搶分秘籍10幾何圖形中的最值問題

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目錄

【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】幾何圖形中的單線段最值問題【題型二】幾何圖形中的面積

最值問題

【題型三】幾何圖形中將軍飲馬最值問題【題型四】幾何圖形中胡不歸

最值問題

【題型五】幾何圖形中阿氏圓最值問題【題型六】幾何圖形中瓜豆原

理最值問題

解密中考

考情分析：幾何圖形中的最值問題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)

容.每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х?

i.從考點(diǎn)頻率看，屬高頻考點(diǎn)，?，F(xiàn)于填空、選擇及解答壓軸題，多與三角形、四邊形、

圓結(jié)合，側(cè)重線段、面積最值.

2.從題型角度看，含線段最短（如將軍飲馬）、面積、周長最值，以幾何圖形動(dòng)態(tài)或函數(shù)關(guān)

聯(lián)形式呈現(xiàn)，需用軸對(duì)稱等轉(zhuǎn)化.

備考策略：在中考數(shù)學(xué)備考中，熟掌握軍飲馬、胡不歸等模型，強(qiáng)化動(dòng)態(tài)分析與轉(zhuǎn)化思

想，結(jié)合代數(shù)（二次函數(shù)）與幾何法，多練綜合題，總結(jié)通解通法.

6題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】幾何圖形中的單線段最值問題

【例1】（2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）

1.在口/BCD中，ZABC=45°,AB=10,8c=20,點(diǎn)尸為上一動(dòng)點(diǎn)，連接/P,貝U/P

長的最小值為.

試卷第1頁，共18頁

技I巧單線段最值解題技巧：先分析動(dòng)點(diǎn)軌跡（直線或圓）.若軌跡為

直線，用“垂線段最短”或軸對(duì)稱（如將軍飲馬模型）轉(zhuǎn)化；若為圓，利用“點(diǎn)圓距離”（定

點(diǎn)到圓心距離土半徑）.借助幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)等）或三角形三邊關(guān)系（兩邊和差）

確定最值位置，注意結(jié)合圖形動(dòng)態(tài)分析端點(diǎn)與臨界狀態(tài).

【例2】（2025?廣東韶關(guān)?一模）

2.如圖，在中，CA=4,CB=3,〃為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)“作

交◎于點(diǎn)。，MELCB交CB于點(diǎn)、E,則線段OE的最小值為.

【變式1］（2025?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)）

3.如圖，菱形中，點(diǎn)。為對(duì)角線3。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，且=

己知/3=2,BD=2^3.連接/尸，則月產(chǎn)的最小值為,最大值為.

【變式2］（2025?江蘇連云港?一模）

4.如圖，菱形/BCD中，4=60。，點(diǎn)E是A8邊上的點(diǎn)，AE=4,BE=8,點(diǎn)、F是BC上

的一點(diǎn)，AEGF是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，NEFG為30。角的直角三角形，連結(jié)/G,當(dāng)點(diǎn)尸在

直線8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段/G的最小值？

【變式3］（2025?安徽合肥?一模）

試卷第2頁，共18頁

5.如圖1,菱形48CZ)中，ZD=60°,48=4,點(diǎn)E,尸分別在邊4D上,

圖1圖2

(1)求證：ABEC知AFC；

(2)求研的最小值；

(3)如圖2,線段所的中點(diǎn)是點(diǎn)。，連接08,OD,求四邊形。88的面積.

【題型二】幾何圖形中的面積最值問題

【例1](新考法，拓視野)(2024?陜西西安?一模)

6.【問題提出】

(1)如圖1,已知在邊長為5的等邊△NBC中，點(diǎn)。在邊8C上，8￡>=3,連接4),貝L/C。

的面積為二

【問題探究】

(2)如圖2,已知在邊長為6的正方形/BCD中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)尸在邊CZ)上，且

ZEAF=45°,若EF=5,求尸的面積；

【問題解決】

(3)如圖3是某座城市廷康大道的一部分，因自來水搶修在/8=4米，40=46米的矩

形48CZ)區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)△工￡廠的工作面，其中8、尸分別在3C、CD邊上(不與8、C、

。重合)，且乙￡4尸=60。，為了減少對(duì)該路段的擁堵影響，要求△/斯面積最小，那么是否

存在一個(gè)面積最小的△/￡尸？若存在，請(qǐng)求出△/￡/面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

試卷第3頁，共18頁

面積最值解題技巧：先固定底或高，將問題轉(zhuǎn)化為單線段最值

（如高的最值）；或設(shè)變量建立二次函數(shù)模型，利用頂點(diǎn)式求極值；動(dòng)態(tài)問題中分析動(dòng)點(diǎn)

軌跡，結(jié)合幾何性質(zhì)（如平行線間距離不變）判斷最值位置；還可利用三角函數(shù)表達(dá)面積

（如S=gabsind）,通過角度或邊長最值求解，注意定義域與圖形臨界狀態(tài).

【例2】（新考法，拓視野）（2024?陜西咸陽?一模）

7.問題提出:

（1）如圖①，的半徑為4,弦/8=46，則點(diǎn)。到的距離是.

問題探究：

（2）如圖②，。。的半徑為5,點(diǎn)3、C都在。。上，48=6,求面積的最大值.

問題解決：

（3）如圖③，是一■圓形景觀區(qū)不意圖，。。的直徑為60m,等邊A/BP的邊是。。的弦,

頂點(diǎn)P在。。內(nèi)，延長/產(chǎn)交。。于點(diǎn)C,延長AP交。。于點(diǎn)。，連接CD.現(xiàn)準(zhǔn)備在AP/5

和△尸CD區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域?yàn)椴萜?按照預(yù)算，草坪的面積盡可能大，求草

坪的最大面積.（提示：花卉種植面積盡可能小，即花卉種植面積（S,B+S/CD）的最小值）

【變式1］（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）

8.如圖，在矩形4BCD中，AB=3,8C=4,點(diǎn)尸為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接/P交對(duì)角線8。

于點(diǎn)￡,過點(diǎn)￡作即，4P,EF交BC于點(diǎn)、F,連接力尸交2。于點(diǎn)G,在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程

中，AZEG面積的最小值為.

試卷第4頁，共18頁

【變式1］（2025?安徽?二模）

9.如圖，在中，ZC=90°,tan/4BC=1■，點(diǎn)。是2C邊上一點(diǎn)，連接D4,已

知D8=￡M=3,點(diǎn)E是射線D4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段。3上一點(diǎn)，且/DEE=45。，

連接BE.

（1）DC=；

（2）△BE廠的面積最大值為.

【變式3］（2025?陜西西安?三模）

10.（1）問題提出：如圖①，在平行四邊形48CD中，4B=16,AD=12.E,”分別是

AD,的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在。C上，且=10,44=60。，點(diǎn)G在8c上，且8G=4,求四

邊形E/G”的面積（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）問題解決：如圖②，某市有一塊五邊形空地/BCDE,現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)部修建一個(gè)四

邊形公園。尸兒W,使點(diǎn)。，P,M,N分別在邊8C,CD,AE,AB上，且滿足/N=CP,

AM=OC.已知在五邊形ABCDE中,NBAE=Z.B=Z.BCD=90°,AB=AE=600m,

5C=1000m,CD=400m,為使游客更好的放松游玩，公園。尸九W的邊〃尸〃NC,且面

積盡可能大.請(qǐng)問是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最大的四邊形OPMN?若存在，求出四邊

形OP兒W面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)N的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

試卷第5頁，共18頁

【題型三】幾何圖形中將軍飲馬最值問題

【例1】（2025?廣東?模擬預(yù)測(cè)）

11.如圖，正方形/BCD的邊長為4,點(diǎn)￡在/8上，且/E=l,P是對(duì)角線AD上一動(dòng)點(diǎn),

則4AEP周長的最小值為.

試卷第6頁，共18頁

將軍飲馬模型:

模型（1）:兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)

條件：A,B為定點(diǎn),在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小.

兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)（圖1-2）；兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）

圖1-1圖1-1圖1-1圖2

模型（2）：一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)

條件：如圖2,A為定點(diǎn),在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使三角形APQ的周長

(AP+PQ+QA)最小.

H

?n

.

3"H'

圖1-1圖1-1圖1-1圖2

模型（1-1）（兩點(diǎn)都在直線外側(cè)型）

如圖（1-1）,連結(jié)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段N2的

長度.

試卷第7頁，共18頁

模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型）

如圖（1-2）,作點(diǎn)8關(guān)于定直線"的對(duì)稱點(diǎn)二，連結(jié)/夕，根據(jù)對(duì)稱得到：QB=QB，,故

PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，P/+PQ+Q2的最小值即為：線段/夕的長度.

模型（1-3）（兩點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型）

如圖（1-3）,作點(diǎn)8關(guān)于定直線〃的對(duì)稱點(diǎn)8，，作點(diǎn)/關(guān)于定直線%的對(duì)稱點(diǎn)/，，連結(jié)

AB,

根據(jù)對(duì)稱得至lj：QB=QB',PA=PA',?PA+PQ+QB=PA'+PQ+QB\

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，P/+PQ+Q3的最小值即為：線段/'8'的長度.

模型（2）：如圖（2）,作點(diǎn)N分別關(guān)于定直線加、〃的對(duì)稱點(diǎn)/'、/’‘，連結(jié)/方，

根據(jù)對(duì)稱得至U：QA=QAPA=PA：PA+PQ+QA=PA''+PQ+QA

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短“，得至UP4+P0+。/的最小值即為：線段NN”的長度.

將軍遛馬模型：已知/、2是兩個(gè)定點(diǎn)，P、。是直線”上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在。的左側(cè)，

且尸。間長度恒定，在直線加上要求P、0兩點(diǎn)，使得P/+PQ+Q8的值最小.

點(diǎn)/、5在直線加異側(cè)（圖1-1）；點(diǎn)/、8在直線加同側(cè)（圖1-2）；

r蝴.Tjn

I〃Q

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1,過N點(diǎn)作NC||加，且NC=PQ,連接8C,交直線加

于0,。向左平移PQ長，即為P點(diǎn)，此時(shí)尸、。即為所求的點(diǎn).

”0為定值，.??求尸/+尸0+。2的最小值，即求P/+02的最小值+尸0.

■■AC\\m,AC=PQ,得到四邊形/PQC為平行四邊形，故/P=QC.；.刃+。3=0。+。2,

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得尸Z+02的最小值為C2,故尸N+PQ+Q5的最小值

=PQ+CB.

試卷第8頁，共18頁

H

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2,過/點(diǎn)作/磯小，5.AE=PQ,作2關(guān)于加的對(duì)稱點(diǎn)

BL連接夕E,交直線％于。，。向左平移尸。長，即為P點(diǎn)，此時(shí)尸、0即為所求的點(diǎn).

■■PQ為定值，二求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+P。.

■.■AE\\m,AE=PQ,得到四邊形/P0E為平行四邊形，故AP=QE.；.PA+QB=QE+QB,

根據(jù)對(duì)稱，可得QB=QB,即QE+QB=QE+QB,,

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得。的最小值為班'，故PN+PQ+Q8的最小值

=PQ+EB\

將軍造橋（過橋）模型：已知，如圖2,將軍在圖中點(diǎn)/處，現(xiàn)要過河去往3點(diǎn)的軍營，

橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：/M+JW+AW的值最?。?

圖2-1圖2-2

將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2,過/點(diǎn)作4TIIMN,且4T=MN,連接48,

■：AA^MN,且44'=AW.?.四邊形NP0c為平行四邊形，故

,?山W為定值，，求M/+如V+NS的最小值，即求NA/+NS的最小值+MV.

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短“，可得/"+N3的最小值為43,故的最小值

=A,B+MN.

【例2】（2025,陜西榆林—一■模）

12.如圖，在菱形/BCD中，AB=5,BD=8,點(diǎn)、E,尸在RD上，連接CF.若

EF=2,則AE+CF的最小值為.

試卷第9頁，共18頁

AD

【變式1］（2025?山東濱州?一模）

13.如圖，在矩形ABCZ）中，4B=CD=EF=4,點(diǎn)E,尸是對(duì)角線AD上的兩點(diǎn),

NCBD=30。，點(diǎn)6是8。的中點(diǎn)，則GE+AF的最小值為.

【變式2］（2025?陜西?模擬預(yù)測(cè)）

14.如圖，點(diǎn)P為矩形48。內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸GLCD,垂足為G,連接/尸、BP,若

AD=4,AB=6,則PG+H1+P3的最小值為.

【變式3］（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）

15.問題提出

（1）如圖1,△4BC中，/C=90o,/C=3C=3,￡是的中點(diǎn)，尸是2C邊上的一動(dòng)點(diǎn),

則PA+PE的最小值為；

B

問題探究

（2）如圖2,在平行四邊形/BCD中，AB=6,AD=2,ZBAD=60°,E,尸是CD邊上的動(dòng)

點(diǎn)，且收=1,則NE+2廠的最小值是多少？

試卷第10頁，共18頁

FC

AB

圖2

問題解決

（3）如圖3是夾角為30。的港灣（N〃ON=30。），ON岸上有一個(gè)碼頭A,灣內(nèi)有個(gè)小島

8,04=2000m,小島3與■的距離為500m,與ON的距離為2000m.現(xiàn)擬在（W,ON岸

上設(shè)置C,D,E三處游客接駁點(diǎn)，點(diǎn)C在上，點(diǎn)在次上，且為了游客方便及安全,

D,E之間的距離為1000m,客船從碼頭A出發(fā)，沿/C-CD-。E-E8前行，最終到達(dá)小

島B,請(qǐng)問，根據(jù)兩岸接駁點(diǎn)的安排，是否存在最短的運(yùn)輸路線？若存在，請(qǐng)求出最短運(yùn)輸

圖3

【題型四】幾何圖形中胡不歸最值問題

【例1】（2025?黑龍江佳木斯?一模）

16.如圖，平行四邊形/BCD中，ZDAB=60°,AB=8,BC=2,尸為邊。上的一動(dòng)點(diǎn),

一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V”在直線MN上運(yùn)動(dòng)

的速度為V2,且Vi<V2,A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使+

，2V\

的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）.

試卷第11頁，共18頁

<T/44i

W-----------V--------K

1）+器，記％=K~，即求BC+后4C的最小值.

，2，1匕I，2）”2

2）構(gòu)造射線AD使得sin^DAN=k,g=k,CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

AC/

3）過B點(diǎn)作BHLAD交MN于點(diǎn)、C,交AD于H點(diǎn)、,此時(shí)2C+CH取到最小值，即3C+M

最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“尸/+狂E'的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與狂方相等的線段，

將“P/+狂的，型問題轉(zhuǎn)化為“P/+PC理.（若左＞1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決

即可）.

【最值原理】垂線段最短.

【例2】

17.如圖，△/SC中，AB=4C=1Q,ZA=45°,AD是△4BC的邊/C上的高，點(diǎn)P是AD

上動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)BP+C尸的最小值是

2

【變式1]（2024?河南漠河?一模）

18.如圖，在矩形/BCD中，AD=6y/3,AB=6,對(duì)角線NC,3D相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線

試卷第12頁，共18頁

段NC上，且NE=4,點(diǎn)尸為線段8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則跖+下的最小值為

2

【變式2](2024?廣東廣州?二模)

19.如圖，在菱形N8CD中，ZDAB=60°,/5=4,點(diǎn)￡為線段2C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，邊AB關(guān)

于/￡對(duì)稱的線段為4尸，連接。尸.

⑴當(dāng)/月平分時(shí)，NB4E的度數(shù)為.

(2)延長。尸，交射線4E于點(diǎn)G,當(dāng)BE=2時(shí)，求/G的長.

(3)連接NC,點(diǎn)〃為線段/C上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)/,C重合)，ABE=aCH,求DE+也DH

的最小值.

【變式3](2024?廣東廣州?一模)

20.如圖，在矩形48cD和矩形/GFE中，4)=4,AE=2,AB=^AD,AG=^AE.矩

形/GFE繞著點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，連接5G,CF,AC,AF.

⑴求證：AABGSDCF；

(2)當(dāng)CE的長度最大時(shí)，

①求8G的長度；

②在AACF內(nèi)是否存在一點(diǎn)尸，使得CP+AP+43PF的值最小?若存在，求CP+/P+也PF

的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

試卷第13頁，共18頁

【題型五】幾何圖形中阿氏圓最值問題

【例1】（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）

21.如圖，已知正方N8CD的邊長為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)尸是圓8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（即：平面上兩點(diǎn)/、B,動(dòng)點(diǎn)P

滿足PA/PB=k（k為常數(shù),且原1））,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘

數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓.

如圖1所示，O。的半徑為心點(diǎn)/、5都在。。外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，已知尸左。5

OP

（即==后），連接加、PB,貝U當(dāng)“的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？最小

值是多少呢？

試卷第14頁，共18頁

如圖2,在線段上截取0c使OC="（即而=左），???麗=左，.?.布=萬萬，

PC

.:乙POC=ABOP,:ZOCFBOP,：.—=k,gpk-PB=PC.

PB

故本題求“加+六必”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“尸/+PC'的最小值.

其中與/與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)N、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“P/+PC，值最小，如圖3

所示.

阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬

型求最值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似.

阿氏圓最值問題常見考法：點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）;點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（弟

數(shù)大于1）;一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等.

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了％刊+心”最

值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問

題

【例2】（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）

22.如圖，矩形48C。中48=8,AD=6,點(diǎn)￡是矩形內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EB=4,

連接CE,則?！?三分之二CE的最小值為（）

c2623人

A.8B.—C.—D.9

33

【變式1］（2024?廣東??？级＃?/p>

23.（1）初步研究：如圖1,在△尸/2中，已知P/=2,AB=4,Q為上一點(diǎn)且/0=1,證

明：PB=2PQ；

（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2,已知正方形/BCD的邊長為4,ON的半徑為2,點(diǎn)P是ON上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC+PB的最小值；

（3）拓展推廣：如圖3,已知菱形48CD的邊長為4,乙4=60。，的半徑為2,點(diǎn)P是

QA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC-PB的最大值.

試卷第15頁，共18頁

D

DC

【題型六】幾何圖形中瓜豆原理最值問題

【例1】（2024?四川達(dá)州一模）

24.如圖，在矩形/BCD中，4B=4,BC=5拒,點(diǎn)P在線段8c上運(yùn)動(dòng)（含B,C兩點(diǎn)）,

連接/P,以點(diǎn)/為中心，將線段/P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到“。，連接則線段。。的最小

技I巧瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角,

則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同.

主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線一上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆

的軌跡也是圓.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

條件：1）如圖，P是直線5C上一動(dòng)點(diǎn)，連接NP,取4P中點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)P在2C上運(yùn)動(dòng)

結(jié)論：當(dāng)尸點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，。點(diǎn)軌跡也是一條直線.

證明：分別過N、0向8c作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動(dòng)過程中,

因?yàn)镹P=2/Q,所以QN始終為的一半，即。點(diǎn)到2C的距離是定值，故。點(diǎn)軌跡是

試卷第16頁，共18頁

一條直線.

條件：2）如圖，在A4PQ中/P=N0,乙"。為定值，當(dāng)點(diǎn)尸在直線3c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求。

點(diǎn)軌跡？

結(jié)論：當(dāng)/尸與/。夾角固定且/尸：為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形.

證明：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的。點(diǎn)的位置，連線即可，

比如。點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得。點(diǎn)軌跡線段.

解題策略：1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；

2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下四種方法進(jìn)行確定：

①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連

接后的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，

該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函

數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法都不合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為

其他已知軌跡的線段求值.

[例2]（2024?四川瀘州?二模）

25.如圖，正方形的邊長為5,以C為圓心，2為半徑作OC,點(diǎn)尸為。。上的動(dòng)點(diǎn),

連接AP,并將AP繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到5P,連接CP,在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，CP'

長度的最大值是.

D

B\CJ

【變式11（24-25九年級(jí)上?湖北荊州?期中）

26.在矩形中，48=6,點(diǎn)E在上，點(diǎn)尸在平面內(nèi)，BE=2,EF=3,連按/尸，

試卷第17頁，共18頁

將線段4尸繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP,則線段PE的最大值為.

【變式2］（24-25九年級(jí)下?河南信陽?開學(xué)考試）

27.如圖，已知正方形/8CZ）的邊長為2,另一邊長為逝的正方形EFGH的中心與點(diǎn)A重

合，連接C￡,設(shè)CE的中點(diǎn)為連接DM,當(dāng)正方形￡尸6"繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，。河的最小

值為,最大值為.

試卷第18頁，共18頁

1.5亞

【分析】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，作

于點(diǎn)￡,則N/E8=90。，因?yàn)?8c=45。，所以=//8C=45。，則=由

AB=J/爐+BE?=6,AE=10，求得/￡=5&，則/尸25近，所以/尸長的最小值為

5母,于是得到問題的答案.

【詳解】解：作8c于點(diǎn)￡,則N/EB=90。，

ZABC=45°,

ZEAB=ZABC=45°,

*'?AE=BE,

"AB=y]AE2+BE2=C4E=10，

???AE=572,

???AP>AE,

■■AP>572,

???/P長的最小值為50，

故答案為：572.

2.*

5

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短及勾股定理等知識(shí)，把求。E的最小值

轉(zhuǎn)化為求CM的最小值是解題的關(guān)鍵；連接CM；易得四邊形DMCE是矩形，則。E=CW,

當(dāng)功，加時(shí)，CM最小，從而。E最小；利用面積相等即可求得CW的最小值，從而求得

OE的最小值.

【詳解】解：如圖，連接CM；

■:ACLBC,MD±CA,ME±CB,

.??四邊形DWCE是矩形，

:.DE=CM；

當(dāng)CM1現(xiàn)時(shí)，CM最小，從而DE最??；

由勾股定理得：AB=>]AC2+BC2=5-

答案第1頁，共40頁

S人4^-ACBC=-AB-CM,

LXAoLry22

ACBC12

.-.CM=

ABT

V3+l##l+V3

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得。/=1,當(dāng)

點(diǎn)P,點(diǎn)A,點(diǎn)。在同一直線上時(shí)，/P有最小值或最大值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：連接NC,

???點(diǎn)。為對(duì)角線的中點(diǎn)，

■■■AC經(jīng)過點(diǎn)O,

?.?菱形/BCD,

???AC.LBD,BO=—BD=-s/3,

2

???AB=2,

?1?OA=siAB2+BO2=b

■:0P=-BD=y/3,

2

???點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心，長度為名的。。，

???當(dāng)點(diǎn)P,點(diǎn)A,點(diǎn)。在同一直線上時(shí)，4P有最小值或最大值,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A上方時(shí)，/P有最小值為6-1；

答案第2頁，共40頁

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)A下方時(shí)，4尸有最大值為6+1；

故答案為：^3-1;V3+1.

4.2A/3

【分析】過點(diǎn)￡作EW，8c于點(diǎn)作■，/2于點(diǎn)作于點(diǎn)P,點(diǎn)

E、M、F、G四點(diǎn)共圓，四邊形必￡4尸是矩形，MH=AP,EM=BE-css3Q0=46

AG>AP=243,由此即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)E作瓦1/L8C于點(diǎn)作于點(diǎn)“，作4PLGM于點(diǎn)尸,

?;NEMF+NEGF=180°,

NEMG=ZEFG=30°,

NB=60°,

NBEM=30°=NEMG,

:.MG\\AB,

四邊形尸是矩形，=/尸，

BE=8,

:.EM=BE<0S30。=4仆,

:.MH=LEM=2C=AP,

2

:.AG2AP=2^,

的最小值為26.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，含30度角的直角三

角形的性質(zhì)，特殊角的直角三角形的計(jì)算，圓的基礎(chǔ)知識(shí)，理解垂線段最短的計(jì)算方法，合

理作出輔助線是關(guān)鍵.

5.(1)見解析

答案第3頁，共40頁

(2)2>/3

⑶S四邊形OBCD=66

【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，三

角函數(shù)，

(1)由=AE=DF,所以8￡=/尸.因?yàn)?8。是菱形，且乙0=60。，所以A/BC

與A/CD都是正三角形，從而8C=NC,ZCBE=ZCAF,故ABEC為AFC.

(2)解:過E作延長線的垂線，交于點(diǎn)Q，設(shè)N￡=2”，則4F=4-。b=4-2°,根

據(jù)勾股定理，得EF=2,("1)2+3,所以當(dāng)”=1時(shí)，即有最小值為2?.

(3)解：方法一：過點(diǎn)。作邊BC的垂線，交BC與點(diǎn)、M,交/。于點(diǎn)N.再過點(diǎn)E向邊4D

所在的直線作垂線，交AD的延長線于點(diǎn)設(shè)AE=DF=2a,則8￡=/尸=4-2。，可得

四邊形03CD的面積.方法二：取NE中點(diǎn)G,連接。G,過G作GHL8C于“，得

GH=BGxsin600=^-{BE+GE)=^-[BE+^EA^,求出SMBC,SMCD，可得四邊形OBCD

的面積.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是菱形，ND=60。

；.AB=AD=BC=CD,NB=60°,

：.LABC與“CD都是正三角形，

:.BC=AC,NCBE=NCAF,

■■AE=DF

BE=AF,

??.八BEC訃AFC；

(2)解：過E作D4延長線的垂線，交于點(diǎn)夕，設(shè)NE=2”，則4F=4-。尸=4-2。.

???AAEE'=30°,

AE'=a,EE'=V3a,

：.E'F=AE'+AF=4-a.

在中，據(jù)勾股定理，得

EF=?4_a『="。2一8。+16

答案第4頁，共40頁

=+3,

.?.當(dāng)a=1時(shí),EF有最小值為2V3.

:

BC

（3）解：方法一：過點(diǎn)。作邊8c的垂線，交BC于點(diǎn)M,交4D于點(diǎn)N.再過點(diǎn)E向邊AD

所在的直線作垂線，交的延長線于點(diǎn)E'.設(shè)/'=2。，貝="斤=4一2。，

???線段E尸的中點(diǎn)是點(diǎn)。，

1h

■■ON=-EE'=—a.

22

p'ANF

M。

故OM=MN-ON=4xB-顯a=2C-昱a.

222

過點(diǎn)。作邊CD的垂線，交CD于點(diǎn)、P.

同理可得。尸3+%，

四邊形03CD的面積S=、4xOAf+Lx4xOP=6道.

一22

方法二：取/E中點(diǎn)G,連接。G,過G作G”,3c于8

/_F_八

BHC

則GH=BGxsin60°=^-（BE+GE）=^^BE+^EA^,

VOG\\BC,

所以%BC=：5CXG打=94*]]昭+卜“=6（皮？4￡4

答案第5頁，共40頁

???SmoBCD=S'OBC+SA℃D=6xm(NE+8E)=浮Ng=孚X4=6人?

6.(1)孚；(2)15；(3)96-4873

【分析】(1)如圖所示，過點(diǎn)/作/EL8C于E,利用等邊三角形的性質(zhì)得到

AC=BC=5,CE=58C=：,再利用勾股定理得到=即可利用/兵＞=14￡?CZ)

2222

求出答案；

(2)如圖所示，延長即到G使得BG=。尸，連接/G,證明A4BG0A4D尸(SAS),得到

AG=AF,ZDAF=ZBAG,再證明A/E72A/EG(SAS),得到EG=EF=5,SAAEF=SAAEG,

則SAAEF=SAAEG=^AB.EG=15;

(3)把△/￡?尸繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。并把邊長縮小為原來的得到A/BG,則

3

同

AG^—AF,/E4G=90。，/E/G=30。；過點(diǎn)￡作9，比7于M,作EN，/尸于N,

3

則四邊形/MEN是矩形，則ME=4N,解直角三角形得到旌=/N=立竺，進(jìn)而得到

3

S-AG-ME[

手跡=--------=可，即S△@=3s，則當(dāng)"EG的面積最小時(shí),AAEF的面積最??；

'△但-AF-NE3

2

如圖所示，作△/EG的外接圓，圓心為。，連接04OG,OE,過點(diǎn)。作O〃_LEG于〃,

設(shè)OG=OA=OE=r,由圓周角定理得到NGOE=2NGAE=60°,則NGOH=ZEOH=30°,

推出立。G=3r,GE=2GH=r,由于%數(shù)〃==2GE=2廠，則當(dāng)r最小

222

時(shí)，A/EG的面積最小，故當(dāng)/、。、〃三點(diǎn)共線時(shí)，「有最小值，最小值為16-86，則

⑸弼)最小值=3(以前)最小值=3x2x(16-84)=96-486,即存在一個(gè)面積最小的A4EF,

其最小值為96-486.

【詳解】解：(1)如圖所示，過點(diǎn)工作/E，8c于E,

???△/3C是邊長為5的等邊三角形，

.../C=BC=5,CE=LBC=3,

22

答案第6頁，共40頁

???AE=YJAC2-CE2=—,

2

???BD=3,

??.CD=BC-BD=2,

???S/\ACD=^AECD=;

A

:

/a\

//iai\\

//3；i\\

REDC

圖1

（2）如圖所示，延長班到G使得BG=Z>/，連接4G,

???四邊形45CD是正方形，

??.AB=AD,ZD=NABG=ZBAD=90°,

.-.^ABG^ADF（SAS）,

??.AG=AF,/DAF=/BAG,

vZ￡^F=45°,

???/BAE+ZDAF=/BAD-ZEAF=45°,

/BAG+NBAE=45。,

："EAG=/EAF=45。,

又???AE=AE,

.?.△/E7%/￡G（SAS）,

???EG=EF=5,S^AEF=S4AEG，

又?：AB=6,

S^AEF=SAAEG=~?EG=15;

答案第7頁，共40頁

(3)把方繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。并把邊長縮小為原來的立，得到A/BG,

3

-AG=—AF,ZFAG=90°,

3

???ZEAF=60°,

???Z&4G=30。,

過點(diǎn)E作力G于〃，作ENL4F于N,則四邊形/“石N是矩形,

：,ME=AN,

也NE

：?ME=AN=———

tanNEAN3

&-AG-ME,

3

S叢AEF-AF-NE

2

^AAEF=3s4AEG，

???當(dāng)A/EG的面積最小時(shí)，△/砂的面積最小；

如圖所示，作A/EG的外接圓，圓心為O,連接04OG,OE,過點(diǎn)。作QHLEG于

^OG=OA=OE=r,

???/GOE=2/GAE=60。,

:?NGOH=ZEOH=30°,

：.OH=—OG=—r,GE=2GH=r,

22

■.-SAAGE=^GE-AB=2GE=2r,

，當(dāng)r最小時(shí),△ZEG的面積最小，

-OA+OH>ABf

V3

???rH--r>4,

2

*'?r>16—8,

???當(dāng)4、。、7/三點(diǎn)共線時(shí)，廠有最小值，最小值為16-86,

???區(qū)四)最小值=3電.)最小值=3x2x(16-873)=96-4873,

工存在一個(gè)面積最小的△，昉，其最小值為96-486.

答案第8頁，共40頁

7/

GBHE

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性

質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，通過作

出輔助線構(gòu)造直角三角形，全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.(1)2；(2)27；(3)(900^-45073

【分析】（1）作交4B于點(diǎn)C,連接04,由垂徑定理可知4C=8c=2百，利用勾

股定理即可求出答案；

（2）作CD交48于點(diǎn)。，連接CM,使△4BC面積最大，則應(yīng)最大，即當(dāng)CD經(jīng)

過圓心。的時(shí)候取值最大，由垂徑定理以及勾股定理求出。。=4,得到CD=9,即可求出

答案；

（3）設(shè)48=無，則CP=4C-x,證明△產(chǎn)口）是等邊三角形，進(jìn)一步得到

有最小值，此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，則NC是。。的直徑，求出品W+SAQ的最

小值為450Gm2，用圓面積減去SAPAB+SAPCD的最小值即可得到答案.

【詳解】（1）解：作OCU/B交”于點(diǎn)C,連接。4,

圖①

AB=4y/3,

由垂徑定理可知：AC=BC=2小,

OA=4f

答案第9頁，共40頁

OC=^OA2-AC2=J42_（26丫=2；

即點(diǎn)。到42的距離是2,

故答案為：2

（2）作CDL48交于點(diǎn)。，連接CM,

?：AB=6,若使ZUSC面積最大，則。應(yīng)最大，

???當(dāng)CA經(jīng)過圓心O的時(shí)候取值最大，

由垂徑定理可知：AD=BD=3,

?1-0A=5=0C,

■■OD=ylOA2-AD2=4，

.■.CD=OC+OD=9,

:.S“BC=；x6x9=27,

即/\ABC面積的最大值為27.

（3）設(shè)=則CP=ZC-x,

AABP是等邊三角形，

AB=BP=AP,AA=ZABP=60°,

ZC=AABP=60°,ND=NA=60°,

??.△PC。是等邊三角形，

cc626s、2也（1V3_2

?，,S^PAB+S^PCD=~7~x+丁（4C-X）=丁X一不力C+~Q~AC'

二當(dāng)x=g/C時(shí)，S,B+S.CD有最小值，

AB=AP=PC,

??.DP=BP,

???此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)o重合，則zc是oo的直徑，

答案第10頁，共40頁

/.AB=AP=AC=60cm

此時(shí)S1MB+S/s=fx602=450有(m?),即s2AB+SAPCD的最小值為450Gm?,

.潭坪的最大面積為萬x302_4506=(go。萬_45073)m2.

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定

和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【分析】由勾股定理得，AD=^BC2+CD2=5-由N/E尸+乙48c=180。，可知4B、F、E

四點(diǎn)共圓，則NEBF=NE4F,如圖，作△/EG的外接圓。。，過A作/〃_L5D于"，過

1112

O作OAf_LBZ)于A1,連接?！?、OG,由S”皿,可求加/=不，

由談=踵，可得/GOM+/EOM=2/EAG,則/GOM=NEOM=NE4G=/EBF,

tanZ.GOM=——=tanZ.EBF=—,設(shè)GAf=3加，則QVf=4加，GE=6m,由勾股定

GMBC4

_________12

理得，OA=OG=^GM2+OM2=5m，由O/+OMN/7/,可得5加+4加之不，可求

AQ11Q1Q

m>—,則GE=6加21,根據(jù)S“EG=5GEX/H25X)XM，求解作答即可.

【詳解】解：?.?矩形-CD,

：.CD=AB=3,AD=BC=4,

由勾股定理得，AD=^BC2+CD2=5，

???ZAEF=90°=ZABC,

ZAEF+ZABC=180°,

.?.4B、F、E四點(diǎn)共圓，

???ZEBF=ZEAF,

如圖，作a/EG的外接圓。。，過A作于H,過。作于M,連接

OE、OG,

答案第11頁，共40頁

D

BF

■■S,ABD=^BDXAH=^ABXAD,即:x5x/〃