第八章平面解析幾何

8.4.1拋物線(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一定義及標準方程

定義：平面內(nèi)與一個定點E和一條定直線/的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。

拋物線：y2=2px(p>0)

(1)焦半徑：\AF\=x,+^|5F|=X2+|；焦點弦：|48|=占+%+尸

(2)若直線45的傾斜角為a

1-C0S6Z1+cosa

幽=懸，S^BP-

2sina

(3)以48為直徑的圓與準線相切，以//或斯為直徑的圓與y軸相切

(4)―工

\AF\\BF\p

(5)占%=-。2

(6)中點弦：k=P-(中點坐標和斜率的關(guān)系)

%

題型戰(zhàn)法

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題型戰(zhàn)法一拋物線的定義及辨析

典例1.若動點P到定點廠（-4,0）的距離與到直線＞4的距離相等，則點P的軌跡是（）

A.拋物線B.線段C.直線D.射線

【答案】A

【分析】由拋物線定義可直接得到結(jié)果.

【詳解】動點尸滿足拋物線定義，則其軌跡為拋物線.

故選：A.

變式11.若點P到直線x=-2的距離比它到點（3,0）的距離小1,則點尸的軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

【答案】C

【解析】題設條件等價于點尸到直線》=-3的距離等于它到點（3,0）的距離，滿足拋物線定義.

【詳解】因為點P到直線x=-2的距離比它到點（3,0）的距離小1,

所以點尸到直線%=-3的距離等于它到點（3,0）的距離，

...點尸的軌跡為拋物線，

故選:C.

【點睛】本題考查拋物線的基本定義，考查軌跡思想,屬于簡單題.

變式12.在平面直角坐標系》。了中，設拋物線d=4y的焦點為下，準線為/,P為拋物線上一點,

過點P作尸交準線/于點A,若直線"的傾斜角為30。，則點尸的縱坐標為（）

A.3B.2C.1D.1

【答案】A

【分析】求出"'的長，根據(jù)拋物線的定義可得.

【詳解】設準線與y軸交于“點，則|FM|=2,ZEW=30°,：.\AF\=4,

連接P尸，則|尸尸|=|尸旬，又/尸/尸=90。-30。=60。，所以△以下是正三角形，

??.|尸/|=4,準線/的方程是^=-1,

???P點縱坐標為3.

故選：A

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變式13.拋物線/=4x上一點”到焦點尸的距離是10,則點/到了軸的距離是（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【分析】由拋物線的定義即可求解.

【詳解】解：由題可知，拋物線V=4x的準線方程為x=-l,

因為點M到焦點廠的距離是10,故M到準線x=-l的距離是10,

則點”到V軸的距離是9.

故選：B.

變式14.已知拋物線C：/=8x的焦點為尸，點尸在拋物線上"尸司=6,則點尸的橫坐標為（）

A.6B.5C.4D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的標準方程，確定準線方程，根據(jù)拋物線的定義計算可得；

【詳解】解：設點尸的橫坐標為％,拋物線/=8x的準線方程為工=-2,

???點尸在拋物線上，尸廠1=6,

x0+2=6,x0=4.

故選：C.

題型戰(zhàn)法二拋物線上的點到焦點與定點距離的和、差最值

典例2.已知拋物線C：/=12x,/（0,T）,點尸在拋物線c上，記點尸到直線x=-6的距離為d,

則|尸/|+"的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

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【分析】先求出拋物線V=12x的焦點和準線，利用拋物線的定義將|尸4+"轉(zhuǎn)化為|"|+|尸尸|+3的

距離，即可求解.

【詳解】由已知得拋物線C的焦點為尸（3,0）,準線方程為尤=-3,

設點P到準線x=-3的距離為d'，則d=屋+3,

則由拋物線的定義可知產(chǎn)川+”=|以|+小+3=|以|+|尸川+3.

*/||+1PF|>|AF|=AA2+42=5,當點尸、A、尸三點共線時等號成立，

；.\PA\+d>S,

故選：D.

變式21.已知焦點為尸的拋物線C：f=4y的準線是直線/,點尸為拋物線。上一點，且尸。平垂

足為0,點G（2,0）則歸。+|尸G|的最小值為（）

A.75B.2C.A/10D.2V2

【答案】A

【分析】連接尸尸，由拋物線的定義可知尸尸=尸。，然后結(jié)合圖形可得答案

【詳解】連接尸尸，由拋物線的定義可知尸尸=尸。，

所以|P°|+|尸G|=*|+pG歸/G卜石，

變式22.已知定點4（2,3）,尸為拋物線/=6尤的焦點，尸為拋物線上的動點，則/尸I+IP川的最

小值為（）

A.5B.4.5C.3.5D.不能確定

【答案】C

【分析】過點尸作尸準線/,垂足為根據(jù)拋物線的定義可知|尸盟=|尸網(wǎng)，當且僅當A、P、

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”三點共線時，歸加+產(chǎn)出的最小值為|/叫.

【詳解】如圖所示，過點尸作9,準線/,垂足為

則歸可=歸閭，

當且僅當A、P、M三點共線時，

|尸尸|+1取|取得最小值M叫=2+5=3.5.

故選：C

【點睛】本題考查了拋物線的定義、拋物線的標準方程，考查了基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

變式23.拋物線/=4x的焦點為尸，定點M（2,l）,點尸為拋物線上的一個動點，則附尸|+|尸目的

最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知最短距離為初到準線的距離.

【詳解】解：易知點河（2,1）在拋物線的內(nèi)部，其準線方程為x=-l,

過戶作準線的垂線，垂足為N,則尸N=PP,

故而當尸,監(jiān)"三點共線時，此。|+|即取得最小值2+1=3.

故選：C.

【點睛】本題考查拋物線的定義和性質(zhì)的應用，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答的

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關(guān)鍵利用是拋物線定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

變式24.已知拋物線C：y'x的準線為/，點A的坐標為（1,0）,點尸在拋物線上，點尸到直線/的

距離為d,則1P的最大值為（）

312

A.-B.vC.1D.-

423

【答案】A

【分析】利用拋物線定義，把問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點尸到點/和焦點戶距離差的最大值求解.

1Q

【詳解】拋物線C:V=X的焦點尸（10）,依題意，d=\PF\,則|尸/卜d=|P/|.|P用S/b|="

當且僅當點尸，F(xiàn),N共線，即點尸為拋物線頂點時取“=”，

所以1PH々的最大值為

故選：A

題型戰(zhàn)法三拋物線的標準方程

丫2

典例3.以橢圓三+產(chǎn)=1的對稱中心為頂點，橢圓的焦點為焦點的拋物線的方程是（）.

A.y2=4xB.y2=-4x^x2=4y

C.x2=4yD.y2=4x^y2=-4x

【答案】D

【分析】由橢圓的方程得出橢圓的焦點坐標，然后可得答案.

2

【詳解】因為橢圓三+產(chǎn)=1的對稱中心為原點，焦點為（±1,0）

所以拋物線的方程為/=4x或V=_4x

故選：D

變式31.已知拋物線歹=28（p>0）經(jīng)過點"（刈，20），若點〃到準線/的距離為3,則該

拋物線的方程為（）

A.y2—4xB./=2x或_/=4x

C.y2=8xD.j/=4x或j/=8x

【答案】D

【分析】把W的坐標代入拋物線方程可得”的橫坐標，結(jié)合點W到準線/的距離為3列式求得

P，則拋物線方程可求.

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【詳解】???拋物線產(chǎn)=2px（2>0）經(jīng)過點2亞），

.?.（2行了=2.。，可得毛=：.

又點河到準線/的距離為3,

：."5=3,解得夕=2或夕=4.

則該拋物線的方程為F=4x或/=8x.

故選：D.

變式32.頂點在原點，關(guān)于了軸對稱，并且經(jīng)過點加（-1，2）的拋物線方程為（）

A.v2=4xB.y1--4x

,1,1

C.x=-yD.x=--y

【答案】c

【分析】根據(jù)題意，設拋物線的方程為x2=?（awo）,進而待定系數(shù)求解即可.

【詳解】解：由題，設拋物線的方程為/=?（。-0）,

因為M（-l,2）在拋物線上，

所以1=2*解得。=；,即所求拋物線方程為x2=gy

故選：C

變式33.設拋物線C:/=2/（p>0）的焦點為尸，準線為/,A為C上一點，以尸為圓心，|E4|為

半徑的圓交/于8,。兩點.若/48。=90。，且昉的面積為4g,則拋物線C的方程為（）

A.y2-2xB.y2-4x

C./=8關(guān)D./=16

【答案】B

【分析】利用圓和拋物線的定義得到“8尸是等邊三角形，再A/8尸面積得到忸目的長度，進而建

立關(guān)于。的等式即可求解.

【詳解】解：???以尸為圓心，|出|為半徑的圓交/于2,。兩點，乙430=90。，結(jié)合拋物線的定義

可得:\AB\^\AF\^\BF\

好是等邊三角形，

/FBD=30°.

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???A4B尸的面積為:—\BF^=4A/3,

班>4.

又點尸到準線的距離為怛目sin30°=2=p,則該拋物線的方程為/=4x.

故選：B.

變式34.設拋物線C：/=2px（p>0）的焦點為廠，準線為/,"（5,%）為拋物線C上一點，以M

為圓心的圓M與準線/相切，且過點E（9,0）,則拋物線的方程為（）

A.y2=4xB.y2=2xC.y2=36xD.y2=4x^y2=36x

【答案】D

【分析】首先根據(jù)拋物線的定義得到圓“經(jīng)過焦點廠（3。），又￡（9,0）也在圓上，接著分類討論

當E,尸不重合時，根據(jù)垂徑定理求得。=2；當E,尸重合時，々=9,最后寫出拋物線的方程.

【詳解】由拋物線的定義知，圓“經(jīng)過焦點廠（券,0）,點河的橫坐標為5,

由題意，當￡,尸不重合時，M是線段E尸垂直平分線上的點，

P=2,

所以拋物線的方程為產(chǎn)=4x；

當E,尸重合時，

?4=9

"2'

.?3=18,

所以拋物線的方程為/=36x.

故選D.

【點睛】拋物線方程中，字母。的幾何意義是拋物線的焦點/到準線的距離，與等于焦點到拋物

線頂點的距離.牢記它對解題非常有益.

題型戰(zhàn)法四拋物線的軌跡方程

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典例4.在平面直角坐標系xOy中，已知M(-l,2),N(l,0),動點尸滿足|府.兩|=|所[承則動點尸的

軌跡方程是

A.y2=4xB.x2=4yC.y2=-4xD.x2=-4y

【答案】A

【分析】設尸(xj),然后表示出向量的坐標，代入已知條件，整理后得到動點尸的軌跡方程.

【詳解】設尸(xj),M(-1,2),2V(1,O)

,礪=(1,0),麗=(1,_>)

因為|西.而H麗|

所以|1+x|=+5

整理得y2=4x

故選A項.

【點睛】本題考查求動點的軌跡方程，屬于簡單題.

變式41.已知尸是拋物線了的焦點，尸是該拋物線上一動點，則線段PF的中點E的軌跡方

16

程是()

1

A.x92=Sy-16B.x27=2y~—

C.X2D.X2=2y-2

【答案】A

【分析】先把拋物線整理成標準方程，然后求得拋物線的焦點，設出尸和。的坐標，然后利用廠和

。的坐標表示出尸的坐標，進而利用拋物線方程的關(guān)系求得x和y的關(guān)系及。的軌跡方程.

【詳解】解：拋物線V=的標準方程是》2=16丫，故尸(0,4).

10

設P(x0,%),PF的中點Q(x,y)

O+xo_

,2,卜=2尤

"4+y。[y0=2y-4

.,.片=16%,即(2x『二16(2y一4),即爐=Sy-16

故選：A.

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【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)和求軌跡方程的問題.解題的關(guān)鍵是充分挖掘題設信

息整理求得％和y的關(guān)系.

變式42.設動點。是拋物線＞=2/+1上任意一點，點40,-1）,存在點使得麗=2疝，則"

的軌跡方程是（）

11

A.y=6x9——B.y=3x7+-

33

1

C.y——3x9—1D.x=6y9——

【答案】A

【分析】設由兩=2疝得，代入弘=2x；+l即得解.

【詳解】設初（工,力，尸（再,%）,則由=（x-x”y-%）JS=（-x,-l-y）.

由西7=2礪得

x=

\x—xi=-2x\\3x,

[j;-Ji=-2-2v，--Vi=3v+2.

又尸（再,必）在拋物線歹=2/+1上，

yl=2x；+1,

即3y+2=2x（3xy+l,即y=6x2-g,

故選：A.

【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

變式43.一個動圓與定圓尸：（尤-3）2+丁=4相外切，且與直線/:x=-l相切，則動圓圓心的軌跡方

程為（）

A.y2=6xB.y2-4xC.y2=8xD.y2=12X

【答案】D

【分析】根據(jù)點到直線的距離與點到點之間距離的關(guān)系化簡即可.

【詳解】定圓尸：（x-3y+y=4的圓心尸（3,0）,半徑為2,

設動圓圓心P點坐標為（x,歹），動圓的半徑為廣，1為動圓圓心到直線x=-l的距離，即r,

則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，PF-2=r,d=r

所以必_31+/_2=x+I,

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化簡得：/=12x.

動圓圓心軌跡方程為y2=i2x.

故選：D.

變式44.在平面直角坐標系中，已知點“（2,0）,點3為直線/：x=-2上的動點，點A在線段的

垂直平分線上，且則動點A的軌跡方程是（）

A./=8xB.y2=4x

C.x2=SyD.x2-4y

【答案】A

【分析】由拋物線定義得動點軌跡是拋物線，由此易得方程.

【詳解】由題意|/同=|/"|,AB11,所以A點軌跡是以河為焦點，直線/為準線的拋物線，

由5=2得P=4,所以拋物線方程為/=8x.

故選：A.

題型戰(zhàn)法五拋物線的幾何性質(zhì)

典例5.已知尸為拋物線C：V=8x的焦點，點N為C上一點，點3的坐標為（6,0）,若|/司=忸司，

則尸的面積為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式可求得A點的橫坐標，從而可求得A點的縱坐標，即可求出三

角形的面積.

【詳解】解：由題意得尸（2,0）,

則尸|=|既|=4,

即點“到準線》=-2的距離為4,

所以點N的橫坐標為2,

當X=2時，y=±4,

即圖=4,

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所以LBF=：X（6-2）X4=8.

故選：C.

變式51.已知拋物線C:/=4x的焦點為/，準線為/,點尸在。上，直線尸產(chǎn)交y軸于點Q,若

PF=3FQ,則點P到準線/的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】求出焦點廠的坐標，過點p作了軸的垂線，垂足為N,由。/〃PN可得第=第=

求出|PN|,結(jié)合拋物線的定義，即可得解.

【詳解】解：由拋物線C：/=4x,可知尸（1,0）,準線/的方程為x=-l,

過點尸作了軸的垂線，垂足為N,

因為。尸〃PN,所以第=盥=]

所以|即|=4|尸0=4,

所以點P到準線I的距離為4+1=5.

故選：C.

變式52.已知點尸是拋物線C:必=8x上的動點，過點尸作圓/：（》-2『+/=1的切線，切點為。，

則|尸。|的最小值為（）

3

A.1B.V2C.V3D.-

【答案】C

【分析】分析可知圓M的圓心為拋物線C的焦點，可求出忸叫的最小值，再利用勾股定理可求得

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I尸。I的最小值.

【詳解】設點P的坐標為（嘰〃），有1=8優(yōu)，

由圓〃的圓心坐標為（2,0）,是拋物線C的焦點坐標，有值欣|=加+222,

由圓的幾何性質(zhì)可得尸。，,

又由|PQ|=y]\PMf-\QM\2=加/1>V22-l=43,可得|尸。|的最小值為百.

故選：C.

變