期末復(fù)習(xí)必考解答壓軸題（20大題型）

【北師大版】

＞題型梳理

【題型1等腰三角形中的動點問題】.............................................................1

【題型2等腰三角形中的最值問題】...........................................................12

【題型3等腰三角形中的存在性問題】.........................................................24

【題型4勾股定理在網(wǎng)格中的運用】...........................................................34

【題型5勾股定理在折疊問題中的運用】.......................................................40

【題型6由勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題】...................................................55

【題型7由勾股定理求最短距離】.............................................................63

【題型8求一元一次不等式（組）中參數(shù)】.....................................................69

【題型9解特殊不等式組】....................................................................76

【題型10一元一次不等式（組）的應(yīng)用】.......................................................81

【題型11利用幾何變換設(shè)計圖案】.............................................................86

【題型12利用拆項或添項進行因式分解】.......................................................90

【題型13因式分解的應(yīng)用】....................................................................94

【題型14利用分式性質(zhì)求值問題】.............................................................100

【題型15與分式有關(guān)的材料題】...............................................................105

【題型16由分式方程解的情況求值】..........................................................112

【題型17分式方程的實際應(yīng)用】...............................................................118

【題型18與平行四邊形有關(guān)的證明或求值】....................................................123

【題型19與平行四邊形有關(guān)的線段或角度探究問題】............................................135

【題型20與平行四邊形有關(guān)的多解問題】......................................................146

?舉一反三

【題型1等腰三角形中的動點問題】

【例1】(24-25八年級?河北石家莊?期末)如圖，在△A8C中，^BAC=90°,AB=AC=6,點尸從點g

出發(fā)沿BC移動，運動到C時停止，點。在力C邊上隨尸移動，且始終保持N4PQ=NB.

B

備用圖

⑴在△4BC中，BC=Z.B=

(2)點尸在邊BC上運動,

①當(dāng)NBAP=15。時，乙QPC=_°,^AQP=_°

②當(dāng)PC=6時，判斷BP與CQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

③當(dāng)△CPQ為等腰三角形時，直接寫出AQ的長.

【答案】(1)672,45

(2)①15,60；@BP=CQ,理由見解析；③12—6魚或3

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)及分類等知識，解決問題的關(guān)鍵

是分類討論.

(1)根據(jù)勾股定理求得8C,根據(jù)“等角對等邊”得出NB的值;

(2)①木艮據(jù)NB4P+N4PB=180°—NB,AAPB+AQPC=180°-^APQ,NB=N4PQ得出

AQPC=ABAP=15°,進一步得出結(jié)果;

②可證得aaBP三△PCQ(ASA),從而得出BP=CQ；

③分三種情形討論：當(dāng)4P=PQ時，可推出△力BP三△PCQ(AAS),從而得出CP=4B=6,

CQ=BP=BC-CP=6y/2-6,進一步得出結(jié)果；當(dāng)AQ=PQ時，可得出乙4QP=90。，進一步得出結(jié)果:

當(dāng)4P=AQ時，點0和點。重合，點P和2點重合，故此種情況不存在.

【詳解】(1)解：,.2B4C=90。，AB=AC=6,

180°-^BAC1800-90°

.'.BC=V62+62=6V2,Z.5=zC==45°,

22

故答案為：6Vz45；

(2)解：@-/.BAP+/.APB180°-ZB,/.APB+^QPC=180°-/.APQ,乙B=AAPQ,

??."PC=乙BAP=15°,

???"QP="+“PC,Z-C=45°,

.-.Z.AQP=45°+15°=60°,

故答案為：15,60；

②BP=CQ,理由如下：

由①知，(QPC=(BAP,

■:PC—AB-6,4B-Z.C,

:.AABP=APCQ(ASA),

■■BP=CQ；

③分以下三種情況：

如圖，

由②知，乙B=C,Z.BAP=Z.QPC,

A^P=APCQ(AAS),

-，CP=48=6,CQ=BP=BC-CP=6五一6,

.?.CQ=AC—CQ=6—(6A/2—6)=12—6V2；

如圖，

當(dāng)ZQ=PQ時，

.-.Z-PAQ=Z-APQ=LB=45°,

.-.Z.AQP=90°,

.-.Z.APC=180°-Z-APQ-2LPAQ=90°,

,-.AQ=CQ=^AC=3；

當(dāng)月P=AQ時，

Z.AQP=Z.APQ=45°,

；ZAQP=乙C,APAQ=90°,

.??點0和點。重合，點尸和2點重合，故此種情況不存在，

綜上所述：4Q=12—6立或3.

【變式1-1](24-25八年級?江蘇南通?期中)(1)如圖1,己知△ABC和△DCE,點2、C、E在一條直線

上，且NB=^ACD=L.E,AC=CD,求證：BC=DE；

(2)如圖2,NB=60。，Z.DAN=30°,N分別為48上的點，且ND=NM,4DNM=60。,求證：

AB=2BN+BM；

(3)如圖3,△ABC是等邊三角形，點。、尸分別為AC、BC邊上的動點，AD=2CF,連接DF,以DF為邊

在△2BC內(nèi)作等邊△DEF,連接BE,當(dāng)點。從點/運動到點C的過程中，NEBF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如

果不變，求出NEBF的度數(shù)：如果改變，請說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)NEBF=30。，理由見解析

【分析】本題主要考查了等腰三角形和全等三角形綜合.熟練掌握等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，全

等三角形判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

(1)證明NB4C=NDCE,可得△4BC三△(;￡1￡)(AAS),即得BC=DE；

(2)在48上截取4F=。尸,連接。F,證明4OFN=60°=NB和N4N。=乙BMN,可得△FDN三△BNM(AAS),

得尸。=BN,FN=BM,即可得AB=2BN4-BM；

(3)在BC上截取BM=CF,連接EM,證明CD=FM,根據(jù)△DEF是等邊三角形，證明NCDF=NMFE,

可得△DFC=△FEM(SAS),得4FME=NC=60°,EM=CF,即可得NEBF=30°.

【詳解】⑴證明：-.-zB=Z.ACD,^ACE=Z.ACD+/.DCE=AB+￡.BAC,

：.Z-BAC=Z-DCE,

在△ABC和△CEO中,

(Z.B=Z-E

\z-BAC=Z.DCE,

IAC=CD

ACED(AAS),

.,.BC=DE；

(2)證明：在上截取/F=O匕連接DF,如圖2,

圖2

?.ZDAN=30°,

???乙DAN=^ADF=30°,

"DFN=60°=Z.B,

?.2ZNM=乙AND+乙DNM=乙BMN+乙B,且乙DNM=Z.B=60°,

.ZAND=乙BMN,

在△FDN和△BNM中，

(乙DFN=Z-B

］乙DNF=乙BMN,

IND=NM

△FDN=△BNM(AAS),

：.FD=BN,FN=BM,

：.AF=BN,

-AB=AF+FN+BN,

.-.AB=BN+BM+BN,

即=2BN+BM-

(3)^EBF=30°,理由如下:

A

圖3

如圖3,在BC上截取BM=CF,連接EM,

■:AD=2CF=BM+CF,且AC=BC,

.-.CD=FM,

???△DE/是等邊三角形，

；.DF=EF,Z.DFE=60°,

■：^DFM=4CDF+AC=乙MFE+乙DFE,且NC=乙DFE=60°,

"CDF=Z.MFE,

△DFC三△FEM(SAS),

"ME=ZC=60°,EM=CF,

■：BM=CF,

：.BM=EM,

：.Z.EBF=30°.

【變式1-2](24-25八年級?四川成都?期末)如圖，在△ABC中，^CAB=45°,AC=14,AB=6五.

(1)如圖1,求BC的長；

(2)如圖2,BM1AB,與AC交于點M,點。為力C邊上一點，連接BD,E是4B右側(cè)一點，且BD1BE,

BD=BE,連接DE、AE,尸是DE的中點.探究4。、4E和8F之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)如圖3,動點P由點C出發(fā)以每秒1個單位的速度在射線CB上勻速運動，同時動點。也從C出發(fā)，在射線C4

上以每秒1個單位的速度勻速運動，設(shè)運動時間為t秒(t>0),當(dāng)點B到直線PD的距離等于6時，求t的值.

【答案】(1)10

(2)AD2+AE2=4BF2；見解析

(3)t=10-2V或5+V10

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識，利用數(shù)形結(jié)

合和分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵；

(1)過B作AC的垂線，垂足是G,在RtZiBG4中，設(shè)BG=4G=x,根據(jù)勾股定理得出久=6,進而得出

CG=8,在RtZiCBG中，勾股定理，即可求解；

(2)先證明△8DM三△BEA(AAS),進而證明ND4E=90。，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得到

DE=2BF,再根據(jù)勾股定理得出結(jié)論即可；

(3)過B作于點。，作BE1PQ于點E,作BFIIPQ,與2C交于點F,則BE=6,①當(dāng)P點在線段CB

上時，證明aBPE三△8”(AAS),根據(jù)BP=BF,建立方程，解方程，即可求解.②當(dāng)P點在CB的延長線

上時，同理BP=BF,即可求解.

【詳解】(1)解：過8作4c的垂線，垂足是G,在Rt2\8G4中，

?.24=45°,

"GBA=90°-45°=45°,

?,.乙4=Z.BGA,

.t.BG=AG,

設(shè)BG=AG=X,

2

在Rt△BG4中，/+%2=/煙，

解得：x=±6,

VX>0,

?,?%=6,

??.CG=14—6=8,

在中，由勾股定理得=,62+理=10；

(2)解：AD2+AE2=4BF2；理由如下，

B

=Z.CAB=45°,

=BA,

，:乙DBE=Z-ABM=90°,

：.Z-MBD=乙ABE,

，:BD=BE,

??.△BDM=△BEi4(SAS),

"BMD=Z.BAE=45°,

.?zn4E=90。，

???BDJ.BE,尸是DE的中點，

??.OE=2BF,

在RtzXDAE中，AD2+AE2=DE2=(2BF)2=4BF2,

:.AD2+AE2=4BF2；

(3)解：過B作BQ14C于點Q,作BE1PD于點E,作BFIIPD,與AC交于點F,則BE=6,

①當(dāng)P點在線段C8上時，如圖，

.'.AQ=BQ-零48=6,

：.CQ=AC-AQ=14-6=8,

■■-BC=JCQ2+BQ2=V82+62=io,

?.￡P(guān)=CD=t9

,ZCPD=乙CDP,BP=BC—CP=1。-t,

-PD||BF,

??ZCDP=Z.CPD=乙CFB=乙CBF,

：.CB=CF=10,

：,AF="-ZF=14—10=4,

：.QF=AQ-AF=6-4=2,

???BF=個BQ2+QF2=2V10,

'.'Z-BPE=Z.CPD,

：.Z.BPE=乙BFQ,

,.ZBEP=Z-BQF,BE=BQ=6,

ABPE=ABFQ(AAS),

：.BP=BF,BRIO-t=2V10,

??t—10—2V10；

②當(dāng)P點在CB的延長線上時，如圖，貝UBP=t—10,

同理可證△BPE=△BFQ(AAS),

:.BP=BF,

,■,t-10=2V10,

：.t=104-2V10,

綜上，當(dāng)點8到直線/5。的距離等于6時，1=10—2m或10+2國.

【變式1-3](24-25八年級?湖北武漢?期末)在平面直角坐標(biāo)系中，己知△力BC的頂點4(a,0),B(b,0),且滿

足|a+2|+(b—2)2=0,點C在y軸上.

(1)直接寫出/,3兩點的坐標(biāo)：A_,B_；

(2)如圖1,當(dāng)△4BC為等邊三角形時，。。=2四，點尸為線段。C上的一個動點，以BP為邊作等邊△BPQ,

在點P從點C到點。的運動過程中，求點Q所經(jīng)過的路徑長；

(3)如圖2點。為△ABC內(nèi)一點，連接LM,DC,DB,當(dāng)N&CB=80。，^DAB=10°,NDBC=20。時，求N4DC

的度數(shù).

【答案】(1)(—2,0),(2,0)

(2)273

(3)70°

【分析】(1)根據(jù)|a+2|+(b—2)2=0得到a+2=0,6—2=0,得到a=—2,b=2,解答即可；

(2)取BC中點加，連接MQ,證明△OBP三△MBQ(SAS)即可求解；

(3)延長BD交y軸于點￡,連接4E,利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)解：由|a+2|+(b—2尸=0得到a+2=0,6—2=0,

解得a=-2,b=2,

故4(—2,0),5(2,0),

故答案為：(-2,0),(2,0).

(2)解：取中點“，連接MQ,

???△48。為等邊三角形,

：.BC=AB,

-OB=^AB,

：.BM=BO,

???ZX/BC和△8PQ為等邊三角形，

：,BP=BQ,/LOBC=Z.PBQ=60°,

"OBP+乙PBC=乙QBM+乙PBC,

"OBP=乙QBM,

在△OBP和△MBQ中

(OB=BM

\^OBP=乙QBM

IBP=BQ

：.△OBP=△MBQ(SAS),

??.QM=OP,Z.QMB=Z.POB=90°,

；.QM1CB,

又點尸在C處時，QM=OC=

點尸在O處時，點0與點M重合

???點Q所經(jīng)過的路徑長=OC=2V3.

(3)解：延長BD交y軸于點E,連接力E,

■：OA=OB=2,COLAB,

二直線C。是線段的垂直平分線，

：.CA=CB,EA=EB,

^^ACB=80°,

：.^ACO=^ACB=40°,/.CAB=Z.CBA=50°

-/.DAB=10°,乙DBC=20°,

.-.Z.CAD=/.CAB-乙DAB=50°-10°=40°,

乙DBA=Z.CBA一乙DBC=50°-20°=30°,

??/EDA=/.DAB+/.DBA=10°+30°=40°,

\'EA=EB,

.'./.EAO=乙DBA=30°,

：./,CAE=乙CAB-Z.EAO=50°-30°=20°,

.'.^.EAD=ACAD-/.CAE=40°-20°=20°,

：.Z-CAE=Z.EAD,

在△CAE^a△ZME中

(Z.CAE=Z.EAD

]/.ACO=/.EDA,

IAE=AE

△CAE=△DZE(AAS),

：.CA=DA,

.-./.ADC=/.ACD=1(180°-/.CAD)=70°.

【點睛】本題考查了實數(shù)的非負性，圖形與坐標(biāo)系，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì),

線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

【題型2等腰三角形中的最值問題】

【例2】(24-25八年級?安徽合肥?期末)如圖，在△ABC中，AC=AB,ABAC=90°,點P是射線C4上的

一點，連接BP,在BP右側(cè)以BP為斜邊作等腰直角三角形BDP.

⑴如圖1,若點P在邊力C上，PD交AB于點E.

①求證：4DPA=乙CBP；

②當(dāng)BP平分乙4BC時，求證：BE=2AP.

(2)如圖2,CF平分乙4cB交A8于點F,BM平分上PBD交CF于點、M,若CF=6,則線段的最小值為

【答案】⑴①見解析②見解析

⑵3

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解決

問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

(1)①可證得NDP2=/.ABD,/.CBP=/-ABD,從而4DPA=乙CBP；

②延長B。，交C4的延長線于點尸，可證得△PDF三△8DE,從而PF=BE,可證得PB=從而

PF=2AP,從而BE=2AP；

(2)當(dāng)BMJ.CF時，BM最小，延長交CP于N,可證得△2CF三△4BN,從而8N=CF=6,可證得

CN=CB,進一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：①???NPAE=〃>=90°,乙AEP=4BED,

Z.DPA=Z.ABD,

???NB4C=90。，AC=AB,

???乙ABC=Z.C=45°,

???△BDP是等腰直角三角形，

?，?乙PBD=(BPD=45°,

Z.ABC=Z.PBD,

???/.ABC-乙ABP=乙PBD-^ABP,

???乙CBP=乙ABD,

??.Z.DPA=乙CBP；

②如圖1,

延長BD,交C4的延長線于點F,

由①得，/.APE=^ABDf乙ABD=CPBC,

???乙BDP=乙PDF=90°,PD=BD,

??.△POEw△BDE(ASA),

???PF=BE,

vZ-ABC=45°,BP平分N/BC,

??.Z.ABP=Z-CBP,

???Z.ABP=乙ABD,

???乙BAP=乙BAF=90°,

??.Z.APB=乙AFB,

???PB=FB,

???PF=2AP,

??.BE=2AP；

(2)解：如圖2,

cANP

圖2

當(dāng)BM1CF時，8M最小，

???^AMB=UMN=90°,

延長BM,交CP于N,

由(1)知，Z.ACF=/.ABN,

?:4BAN=ACAF=90°,AC=AB,

???△ACF^△ABN(ASA),

：.BN=CF=6,

■：CF平分N4CB,

???4NAM=Z.BACF,

???乙CBM=4CNM,

???CN=CB,

BM=^BN=3,

???線段BM的最小值為3,

故答案為:3.

【變式2-1](24-25八年級?重慶開州?期末)已知，△4BC和△DBE都是等腰三角形，且力B=BC,

BD=BE.

(1)如圖1,若乙ABC=KDBE,點C是DE上一點，連接4D,求證：AD=CE；

(2)如圖2,若NDBE=3N4BC=90。，△DBE繞點B旋轉(zhuǎn)，BD經(jīng)過力C的中點，點4落在DE上，請?zhí)骄苛、

AB、4。之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

(3)如圖3,若ADBE=120。，EB=3,點D和點C重合，連接4E,點P為上一點，連接EP,DP,當(dāng)△4ED

面積的最大值時，請直接寫出EP+4P+DP的最小值.

【答案】(1)見解析

(2)AE=AB+AD,證明見解析

⑶6

【分析】(1)證明△力BC三△CBE(SAS)即可由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；

1

(2)過點3作BF12E于尸，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得=/.DBF=-/.DBE=45°,

4ABD=l^ABC=15°,AABF=乙DBF-UBD=30°,得出ZB=2AF,即可得出

AE=AF+EF=AF+DF=AF+AF+AD=2AF+AD=AB+AD.

(3)當(dāng)△4ED面積的最大值時，此時4B10E,可證得△48。、2X48^是等邊三角形，求得

AE=AD=AB=3,當(dāng)點P與點/重合時，AP+PE+PD最小，最小值為4E+4D,即可求解.

【詳解】⑴證明：-.-/-ABC=/.ABD+Z.CBD,乙DBE=KCBE+乙CBD,A.ABC=^DBE,

：.Z-ABD=Z-CBD,

-AB=BC,BD=BE,

△ABD=△CBE(SAS),

.,.AD=CE.

(2)解：AE=AB+AD,

證明：過點2作BF14E于R如圖2,

:.EF=DF,乙DBF=、DBE=45°,

-3Z.ABC=90°,

.-.^ABC=30°,

■：AB=BC,BD經(jīng)過力C的中點，

：.^ABD=^ABC=15°,

.-.^ABF=4DBF-KABD=45°-15°=30°,

?；BF1AE,

：^AFB=90°,

：.AB=2AF,

：,AE=AF+EF=AFDF=AF+AF+AD=2AF+AD=AB+AD,

即=+

(3)W：-AB=BC,BD=BE,EB=3,點。和點C重合，

：.AB=BD=EB=3

當(dāng)△ZED面積的最大值時，此時ZB1OE,

'：BD—BE,

"ABE=^ABD=%DBE=1x120°=60°,

'：AB=BD=EB=3,

?.AABD,△/BE是等邊三角形，

.,.AE=AD=AB=3,

,點P為4B上一點,

：.AP+PE>AE,AP+PD>AD

???當(dāng)點尸與點”重合時，4P+PE+PD最小，最小值為AE+AD,

.?.當(dāng)△4ED面積的最大值時，AP+PE+PD最小值=AE+AD=3+3=6.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形

的性質(zhì)，最短路徑問題.熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](24-25八年級?重慶奉節(jié)?期末)在△4BC中，AC=BC,點D是邊BC上的一點，連接力D.

(1)如圖1,若AB=BC=6,BD=2DC,求04的長度；

(2)如圖2,若NB=60。，點尸在AC的延長線上，E是邊BC上一點，連接4E,DF,且AD=FD,

/.CAE=ZCDF,求證：CE=CF；

(3)如圖3,E是邊BC上一點，連接2E,若4D1BC,5.BD-.CD=1:4,AE平分ABAC,BD=2,△力BC的面

積為30,點M,N分別是線段4B,4E上的動點，連接MN,DN,直接寫出MN+DN的最小值.

【答案】⑴2V7

(2)見詳解

(3)4.8

【分析】(1)易得△ABC是等邊三角形，作4ELBC于E點，根據(jù)等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)和勾股定

理先求得4E=3V3,進而可求得4。=2V7.

(2)易得△48C是等邊三角形，由2。=FD可得4。力尸=NOF4由等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角定理

可得ZB4D=乙CDF.又由NG4E=NCDF可得NB4D=A.CAE.由ASA可得△ABD空△ACE,則可得

BD=CE,AD=AE.過E點作EG||4B交力C于G點，則可得△EGC是等邊三角形.再由AAS可得

△AEG三△DFC,貝!]可得EG=CF,進而可得EC=CF.

(3)由題得BD=2,CD=8,AC=BC=10.由勾股定理得力D=6,由4E平分NB4c可得射線力B和射線

4C關(guān)于射線2E對稱，因此M點關(guān)于4E的對稱點M在AC上.由垂線段最短可得當(dāng)。，N,三點共線，且

時，MW+DN的值最小，最小值為DM，的長，由面積法可求得DM的長，即可得MN+DN的最小

值.

【詳解】(1)解：■■■AC^BC,AB^BC^G,

■■AC=BC=AB=6,

??.△ABC是等邊三角形，

作4ELBC于E點，

貝!=/.AED=90°,BE=匏C=3,

???AE=7AB2-BE2=V62-32=3班,

???BD=2DC,

???BD=|fiC=4,

ED=BD-BE=4-3=1,

...AD=辦房+ED2=(3A/3)2+12=2V7；

(2)證明：■■■AC=BC,ZB=6O°,

??.△ABC是等邊三角形，

???AB=AC,/.BAC=NB=乙4cB=60°,

AD=FD,

???Z.DAF=Z-DFA,

又???Z.BAC=Z.BAD+^DAF=60°,乙4cB=4CDF+/LDFA=60°,

:.乙BAD=4CDF,

又???Z.CAE=乙CDF,

???乙BAD=Z-CAE,

在△48。和△4CE中,

(乙B=Z.ACE

AB=AC,

=/.CAE

???△/B0wZk4CE(ASA),

???BD=CE,AD=AE,

又AD=FD,

???/￡*=F0,

過E點作EG||ZB交4C于G點,

貝！JzlGEC==60°,(EGC=^BAC=60°,

???△EGC是等邊三角形，

???EG=EC,Z,EGC=乙GCE=60°,

/.AGE=/.DCF=120°,

在△ZEG和△。尸C中，

(/.CAE=乙CDF

\z-AGE=Z.DCF,

IAE=DF

.-.A?1EG=ADFC(AAS),

??.EG=CF,

???EC=CF；

F

(3)解：vBD\CD=1:4,BD=2,

CD=8,BC=10,

???AC=BC,

'.AC=10,

AD1BC,

AD='AC2一CD?="02—82=6,

■ME平分NBAC,

二射線和射線ac關(guān)于射線4E對稱，

作〃點關(guān)于2E的對稱點M'，

則點在4C上.

連接NAT,則MN+DN=MW+DN,

當(dāng)D,N,三點共線，且DM」AC時，MW+DN的值最小，最小值為DM，的長,

由S3DC=\AC-DM'=叔C?4。得，

AC-DM'=DC-AD,

10DM'=8x6,

解得DM，=4.8,

.?.MN+ON的值最小為4.8.

【點睛】本題等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及利用垂線段最短求兩條

線段和的最小值.熟練掌握以上知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](24-25八年級?江蘇淮安?期末)如圖1,在四邊形ABDE中，AACB、△DCE是等腰直角三角

形，且NACB=NDCE=90。，ABCD為銳角；

圖1圖2圖3

(1)如圖2,連接40、3E相交于點。，求AD0E的度數(shù).

(2)在圖1中，△力CE與△BCD面積相等嗎？請說明理由.

(3)如圖3,已知BD=5,aaCE的面積為10.G在BD邊上，GC的延長線經(jīng)過力E中點尸.求CG的長.

(4)如圖2,若2C=3,CD=4.則四邊形ABDE面積最大值為；

【答案】(1)90。

(2)相等，理由見解析

⑶4

(釁

【分析】(1)證明△4CD三△BCE,由對應(yīng)角相等即可得出NDOE=90。；

(2)過E作EG_L4C交AC的延長線于G,過。作。F_LBC于尸，證明△EGC三貝ijEG=DF,從而

可得△4CE與△BCD面積相等；

(3)過點E作ENII4C交CF的延長線于點N,由點尸是中點可證明△EFN三△4FC,則EN=4C,再證明

△CEN=△DCB,可得CG1BD；由△ACE與△BCD面積相等及等積關(guān)系可求得CG的長；

(4)AABC,△DCE的面積為定值，且△4CE與△BCD面積相等，則△4CE的面積最大時，四邊形的面

積最大；由于NBCD為銳角，過。作DMJ.BC于則DMWCD,當(dāng)點〃與點C重合時，DM最大,從而

可求得四邊形面積的最大值.

【詳解】(1)解：?.24CB=NDCE=90。，

.'.Z-ACB+Z.BCD=Z.BCD+Z-DCE,

即44CD=乙BCE,

???AACB、△DCE是等腰直角三角形，且乙4cB=NDCE=90。，

：.AC=BC,DC=EC,

AACD=ABCE,

：.Z-CEO=Z.CDO,

-L.CEO+乙OED+乙CDE=乙CED+乙CDE=90°,

??/CDO+Z.OED+Z.CDE=乙CED+乙CDE=90°,

^Z-ODE+AOED=90°,

"DOE=90°；

(2)解:面積相等,

理由如下：

過E作EG14C交2C的延長線于G,過。作DF1BC于尸，如圖，

"EGC=乙DFC=90°

^^ACB=乙DCE=90°,

.-./LACE+/-BCD=180°,

???乙4CE+NECG=180°,

：.Z-ECG=乙BCD,

?.?CE=CD,

.-.△EGC^ADFC(AAS),

.?.EG=DF,

-AC=BC,

=—C?EG=.DF=S^BCD，

即△ZCE與△BCD面積相等;

圖1

(3)解：過點E作ENII4C交CF的延長線于點N,如圖，

貝!J4czF=乙NEF,Z.ACF=4N；

,?,點廠是中點，

.'.EF=AF,

AEF/V=A71FC(AAS),

??.EN=AC,

-AC=BC,

.?.EN=BC；

MN+乙ECF=180°-乙NEC,Z-ACE=^ACF+乙ECF=180°-乙BCD,

"NEC=(BCD,

?；CE=CD,

???△CENm/^DCB,

:/NCE=乙BDC；

，??(DCE=90°,

:,乙NCE+乙DCG=90°,

?.?乙BDC+乙DCG=90°,

：?CG1BD；

v△4CE與△BCD面積相等

???S^BDC=10=匏。xCD,

Bp|x5CG=10,

?,.CG=4；

圖3

(4)解：-AC=3,CD=4,

191

-,-^AABC=5X3X3=5,S&DCE=]X4X4=8，

即△ABC,ZiDCE的面積為定值，

由(2)知，△力CE與△BCD面積相等，

.?.當(dāng)aACE的面積最大時，四邊形4B0E的面積最大;

過。作DM1BC于如圖，

：.DM<CD,

當(dāng)點M與點C重合時，CM最大，此時DCJ.BC,

而這時S^BCD=：X3X4=6,

???四邊形力BDE面積的最大值為?+8+2X6=3

故答案為：今

圖2

【點睛】本題是全等三角形的綜合，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，互余關(guān)系，四

邊形內(nèi)角和為360。等知識，其中全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【題型3等腰三角形中的存在性問題】

【例3】(24-25八年級?四川成都?期末)如圖，直線AB交支軸于點［(一4,0),交y軸于點B(0,2),直線為=一1

交直線48于點D,P是直線比=—1上一動點，且在點D上方，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為加

(1)求直線AB的解析式；

(2)求aaBP的面積(用含n的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)△ABP的面積等于1時，在y軸上是否存在點C,使△力PC是等腰三角形？若存在，請直接寫出點C的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

-1

【答案】(l)y=產(chǎn)+2

(2)2n-3

(3)存在，(0,2+28)或(0,2—2遮)或(0,—2)

【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰三角形判定與性質(zhì)等，解題

的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用.

⑴設(shè)直線4B的解析式為y=kx+b,把4(—4,0),B(0,2)代入得：｛—甯。解得《二g，故直線4B

1

的解析式為y=產(chǎn)+2；

(2)求出D(—I,2PD=n一5,可得S44BP=5x|-4—0|x(ri—萬)=2n—3；

(3)求出P(—1,2),設(shè)C(0,m),有CP2=1+(?i-2產(chǎn),AP2=13,AC2=16+m2,分三種情況列方程可

得答案.

【詳解】(1)解：設(shè)直線4B的解析式為y=kx+b,

把4(-4,0),3(0,2)代入得：｛—4於/°,

k1

--

得

刀2

牛b-2

???直線28的解析式為y=~x+2；

11o

(2)解：在y=/+2中，令％=—1得y=—萬+2=萬，

???。(-16

???P是直線％=—1上一動點，且在點D上方，縱坐標(biāo)為九，

3

.?.PD=n--,

13

SAABP=2xI—4—0|X(n--)=2n—3,

△ABP的面積為2n—3；

(3)解：在y軸上存在點C,使△/!「￡1是等腰三角形，理由如下:

???△4BP的面積等于1,

2n—3=1,

解得n=2,

1,2),

設(shè)C(0,m),

???4(—4,0),

???CP2=l+(m-2)2,AP2=13,AC2=16+m2,

①當(dāng)CP=4P時，1+0—2)2=13,

解得m=2+2舊或m=2—2^3；

.?.C(0,2+2⑨或(0,2—2⑨；

②當(dāng)CP=4C時，1+(巾一2)2=16+爪2,

解得m=-斗；

???c(o，T；

③當(dāng)4P=AC時，13=16+巾2,

方程無實數(shù)解；

綜上所述，C的坐標(biāo)為(0,2+2忖或(0,2-2旬或(0,—》

【變式3-1](24-25八年級?山東青島?期末)如圖①，在等腰直角△ABC中，ABAC=90°,AB=AC,BC

在x軸上，4(—5,4),點“是久軸上一動點，當(dāng)M從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿%軸的正方向運動，

點H為y軸上一點，連接AM、AH,MH,設(shè)運動時間為t秒.

(1)點B的坐標(biāo)為(,)，點C的坐標(biāo)為(,);

(2)當(dāng)t=l秒時，的面積是11,求此時點”的坐標(biāo)；

(3)如圖②，當(dāng)點M運動至改軸的正半軸時，是否存在以點4、M、H為頂點的等腰直角三角形？若存在，請

直接寫出t的值及此時點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)—9,0,—1,0

(2)點H的坐標(biāo)為(0,3)

(3)存在，1=6.5,點M的坐標(biāo)為(4,0)或t=9,點M的坐標(biāo)為(9,0)或t=5,點M的坐標(biāo)為(1,0)

【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)等知識，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握分類討論思想的運用.

(1)如圖1,過點4作2D1BC于D,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BD=4D=CD=4,則可得出答案；

(2)分兩種情況：①當(dāng)點H在y軸的正半軸時，如圖2,②當(dāng)點”在y軸的負半軸時，如圖3,根據(jù)三角形

的面積差列方程可解答；

(3)分三種情況：如圖4和圖5和圖6,作輔助線構(gòu)建全等三角形即可解答.

【詳解】(1)解：如圖1,過點2作4D1BC于D,

.-.AD=BD=CD=4,0D=5,

：.0C=1,OB=9,

.??點B的坐標(biāo)為(一9,0),點C的坐標(biāo)為(一1,0),

故答案為：—9,0,—1,0；

(2)解：當(dāng)￡=1時，8M=2t=2,

0M=9-2=7,

連接。4

分兩種情況：①當(dāng)點H在y軸的正半軸時，如圖2,

','S&AMH=S^AOM+S&AOH-=11，

111

---

222

■.OH=3,

.??點H的坐標(biāo)為(0,3)；

②當(dāng)點”在y軸的負半軸時，如圖3,

,-'^AAMH=S/VIOM+S^MHO~^/\AOH=11，

1II

.---x7x4+-x7xOH-jx5xOH=ll,

.?.14+?！?11,

.?.?！?-3(不符合題意，舍)；

綜上，點”的坐標(biāo)為(0,3)；

(3)解：存在，

分三種情況：①如圖4,AM==90°,

過點M作EF1久軸于M,過點/作4E1EF于E,過點H作HF1EF于F,貝1此石=4？=90。,

圖4

v/-EAM+^LAME=2LAME+乙FMH=90°,

???乙EAM=4FMH,

???△AEM=△MFH(AAS),

.?.EM=FH=4,

vOM=FH=2t-9,

2t—9=4,

???t=6.5,

???OM=2x6.5-9=4,

此時點M(4,0)；

②如圖5,AH=MH./.AHM=90°,

過點H作EF_Ly軸于H,過點2作力E_LE產(chǎn)于E,過點M作MF1EF于F,貝I|NE=NF=90。,

同理得：△4EHm2\HFM(AAS),

???EH=FM=5,FH=4E=4+5=9,

OM=FH=2t-9,

2t—9=9,

???t=9,

???OM=2X9—9=9,

???M(9,0)；

③如圖6,AH=MH,/-AHM=90°,

過點H作EF_Ly軸于H,過點4作ZE_LEF于E,過點M作MF1EF于F,貝?。輟_E=NF=90。,

EH=FM=5,FW=4E=5—4=1,

VOM=FH=2t—9.

???2t-9=1,

-1=5,

???0M=2x5—9=1,

綜上，t=6.5,點M的坐標(biāo)為(4,0)或t=9,點M的坐標(biāo)為(9,0)或t=5,點M的坐標(biāo)為(1,0).

【變式3-2](24-25八年級?湖北荊門?期末)如圖①，直線2B與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于48兩

點.CM,OB的長度分別為a和6,且滿足a?—2a6+房=o.

⑴判斷AAOB的形狀；

(2)如圖②,在直線4B上取一點Q,連接0Q,過4,8兩點分別作4M10Q于M,BNLOQ于N,若=9,

BN=4,求MN的長；

(3)如圖③,E為2B上一動點，以4E為斜邊作等腰直角△2DE,P為BE的中點，連接PC,P0,試問：線段

PD,P。是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?寫出你的結(jié)論并證明.

【答案】(DaAOB為等腰直角三角形

(2)MN=5

(3)PO=PO,且PO1PD,證明見解析

【分析】本題考查完全平方差公式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)相關(guān)知識，熟練

掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

(1)已知a?—2a6+/=o,化簡可得。=元然后可得△40B為等腰直角三角形；

(2)證明△帆4。三△NOB(AAS),求出。M=BN、AM=ON,OM=BN,然后數(shù)形結(jié)合求出MN的值；

(3)延長DP到點C,使DP=PC,連接CP、OD、OC、BC,如圖所示，利用三角形全等的判定與性質(zhì)求證

即可得到答案.

【詳解】(1)解：等腰直角三角形.

a2—2ab+b2=0,

??.(a—以=0,

???a=b,

vZ-AOB=90°,

為等腰直角三角形；

(2)解：v/-MOA+Z.MAO=90°,Z.MOA+乙MOB=90°,

???/.MAO=乙MOB,

-AMLOQ,BN1OQ,

???AAMO=乙BNO=90°,

在△M/。和△BON中，

(Z.MAO=乙MOB

]Z.AMO=乙BNO,

IOA=OB

MAO=△NOB(AAS),

???OM=BN,AM=ON,OM=BN,

???MN=ON—OM=AM—BN=5；

(3)解：PO=PD&POLPDf

證明如下：

延長。P到點C,使OP=PC,連接CP、OD、OC、BC,如圖所示:

(DP=PC

]乙DPE=乙CPB.

IPE=PB

??.△OEP三△CBP(SAS),

CB=DE=DA,乙DEP=乙CBP=135°,則4CB。=乙CBP-乙ABO=135°-45°=90°,

又vL.BAO=45°,2LDAE=45°,

/.DAO=90°,

在△040和△08C中,

(DA=CB

｛乙DAO=乙CBO,

I0A=OB

0AD=△OBC(SAS),

.?.OD=OC,Z-AOD=Z.COB,

.?.△DOC為等腰直角三角形，

：.P0=PD,且PO1PD.

【變式3-3](24-25八年級?云南昆明?期末)△4BC是等邊三角形，點。是力C邊上動點，4CBD=a

(0°<?<30°),把△28。沿對折，得到△4BD.

(1)如圖1,若。=15°,則NCB4=.

(2)如圖2,點P在BD延長線上，且AD4P=ADBC=a.

①試探究4P,8P,CP之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說明理由.

②若BP=10,CP=2,求C4的長.

【答案】⑴30°；

(2)①BP=4P+CP,理由見解析；@6.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NABC=60。，根據(jù)角度計算可得乙4BD=45。，由折疊的性質(zhì)可

得448。=4A'BD,根據(jù)/ABC=/.A'BD-NCBD即可求解；

(2)①連接CP,在BP上取一點P,使BP=4P,證明△BP'C三△4PC,是等邊三角形，即可得到

BP=AP+CP；

②先證明4,C,尸三點共線，結(jié)合①的結(jié)論求解即可.

【詳解】⑴解:30°

理由：???△ABC是等邊三角形，

/.ABC=60°,

乙ABD—Z-ABC—乙CBD—60°—a,

???把△ZBO沿BO對折，得至!J△48。，

???乙ABD=Z-A'BD=60°—a,

??,a=15°,

???^LA'BC=/-A'BD-Z,CBD=60。-a—a=60。-2a=30°；

(2)解：@BP=AP+CP

理由如下：

連接CP,在BP上取一點P,使BP，=HP,如圖，

???△ABC是等邊三角形，

???^ACB=60°,BC=AC,

乙DAP=Z.DBC=a,

r

.*.△BPC=AAPC9

ACP'=CP,乙BCP'=LACP,

???乙PCP，=Z.ACP+/-ACP'=乙BCP，+Z-ACP'=^ACB=60°,

??.△PPC是等邊三角形，

???Z.CPB=60°,P'P=PC,

：.BP=BP'+PP'=AP+CP,

即BP=4P+CP；

②如圖

A

由①可得NBPC=60°,

:.乙BCP=180°-乙BPC-乙PBC=120°-a,

由(1)可知"B4=60°—2a,

???把△4BD沿BD對折，得至IJ△A'BD,

???BA=BA',

???BA=BC,

???BC=BA',

ii

?./-BCA=-(180°-"84)=-(180°-60°-2a)=60°+a,

???乙BCP+乙BC4=120°-a+6