作DFLBE于F,對角線NG2D相交于點G,連接尸G.

⑴求證：BE=AC.

(2)若/8=2,BC=4,求尸G的長.

(2024?北京海淀?二模)

14.如圖，點N,B,C,。在一條直線上，AB=BC=CD,AE=EC,四邊形ECDF是平

行四邊形.

4

(2)若40=12,COSN=M，求"的長.

(2024?北京順義?二模)

15.如圖，在平行四邊形48co中，BD1CD,延長CD到點E,使。E=CD,連接NE.

試卷第6頁，共10頁

E

(1)求證：四邊形/ADE是矩形；

(2)連接/C,若/BCD=60。，CD=1,求NC的長.

題型四菱形相關(guān)幾何證明

(2025?北京大興?一模)

16.如圖，在菱形/BCD中，對角線4C,8D相交于點O,延長8c至點E,使CE=28C,

連接。￡交C。于點尸，〃?是CD中點，連接ON,EM.

(1)求證：四邊形OCEM是平行四邊形；

⑵若N8=5,tanZOBC=1,求△OCE的面積.

(2025?北京?模擬預(yù)測)

17.如圖，在菱形ABCL?中，AC,BD交于點、O,延長C8到點E,使B￡=BC,連接

AE.

⑴求證：四邊形是平行四邊形；

(2)連接OE,若tan/Z班=；,OE=后,求/C的長.

18.如圖，在菱形/BCD中，對角線/C,BD交于點O,過點N作4ELBC于點￡,延長3C

到點尸，使CF=BE,連接。

試卷第7頁，共10頁

(2)連接OE,若/。=10,EC=4,求OE的長度.

(2024?北京?模擬預(yù)測)

19.如圖，菱形4BCD中，AC,8。相交于點O,過點2作且3E=0C,連接

CE.

3

⑵連接。E,當(dāng)48=5,sinZCAB=-,求tan/BDE的值.

20.如圖，菱形48CZ)中NC、AD相交于點。，延長4D至點E使得。E=0。，連接EO

并延長交CB的延長線于點F.

(2)若2尸=5,CM=12,求線段NE的長.

題型五正方形相關(guān)幾何證明

(2023?北京?模擬預(yù)測)

21.如圖，在矩形/BCD中，乙B/D的平分線交8c于點￡,過￡作￡尸1/。于尸.

(1)求證：四邊形NAE■廠是正方形；

(2)連接3/交/￡于點O,連接。O,若CD=2,CE=\,求。。的長.

試卷第8頁，共10頁

（2024?北京?中考模擬）

22.如圖1,在AABC中，ZABC=9O°,BA=BC.將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段

AD,E是邊BC上的一動點，連結(jié)DE交AC于點F,連結(jié)BF.

⑴求證：FB=FD；

⑵如圖2,連結(jié)CD,點H在線段BE上（不含端點），且BH=CE,連結(jié)AH交BF于點N.

①判斷AH與BF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②連接CN.若AB=2,請直接寫出線段CN長度的最小值.

（2025?北京大興?一模）

23.已知正方形48CD,點￡是邊上一點（不與點8,C重合），將線段2E繞點8順時

針旋轉(zhuǎn)1（45。<a<90。）得到線段政，作射線/廠，將射線/尸繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到

射線/〃，過點。作。加〃8/交/少于點”，連接板.

（1）求/的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）用等式表示線段5F,披,?！钡臄?shù)量關(guān)系，并證明.

24.如圖，正方形/BCD的邊長為1.對角線NC、AD相交于點O,尸是8C延長線上的一

試卷第9頁，共10頁

點，AP交BD于點、E,交CD于點、H,OP交CD于點、F,且斯與/C平行.

⑴求證：EFLBD.

⑵求證：四邊形/CP。為平行四邊形.

⑶求。尸的長度.

（2024?北京石景山?二模）

25.在正方形4BCL?中，E是邊/。上的一動點（不與點4。重合），連接BE,點C關(guān)于

直線BE的對稱點為尸，連接E4,FB.

圖1圖2

⑴如圖1,若尸是等邊三角形，則448￡=°；

⑵如圖2,延長3E交加的延長線于點連接CF交班于點〃，連接。

①求的大小；

②用等式表示線段MB,MD,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

試卷第10頁，共10頁

1.(1)見解析

(2)見解析

(3)BF=；AE.理由見解析

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性

質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，

(1)根據(jù)題意補全圖形即可；

(2)證明ABED=NDBE=45。即可得到結(jié)論；

(3)延長。尸到點G,使bG=DF,連接CG,BG.證明A/CD絲ABCG.得到

AD=BG,ZCBG=ACAD.證明得到/E=DG,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

即可得到結(jié)論，

【詳解】(1)解：補全圖形如圖.

(2)證明：在RtZ\/8C中，ZACB=90。,AC=BC,

.??/膽？=/⑶1。=45°.

?-?DE1AB,

：.NBDE=90°.

4BED=45°.

ABED=ZDBE=45°.

DE=DB.

(3)BF=^AE.證明如下：

如圖，延長。尸到點G,使PG=D尸，連接CG,BG.

答案第1頁，共32頁

E

???ADCF是以CD為底的等腰直角三角形，

??,DF=CF,ZDFC=90°.

.-.ZCDF=45°.

?；DF=FG,

*'.CD—CG.

；?/CGF=/CDF=45。.

ADCG=90°.

??.ZDCG=ZACB

ZACD=/BCG.

在△/CD和ziBCG中，

AC=BC

<ZACD=/BCG

DC=GC

，小ACD”小BCG.

AD=BG,NCBG=NCAD.

ZDBG=ZDBC+ZCBG=90°.

在和△GO5中，

'DE=BD

<ZADE=ZGBD=90°

DA=GB

：.AAEDWGDB.

??.AE=DG

在RMGOB中，/DBG=90。,尸為。G的中點,

.-.BF=-DG.

2

.-.BF=-AE.

2

答案第2頁，共32頁

2.⑴90?！?a；

(2)AD=AF+2BG,證明見解析.

【分析】(1)先得出乙43。=90°,結(jié)合==NBDE=NCAD,故

2

ACAD=ZBDE=2a,再整理得NADE的度數(shù)，

(2)延長M交。3的延長線于點尸，取9的中點J,連接A7,過點3作于點

Q,作BNLPE于點、N.結(jié)合BD_LAB,得證A/是■的中位線，BE平分/DEP.由

角平分線的性質(zhì)得8。=8N,4BQG=NBNJ=90°,運用三角形內(nèi)角和得出

ZAFH=90°~a=ZAHF,再根據(jù)等角對等邊，則/尸=/〃，然后證明ABOG四△BN/,

故BG=BJ,即可作答.

【詳解】(1)M："BD1AB,

.?.乙4BD=90°.

■：ABAD=-ACADa,

2

；.NADB=90°-ABAD=90°-a.

ZBDE=ACAD,

/CAD=ZBDE=la,

NADE=ZADB-ZBDE=90°-3a.

(2)證明：延長EE交。8的延長線于點P,取ar的中點J,連接區(qū)/,過點8作

于點。，作BNLPE于前N.

vZFED=4。,ZBDE=2a,

/P=ZFED-ZBDE=2a,

DE=PE.

又,:BD_LAB,

：.BD=BP,/DEB=/PEB.

??.A/是△尸QH的中位線，BE平分NDEP.

答案第3頁，共32頁

/.BJ=-DH,BJ//DH.

2

??.ABJP=/DHE.

?；BE平分NDEP,BQLDE,BNPE,

BQ=BN,/BQG=/BNJ=哪.

在ADEH中，ZDHE=1800-ZADE-ZFED=180°-(90°-3a]-4a=90°-a.

ZAHF=ABJP=ADHE=90°-a.

在A4HF中，ZAFH=1800-ZDAF-ZAHF=180°-(90°-a)-2a=90°-a=ZAHF.

???AF=AH.

-AC=BC,

??./ABC=3a,

ZDBC=9Q0-3a.

ZEGB-/BDE+/DBC=2a+90°-3a=90°-a.

在ABQG與ABNJ中,

ZEGB=ZBJP=90°-a

<ZBQG=/BNJ

BQ=BN

:?XBQGQXBNJ.

??.BG=BJ.

??.AD=AH+DH=AF+2BJ=AF+2BG.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，中位線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),

角平分線的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

3.⑴①45。+。；@DE=CE+2EH,證明見解析；

(1)DE=2EH-CE.

【分析】(1)①連接BH,利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得=防=90。-。，

NAEC=NACE,再利用四邊形內(nèi)角和來求解；②過點8作即/，5E交DE于/，易得

△BMDABECa叫,利用全等三角形的性質(zhì)得到。初=CE,再利用對稱性來求解；

(2)利用②的方法來求解.

【詳解】(1)解：①連接4E,BH,如下圖

???P為邊2c上一點，點3與點E關(guān)于直線/P對稱，

答案第4頁，共32頁

AABE=ZAEB,AB=AE,NBAP=NEAP=a,

iono_a

/ABE=ZAEB=-------------=90°-cr.

2

???在A/BC中，ZBAC=90\AB=ACf

ZABC=ZACB=45°,AE=AC,

/.ZAEC=ZACE.

?.?/ABE+NBAC+ZACE+NAEB+ZAEC=360°,

/.90。—a+90°+90?！猘+45。+/BCE+45°+/BCE=360°,

/BCE=a,

/./ACE=ZACB+/BCE=45。+a.

②DE=CE+2EH

證明：過點8作切飲_LB￡交。E于〃，

D

??.ZMBE=90°.

???BD±BC

.?./DBC=90。,

/DBM=ZCBE.

???在△43。中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZACB=ZABC=45°,

???/ADB=/ABD=/ABC=ZACB=45°,

；.BD=BC,AD=AB=AE=AC,

???點DU,C在以點A為圓心，AD的長為半徑的圓上,

???/BED=/BCD=45°,

/.ZBME=/BEM=45°,

BM=BE.

答案第5頁，共32頁

在△AWD和△8￡C中

BD=BC

</DBM=/CBE,

BM=BE

,“BMD%BEC(SAS),

??.DM=CE.

???點B與點、E關(guān)于直線AP對稱,

??.BH=EH,

/HBE=ZHEB=45°,

/BHE=90°,

/.BHLME,

:.EH=MH,

:.DE=DM+ME=CE+2EH.

(2)DE=2EH-CH

證明：同②的方法.

【點睛】本題考查了對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

四點共圓，四邊形內(nèi)角和度數(shù)，理解相關(guān)知識，作出輔助線是解答關(guān)鍵.

4.（1）見解析

⑵①見解析；②見解析

【分析】（1）過點E作EGL/5于點G,由角平分線的性質(zhì)得到EC=EG,由

sin/CBA=里=也得到BE=，即可證明結(jié)論；

BE2

（2）①按照題意補全圖形；②連接CF、CD.證明A/CP%8CD（SAS）,得到B=CD,

FOFH

由尸0=0。及——=力得到=即可得到結(jié)論.

OD

【詳解】（1）證明：如圖1,過點E作EGL/8于點G,

AD平分NCAB,EG±AB,ZC=90°

圖1

答案第6頁，共32頁

EC=EG,

???ZC=90°,AC=BC,

ZCAB=ZCBA=45°f

BE2

BE=y/2EG,

:.BE=6EC.

(2)①依據(jù)題意補全圖形;

c

c

-CH-LAD,^ADB=90°,

圖3

/.CH//BD,ZCAD+ZACO=90°,

NOCE=ZCBD,

ZACB=90°,

NOCE+N4co=90。,

NOCE=ZCAD,

/.ZCAD=ZCBD,

在和中

AC=BC,

ZCAD=/CBD,

AF=BD,

「.△/CF義△BCD(SAS),

:.CF=CD,

答案第7頁，共32頁

?.?CH1AD,

FO=OD,

???CH//BD,

.FO_FH

'~OD~~HBy

:.FH=HB,

.?.7/是總的中點.

【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、解直角三角形、平行線分線段成比例定理、全等三角

形的判定和性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形和全等三角形的判定是關(guān)鍵.

5.⑴見解析

(2)50=2后，4￡二逑

4

【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握

菱形的性質(zhì).

(1)根據(jù)對角線互相平分且垂直即可證明四邊形AECF是菱形；

(2)解Rt4/DB,得出AD=2后，解RtA/q，得出/尸=逑，然后菱形的性質(zhì)即可解

4

決問題.

【詳解】(1)證明：?.?8/=8C,BD平分NABC,

AD=DC,BDLAC.

■：DE=DF,

四邊形/EC尸是平行四邊形.

???EFVAC,

四邊形/EC尸是菱形.

(2)解：;NADB=90°,BA=3,sinZABF=1,

.,.在Rtz\4D3中，AD=1,

BD=yjBA2-AD2=2V2?

sinZABF=-,BA=3

3

AF1

「?在RaAFB中，sin/LABF==—,BF2—AF2=AB2=9,

BF3

.y3后

-AF=-----.

4

答案第8頁，共32頁

???四邊形NECF是菱形，

AE=AF=—.

4

6.(1)見解析

4

⑵「

【分析】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解直角三角形.

(1)證明/。是ABCE的中位線，得CE〃AD,CE=2AD,再由/尸=AD得。斤=2N。,

即可得CE=DT,即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)角平分線定義求出=班，由平行四邊形的性質(zhì)得CD〃斯，即可得

ZFEB=ZB,NCEB=NB,CB=CE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出。，BE,再根據(jù)正切

定義求解即可.

【詳解】(1)證明：??,延長R4至點使=

.?.4為BE中點，

???。為8c中點,

???力。是△5CE的中位線，

CE//AD,CE=2AD,

???延長ZM至點尸，使Z方=/。，

:.DF=2AD,

:.CE=DF,

???四邊形CDFE是平行四邊形；

(2)解：???班平分/CE7"

/FEB=/CEB,

???四邊形CDFE是平行四邊形，

CD//EF,

/FEB=AB,

/CEB=/B,

?.CB=CE,

：.CAJLBE,

...ABAC=90°,

答案第9頁，共32頁

4

tanB=—,48=1,

3

4

???在RtZ\/5C中，AC=AB<mB=~.

7.(1)見解析;

⑵癢

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定、直角三角形的性質(zhì)、正切的定義等知識點，靈

活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵。

(1)先說明CD〃NF,再結(jié)合/D〃8C即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。尸==3,即(才=5；再結(jié)

合平行四邊形的性質(zhì)可得40=。尸=5,再根據(jù)tan乙LD2=1■可設(shè)/E=k,則。E=2左，即

AD=45k=5,然后求出k的即可。

【詳解】(1)證明：于點

ZBDC=ZBEF=ZAED=90°.

CD//AF.

■：AD//BC,

???四邊形AFCD是平行四邊形.

(2)解：???在RtABOC中，N3DC=90。，點廠是8c的中點，

:.DF,BC=CF.

2

■：DF=5,

CF=5.

?.?在口4FCD中，

AD=CF=5.

?.?在RtZUED中，NAED=90°,tanZADB=~,

2

???設(shè)AE=k,貝！JDE-2k,AD=y/5k=5.

.4.AE=k=V5.

8.(1)證明見解析

⑵石

【分析】本題考查平行四邊形判定及直角三角形相關(guān)知識，解題關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊

答案第10頁，共32頁

中線定理證邊相等以判定平行四邊形，借助三角函數(shù)與勾股定理求邊長.

(1)由/BCD=90。，E是AD中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得EC=AE,再結(jié)合

BE=AD,從而得出EC=,從而滿足平行四邊形判定條件解答即可.

(2)由(1)知四邊形/ECD是平行四邊形，可得C0=/E=2.在RtABCD中，已知

tanNC8O=：,利用正切函數(shù)的定義求出8c的長，再根據(jù)勾股定理求出$BD$的長，最后

2

由==求出答案.

2

【詳解】(1)?:NBCD=90。,E為BD中點、,

.-.EC=-BD=BE.

2

BE=AD,

??.EC=AD.

???EC//AD

.??四邊形AECD為平行四邊形；

(2)???四邊形為平行四邊形，AE=2,

:.CD=AE=2.

CD1

在RtABC。中，tanZCBD=——=-,CD=2,

BC2

r,21

則---=—,

BC2

解得8C=4.

■■BD2=BC2+CD2,

把3c=4,CD=2代入可得

BD=V42+22=J16+4=V20=2V5-

■,AD=BE=-BD=y/5.

2

9.⑴見詳解

(2)277

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，判斷/D〃3C,由此即可得出結(jié)

論；

(2)先證四邊形A8G尸是平行四邊形，再證四邊形/8G尸是菱形，再證明

答案第11頁，共32頁

ApJRBF42

△ABFs/\CEF,得到---=---=---=----=—，設(shè)FE=x,貝!J/尸=2x,

FECECF6—41

得到蝕=3,則/尸=2x=6,再由勾股定理即可解答.

【詳解】(1)證明：?:AE平分NBAD,

???NBAE=/DAE,

???AB=BF,

???ABAE=ABFA,

???ZBFA=ZDAE,

??.AD//BC,

???AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形.

(2)?:FG〃AB,AD\\BC,

???四邊形/BGb是平行四邊形，

???AB=BF,

???四邊形ZBGb是菱形，

AFLBG,AO=OF,

???AB//CD,

；?NBAF=NE,

???ABFA=ZCFE,

??.△ABFs/\CEF,

AFABBF_42

**CE-CF-6^4'T/

設(shè)FE=x,貝lj/尸=2x,

AE=x+2x=9,

x=3f

FE=3,貝[]AF=2x=6,

.?.AO=OF=-AF=3,

2

■■BO=-\l42—32=VY，

■■BG=2y/l.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行線的判斷與性質(zhì),

答案第12頁，共32頁

相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

10.(1)見解析；(2)6+V13.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得到/8=CZ),NABE=NCDF,和已知條件一起，用于

證明三角形全等，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定定理得出結(jié)論；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到一組對角相等，通過等量代換，得到/CBE=NECF,則

相等的角正切值也相等，根據(jù)比值算出結(jié)果.

【詳解】(1)證明//￡8=/CFD=90°,

AEHCF,

在口/BCD中，ABHCD,AB=CD,

AABE=ZCDF,

；."BE絲XCDF(AAS),

AE=CF,

二四邊形AECF是平行四邊形.

(2)解：〈AABE咨KDF,

：.BE=DF,

???四邊形AECF是平行四邊形，

：.NEAF=NFCE,

3

在RMABE中45=5,tanZABE=-,

4

:?AE=3,BE=4.

?；BE=DF,AE=CF,

??.BE=DF=4,AE=CF=3,

ZEAF=ZFCE,ZCBE=ZEAF,

；"CBE=/ECF,

CF3EFEF

.'-ta.nZ-CBF=tanz￡CF=-----=------

BE+EF4+EFCF3

=得至1」￡?=而-2,或￡尸=-而-2(舍去),

...80=4+4+V13-2=6+VB>

即3。=6+后.

答案第13頁，共32頁

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及相等的角的正切值也相等.解決本題的關(guān)

鍵在于等量代換出角相等，應(yīng)用相等的角的正切值也相等來解題.

11.⑴見解析;

(2)272.

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，勾股定理，關(guān)鍵是掌握平行四邊

形的判定，應(yīng)用勾股定理解三角形.

(1)利用矩形性質(zhì)可得=AD//BC,進而可得=由一組對邊平行且相等

的四邊形是平行四邊形即可得出結(jié)論；

(2)過點、E作EH義BC于點H,構(gòu)造比尸，利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形/8C。是矩形，

；.4D=BC,AD//BC.

■：AE=CF,

■■,AD-AE=BC-CF,即=

???四邊形EBFD是平行四邊形.

(2)解：如下圖，過點、E作EHJ.BC于點、H,則NBHE=NFHE=90°.

.-.ZA=NABC=90°.

四邊形是矩形.

???AE=BH=l,AB=EH=2.

BF=DE=3,

■■■HF=BF-BH=2.

?.?在Rt^HEF中，EH2+HF2=EF~，

EF=YEH。+HF。=@+22=2后

12.(1)見解析

⑵18

【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性

答案第14頁，共32頁

質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)定義等知識.掌握矩形的判定與性質(zhì)和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)三角形中線的定義及等腰三角形三線合一性質(zhì)得。4=OC,/ODC=90。，繼而

得到尸=90。，結(jié)合/。/。=90。即可得證.

（2）由矩形的性質(zhì)得到尸=15,進而由銳角三角函數(shù)定義求出。0=12,然后

根據(jù)勾股定理解題即可.

【詳解】（1）證明：-.-OD垂直平分/C,

：.OA=OC,ZODC=90°,

???AD=DC,

.??。。平分//。。，

：.ACOD=-AAOC,

2

?；OH平分/COB,

：.ZCOF=-ZCOB,

2

■.■ZAOC+ZCOB=1?,Q°,

/COD+NCOF=90°,即ZDOF=90°,

CFLOH,

/CFO=90°,

四邊形C。。尸是矩形；

（2）解：如圖連接。尸，

四邊形C。。尸是矩形，

DF=OC,

■：OA=OC,DF=15,

.?.CM=15,

4

vsiiL4=—,OA=15f

OD=12,

根據(jù)勾股定理得AD=y]AO2-OD2=9，

；./C=18.

答案第15頁，共32頁

H

2^a

13.⑴見詳解

⑵FG=4i

【分析】（1）因為是矩形，所以結(jié)合BE〃4C,證明四邊形/BEC是平行四邊

形，即可作答.

（2）根據(jù)勾股定理得出4C=BD=[AB。+BC?=26，結(jié)合直角三角形的斜邊上的中線等

于斜邊的一半，即G尸=208=1x2若=石，進行作答即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形/BCD是矩形，

AB//CD,

-BE//AC,

四邊形ABEC是平行四邊形，

：.BE=AC；

（2）解：???四邊形ABCD是矩形，

；./ABC=90°,AC=BD,

?1?AC=BD=yjAB2+BC2=J4+16=275

■■-DF1BE,G為矩形對角線的交點，即G為AD中點，

GF=-DB^-x2y/5^y/5.

22

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形的斜邊

上的中線等于斜邊的一半，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

14.⑴見解析

⑵5

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由銳角三

角函數(shù)求邊長，熟練掌握各判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵：

（1）利用四邊形ECZ）尸是平行四邊形，推出8CIIERBC=CD=EF,再根據(jù)等腰三角形

的三線合一的性質(zhì)推出EB1BC,即可證得四邊形助CF是矩形；

答案第16頁，共32頁

AR4

(2)根據(jù)三角函數(shù)得到:==,求出ZE=5,再由矩形的性質(zhì)求出Bb=￡C=/￡=5.

AE5

【詳解】(1)證明：???四邊形EC是平行四邊形，

：.EF\\CD,EF=CD,

???BC=CD,

??.BC=EF,

??.BC//EF,

???四邊形EBCF是平行四邊形,

vAE=EC,AB=BC,

：.EB1BC,

ZEBC=90°,

???四邊形￡3C尸是矩形；

(2)W：--AD=12,AB=BC=CD,

AB=4,

4

在RtZUBE中，/ABE=90。,cosA=-f

ABA

一,

AE5

AE=5,

?.?四邊形E2C戶是矩形，

；.BF=EC=AE=5.

15.(1)見解析

⑵=

【分析】(1)先證明四邊形N8DE是平行四邊形，再根據(jù)N8DF=90。，即可由矩形的判定

定理得出結(jié)論.

(2)解RLBDC,求得BD=瓜再由矩形的性質(zhì)得AE=BD=5ZE=90°,然后在RtAAEC,

由勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：,??四邊形/BCD是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD.

DE=CD,

AB=DE,且48||CE.

答案第17頁，共32頁

二四邊形/ADE是平行四邊形,

■：BDLCD,

：.ZBDF=90°,

四邊形是矩形；

(2)解：連接NC,

.-.DE=CD=\

CE=2

-：BD±CD,

:.ZBDC=90°,

■：/.BCD=60°.

在RtABOC中，NBDC=90°,

;CD=[tanNBCD=?

BD=V3,

,??四邊形/BDE是矩形

.-.AE=BD=?/E=90。,

在Rt^/EC中，

:.AC=y]AE2+CE2=41.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形,

熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)與矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.(1)見解析

(2)*

2

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是

掌握平行四邊形的判定方法.

答案第18頁，共32頁

（1）由菱形的性質(zhì)得8C=CD,OD=OB,得OM為△OBC中位線，得OM〃CE；再證

明。N=gcO=g8C=CE,從而可得結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得2C=/3=5,由tan/08C=（得笑=：,設(shè)OC=x,則O8=2x,

2OB2

由勾股定理得OC=石，OB=2亞,設(shè)A50C斜邊上的高為九根據(jù)等積關(guān)系得〃=2,由

CE^-BC=-可求△OCE的面積.

22

【詳解】（1）證明：???四邊形45CD是菱形，

；,BC=CD,OD=OB,AC1BD,

OD—OB,

??.O為的中點，

又〃是CD中點，

???。加為中位線，

：.OM〃CE、?

在RM。。。中，OM=MC=DM=-CD,

2

：.OM=-BC

29

-：CE=-BC,

2

:?CE=OM,

???四邊形OCEM是平行四邊形；

（2）解：???四邊形Z5CD是菱形，

/.BC=AB=5,

.?.CE=LBC="

22

,/tanZ.OBC=—,

2

OC

??一，

OB2

設(shè)OC—x,貝ljOB=2x,

在RMB。。中，OB2+OC1=BC2,

.-.（2X）2+X2=52,

解得，x=4s（負(fù)值舍去），

答案第19頁，共32頁

??.OC=EOB=2、,

設(shè)必OC斜邊上的高為〃，則有：

-OBOC^-BCh,

22

—x2A/5xV5=—x5-/z,

22

???/z=2,

c1「廠715c5

Snrp=-CE,h=-x—x2=一.

.OCE2222

17.⑴見解析

(2)2

【分析】本體考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握相

關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出4D=8E,AD//BE,即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)菱形和平行四邊形的性質(zhì)，以及正切值，設(shè)。4=x，則4E=BD=4x,再利用勾

股定理求解x=l,即可求解.

【詳解】(1)證明：,??四邊形/BCD是菱形，

.-.AD//BC,AD=BC,

■：BE=BC,

AD=BE,

又?；AD〃BE,

二四邊形AEBD是平行四邊形；

(2)解：???四邊形/BCD是菱形，

ACLBD,AC=2OA,BD=2OD,

???四邊形/E8D是平行四邊形，

AE//BD,ZAEB=ZADB,AE=BD,

?「tan/AEB=—,

2

041

二.tan/ADB=----=一,

OD2

設(shè)OA=x,貝1|OD=2x,

/.AE=BD=2OD=4x,

vACLBD,AE//BD,

答案第20頁，共32頁

s.ACLAE,

在RMCUE中，OE=J"+出=業(yè)+（甸2=后x,

???0E=后，

..JC—\j

AC=2OA=2x=2.

18.（1）見解析

⑵26

【分析】題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性

質(zhì)等知識；正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且/D=8C,等量代換得到3C=￡F,推出四邊形

AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得==3C=10,由勾股定理求出/￡=8,/。=4后，再由直角

三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】（1）證明：???四邊形N2CD是菱形，

AD〃BCS.AD=BC,

■：BE=CF,

BC=EF,

*'?AD=EF,

???AD//EF,

???四邊形AEFD是平行四邊形，

vAELBC,

：.ZAEF=90°,

二四邊形NEFD是矩形；

（2）解：???四邊形48co是菱形，/。=10,

AD=AB=BC=10,

???EC=4,

―10—4=6

在RtZ\4BE中，AE=ylAB2-BE2=^/102-62=8-

答案第21頁，共32頁

在RtA^￡C中，/c=>JAE2+EC2=V8274r=4后，

?.?四邊形/BCD是菱形，

.■.OA^OC,

OE=-AC=2y/5.

2

19.⑴見解析

(2)t

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識點,

掌握菱形和矩形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件證明四邊形0CE8是平行四邊形，再結(jié)合

/BOC=90°,即可證明結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)可得CM=OC,OB=OD、AC1BD,解直角三角形可得=3,進而

得到8。=2。8=6,0c=04=4,再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BE=0C=4,最后根據(jù)正切的

定義即可解答.

【詳解】(1)證明：???四邊形是菱形，

：.AC1BD,

：.ZB0C=90°,

?：BE1.BD,

:.AC//BE,

■：BE=OC,

???四邊形OCEB是平行四邊形，

又丫ZBOC=90°,

二平行四邊形0CEB是矩形.

(2)解：如圖：???四邊形/BCD是菱形，

：.OA=OC,OB=OD,ACJ.BD,

在RLUOg中，AB=5,

.-.smZCAB=-=-,解得：(95=3,

AB5

???BD=2OB=6,OC=OA=4AB2-OB1=4，

由(1)可知，四邊形oc匹是矩形，

答案第22頁，共32頁

/OBE=90。，

?.?BE=0C=4,

20.(1)證明見解析

⑵18

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可