第04講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

T模塊導(dǎo)航—素養(yǎng)目標(biāo)?

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解空間直角坐標(biāo)系，理解空間向量的坐標(biāo)表示；

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用；

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)4.掌握空間向量的模夾角以及兩點(diǎn)間距離公式，能運(yùn)

用公式解決問(wèn)題.

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系的定義

右手直角坐標(biāo)系的定義

空間中點(diǎn)和向量的坐標(biāo)的定義

空間向量的坐標(biāo)表示4個(gè)特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)

空間向量及其

空間中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)

運(yùn)算的坐標(biāo)表示

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量都與垂直

空間向量的長(zhǎng)度、夾角公式

空間兩點(diǎn)的距離公式

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系

1、空間直角坐標(biāo)系的定義：在空間選定點(diǎn)o和一個(gè)單位正交基底｛7,7,弓，以點(diǎn)o為原點(diǎn)，分別以元的

方向?yàn)檎较?、以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：X軸軸、Z軸，它們都叫作坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就

建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。￥，。叫作原點(diǎn)，7,工不都叫作坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫作坐

標(biāo)平面，分別稱(chēng)為O孫平面，0yz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分.

2、右手直角坐標(biāo)系的定義：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，

若中指指向z軸的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.如無(wú)特別說(shuō)明，我們建立的坐標(biāo)系都是右手

直角坐標(biāo)系.

知識(shí)點(diǎn)2空間向量的坐標(biāo)表示

1、空間中點(diǎn)和向量的坐標(biāo)的定義：在空間直角坐標(biāo)系。WZ中Z；）,左為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)對(duì)

應(yīng)一個(gè)向量近，且Z點(diǎn)的位置由向量方唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

（x,y,zj,?OA=xa+yb+zc.

在單位正交基底f,7?，耳下與向量方對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,叫作向量力在空間直角坐標(biāo)系。孫z中

的坐標(biāo)，記作0Z=（x,y,z）.（x,y,z）也叫點(diǎn)Z在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作/（x,y,z）,其中x叫

做點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)/的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)Z的豎坐標(biāo).

2、幾類(lèi)特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)

（1）x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（%,0,0）

（2）歹軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,y,0）

（3）z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0,z）

（4）。孫平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y,0）

（5）Ozx平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,0,z）

（6）0yz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（O,y,z）

3、空間中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)尸（x,y,z）為空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，則

（1）與點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是＜（-x,-y,-z）

（2）與點(diǎn)尸關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是鳥(niǎo)（x,-y,-z）

（3）與點(diǎn)尸關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是6（-x,y,-z）

（4）與點(diǎn)尸關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是q（-x,-y,z）

（5）與點(diǎn)尸關(guān)于。孫平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是E（x,y,-z）

（6）與點(diǎn)尸關(guān)于Ozx平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是片（x,-y,z）

（7）與點(diǎn)尸關(guān)于。yz平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是，（-x,y,z）

【注意】對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題常常采用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)，誰(shuí)就保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論.

知識(shí)點(diǎn)3空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=（xi，%,zj,b=（x2,y2,z2）,貝!］：

（1）a+b=（Xj+x2,y1+y2,z1+z2）；

（2）a—b=（x1-x2,y1—y2,z1—z2）；

（3）26Z=（2X1,2J/1,2Z1）（2G7?）；

（4）a-b=xTx2+yxy2+zxz2

2、空間向量平行和垂直：若〃二（再,必,zj,石二%,為/2）,貝11

（1）4%，2

a//b<^a=Xb<^xi=Ax2,%二（%外?。。）

（2）a-Lboa-b=0ox1x2+yry2+zxz2=0

3、空間向量的長(zhǎng)度、夾角公式：若￡二（%,%，%），石=（乙,%也），則

（1）|a|=yja-a—Ja；+或+a；，\b|=\lb-b—Qb；+“+42,

一1五++a2b2+a3b3/一K13

（9）cos<a?b>=--------=/2233=5。06。0）

\a\-\b\（a；+w+a；yb*q+b；

【注意】（1）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：

—————?-*f—*■Q,）,,..,,

a-b=\a\\b\cos<a-b>^>cos<a-b>=————,其中。的范圍是[0,兀]

\a\-\b\

（2）<AC,BD>=0^<ACJ）B>=7u-3^<CA,BD>=7r-0^<CA,DB>=0.

（3）用此公式求異面直線(xiàn)所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與9的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。

4、空間兩點(diǎn)的距離公式

若4（國(guó),％,馬）,B（x2,y2,z2）,則

①/B=。B—。/=（X2，y2，Z2）一（X],乃,Zl）=（X2—Xl，y2一必,Z2—Zl）

即：一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

②I函==，（》2—X]）2+（了2—，1）2+（Z2—Z]）2>

或^A.B=（X2-Xj+（%-必）+（Z2-Zj-

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一空間向量與點(diǎn)坐標(biāo)的表示考點(diǎn)五空間向量垂直的坐標(biāo)表示

考點(diǎn)二空間中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題考點(diǎn)六空間向量夾角的坐標(biāo)表示

空間向量及其運(yùn)

算的坐標(biāo)表示

考點(diǎn)三空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示考點(diǎn)七空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示

考點(diǎn)四空間向量平行的坐標(biāo)表示考點(diǎn)八投影向量的坐標(biāo)表示

考點(diǎn)一：空間向量與點(diǎn)坐標(biāo)的表示

1.（23-24高二下?江蘇南京?期中）已知點(diǎn)8（3,-1,0）,方=（-2,-5,3）,則點(diǎn)A坐標(biāo)為（）

A.(1,-6,3)B.(5,4,—3)C(.(—1,6,-3)D.(2,5,-3)

【答案】B

【解析】設(shè)/(X),2),

則方=(3-X,-1-y,-z)=(-2,-5,3)，

3-x=-2x=5

所以-l-v=-5,解得,y=4,

-z=3z=-3

所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（5,4,-3）.故選:B.

【變式1-1］（23-24高二上?北京?期中）已知點(diǎn)/(-2,3,0),5(1,3,2),~AP=2AB?則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.(4,3,4)B.(-4,-1,-4)C.(-1,6,2)D.(-5,3,-2)

【答案】A

【解析】設(shè)尸（x/,z）,則萬(wàn)=（x+2/—3,z）,又通=（3,0,2）,

因?yàn)?2萬(wàn)，所以（x+2,y-3,z）=2（3,0,2）,

x+2=6x=4

所以y-3=0,解得，y=3,即尸(4,3,4).故選：A

z=4z=4

【變式1-2］（22-23高二上?云南臨滄?月考）在平行六面體98-4埒莖）1中，衣=（2,3,4）6（7,2,4）,

則點(diǎn)4的坐標(biāo)為（）

A.（-1,3,6）B.（-3,-1,0）C.（1,-1,-2）D.（1,-1,0）

【答案】B

【解析】設(shè)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（a,b,c）,貝IJ由福=%，得（一1一凡2-44-C）=（2,3,4）,解得4=-3,b=-1,。=0,

則點(diǎn)4的坐標(biāo)為（T-l,0）,故選：B.

【變式1-3］（23-24高二上?青海海東?月考）（多選）如圖，在長(zhǎng)方體O4BC-O'H2'C'中，04=1,OC=3,

且OE=,，下列向量坐標(biāo)表示正確的是（）

。。=2,點(diǎn)E在線(xiàn)段N。的延長(zhǎng)線(xiàn)上,

2

B.9=(1,0,2)

D.EC=總*

【答案】BC

【解析】在空間直角坐標(biāo)系。-到z中,0(0,0,0),0(0,0,2),C(0,3,0),

*(1,3,2),

對(duì)于A,因?yàn)?。?,0,0）,C（0,3,0）,所以反=（0,3,0）,故A不正確；

對(duì)于B,因?yàn)镃（0,3,0）,*（1,3,2）,所以函=（1,0,2）,故B正確;

對(duì)于C,因?yàn)?（1,3,2）,所以而jg,3,2],故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)镃（0,3,0）,-0,0；所以反=g,3,0）故D不正確.

故選：BC.

考點(diǎn)二：空間中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

例2.（23-24高二下?四川綿陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系。孫Z中，點(diǎn)可（3,-2,-1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-3,-2,1）B.（3,-2,1）C.（-3,2,-1）D.（-3,2,1）

【答案】D

【解析】點(diǎn)可（3,-2,-1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,2,1）,故選：D.

【變式2-1]（23-24高二下?甘肅?期中）在空間直角坐標(biāo)系。-初z中，點(diǎn)（1,-2,3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)

為（）

A.(-1,2,-3)B.(1,2,-3)C.(1,-2,-3)D.(-L-2.-3)

【答案】B

【解析】點(diǎn)(1,-2,3)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3).故選：B

【變式2-2](23-24高二上?河北石家莊?月考)點(diǎn)尸(-3,8,-5)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(3,—8,—5)B.(—3,8,5)C.(3,8,5)D.(-3,—8,5)

【答案】B

【解析】點(diǎn)尸(-3,8,-5)關(guān)于平面xOy對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3,8,5).故選：B

【變式2-3](23-24高二下?江蘇連云港?期中)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(2,1,1)關(guān)于了生平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的

坐標(biāo)為()

A.(-2,1,1)B.(2,-1,1)C.(2,1,-1)D.(2,-1,-1)

【答案】A

【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)42,U)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1,1).故選：A.

考點(diǎn)三：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

例3.(23-24高二上?江西贛州?期中)在空間直角坐標(biāo)系中，向量￡=6=(1,0,2),則￡/=

()

A.(2,-2,3)B.(-2,2,-3)C.(0,2,1)D.(0,-2,-1)

【答案】D

【解析】由題意可得:?！?(1,一2,1)-(1,0,2)=(0,-2,-1).故選：D.

【變式3-1](23-24高二上?天津?期末)已知空間向量2=(1,2,-3),6=(2,-1,1),則￡-2否=()

A.(-3,4,-5)B.(5,0,-5)C.(3,1,-2)D.(-1,3,-4)

【答案】A

【解析】由題意空間向量@=(1,2,-3),6-(2,-1,1),

則3-2坂=(1,2,-3)-2(2,T,1)=(1,2,—3)—(4,-2,2)=(-3,4,-5).故選:A.

【變式3-2］（23-24高二上?福建福州?期中）（多選）已知向量1=（1』,-2）石=（1,-3,-3）,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.a+b=（2,-2,-5）B.q-6=（0,-2,1）

C.a-b=4D.同=6

【答案】AC

【解析】因?yàn)锧=（1,1,-2）,3=（1,-3,-3）,則存+4（2,-2,-5）,故A正確；

）一行=（0,4,1）,故B錯(cuò)誤；

5.&=lxl+lx（-3）+（-2）x（-3）=4,故C正確；

同=-71+1+4=屈,故D錯(cuò)誤；故選：AC

【變式3-3](23-24高二上?新疆?月考)已知￡=(2,3,-1),5=(-1,0,3),c=(0,1,2).

(1)求鼠(23-3%)的值；

⑵(淮.(*.

【答案】(1)-13；(2)12

【解析】(1)由刃=(-1,0,3),工=(0,1,2)可得25=(-2,0,6),3c=(0,3,6).

26-3c=(-2,-3,0),故鼠儂-3號(hào)=-4-9+0=-13

(2)a—(2,3,—1),b=(—1,0,3),c—(0,1,2)

可得Z+1=(l,3,2),^+c=(-l,l,5),

故R+可?僅+可=-1+3+10=12

考點(diǎn)四：空間向量平行的坐標(biāo)表示

例4.（22-23高二上?河南平頂山?月考）已知a=。,-2,4）,則下列向量中與“平行的是（）

A.（1,1,1）B.（-2,4,-8）C.（2,-3,5）D.（-2,-3,5）

【答案】B

1-24

【解析】對(duì)于A,因?yàn)??？?。：，所以A不正確；

1-24

對(duì)于B,因?yàn)椴?下=)，所以B正確；

-24-8

1-24

對(duì)于C,因?yàn)獒芷?*二,所以C不正確；

2-35

1-74

對(duì)于D,因?yàn)椴黄?，所以D不正確.

-2-35

故選：B.

【變式4-1](23-24高二下?甘肅蘭州?期中)已知向量益=(1,。,-2),%=(-3,6,6),若4&C三點(diǎn)共線(xiàn)，

貝!|。-6=()

A.-8B.-2C.2D.8

【答案】A

【解析】因?yàn)?&C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以而與前共線(xiàn)，又向量方=(1.-2),刀=(-3,6,9，

所以口=9=2,所以。=一2,6=6,所以。一6=-8.故選：A

1a-2

【變式4-2](23-24高二上?廣東中山?期中)已知向量1=(T0,3),B=(1,T,1)I=(T2X,1),若(，-3)〃，，

則實(shí)數(shù)x=()

1111

A.-B.——C.-D.——

4422

【答案】A

【解析】a-b=(—2,1,2),c=(~l,2x,l),

因?yàn)?1—3)//',所以二'=1=;，解得尤=：.故選：A.

-2124

【變式4-3](23-24高二上?廣東江門(mén)?期中)已知向量2=(2,1,1),Z；=(0,-1,-1),若(￡+")〃(￡/),貝！M=

()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】因?yàn)閆=(2,l,l),Z；=(O,-1,-1),

所以￡+=(2,1,1)+%(0,—1,-1)=(2,1—/1,1一㈤，

a-^=(2,1,1)-(0,-1,-1)=(2,2,2),

因?yàn)?a+Ab)//(a-b),

2I-；1-2

所以;=—=—，解得/=-1，故選：C

222

考點(diǎn)五：空間向量垂直的坐標(biāo)表示

例5.(23-24高二上?北京?期中)已知向量1=(x,l,-2)5=(021),則的位置關(guān)系是()

A.垂直B.平行C.異面D.不確定

【答案】A

【解析】因?yàn)橄蛄縉=(x,l,-2)石=(0,2,1),

所以3石=0xx+2xl+lx(-2)=0,所以Z_LB，故選：A.

【變式5-1](23-24高二下?廣西桂林?開(kāi)學(xué)考試)下列四對(duì)向量中，垂直的是()

A.a=(2,0,1),&=(-1,1,-2)B.2=(2,1,3),3=(-1,-1,1)

C.2=(4,0,6),6=(2,0,3)D.a=(3,1,1),&=(-1,-2,2)

【答案】B

【解析】對(duì)A,因?yàn)?3=-2-2=-4片0,故兩向量不垂直，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,因?yàn)槭笕?_2_1+3=0，故兩向量垂直，故B正確；

對(duì)C,因?yàn)樾∈?8+18=2620，故兩向量不垂直，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,因?yàn)椤瓴?-3-2+2=-3/0，故兩向量不垂直，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

【變式5-2](23-24高二下?江蘇泰州?期末)已知1(2,-1,3),1(-4,2,x),且貝”二()

510

A.2B.3C.—D.—

23

【答案】D

【解析】因?yàn)?=(2,-1,3),3=(—4,2,x),且所以展3=2x(—4)+(—l)x2+3x=0,

解得x=g.故選：D

【變式5-3]（23-24高二上?山東青島?期末）已知向量3=（1,1,0）,不=（一1乂,2）,且73+5彼與2”行互相

垂直，則實(shí)數(shù)力等于（）

33737

A.-B.w或1C.0或wD.0或1

【答案】C

【解析】7a+=7(1,1,0)+5(-1,A,2)=(2,7+52,10),

25-&-2(1,1,0)-(-1,2,2)=(3,2-2,-2),

由7a+55與23—各互相垂直，W(75+5^)-(25-^)=2X3+(7+52)X(2-A)+10X(-2)=0,

3

解得4=0或2=(.故選：C.

考點(diǎn)六：空間向量夾角的坐標(biāo)表示

6.(23-24高二上?湖南衡陽(yáng)?期末)已知￡=(1,0,1),b=(x,l,2),且鼠刃=3,則向量1與3的夾角

為()

57r27rTC兀

A.—B.—C.—D.一

6336

【答案】D

【解析】

向量2=(1,0,1),b=(x,l,2),由鼠刃=3，得X+2=3,解得尤=1,3=(1,1,2),

—―/7?h3、/3一一7T

因止匕cos〈a,b〉==——=/---/=—，而〈〃》)￡[0,乃],貝！)〈。,6〉二一，

1671|Z?|+1x+1+426

所以向量々與g的夾角為￡.故選：D

6

【變式6-1]（23-24高二上?安徽?期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)8（2,0,0）,C（0,l,3）,

則cos(C4c邛=()

口2療「V7D.近

A.國(guó)1D.------------Vz?----

427340

【答案】A

【解析】依題意，G4=(l,l,-4),而=(2,-1,-3),

故瓦瓦=2-1+12=13，

|C4|=V1+1+16=3^,\CB\=V4+1+9=V14,

13近

cos（CA,CB）=CA-CB13

故選：A

|C3||CB|-3A/2XV14

【變式6-2］（23-24高二上?江蘇南京?期末）已知）=（1,-2,-1）、分=（-1戶(hù)-1,1）,且3與B夾角為鈍角，則

x的取值范圍是（）

A.（0,+??）B.（0,3）C.（3,+00）D.（0,3）u（3,+co）

【答案】D

【解析】因?yàn)闃?（1,一2,-1）、且2與B夾角為鈍角,

則心役<0且3與B不反向，

若小B<0,貝il-2（x-l）-lxl<0,解得x>0,

若3與B反向，設(shè)3=高（/<0）,貝c，解得（=?，

—1=［x=3

綜上可得X的取值范圍是（0,3）口（3,+8）.故選：D

【變式6-3］（23-24高二上?廣東珠海?月考）已知向量0=（1,1,0）,3=（加,0,2）,cos，3）=-*,若向量

"添與2*3所成角為銳角，則實(shí)數(shù)上的范圍是.

【答案】（-&）U（g,+8）

rrrr_____

【解析】由向量。=（1,1,0）,b=（m,0,2）,可得==亞,口=J加2+4,

/_,/Tna-bmV10

因?yàn)閏os@3-得，可得雨=瓦而二=一次，解得"i

所以3=（-1,0,2）,所以Z+瘍=（1-后,1,2肩與21+/=（1,2,2）,

又因?yàn)橄蛄浚?添與2a+B所成角為銳角，

所以（a+左bj（2a+6）=l-左+2+4左>0,解得上>-1,

若向量與23+3共線(xiàn)，則一=；=勺，解得《=:，

所以實(shí)數(shù)人的范圍是（T；）U（g,+s）.

故答案為：(-l,；)U(；,+8).

考點(diǎn)七：空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示

7.(22-23高二上?云南臨滄?月考)已知向量方=(5,0,72),則向=()

A.5B.12C.13D.17

【答案】C

【解析】因?yàn)橄蛄?=(5。-12),則同=/2+02+(-12『=13.故選:C.

【變式7-1](23-24高二上?四川南充?期末)已知向量4=(一2,1,-1),元=(1,1,2),則忻+司=.

【答案】V6/6I

【解析】由題意可得而+元=(T2,1),所以|而+司=J(T)2+2?+4=&.故答案為:46.

【變式7-2](23-24高二上?廣東惠州?月考)在空間直角坐標(biāo)系中，Z(-1,2,0),點(diǎn)3(-1,1,2)關(guān)于>軸的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)為C,則|就產(chǎn)()

A.V5B.VilC.3D.V10

【答案】C

【解析】因點(diǎn)析-1,1,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為2),A-1,2,0),

貝U就=(2,-1,-2),故|%|="22+(-1)2+(一2)2=3.故選：C.

【變式7-3](23-24高二上?江西?月考)已知刀=(1,2,3),X=(見(jiàn)6)-2),若點(diǎn)4瓦。共線(xiàn)，則園=()

A.V14B.2714C.3V14D.9m

【答案】C

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)4民。共線(xiàn)，所以而與就共線(xiàn)，

所以卜9彳，解得。=一2,b=-4,

故就=(—2,T,—6),5C=^C-Z8=(-3,-6,-9),

考點(diǎn)八：投影向量的坐標(biāo)表示

(23-24高三下?上海浦東新?月考)空間向量3=(0],-1)在3=(1,2,3)上的投影向量為()

【答案】A

b1

【解析】與B方向相同的單位向量為同=布°r,

由3=(0,1,-1),1=(1,2,3),貝!|@/=0+2-3=-1，|^|=Vl2+22+32=V14,

a-bb-11「1

所以向量方在向量B上的投影向量為下「同=7高,%彳。=一/r.故選：A.

【變式8-1](23-24高二上?云南昭通?期末)已知空間向量)=(2,1,-3),則向量7在坐標(biāo)平面xOz上的投影

向量是()

A.(0,2,1)B.(2,1,0)C.(0,1,-3)D.(2,0,-3)

【答案】D

【解析】若a=(2,1,-3)起點(diǎn)為原點(diǎn)，則終點(diǎn)為(2,1,-3),

該點(diǎn)在平面xOz上投影坐標(biāo)為(2,0,-3),

所以向量方在平面xOz上的投影向量是(2,0,-3).故選：D

【變式8-2](23-24高二下?河北邢臺(tái)?月考)已知點(diǎn)4(2,2,3),5(1,0,1),向量就=(1,-1,2),則向量打在

向量篇上的投影向量為()

A.[-]，一§,一§JB.(-4,-8,-8)C.GnJD.(4,8,8)

【答案】C

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)](2,2,3),5(1,0,1),則刀=(-1,-2,-2),且就=(1,-1,2),

所以配=就_方=(2,1,4),

BCABAB(-2-2-8)(-1,-2,-2)(488>

則向量就在向量焉上的投影向量為干仁.國(guó)—3—X—3―故選：C

【變式8-3](22-23高二上?云南臨滄?月考)已知點(diǎn)N(3,l,0),8(2,3,0),C(-l,-l,l),O(3,3,l),則向量亂在

向量而上的投影向量的模為.

【答案】巫

22

【解析】點(diǎn)4(3,1,0),3(2,3,0)<(-1,-1,1),。(3,3,1),

—?/\—>/\~A~D7-^ri4B-CDA/FO

故48=(-1,2,0),CD=(4,4,0),所以cos/8,CD=網(wǎng).回=而，

所以向量市在向量而上的投影向量的模網(wǎng)cos麗麗=不義吟=1.

6模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.(23-24高二上?廣東揭陽(yáng)?月考)在空間直角坐標(biāo)系中，若/(1,-1,3),方=(5,0,2),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(-4,-1,1)B.(6,—1,5)

C.(4,1,-1)D.(6,—1,-1)

【答案】B

【解析】因?yàn)?1,3),方=(5,0,2),

設(shè)5(x,y,z),故A8=(x),z)-(l,-l,3)=(x-l,y+l,z-3),

故(x-l)+l,z-3)=(5,0,2),解得x=6,y=-l,z=5,

故8(6,-1,5).故選:B

2.(23-24高二下?重慶?期中)空間直角坐標(biāo)系中，已知-1,3),則點(diǎn)A關(guān)于j，Oz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)

為()

A.(1,1,-3)B.(1,-1,3)C.(1,1,3)D.(-1,1,3)

【答案】B

【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱(chēng)性可得：

/(-1,-1,3)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的豎坐標(biāo)和縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)相反，

即所求的坐標(biāo)為故選：B

3.(23-24高二上?河北石家莊?期中)已知向量)=石=(1,-3,-3),則￡%=()

A.(1,3,6)B.-3C.4D.10

【答案】D

【解析】因?yàn)橄蛄?=-2)3-3),

所以3法=1'1+(-1)，卜3)+卜2yb3)=10,故選：D

4.(23-24高二上?河南?月考)已知空間三點(diǎn)Z(U,1),5(-1,0,4),C(2,-2,3),則與與刀的夾角為()

5冗

D.

T

【答案】C

【解析】VZB=(-2,-1,3),百=(-1,3,-2)

2-3-6

142

???結(jié)合向量夾角范圍易知：元與聲的夾角為5.故選：C.

5.(23-24高二上?重慶九龍坡?期末)已知向量。=(1,1,⑹方=(-3,2,0),貝1J&+B在讓的投影向量為()

313忖

222

\/

’32逑'

【答案】c

【解析】0"=(-3,2,0),石+各=(-2,3,打，

a+b\-a=-2x\+3'x.1+41x拒=3同=#+『+(上『=2,

一、一

(a+b)-a1a=21,血)=333vp

萬(wàn)+5在3上的投影向量為故選：C.

7

6.(23-24高二上?河南開(kāi)封?期中)設(shè)x,yeR,a=(1,1,1),b=(\,y,z),c=(x,-4,2),且"丁，(〃工,

貝儂+3|=()

A.2V2B.MC.3D.3亞

【答案】D

【解析】因?yàn)閍=(l,l,l),c=(x,-4,2)且，

所以a,c=x—4+2=0,解得x=2,

所以工=(2,-4,2),

又因?yàn)間=(1,%z),工=(2,-4,2)=2(1,-2,1)且行〃)

所以了=-2,z=l,所以6=(1,-2,1),

所以2l+1=(3,0,3),

所以|2￡+司=Jii=3近，故選：D.

二、多選題

7.（23-24高二上?河南南陽(yáng)?期末）已知空間直角坐標(biāo)系。-肛z中，點(diǎn)/（3,0,5）,5（2,3,0）,C（0,5,0）,

則下列各點(diǎn)在平面NBC內(nèi)的是（）

A.D（4,-l,2）B.￡（3,2,0）

C.F(-l,4,5)D.G(l,2,5)

【答案】BCD

【解析】益=(-1,3,-5),衣=(-3,5,-5),刀，又不共線(xiàn)，設(shè)尸為平面N3C內(nèi)一點(diǎn)，

貝?。輝AB+yAC=AP=(-x,3x,-5x)+(-3%5%-5V)=(-x-2>y,3x+5y,-5x-5y),

-x-3j=1

ID=(1,-1,-3),由于3x+5y=-l無(wú)解，所以。不在平面NBC內(nèi).

-5x-5y=-3

-x—3y=0

赤=(O,2,-5),由<3x+5y=2,解得x=|,y=-g,所以￡在平面NBC內(nèi).

—5x—5)——5

-x-3y=-4

AF=(-4,4,0),由<3x+5y=4,解得x=-2,y=2,所以廠(chǎng)在平面48c內(nèi).

-5x-5y=0

AG=(-2,2,0),由于方=2就，所以G在平面48C內(nèi).故選：BCD

8.（23-24高二上?青海西寧?期中）向量1=（2X,1,3）,B=（1,-2%9）,若方〃石，則（)

131-_1-

A.x=—B.y——C.u=-bD.a=-b

5232

【答案】BC

2x—4

【解析】因?yàn)橹怠˙，所以M=由題意可得<I=-2外，

3=92

1131-

所以4=:7，則2故選：BC

三、填空題

9.（23-24高二上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?月考）已知，=（1,0,1）3=（-2,-1,1）］=（3,1,0）,則"B+2”

【答案】(9,3,0)

【解析】因?yàn)?=(1,0,1),1=(-2尸1,1),3=(3,1,0),

所以3-B+23=(1,0,1)-(-2,-1,1)+2(3,1,0)=(9,3,0).故答案為：(9,3,0).

10.(23-24高二