期末復(fù)習(xí)必考解答壓軸題（19大題型）

【浙教版】

＞題型梳理

【題型1二次根式的運(yùn)算與求值技巧】..........................................................1

【題型2復(fù)合二次根式的化簡】.................................................................6

【題型3利用分母有理化求值】................................................................10

【題型4由一元二次方程的解求參數(shù)】.........................................................13

【題型5一元二次方程的特殊解法】...........................................................18

【題型6根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系的綜合】.................................................22

【題型7一元二次方程的應(yīng)用】...............................................................28

【題型8與平行四邊形有關(guān)的證明或求值1.................................................................................31

【題型9與平行四邊形有關(guān)的線段或角度探究問題】.............................................43

【題型10與平行四邊形有關(guān)的多解問題】.......................................................54

【題型11四邊形中的最值問題】...............................................................64

【題型12四邊形中的動態(tài)問題】...............................................................77

【題型13四邊形中的存在性問題】.............................................................87

【題型14四邊形中的探究問題】...............................................................100

【題型15求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】..........................................................113

【題型16反比例函數(shù)中的定值問題】..........................................................124

【題型17反比例函數(shù)中的最值問題】..........................................................137

【題型18反比例函數(shù)中的存在性問題】........................................................146

【題型19反比例函數(shù)的應(yīng)用】.................................................................158

?舉一反三

【題型1二次根式的運(yùn)算與求值技巧】

【例1】(24-25八年級?江西贛州?期中)定義：我們將(VH+VF)與(6一VF)稱為一對“對偶式”.因?yàn)?/p>

(VH+VF)(VH-Vb)=(VH)2-(VK)2=a-b,可以有效的去掉根號，所以有一些問題可以通過構(gòu)造“對偶

式”來解決.

例如：已知，18—八一，11一尤=1,求或+—尤的值,可以這樣解答：

________________________________________2________2

因?yàn)?、18—x—、11—x)x(V18—x+、11—x)=("8—x)—(V11—%)=18—%—11+%=7,

所以V18—久+Vil-x=7.

(1)已知：V20—%+74—x=8,求,20—x—C4—%的值;

(2)結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：V20^+V4^=8；

(3)計篁.—+-------+---+…+-----1----------

'八'*3V1+V35V3+3V57V5+5V72023V2021+2021V2023'

【答案】⑴2

(2)x--5

【分析】(1)仿照題意，進(jìn)行計算即可得到答案；

(2)根據(jù)二次根式有意義的條件列出方程組，解方程組即可得到答案；

(3)利用平方差公式，對原式進(jìn)行變形后，即可得到答案.

此題考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的混合運(yùn)算、二次根式有意義的條件、平方差公式以及分母有理化,

熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則和靈活變形是解題的關(guān)鍵.

________2______2

【詳解】(1)解：?■?(V20-X+V4^x)(V20-%-V4^x)=(V20-x)-(V4-x)

=20—%—4+%=16,

且420—x+V4—x=8,

???V20—x—V4—%=2；

ZXA73(V20—x+V4—X=8

(O2)斛：

-,-2V4—x=6,

化簡后兩邊同時平方得：4-x=9,

：.x=—5,

經(jīng)檢驗(yàn)：％=-5是原方程的解;

(3)解?------+--------+--------+…+-----,------,

3V1+V35V3+3V57V5+5V72023V2021+2021V2023

3-V35V3-3V57V5-5V72023V2021—2021,2023

----------1-----------------1----------------1-,?,-|-------------------------------------------

6307020232X2021-20212X2023

1V3V3V5V5V7V2021V2023

2―-6"+-T-10+10-14+'"+40424046

1V2O23

2-4046

【變式1-1](24-25八年級?上海長寧?階段練習(xí))計算

(1)居-L0.+4耳

(2)2,3%2y-p/6x+

f.2V2_V6

(5)V6-V10-2V3+3V2;

⑸內(nèi)-3啕一(b>0)；

b

1

a-ba+2y[ab+b'

【答案】22V10

(1)-15

(2)2%j2%y+

(3)_2舊-V5+V2

(4)673+6V2

⑸一a

【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵:

(1)先化簡，再合并同類二次根式即可；

(2)先化簡，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，然后合并同類二次根式即可;

(3)先分母有理化，再合并同類二次根式即可；

(4)先計算括號內(nèi)，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可；

(5)先計算括號內(nèi)，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可；

(6)根據(jù)乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】

V10「1廣

=--2V10+-V10

22V10

15

(2)解：原式=+

=2x^2xy+.

2口(通+國)述g五一2有)

解：原式=

(3)(V6-V10)(V6+V10)-(2V3+3A/2)(3V2-2V3)

4V3+4V56V3-6V2

-46

=—V3—V5—V3+V2

=-2V3-V5+V2；

(4)解：原式=正+停一日)

3V2-2V3

=遙+

6

6

=V6-

3V2-2V3

6(3或+2值)

=V6?

(3V2-2V3)(3V2+2V3)

=V6?(3V2+2V3)

=6V3+6V2；

=一。；

(Va—VK)-(Va—VK)22

(6)解：原式=(Va+VF)

(a-b)2

(Va—Vh)?(Va—Vh)2(Va+VF)2

(a-匕/

(Va—VF)?(a—ft)

(a-6)2

a-b

【變式1-2]（24-25八年級?安徽宣城?期中）觀察下列各式：11+±+±=1+-^-,

/1+—+—=1+-i-,

q十22十32丁2X3，

/1+—+—=1+,

"十32T423X4'

請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

⑴寫出第4個式子

（2）寫出第九個式子,并證明其正確性（用幾含的等式表示，九為正整數(shù)）.

（3）計算J1+卷+2+J1+J+J+J"強(qiáng)+++…+貴+擊

【答案】⑴]1+也+1=1+2

（2）J+?春=1+■，證明見解析

99

⑶99礪

【分析】本題考查了分式，二次根式的運(yùn)算以及配方法，熟練掌握分式和二次根式的運(yùn)算性質(zhì)，配方法,

理解題干中的規(guī)律并且證明其規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題干給的規(guī)律，可直接寫出結(jié)果;

（2）根據(jù)題干給的規(guī)律，可直接寫出第n個式子；要證明等式成立，由于左側(cè)是二次根式的形式，右側(cè)是

分式的形式，因此考慮對于左側(cè)二次根式的被開方式子湊成完全平方形式，然后可以去掉根號.所以對于

左側(cè)二次根式被開方式子通分整理后，得到=l[l+-i-]2,由此即可證明等式成

立；

（3）根據(jù)前面證明所得到的式子，利用|1+[1+島?以及方片=1—急化簡，即可求得

九N（九+1）/ii^rL-rAjxJTl7l-r1.

結(jié)果;

【詳解】（1）解：根據(jù)題干中的規(guī)律，可得

第4個式子為:1+2+專=1+短;

（2）解：根據(jù)題干中的規(guī)律，可得

十1+1=1+--—.

第九個式子為:d十*十(九+1)2n(n+l)'

證明:■:左邊=

(n+l)2n2

1+n2(n+l)2+n2(n+l)2

2n2+2n+1

1H-----------------

n2(n+l)2

d(2n(n+1)1

1++

n2(n+1)2n2(n+1)2

21I2

1-I---------------1-------------

n(n+1)ln(ji+1)J

L1I2

-J1+n(n+1).

i

=1+而⑥=右邊，

???等式成立；

Iq1111

(3)解：J1+正+1+^715,

"原式=1+白+1+熹+……1+^3?

111111

=99+—1-———

99

=99—

100,

【變式1-3](24-25八年級?安徽安慶?階段練習(xí))若m滿足關(guān)系式J2%+3y+J4%+5y—zn=Jx—2012+y

+J2012———y,求m的值.

【答案】4024

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及二次根式有意義的條件，得到％+y=2012是關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的

性質(zhì)：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求得J2%+3y+J4%+5y—m=0,然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于第和y的方程

組，然后結(jié)合％+y=2012即可求得血的值.

【詳解】解：*{2012-xy>0+y=2012)

(x+y=2012

2%+3y=0

I4x+5y—m=0

.?.m=4%+5y=2(%+y)+(2x+3y)=4024

【題型2復(fù)合二次根式的化簡】

【例2】(24-25八年級?安徽合肥?專題練習(xí))有這樣一類題目：將Ja±2逐化簡,如果你能找到兩個數(shù)叭

n,使力+聲=。且根n=VF,則可將a±2赤將變成/+十±2?roi,即變成⑺+n產(chǎn)從而使得Ja士2vF

化簡.例如，5±2V6=3+2±2V6=(V3)2+(V2)2+2魚XV3=(V3±V2)\￡$±2巫=J(V3±V2)2

=(V3±V2).這種方法叫做配方法，換一種思路，假設(shè)化簡5±2乃的結(jié)果是五±77(＞＞丫＞0),可知

5±2V6=(Vx±Vy)2.整理，^15±2V6=x+y±2^/xy,比較等式兩邊的組成，可得比+y=5,xy=6,

即％=3,y=2,所以J5士2乃=(V3±V2).

嘗試化簡下列各式：

(1)V7+4V3；

(2)78-760.

【答案】⑴2+g

(2)V5-V3

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式得出7+4遮=(2+k)進(jìn)而求出即可；

(2)根據(jù)完全平方公式得出8—鬧=(遮一場進(jìn)而求出即可.

此題主要考查了二次根式的化簡與性質(zhì)，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

【詳解】(1)V7+4V3=J(2+V3)2=2+V3；

(2)解：V8-V60=V8-2V15=J(V5-V3)2=V5-V3.

【變式2-1](24-25八年級?安徽安慶?專題練習(xí))化簡：

(1)V12-2V35;

(2)V5-V24;

(3)74+V15+V4-V15.

【答案】(1)77-傷

(2)V3-V2

⑶V1U

【分析】本題考查二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡，二次根式的性質(zhì)及完全平方公式，先把各題中的

無理式變成2乃的形式,進(jìn)而可得出結(jié)論.解題的關(guān)鍵是理解和掌握：二次根式根號內(nèi)含有根號的式

子化簡主要是根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)將該式子轉(zhuǎn)化為平方的形式.

(1)把被開方數(shù)化為完全平方的形式即可得解，

(2)將,5-內(nèi)轉(zhuǎn)化為,5-2遍,再根據(jù)解答過程即可得解，

(3)將+后+—后轉(zhuǎn)化為,4+2后+后,再根據(jù)解答過程即可得解；

【詳解】(1)解：V12-2V35

=J(5+7)-275x7

-J(V7)2-2xV5XV7+(V5)2

=J(V7-Vs)2

=V7—V5；

(2)解:75-V24=75-2V6=J(V3-V2)2=V3-V2

=J(3+2)-272x3

=J(V3)2-2xV3xV2+(V2)2

=J(V3-V2)2

—V3—V2;

(3)解：V4++V4—

15

V

=Vio.

【變式2-2](24-25八年級?陜西西安?階段練習(xí))像，4-2低，屈-屈…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式,

有些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，如：74-2V3=73-2V3+1=

J(V3)*2-2xV3x1+12=J(V3-1)2=g-1請用上述方法探索并解決下列問題：

(1)化簡：V10-2V21

(2)若a+6函=(zn+且0,加，"為正整數(shù)，求a的值

【答案】(1)77-8

(2)a=14或a=46

【分析】本題考查化簡復(fù)合二次根式：

(1)根據(jù)題意，構(gòu)造完全平方公式，進(jìn)行化簡即可；

(2)根據(jù)題意得到a+6店是一個完全平方式，進(jìn)而推出a+6V5=(3+V5)或a+6V5=(1+3A/5),進(jìn)

行求解即可.

(詳解】(1)解：710-2VH=V7-2V21+3=J(V7)2-2XV7XV3+(V3)2=J(V7-V3)2=V7-

V3；

(2)va+6V5=(m+nV5)2

???a+6西是一個完全平方式，

va,m,幾均為正整數(shù)，且a+6西=a+2x3x而或a+6西=a+2x1x3西，

.,.a+6^5=(3+V5)或a+6V5=(1+3A/5),

.,.m=3,n=1,此時a=32+(V5)2=14或m=l,n=3,此時a=l2+(3V5)2=46.

【變式2-3](24-25八年級?安徽安慶?期中)像J4二27f,VV96-V63……這樣的根式叫做復(fù)合二次根

式.有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，

如:V4-2V3=V3-2V3+1=J(V3)2-2xV3+12=J(V3-l)2=V3-1；

再如：75+2V6=73+2V6+2=J(V3)2+2XV6+(V2)2=J(遮+V2)2=V3+V2.請用上述方法探

索并解決下列問題：

(1)請你嘗試化簡：

?V11+2V3O=；

@V13-2V42=.

(2)若a+6函=+通71)2,且a,m,n為正整數(shù)，求a的值.

【答案】⑴①而+①；②V7-而

(2)46或14

【分析】(1)將被開方數(shù)寫成完全平方式，再化簡.

(2)變形已知等式，建立a,m,n的方程組求解.

【詳解】⑴解：①J11+2項(xiàng);

=V5+V6；

②J13-2候

=^7-2xV7xV6+6

=J(V7-A/6)2

=V7-V6；

故答案為：(J)V5+V6；@V7—V6；

(2)解：v(m+V5n)2

=m2+5n2+2V5mn

=a+6V5?

2+5n2=a

rmn=3'

m,n,。均為正整數(shù).

fm=1=3

AIn=3或tn=1'

???a=1+45=46或a=9+5=14.

a=46或14.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡，將二次根式的被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒绞绞乔蠼獗绢}的關(guān)鍵.

【題型3利用分母有理化求值】

【例3】(24-25八年級?山東煙臺?期末)閱讀下列材料，解答后面的問題:

11L

司+亞=8-1;

111

-p-+—p--p+—=2—1=1；

V2+1V3+V22+V3

1111「

---------1------------1-----------1---------=V5-1；…

V2+1V3+V22+V3V5+2

(1)寫出下一個等式；

(2)計算赤；+V3+V2+京石+…+赤直演的值；

⑶請求出(,_1,_+_+...+,___1,___)x(VH22+V100)的運(yùn)算結(jié)果.

VV1O1+V1OOV102+V101V21224-VH217

11111「

【答案】(1)不+;^+高+后+;^=遍一1

⑵9

(3)2022

【分析】(1)直接根據(jù)前面的等式，仿寫出下一個等式即可；

(2)先分母有理化，然后合并同類二次根式即可；

(3)先分母有理化，然后合并同類二次根式，再利用平方差公式計算即可.

11111

【詳解】(1)解：石1+亞+高豆+品+直后=返一1

⑵解：V^+l+V3+V2+2+V3+-"+V100+V99

=V2-1+V3-V2+2-V3+---+V100-V99

=VToo-1

=10-1=9.

(3)解：(,_1,_+,_1,_+?-■+,__1,__}x(V2122+V100)

VV1OT+V1OOV102+V10TV2122+V21217

=(V10T-V100+V102-V10T+-??+V2122-V2121)x(V2122+V100)

=(V2122-V100)x(V2122+V100)

=2122-100

=2022

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、平方差公式等知識點(diǎn)，在處理二次根式混合

運(yùn)算時，先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能

結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

【變式3-1](24-25八年級?湖南婁底?期末)計算：

1111

-----------1----------------H-------------------1------F-------------------:-----

2+V23V2+2V34V3+3V4IOOA/99+99V100

【答案】2

【分析】先對代數(shù)式的每一部分分母有理化，然后再進(jìn)行運(yùn)算

、、1111

【詳解】解：2+?+3?+28+4舊+3標(biāo)+…+1OOV^+99V1UU

=-2-V-2十,-3-V-2---2-V-3十,-4-V-3---3-V-4十.…十.-1-0-0-V-9-9-+-99-V-1-0-0

26129900

=]_返+返_立+立_更+…_V100

一F~2VT~~99-100

《

=1---V--1-0--0

100

=1-卷

9

10

【點(diǎn)睛】本題看似計算繁雜，但只要找到分母有理化這個突破口，就會化難為易.

【變式3-2】（24-25八年級?上海?期中）已知廠=2-半且a+"2,請化簡并求值：黑差+黑裝

【答案】4%+2;10

【分析】解方程得出乂=2,再分母有理化，化簡得出原式=4x+2,最后代入x求值即可.

【詳解】解：1=2-若

b(x—b)=2ab—a(%—a)

+ax=(a+以

va+b=2

：.2x—4

.,.x=2

v%+1—yv%+1+Vx

—=--------1--

Vx+1+?Vx+1—y

_(，久+1-?)2|(-%+1+依)2

(Vx+l+Vx)(Vx+1—Vx)(Vx+1—Vx)(Vx+l+Vx)

=%+1—2,久(寸+1)+%+%+1+2J%(寸+1)+%=4%+2

4X2+2=10

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](24-25八年級?湖南長沙?開學(xué)考試)閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式的化簡與

運(yùn)算時，我們有時會碰上如得，H，高

V3y3V3+1

一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：

5___5.機(jī)_5V3

V3-V3xV3-

(2_12x3_V6

J3x3-3，

2=2義(舊-1)=2(遮-1)=原—1

V3+1-(V3+1)(73-1)—(V3)2-12—

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

(1)化簡：石=_；J|=_；v^=-;

(2)化間：詬彳+瓦口|+石工行+…+而用而行;

已知"二聾得”震，求？+押值.

(3)

【答案】⑴竽晉(2)(3)62

【分析】(1)分子分母分別乘VI,返西-8即可.

(2)每一個分母都乘以它的有理化因式化簡后合并即可.

(3)將x,y化簡后，對后面算式運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形，代入即可.

2___2xg

【詳解】

V3-V3xV3

(2_(2x5_V10

J?-J5x5-5'

1_=Q巾

V5+V3―(V5+V3)(V5-V3)-—2-

故答案為第，半，手

(2)原式=*g一1+V5-V3+V7-V5+■■-+”2019—42017)

2

V5-V38-2V15…遍+K8+2VI^

(3)X=~V5+~~V~3-2-

.,.%+y=8,xy=1

yx(x+y)264

一+—=----2=------2=62

xyxy1

【點(diǎn)睛】考查二次根式的有理化.根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化.二次根式有理化主要

利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子.

【題型4由一元二次方程的解求參數(shù)】

【例4】(24-25八年級?遼寧丹東?期末)“新定義”問題就是給出一個從未接觸過的新規(guī)定，要求同學(xué)們現(xiàn)學(xué)

現(xiàn)用，更多考查閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力.定義：方程ex?+版+a=0是一元二次方程a/

+b久+c=0的倒方程，其中a,瓦c為常數(shù)(且a,c力0).根據(jù)此定義解決下列問題：

(1)一元二次方程一4久2+3久+1=。的倒方程是；

(2)若x=一1是一元二次方程/一2刀+c=。的倒方程的解，求出c的值；

2

(3)若m是一元二次方程-6x+x+1=。的倒方程的一個實(shí)數(shù)根，則—+m2—6m+2025的值為.

【答案】(l)/+3x—4=0

(2)c=-3

(3)2025

【分析】此題考查了新定義一倒方程.熟練掌握倒方程的定義，一元二次方程根的概念，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)新定義的含義可得答案；

(2)根據(jù)題意得到方程/-2x+c=0的倒方程為ex2-2x+l=0,把x=—1代入即可得到c的值；

(3)根據(jù)題意得到方程—6/+尤+1=0的倒方程為好+%—6=0,再結(jié)合方程根的性質(zhì)進(jìn)一步解答即可.

【詳解】(1)解：方程一4/+3x+1=0的倒方程是；%2+3x-4=0；

故答案為：%2+3%-4=0；

(2)解：由題意得：方程/-2尤+?=0的倒方程為52一2尤+1=0,

把x=-1代入方程，

得c+2+l=0,

.*.c=—3

(3)解：由題意得：方程一6/+%+1=。的倒方程為%2+%-6=0,

■-m是方程“2+x—6=。的一個實(shí)數(shù)根，

■,■m2+m—6=0,

：.m?+m2—6m+2025=m(m2+m—6)+2025=0+2025=2025.

故答案為：2025.

【變式4-1](24-25八年級?安徽六安?階段練習(xí))己知實(shí)數(shù)。是一元二次方程久2—2025%+1=0的一個根,

求代數(shù)式a?—2024a—裝的值.

【答案】-1

【分析】本題考查的是一元二次方程的解的含義，由方程的解可得a?—2025a+l=0,可得a?

+1=2025a,a2-2024a=a-1,再代入a2—2024a-裝計算即可.

【詳解】解：Q是方程》2-2025%+1=。的一個根，

???a2—2025a+1=0.

.,.a2+1=2025a,a2—2024a=a—1.

22025a

???a—2024a-裝=a-1-=a—1—CL=-1.

2025

【變式4-2](24-25八年級?浙江?期中)已知關(guān)于％的一元二次方程%2—2%=-}n.

(1)若方程有兩個實(shí)數(shù)根，求小的范圍;

(2)設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根是a,b,若y=a2-2a-26(b-2)-3,試求y的取值范圍.

【答案】⑴mW2

(2)y<-2

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解,

(1)根據(jù)方程的根的判別式A20,即可得出關(guān)于小的一元一次不等式，解之可得出山的取值范圍；(2)

根據(jù)一元二次方程的解，可得出層—2a=—，n,b2—2b=—|m,將其代入y=層—2a—2b(b—2)—3=

a2—2a—2(b2—2b)—3,可得出y=$n—3,再結(jié)合(1)中血的取值范圍即可得到y(tǒng)的取值范圍;

解題的關(guān)鍵：(1)利用根的判別式ANO可確定血的取值范圍；(2)利用一元二次方程的解得出2Q=—

b2—2b=-

【詳解】(1)解：,??關(guān)于》的一元二次方程/—2%=——即％2—+=0有兩個實(shí)數(shù)根，

-1

=(—2)2—4x-m>0,

???解得：m<2,

.?.m的范圍是zn<2；

(2)va,b是方程的兩個實(shí)數(shù)根

.-.a2—2a=—1m,b2—2b=—1m,

「.y=Q2_2a_2b(b_2)_3

=a2-2a-2(h2-2b)-3

1/1一

=——m—-—3

1

=—m—3

vm<2,

W—2.

【變式4-3](24-25八年級?江蘇宿遷?期中)規(guī)定：我們用F(a,hc)表示一元二次方程a/+6x+c=0,用

數(shù)組01，久2)表示一元二次方程的兩個解(其中<*2)，當(dāng)接-4ac>。時,F(a,6,c)唯一對應(yīng)一個數(shù)組(打,久2)，

可記作：F(a,瓦c)u(孫K2)?如方程：/+2x—3=0的兩個解分別為1,—3；則有尸(1,2,—3)u(—3,1),

又如F(2,0,—8)U(_2,2),F(1,10,25)C(-5,-5),反之，當(dāng)數(shù)組(問,久2)確定時，卻有無數(shù)個一元二次方

程與之對應(yīng)，如方程尸(1,0,—4)和尸(2,0,—8)的解都是(一2,2)則稱方程F(l,0,—4)和尸(2,0,—8)為同解方程，

記作方程F(l,0,—4)=F(2,0,—8).研究發(fā)現(xiàn):當(dāng)m力0時，總有F(a,b,c)=F(ma,mb,me)成立.

(1)若尸(1,—2,a)u(_2,4)貝！|a=,若F(3,l,b)=F(15,c,56)則c=；

⑵若F(l,—2,t—1)u(犯n),M|m|+|n|=6,求才的值；

(3)如果實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a*c,F(l,-3a,—4b)u(c,d),F(l,-3c,-4d)u(砌,探究k=a+b+c+d

是否為定值？如果是，請求出《的值，如果不是，請說明理由.

【答案】⑴—8；5

(2)t=-7

(3)是定值，k=48

【分析】本題考查了新定義，解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形應(yīng)用,

理解新定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意知，表明一元二次方程d—2%+a=0有兩個實(shí)數(shù)解—2與4,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

即可求解；當(dāng)小豐0時，總有F(a,b,c)=F(jna,mb,mc'),由此可求得c的值；

(2)由尸(1,一2/—1)u(小刀)知，加、〃是一元二次方程%2—2x+t—l=0的兩個實(shí)數(shù)解，且mW%由根

與系數(shù)的關(guān)系知小+幾=2,mn-t-1；結(jié)合+|n|=6,則zn<。<n,再利用完全平方公式的變形即

可求得/的值；

(3)由尸(l,-3a,-4b)u(c,d),尸(1,一3c,-4d)u9,b),則c、d是方程壯-3ax-4b=0的兩個實(shí)數(shù)解,

則。、6是方程/-3cx-4d=0的兩個實(shí)數(shù)解，由根與系數(shù)的關(guān)系得c+d=3a,cd=—4Z?；a+b=3c,

ab=—4d,則a+b+c+d=3a+3c,abed=16bd,從而有b+d=2(a+c),ac=16；再由c是N

—3ax—46=0的解，有c?—3ac—46=0,同理a2—3ac—4d=0,整理得a?+?2—8(a+c)=96,利用

完全平方公式變形可求得a+c的值，而々=。+6+。+￡/=3(61+<),即可判定左為定值.

【詳解】(1)解：由題意知，—2與4是一元二次方程N(yùn)—2x+a=0的兩個實(shí)數(shù)解，

由根與系數(shù)的關(guān)系得：a=-2x4=-8；

當(dāng)m70時，總有F(a,瓦c)=F(ma,nib,?nc),而尸(3,1力)=F(15,c,5b)

竺一￡

-'T=1-

???C=5；

故答案為：—8；5；

(2)解：由尸(1,一2/一1)<=(科總)知，m、〃是一元二次方程/—2x+t—l=0的兩個實(shí)數(shù)解，且

.,.m+n=2,mn=t—1；

+|n|=6,

當(dāng)冽、〃全為正或全為負(fù)時，則|刈+\n\=±(m+71)=±6,這與m+幾=2矛盾；

.,.m<0<n,

+|n|=—m+n=6,

則有(—m+n)2=36,

BP(m+n)2-4mn=36,

--.4-4(t-1)=36,

解得：t=—7；

(3)解：T/q,—3a,—4Z?)u(c,d),—3c,—4d)u(q力)，

??.C、d是方程%2-3。%-4b=0的兩個實(shí)數(shù)解，4、b是方程%2一3次一4d=0的兩個實(shí)數(shù)解，

由根與系數(shù)的關(guān)系得：c+d=3a,cd=—4b；a+b=3c,ab=—4d,

：.a+b+c+d=3a+3c,abed=16bd,

???b+d=2(a+c),ac=16；

vc是%2—3ax—4b=0的解，

.-.c2—3ac—4h=0,即c?—4b=48；

是方程"—3cx—4d=0的解，

—3etc—4d—0,即a?—4d—48；

.,.a24-c2—4(h+d)=96,

即Q2+c2—8(a+c)=96,

.,.(a+c)2—2ac—8(a+c)=96,

整理得：(a+c)2-8(a+c)-128=0,

解得：a+c=16或a+c=—8；

??,當(dāng)ac=16,a+c=—8時，〃、c是方程tn?+8m+16=0的兩個實(shí)數(shù)解，

解此方程得：m1=m2=—4,

即a=c

這與題設(shè)QWc矛盾，

.,.a+c=16,

.,.fc=a+b+c+d=3(a+c)=48,

???k為定值48.

【題型5一元二次方程的特殊解法】

【例5】(24-25八年級?安徽合肥?階段練習(xí))閱讀與思考：

下面是八(1)班學(xué)習(xí)小組研究性學(xué)習(xí)報告的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).研究一元二次方程的

新解法討論一種關(guān)于一元二次方程的新解法一一消去未知數(shù)的一次項(xiàng)，將原方程轉(zhuǎn)化為可以開平方的形式,

將其開平方，從而進(jìn)一步求得方程的解.

【例如】解一元二次方程第2-4%-6=0,

設(shè)％=y+m(加為常數(shù))，

將原方程化為(y+m)2—4(y+TH)—6=0,①

方程①整理，得y2+(2m一4)、+血2-4血一6二0,②

令2m—4=0,解得TH=2.

當(dāng)m=2時，m2—4m—6=22—4x2—6=—10,

?1?方程②化為產(chǎn)—io=o,解得％=V10,y2=-V10,

=yi+m=,%2=y2+6=.

任務(wù)：

(1)直接寫出材料中['部分方程的解久1=,久2=.

(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3/+12久+1=0.

【答案】(l)V1U+2,-V10+2；

(2)孫=亨一2,外=一苧一2

【分析】本題考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，

(1)根據(jù)材料中的方法求出解即可；

(2)設(shè)x=y+m(m為常數(shù))，將原方程化為(y+m)2+4(y+m)+|=0,方程整理，得y2+(2m+4)y+

1-1-1-1-II

m2+4m+-=0,令2zn+4=0解得m=-2,當(dāng)m=—2時，m2+4m+3=-y，方程化為y?—9=0,

解得月=亨，，及=—亨，即可求出答案.

【詳解】(1)解：解一元二次方程爐―4x—6=0,

設(shè)％=y+zn(加為常數(shù))，

將原方程化為(y+6)2—4(、+皿)-6=0,①

方程①整理，得y2+(26一4)、+血2-4血一6=0,②

令27n—4=0,解得m=2.

當(dāng)血=2時，m2-4m-6=22-4x2-6=-10,

?,?方程②化為y2—io=0,解得yi=V1U,y2=-V10,

%i=yi+m=V10+2,々=丫2+血=—V10+2

故答案為：VTo+2,—VTo+2；

(2)設(shè)久=y+m(加為常數(shù))，

將原方程化為(y+m)2+4(y+m)+1=0①

方程①整理，得

y2+(2m+4)y+m2+4m+[=0②

令27n+4=0解得?n=—2,

-1-1-1

當(dāng)?n=—2時，m2+4m+-=--—,

二方程②化為y2—日=o

解得月=亨，％=—苧，

?1?久1=、1+巾=苧-2,x2=y2+m=-^--2.

【變式5-1](24-25八年級?江西景德鎮(zhèn)?期中)解方程：

(1*+島f=3

(2)(1999-x)2+(%-1998)3=1

【答案】(1)打=誓/2=臂

(2)%i=1998,%2=1996/3=1999

【分析】本題考查解分式方程，一元二次方程，熟練掌握解分式方程的步驟和解一元二次方程的方法，是

解題的關(guān)鍵：

(1)去分母，將方程轉(zhuǎn)化為%4+2久3—/—6x—3=0,利用因式分解，將方程化為二個一元二次方程進(jìn)行

求解即可；

(2)令y=x-1998,得到x=1998+y,進(jìn)而得到1999一x=1—y,利用換元法解方程即可.

【詳解】(1)解：/+(忘)2=3,

.,.X2(x+I)2+x2=3(x+I)2,

?,?%2(%2+2%+1)+%2=3(%2+2%+1),

.,.X4+2久3+%2+%2—3%2—6%—3=0,

.,.%4+2%3—x2—6%—3=0,

??.(/+3%+3)(%2—%—1)=0,

.,.X2+3%+3=0或%2—X—1=0,

當(dāng)?shù)?+3%+3=0時，△=32—3X4V0,此方程無解；

當(dāng)%2一%一1=。時，△=(—l)2+4xlxl=5>0,

?"I=F，Xz=丁’

經(jīng)檢驗(yàn)Xl=亨,X2=臂，是原方程的解；

原方程的解為皿=苧￡2=得.

(2)=x—1998,貝！J：x=1998+y,

.,.1999—x=1—y,

原方程化為(1—y)2+y3=1,

.,.1—2y+y2+y3=1,

—2y+y2+y3=0,

-'-y(y2+y-2)=o,

??.y(y+2)(y-1)=0,

.■.y=0或y+2=0或y—1=0,

：.x-1998=0或x-1998+2=0或x-1998-1=0,

.,.x1=1998血=1996/3=1999.

【變式5-2](24-25八年級?安徽安慶?專題練習(xí))求方程14/-4xy+lly2-88%+34y+149=0的實(shí)數(shù)

解

【答案】x=3,y=-1

【分析】本題考查了換元法一元二次方程解，先把方程化為關(guān)于x的方程14#—(4y+88)x+

(lly2+34y+149)=0,利用根的判別式求出y的值，然后代入原方程即可求解出光的值，轉(zhuǎn)化為一元二次

方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將方程化為關(guān)于x的方程14/—(4y+88)x+(11*+347+149)=0,

2

該方程的根的判別式/=[-(4y+88)]-4x14x(lly2+34y+149),

即/=一600y2_i200y-600=-600(y+l)2<0,

???方程有實(shí)數(shù)解，

.-.A>0,

.?.(y+I)2=0,

解得y=-1

將y=—1代入原方程，

得14%2+4X+11-88x-34+149=0,即/-6x+9=0,

.'.（x—3）2=0,

解得=x2-3,

故原方程的實(shí)數(shù)解是x=3,y=-1.

【變式5-3］（24-25八年級?甘肅定西?階段練習(xí)）如果讓你去解方程外―5y+4=0,相信你一定可以很容

易地完成，那么對于方程（/——5（始—1）+4=0,我們應(yīng)該如何去解呢？我們不防將/—1看成一個

整體，設(shè)%2-l=y,則原方程可化為y2-5y+4=0.①

解得月=1,72=4.

當(dāng)＞=1時，x2-l=1,%2=2,x=±V2.

當(dāng)y=4時，x2-l=4,/=5,x=±V5.

即該方程的根為=V2,%2=—V2,%3=A/5,%4=—Vs.

問題：

⑴在由原方程得到①的過程中，利用一達(dá)到降次的目的，表現(xiàn)了_的數(shù)學(xué)思想；

（2）解方程（無2+嗎（久2+久—2）=—L

【答案】（1）換元，轉(zhuǎn)化

（2）X1=與與2=三

【分析】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會用換元法解方程.

（1）換元法的目的是降次；

（2）利用換元法解決問題.

【詳解】（1）解：在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，表現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;

故答案為：換元，轉(zhuǎn)化；

（2）解：設(shè)%2+%=y,那么原方程可化為y（y—2）=—1,

則（y—I）2=0,

所以，yi==1，

.,.%2+久=1,

解得，*1=甘%2=若阻

【題型6根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系的綜合】

【例6】（24-25八年級?四川內(nèi)江?期中）我們在探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)：如果關(guān)于x的

方程a%2+6%+C=0的兩個根是%1，*2，那么由求根公式可推出+乂2=工1-2=?請根據(jù)這一結(jié)

論，解決下列問題：

(1)若a,/?是方程2/+X-5=0的兩根，則a+S=,a邛=；若2,3是方程式2+px+q=0

的兩根，貝Up=，q=;

(2)已知兩個不相等的實(shí)數(shù)冽，〃滿足37n2+2024zn+1=0,*+2024幾+3=0且nmH1,求四的值.

(3)已知a,b,c,滿足a+b—2c=0,abc=9,則正整數(shù)c的最小值為.

【答案】⑴-，—5,6

(3)3

【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識點(diǎn)：若一元二次方程Q/+b%+c=0(aW0)

的兩個根是久L%2，那么％l+%2=—，,久2=；.

(1)直接利用根與系數(shù)的關(guān)系可得a+3和aS的值，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2+3=—p,2x3=q,即可

得到夕、鄉(xiāng)的值；

(2)等式4+2024幾+3=0變形為3(；丫+2024^+1=0,m、(可看作方程3/+2024%+1=0的兩根,

利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解答；

(3)利用已知條件變形得到a+b=2c,ab=3根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，則a、b為一元二次方程/—2cx+

7=0的兩根，再根據(jù)根的判別式的意義得到A=(—2c)2—4x920,然后確定c的最小整數(shù)值.

【詳解】(1)解：,?以，夕是方程27+%_5=0的兩根，

-?a+S=