江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期押題卷（考前最后一

卷）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.^A={x|0<x<2},B={xeN|x<2},則（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{.x|0<x<2]

2.某廠質(zhì)檢員利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行抽樣調(diào)查，先將這600個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行編

號(hào)：001,002,003,600.從中抽取120個(gè)樣本，下圖是隨機(jī)數(shù)表的第2行到第3行,

若從隨機(jī)數(shù)表的第2行第5列開始從左向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)編號(hào)是（）

3212671231023702147231098147802513254608

7120345119720138471804925128023127465130

A.098B.147C.513D.310

3.復(fù)數(shù)z滿足（z+l）i=z—l,則三的虛部為（）

A.iB.-iC.1D.-1

4.已知命題p:a>b>0,命題q：2“>2〃，則命題0是命題4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知兩個(gè)不相等的向量”（2,加+1）,5=（2-4m,l）,若游/（2萬一萬），貝打〃=（）

A.1B.0C.--D.--

224

6.將函數(shù)/（X）=cos[ox+j（o>0）的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)g（x）=sin（ox）

的圖象重合，則。的最小值為（）

A.4B.5C.6D.8

7.已知拋物線丁=2040>0）的焦點(diǎn)為尸（1,0）,點(diǎn)A在拋物線上，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，若

的面積為6，則/。酎=（）

27r7L5兀71

A.—B.—C.—D.一

3366

8.已知正方體ABC。-的體積為1,點(diǎn)M在棱BC上（點(diǎn)M異于3,C兩點(diǎn)）,

N為CC,的中點(diǎn)，若平面截正方體ABC。-A耳CR所得的截面為五邊形，則3M

的長(zhǎng)的取值范圍是（）

J_2

A.B.1C.1D.

°4rP2?3

二、多選題

9.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為單位圓。上一動(dòng)點(diǎn)，。為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，且對(duì)于使直線/的解析

式有意義的任意角。無論如何變化，|尸。|的最小值恒為1,貝h的表達(dá)式不可能是（）

A.y=x-sin0-\-------B.y=x-tan0+------

tan。sin。

22

C.y=x-cos^H-------D.y=x-tan^+------

tan。cos。

10.在邊長(zhǎng)為4的菱形ABC。中，ZBAT>=120°,將菱形A5c。沿對(duì)角線折成四面體

A'—BCD,使得AC=2,則()

A.A!CLBDB.直線AC與平面BCD所成角為30。

D.二面角A—BC—。的正弦值為撞

C.四面體A-3co的體積為4

5

1L對(duì)于任意實(shí)數(shù)“定義運(yùn)算則滿足條件“皿=皿。的實(shí)數(shù)

b,c可能為()

A.a-sin0.5,b=0.5,c=cos0.5B.a=0.5,Z?=cos0.5,c—sin0.5

C.a=0.98,/?=cos0.2,c=e-001D.a=cos0.2,b-e-001,c=0.98

三、填空題

2

12.已知a?0㈤,且sin（。一夕）sin夕一cos（。一，）cos§=--,貝Utana=.

22

13.點(diǎn)〃在橢圓三+乙=1上,尸是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),N為板的中點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，ION|=4,

4924

則I0M|=.

14.在2024x2023的方格表中，除首尾兩行外每行各有一個(gè)壞人，同時(shí)每列有至多一個(gè)壞

人.甲從第一行出發(fā)，每次沿相鄰方格移動(dòng)，要移動(dòng)到最后一行，一旦觸碰到壞人則本輪終

止返回起點(diǎn)，但能記住已探明的壞人位置.因此，無論壞人如何分布，甲總能通過不超過“輪

試卷第2頁，共4頁

到達(dá)最后一行.則?的最小值為

四、解答題

15.已知數(shù)列｛%｝,也｝滿足2=a?+an+1+L+a2n.

⑴若4=2”,求+么的值.

1112

⑵若—證明:公+兀及＜(

⑶若優(yōu)=3"+2w-l,設(shè)1=見-2〃+1,證明：c2n+l+c2n+2=cn

16.某學(xué)校校慶時(shí)統(tǒng)計(jì)連續(xù)5天進(jìn)入學(xué)校參加活動(dòng)的校友數(shù)（單位：千人）如下:

日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日

第X天12345

參觀人數(shù)y2.22.63.15.26.9

（1）由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)「加以說明（保留

小數(shù)點(diǎn)后兩位）；（若舊＞。-75,則認(rèn)為y與X的線性相關(guān)性很強(qiáng)），并求出y關(guān)于X的線性回

歸方程；

⑵校慶期間學(xué)校開放1號(hào)門、2號(hào)門和3號(hào)門供校友出入，校友從1號(hào)門、2號(hào)門和3號(hào)門進(jìn)

入學(xué)校的概率分別為:、）、：，且出學(xué)校與進(jìn)學(xué)校選擇相同門的概率為選擇與入校不

z633

同兩門的概率各為3.假設(shè)校友從1號(hào)門、2號(hào)門、3號(hào)門出入學(xué)校互不影響，現(xiàn)有甲、乙、

丙、丁4名校友于10月1日回母校參加活動(dòng)，設(shè)X為4人中從2號(hào)門出學(xué)校的人數(shù)，求X的

分布列、期望及方差.

55_5________

附：參考數(shù)據(jù)：=*=72,2x；=55,亍=4,2=95.86,V158.6~12.59.

z=li=li=l

n__

,￡龍，「wxy

參考公式：回歸直線方程y=Bx+a，其中另2—,?=y-bx.

Z=1

n__

^xji-nxy

相關(guān)系數(shù)「=i,-一i,,一.

色片一屋￡片一

17.在VA5C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=2bsin〔C+1

⑴求&

7T

（2）已知。為邊AB上的一點(diǎn)，且

（i）若BC=26,BD=1,求AC的長(zhǎng)；

（ii）求黑的取值范圍.

AD

18.已知函數(shù)/（力二根卜一—,其中m>0.

⑴討論八%）的單調(diào)性；

⑵若〃%）在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)a,b,cCa<b<c\

（i）求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（ii）求證：a+—>3b.

m

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將雙曲線C:]-3=l（a>0力>0）繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成

雙曲面。，其中C在旋轉(zhuǎn)過程中的所有實(shí)軸落在xOz平面內(nèi)，設(shè)xOz所在的平面為。，平面

￡滿足M/6，且a與夕之間的距離為行.

⑴若點(diǎn)P（x,z,y）在。上，試用含羽馬丫的方程表示。（不用說明理由）.

（2）設(shè)Ta,Tp分別是a,B截得D的截面.

（i）設(shè)分別為卻今上的弦，求所在直線間的距離的取值范圍；

（ii）已知截面%的圓周上的點(diǎn)A，&，…，4恰好構(gòu)成正〃邊形的頂點(diǎn)，P為。上一動(dòng)點(diǎn)，若

對(duì)任意t可2小爐了■恒成立，求力的取值范圍.

i=l

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期押題卷(考前最后一卷)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BCDACAABABCACD

題號(hào)11

答案BD

1.B

【分析】根據(jù)集合概念以及交集運(yùn)算即可得結(jié)果.

【詳解】易知3={xeN|x<2}={O,l},

XA={x|O<x<2},可得403={。1}.

故選：B

2.C

【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表的讀法讀出前5個(gè)符合的編號(hào)即可得解.

【詳解】由題意可知得到的編號(hào)依次為231,023,147,098,513,則得到的第5個(gè)編

號(hào)是513.

故選：C.

3.D

【分析】由已知條件得出z(l-i)=l+i,利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,利用共軌復(fù)數(shù)以及復(fù)

數(shù)的概念可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?z+l)i=z-l,則z(l—i)=l+i,故z=r=.、=i,貝匹=一,

因此，)的虛部為-L

故選：D.

4.A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意由指數(shù)函數(shù)y=2-r的單調(diào)性可知p:。>6>0能推出q:2">2",

即充分性成立；

由q:2">2〃可推出a>b,不能推出即必要性不成立；

因此命題0是命題4的充分不必要條件.

故選：A

答案第1頁，共17頁

5.C

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得21-5=（2+4孤2m+1）,然后根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求

得,2=0或加=-g,再代入驗(yàn)證即可求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄糠?（2,m+1）,b=（2—4m,l）,所以=（2+4加,2根+1）,

由刃/（2萬一得2x（2m+l）-（nz+l）x（2+4m）=0,即mx（l+2m）=0,

解得〃，=0或加=一；，當(dāng)相=0時(shí)，a=（2,1）,5=（2,1）,此時(shí)五在，不符合題意，

當(dāng)機(jī)=一1?時(shí)，）=[2,3],5=（4,1）,止匕時(shí)owB，符合題意.

故選：C

6.A

【分析】利用圖象平移法則，得到向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)為y=sin+等+g）

再結(jié)合條件得到號(hào)+等=2祈,％eZ,即可求解.

【詳解】將函數(shù)/（x）=cos（s+3（0>O）的圖象向左平移/個(gè)單位長(zhǎng)度后，

得到

(am71am71.(①兀2九、

=coscox+——+—=sin—+a)x+——+—=sincoxH------1-----,

I36；236I33J

〃)7T27r

由題有分+千=2E,左EZ,即。=—2+6￡%EZ,取左=1,得到G=4,

故選：A.

7.A

【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的方程，設(shè)A（x0,%）,根據(jù)三角形面積得到方程，

求出％=±2粗，修=3,作出輔助線，由焦半徑公式得到=4,由三角函數(shù)得到/”3=三,

從而得到答案；

方法二：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的方程，設(shè)4（%,%）,根據(jù)三角形面積得到方程，求出

%=±26，七=3,由勾股定理得1cM=歷，由焦半徑公式得|4尸|=4,在AAO尸中，由余

弦定理得cos/OE4=-；,從而得到答案.

答案第2頁，共17頁

【詳解】方法一：由b(1,0)得^=1,即P=2,故拋物線的方程為V=4x.

設(shè)則的面積為gx|O刊文|%|=9尻|=代，得%=±2后，

代入'2=4%,得%=3,

過點(diǎn)A作ABIx軸于點(diǎn)3,則|AB|=|%|=2G,\AF\=X0^-1=4.

所以在RtaAFB中，sinXAFB=---=,，則/AF3=

AF423

所以NO必=兀一NA五3二——；

3

方法二：由b(1,0)得勺1,即P=2,故拋物線的方程為>2=4x,

設(shè)A(%%),貝隈OE4的面積為gx|O刊x|%|=)x|%|=有，得%=±26，

代入丁=?,得x°=3,不妨設(shè)A(3,2右)，

由勾股定理得|。4|=的+12=庖,由焦半徑公式得|/S|=x0+1=4,

在AAOF中，由余弦定理得COSNOE4=M_0司="16-21=一!，

2\OF\-AF2x1x42

2

又/。以40,兀)，故/0引=?7r

故選：A

8.B

【分析】分情況討論，作出截面，結(jié)合截面形狀可得的范圍.

【詳解】因?yàn)檎襟wABCD-A瓦G2的體積為1,所以該正方體的棱長(zhǎng)為1,則0<3“<1.

當(dāng)BM=!時(shí)，連接AQ,D,N,則MN//A2,

答案第3頁，共17頁

\,M,N,Dt四點(diǎn)共面，截面為四邊形AMNR（如圖），不符合題意,

由ABGM與ACNM相似可得———,

NCCM

所以3G＜；,因?yàn)镹C|=g,所以在線段NG上一定存在一點(diǎn)尸,

使得NP=3G,即四邊形PNGB為平行四邊形，所以BP//NG;

過戶作尸。，。2于Q，連接4。，貝崎知AQ//BP,

所以AQ//MN,即N,。四點(diǎn)共面，所以截面為四邊形.

當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)8避，NM交于點(diǎn)、G,

由ABGM與ACNM相似可得777^=二7'

NCCM

所以2G＞：,因?yàn)镹￡=g,所以在線段NG的延長(zhǎng)線上一定存在一點(diǎn)P,

使得NP=3G,即四邊形PNGB為平行四邊形，所以BP//NG;

如圖，過P向。2的延長(zhǎng)線作垂線，交于點(diǎn)Q,連接AQ,交42于H,

答案第4頁，共17頁

Qp

則易知AQ//BP,所以AH//MN,即AM,N,“四點(diǎn)共面.

連接QN交GA于T,連接ET,即所求截面為五邊形AVfWE.

綜上可知故B正確.

故選：B.

9.ABC

【分析】設(shè)=根據(jù)點(diǎn)與直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可得|尸。|的最小值

為。至卜的距離減1,從而可得=逐項(xiàng)檢驗(yàn)是否對(duì)任意角。均成立即可得結(jié)論.

【詳解】由題意可知P在圓O：/+y2=1上，設(shè)/：y=Ax+w,Na￡R,

則|PQ|的最小值為0到/的距離減1,且。至I]/的距離d=,

則|尸。|的最小值為才/T=1,即同=2j*.

對(duì)于A,當(dāng)。=60。時(shí)，y=應(yīng)，此時(shí)2Vm^=2、點(diǎn)5=近片夜，不滿足題意;

-2V4

對(duì)于B,當(dāng)9=60°時(shí)，＞=后+2點(diǎn),止匕時(shí)2/平=2豆=4W2及，不滿足題意；

對(duì)于C,當(dāng)夕=45。時(shí)，y=與x+2,此時(shí)2)1+r=2^Z^=#w2,不滿足題意；

對(duì)于D,由于，1+1?/=、1°$26+：1%/_1^=，，則吊=2711記恒成立.

Vcos261Vcos261cos，11

答案第5頁，共17頁

故選：ABC.

10.ACD

【分析】由線面垂直的判定定理可得應(yīng)＞1平面AOC,即可判斷A,由線面角的定義即可

判斷B,由等體積法即可判斷C,由二面角的定義即可判斷D.

【詳解】

對(duì)于A,由題意，OA±BD,OC±BD,又=。A,。Cu平面AOC,

所以平面AOC,又ACu平面AOC,所以BDJLA'C,故A正確；

對(duì)于B,3D2平面AOC,BDu平面3CD,所以平面BCZ），平面AOC,

且面AOCc面3cD=OC,因?yàn)锳A'OC為等邊三角形，在平面AOC內(nèi)過A作AEJ_OC,

則A'EL平面BCD,所以AC和平面BCD所成角為60。，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,OA=2,OC=2,AC=2,所以“TOC面積為、2x2xsin60。=有，

2

因?yàn)?平面AOC,所以四面體VA._BCD=VB_A,℃+VD"℃=；X用義4m=4,

故C正確；

對(duì)于D,過4作AN_L3C交2C于歹，因?yàn)锳'E_L平面3cD,3Cu平面BCD,

所以A'EJ_3C,且AZcA'buA'，A'E,A尸u平面AEF,

所以BC_L平面AEF,且EFu平面AEF,所以EF/BC,

所以NA'FE是二面角NA'-3C-O的平面角，

在等腰三角形A'BC中，由等面積法可得；x2x"-F=1x4xA,F

后./.5_AE百2亞

即4月=蟲，在即中，smNA，上一次一、正一丁，故D正確；

2---

2

故選：ACD

11.BD

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，用單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】由題意可得，若滿足。區(qū)③c,則a,b,c互不相等時(shí)，b最大.

答案第6頁，共17頁

對(duì)于A,先比較〃和b,a=sin0.5,Z?=0.5,構(gòu)造函數(shù)/(x)=sinx-x,則/"(A:)=COSX-1<0,

所以在R上單調(diào)遞減，/(0.5)=sin0.5-0.5</(0)=0,所以sin0.5v0.5,即avb,

兀

再比較b和c,匕=0.5,c=cos0.5,因?yàn)閥=cosx在0,萬上單調(diào)遞減，

7T

所以cos0.5〉cos1=0.5,所以Z?<c,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,由A可知,cos0.5>0.5>sin0.5,即b>a>c,故B正確.

對(duì)于C,第一步：構(gòu)造函數(shù)，比較。和b的大小

a-0.98=1-2x0.12,b=cos0.2=l-2sin20.1,

構(gòu)造函數(shù)MX)=1-,則人⑺在(0,+e)上單調(diào)遞減，

由A可知，當(dāng)x?0,0.1］時(shí)，sinx<x,所以1一2爐vl—Zsii?%,

將x=0.1代入，^l-2x0.12<l-2sin20.1,即av(.

第二步：選取中間值0.99,比較c和0.99的大小

設(shè)函數(shù)m(x)=l-x-eTx,XG［0,0.01］,

則〃(％)=—1+eT=——1^0,加(%)在［0,0.01］上單調(diào)遞減，

所以相(0.01)(0)=。，故1—0.01—e"0?！?lt;0,e-°01>1-0.01=0.99,BPc>0.99.

第三步：比較b和0.99的大小

設(shè)函數(shù)夕(x)=sinx-*x,xe［0,0.1］,則“(x)=cosx-^=cosx-cos^

因?yàn)?VxV0.1<：,所以cosx>cos：,所以°(x)在［0,0.1］上單調(diào)遞增，

所以。(0.1)>。(0)=0,即sinO.l-2x0.1>0,sin20.1>|x0.12,2sin20,1>0,01,

l-2sin20.1<0.99,

即6<0.99,所以6<c,故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,由C可知，0.98<cos0.2<e~0°i,即cvavb,故D正確.

故選：BD.

2

【分析】利用兩角和的余弦公式可求得cosa=(,進(jìn)而利用同角間的三角函數(shù)的關(guān)系可求

得tana.

答案第7頁，共17頁

2

【詳解】因?yàn)閟in(a-尸)sin/-cos(a-尸)cos〃=—§,

一一2

所以cos(a—B)cosP-sin(a-￡)sin分=§,

22

所以cos(a-/3+(3)=—,即coscr,

又因?yàn)閍e(0,兀)，所以sina=Jl-cos?a=,

叵

所以tana=X=3=好.

cosa22

3

故答案為：立.

2

13.5

【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)為尸，由題意可得NE"/=90。，即可求出答案.

22

【詳解】因?yàn)闄E圓上+匕=1,所以。=7,b=2",c=5,

4924

設(shè)左焦點(diǎn)為乙，右焦點(diǎn)、為F,連接。乂兩，

因?yàn)镹為血尸的中點(diǎn)，。為與歹的中點(diǎn)，|CW|=4,

所以閨M|=8,卜2a—8=14—8=6,但2=10,

所以/串小=90。，所以|OM|=g由司=5.

故答案為：5.

14.3

【分析】由于〃eN+，所以考慮從〃=1,開始討論，發(fā)現(xiàn)〃=1和〃=2時(shí)，都無法實(shí)現(xiàn)；當(dāng)

“=3時(shí)，有完成任務(wù)的策略，從而得出〃的最小值為3.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，肯定不行，因?yàn)樵诘谝淮螄L試下到第二行時(shí)，無論從哪里下去，都可

能碰到壞人；

答案第8頁，共17頁

當(dāng)〃=2時(shí)，也肯定不行.如果第一次從第一行下到第二行就碰到壞人了，

那么第一次嘗試得到的信息只有第二行以及壞人所在那一列的信息，

對(duì)第三行的信息是一無所知的，第三行除了第二行壞人所在那一列沒壞人都可能有壞人.所

以在第一次從第二行下到第三行時(shí)，無論從第二行的哪個(gè)位置下去，都可能碰到壞人，所以

2也不行.

當(dāng)〃=3時(shí)，是可以的.策略如下：

第一次嘗試用來確定第二行壞人的位置（從第二行的左邊一直向右走），

不妨令第二行壞人位置為（2,“）.

分兩種情況：

1.第二行壞人位置不在第1列或第2023歹IJ.

這種情況從。,1）下到（3,1）,從左往右走直至小如果走到“都沒碰到壞人，

那么從（3,"）一直向下走就到最后一行了.如果在w之前碰到壞人了，

那么第三次從至U（3,〃+l）,再至lj（3,〃），直著下去就行了.

2.第二行壞人位置在第1列或第2023歹!J.

不妨令壞人在第1歹U.之后的策略如下：從（L2023）下到（3,2023）之后一直向左走到（3,3）,

如果碰到壞人了，位置不妨設(shè)為（3,間（加＞2）,那么第三次從（1,2）到（3,2）,

再到（3,1）,直著下去就行了.

如果向左走到（3,3）一直沒碰到壞人，那壞人肯定在（3,2）,

之后從（3,3）回頭走到（3,2023）下到（4,2023）,一直向左走到（4,4）,

之后的處理方式與一直向左走到（3,3）相同，之后重復(fù)上述步驟……

如果這樣一直走到（2023,2023）都沒碰到壞人，

那么從（2023,2023）直接下到（2024,2023）就完成任務(wù)了.

故答案為：3

15.（1）98

（2）證明見解析

（3）證明見解析

答案第9頁，共17頁

【分析】(1)結(jié)合題設(shè)，直接求解即可；

(2)由題設(shè)可得，由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得2=3以;+D,再結(jié)合裂項(xiàng)相消法求證

即可；

(3)結(jié)合題設(shè)可得，bn+i-bn=a2n+l+a2n+2-an=6n+5,可得%〃討+%〃+2=為+6〃+5,進(jìn)而

求證即可.

【詳解】(1)由題可知<=%+%也=4+%+〃4也=。3+4+。5+=6，

則4-&=%+%+/=21+2,+2‘=98.

(2)證明：因?yàn)椋?/p>

(n+2n)(n+1)3n(ji+1)

所以4=%+an+\+L+a2n=〃+幾+1+L+2n=

22

則戶221__L

3n(n+1)3nn+1

1112<11111122

則r一+——+TL+—=—I1——+------+LT+—1--—<—

4瓦bn3223nn+1n+13.

22

(3)證明：由％=3〃2+2〃-1,b,1+l=3(n+1)+2(n+1)-1=3n+8/7+4,

又b“=an+an+x+L+a2n,則b1M=an+l+an+2+L+a2n+2,

則N+i-b”=02n+i+a2n+2-an=6〃+5,則a2n+1+a2n+2=an+6n+5.

因?yàn)閏.=a“-2〃+1,所以c2n+l+c2n+2=a2n+l-2(2n+1)+1+a2n+2-2(2?+2)+1

=a2n+l+a2n+2—8〃—4=Q〃+6九+5—8〃-4=Q〃-2〃+1=?

16.(l)”0.95,說明見解析，y=1.2x+0.4

⑵分布列見解析，E(X)=1,￡>(%)=-.

【分析】(1)求出］，將參考數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式，求出廠的值，即可得出結(jié)論；再將數(shù)

據(jù)代入最小二乘法公式，求出務(wù)、°的值，即可得出回歸直線方程；

(2)利用全概率公式求出每個(gè)人從2號(hào)門出校園的概率均為:，由此可知*~8(4,；1,利

用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量X的分布列，利用二項(xiàng)分布的期望、方差公式可得出E(X)、

D(X)的值.

答案第10頁，共17頁

【詳解】（1）依題意，x=-7-=3,而W>/=72,?>；=55,y=4,

5i=ii=i

5___

72-5x3x412_12

貝v=i=l

一5/、力行一59A/55-5X32A/95.86-5X42J158.612.59

i=lz=l

因?yàn)閞。0.95>0.75時(shí)線性相關(guān)程度高，所以>與x線性相關(guān)性很強(qiáng)，可以用線性回歸模型擬

合.

5____

、

^x;y,.-5xy

1=172-5x3x4

b=a==4-1.2x3=04>

和5；-5x—-255-5x3?

Z=1

因此，回歸方程為y=1.2x+0.4.

（2）記“甲從2號(hào)門出學(xué)?！睘槭录嗀,“甲從1號(hào)門進(jìn)學(xué)?！睘槭录?,

“甲從2號(hào)門進(jìn)學(xué)?！睘槭录﨏,“甲從3號(hào)門進(jìn)學(xué)?！睘槭录﨑,

由題意可得尸（2）=3，尸（C）=g，尸（°）=1

1o

P（A\B'）=P（A\D）=-,P（A|C）=-,

由全概率公式得：P（A）=P（BA+CA+DA）=P（5L4）+P（C4）+P（ZM）

=P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）+P（D）P（A|Z））=lxi+lx|+|xi=l

同理乙、丙、丁從2號(hào)門出學(xué)校的概率也為:'

X為4人中從2號(hào)門出學(xué)校的人數(shù)，則乂~314,；

27

尸（X=l）=C；

64

54=能WX=3）=C；

256IZo5審假

4

1

P（X=4）

256

故X的分布列為:

X01234

答案第11頁，共17頁

81272731

P

2566412864256

i133

E(X)=4x-=l,D(X)=4x-x-=-.

17.(1)7

6

⑵(1)叵；⑵n

2I2」

【分析】⑴根據(jù)正弦定理邊角化，結(jié)合正弦和角公式可得sinA=sinB(瓜inC+cosC),根據(jù)

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,化簡(jiǎn)可得tan8=3,即可求解，

(2)(i)在△BCD中，由余弦定理求解C￡?=77,進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式以及正弦定理得

.解得cosA=亙，進(jìn)而根據(jù)同角關(guān)系以及銳角三角函數(shù)求解，

smZBDCsmB7

(ii)在△BCD中由正弦定理———=￡2,得BO=2C￡>sin(￡-A1,在AACD中，

sin^BCDsinB13J

由銳角三角函數(shù)得AO=冬，進(jìn)而可得粵=2sinAsin[j-A],利用二倍角公式化簡(jiǎn)得

cos|^2A-^-1,即可根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】(1)由題意知°=2如11卜+胃=b(括sinC+cosC),

又由正弦定理得，一=上，所以sinA=sinB(底nC+cosC).

sinAsmB'7

又A+5+C=TI,所以A=TI—3—C,所以sinA=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=V3sinBsinC,

因?yàn)镃?0,完),所以sinC>0,所以tan3=#,

又因?yàn)??0,兀)，所以5

(2)(i)因?yàn)锽C=2G,3O=1,N3=工，

6

根據(jù)余弦定理得cr>2=BC2+5￡>2-2BC-3D-COSB=1+12-2x1x26x3=7,所以

2

答案第12頁，共17頁

CD=S,

因?yàn)镹BOC=]+A,所以sin/BOC=sin[]+Aj

=cosA,

后

在△3DC中，由正弦定理知，.BC〃=巨，巫一叵

即cosA-1，所以cosA=----

smZBDCsmB27

，故AC二叵，

進(jìn)而sinA=-cos2A=-j=，所以tanA=冬”=

473AC2

JI

(ii)因?yàn)锽=-,/ACO=-,所以/8。=/4。3—/48=兀一4一8——=——A,

6223

BD―,所以BO=2C￡>sin(色71-A〕；

在△5CD中，由正弦定理得

sin/3cZ)sinB(33J

又在△ACD中，AD=——；

sinA

所以

]_

2

因?yàn)镹5cz)＞0,所以A￡(0,g1,2A—三￡1一,所以cos(2A—，

所以黑的取值范圍是(0，4.

ADI2」

18.(1)答案見解析；

⑵(i)0＜〃z＜g；(ii)證明見解析.

【分析】(1)求導(dǎo)得/'(x)=如一一：+'”,再對(duì)加分根2；和。＜〃?＜；討論即可；

(2)(i)當(dāng)根時(shí)，顯然不會(huì)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)0＜根＜；時(shí)，求出/'。)=。的兩根，判斷

出的符號(hào)，利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在即可；

(ii)根據(jù)-Ax)得ac=l,貝|。+￡＞。+2。=。+2,最后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可

\xJma

證明.

【詳解】⑴/(%)的定義域?yàn)?。,+8),

“、111mx2-x+m

fM=m\1+——一=----2——.

\XJXX

當(dāng)加時(shí)，A=l-4m2＜0,所以如之一工+m20恒成立，

2

所以“X)在(0,+8)單調(diào)遞增；

答案第13頁，共17頁

當(dāng)。＜根時(shí)，A=l-4m2〉0,

2

所以/'（X）=0的兩根為為=1-a-4*＞=1+,1一而,

2m2m

且石+/='＞。,$%2=1＞0，所以。＜玉＜%2，

m

00

所以，xe（占,9）時(shí)，-0）＜0,工?0,%）或（%2,+）時(shí)，尸（x）＞0.

所以/（x）在&,9）上單調(diào)遞減，在（。，西）和（如”）單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)。＜相＜:時(shí)，/（玲在（上2仁±!匕J+4-4租］單調(diào)遞減,

22m2m

2

在101-Vl-4m^和11+J；-毋,+/單調(diào)遞增；

2m2m

\7\7

當(dāng)加？！時(shí)，y（x）在（o,+⑹單調(diào)遞增.

2

（2）（i）由（1）可知當(dāng)7772g時(shí)，/（X）在（0,+8）單調(diào)，

不可能有三個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0（租＜：時(shí)，f'（x）=0的兩根為占=一而,%=1+J1一而,

22m2m

且再+%2=,＞。,%%2=1＞0，所以0＜%vlv九2，且/（1）=0,

m

因?yàn)榱?。）在?,%2）上單調(diào)遞減，所以/（王）＞/（1）=。＞/（々），

因?yàn)?＜根＜:，所以1+,14”弁二］=J^__/+31nm,

2m32m2m2

26

］4233(3m—2)—4m

二--—m4+31nm,g'(ni)=----4m3H——=-------'------<0,

mmmm

g(㈤在［o，［上單調(diào)遞減，g(m)>gQj=^4-^j-31n2>3-31n2>0,

即所以孔€卜,,)吏/(c)=0.

答案第14頁，共17頁

所以，當(dāng)時(shí)，/(x)有三個(gè)零點(diǎn)“,6=l,c,

(ii)由⑴可知,/(x)的三個(gè)零點(diǎn)：ae(0,l),Z>=l,ce(l,+oo),

因?yàn)镠=且"a)="c)=O,所以公=1'

112

3^因。<根<-—>2,以CL~\c>Q+2?！?1~\—,

2mma

2

因?yàn)?。e(O,l),所以函數(shù)力(〃)=a+—單調(diào)遞減,Ka)>h(l)=3,

a

c2

所以QH——>a+2c=a+—>3=3b,得證.

ma

1*2+22丫2

19.⑴匕-一3=1(0>0,6>0)

(2)(i)[揚(yáng),加+媛)(ii)[1,+a))

【分析】(1)結(jié)合題意，可得旋轉(zhuǎn)過程中所有點(diǎn)的縱坐標(biāo))保持不變，將橫坐標(biāo)x替換點(diǎn)在

xOy平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)半徑V7T7,進(jìn)而求解即可；

(2)(i)分。4共面和小%異面兩種情況結(jié)合空間向量求解即可;

222

(ii)設(shè)4=(七石,屈)?=1,2,3,…,"),P=(x,z,y),易得+=4a\x+z_2L=1,

=?=0,進(jìn)而結(jié)合空間向量得到，可2”2—44”進(jìn)而轉(zhuǎn)化問題為

22

i=iz=li=\a+b

,換元，進(jìn)而求解即可.

22

【詳解】(I)將雙曲線C：1一當(dāng)=1(°>0,"0)繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周,

ab

在旋轉(zhuǎn)過程中所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)y保持不變，將橫坐標(biāo)x替換點(diǎn)在xOy平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)半徑

G+z2，

丫2+72V2

則雙曲面。的方程為土4-斗=