河南省實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年下期期中考試

局一數(shù)學(xué)

（時間：120分鐘，滿分：150分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個選項中，只有

一個選項是符合題目要求的.

2_

1.已知向量.與b的夾角為3兀，且|6|=石，則。在人上的投影向量為（）

A75,A/5,「2A/5275

A.—bBR.--------bC.------bnD.---------b

5555

【答案】B

【解析】

【分析】由投影向量的定義代入計算，即可得到結(jié)果.

II2bb卮

【詳解】。在b上的投影向量為阿—丁才友=一行，

故選：B

2.水平放置的四邊形ABC。的斜二測直觀圖是直角梯形AB'C'D',如圖所示.其中8'C'=A3'=1,則

原平面圖形的面積為（）

A.*B.-C.372D.6^/2

84

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測畫法的圖形性質(zhì)可得原圖形的形狀，進(jìn)而可得面積.

【詳解】由直角梯形AB'C'D'中B'C'=A'B'=1,且NA'D'C'=45，作A'P±O'C'于P,

則四邊形AB'C'P為正方形，.APiy為等腰直角三角形，

故AZ>'=VLD'C'=2.

故原圖為直角梯形，且上底A5=A5'=l，高=2A'￡>'=2J5，

下底DC=D'c'=2.

3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z—1—i|=l,則|z+i|的最大值為()

A.1+75B.3C.1+A/3D.1+V2

【答案】A

【解析】

【分析】先確定|z-1-i|=l所表示的圖形，再分析|z+i|的幾何意義，最后結(jié)合圖形求出|z+i|的最大

值.

【詳解】設(shè)2=%+耳(x,yeR),貝!Jz-l—i=(x-l)+(y-l)i.

已知|z-1—i|=1,根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式可得|z—1—i|=7(X-1)2+(J-1)2=1.

等式兩邊同時平方可得(x-1)2+(y—Ip=1,

這表示復(fù)平面上以點C(l,l)為圓心，半徑廠=1的圓.

因為z=x+yi,所以z+i=x+(y+l)i,則|z+i|=小爐+(y+1)2,

它表示復(fù)平面上復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點Z(x,y)與點A(O,-1)之間的距離.

根據(jù)兩點間距離公式，可得圓心C(LD與點A(O,-1)之間的距離為:

|AC|=7(l-O)2+(l-(-l))2=VTT4=6.

因為Iz+iI表示點Z(x,y)與點A(O,-1)之間的距離，而點Z(x,y)在以C(l,l)為圓心，半徑為1的圓上,

所以Iz+i|的最大值為圓心C到點A的距離IAC\加上圓的半徑r,即|z+i島=|AC|+r=y/5+l.

Iz+i|的最大值為1+6.

故選：A.

4.已知平面向量］,了滿足1=(1,一1)，"=1，1+2力=亞，則］與］的夾角為()

A.—B.—C.—D.—

6644

【答案】D

【解析】

【分析】

把：+2辦=0平方求出)7,再由數(shù)量積定義求得夾角的余弦值，得夾角.

【詳解】因為a=(l,—l)，

所以。V2

,2,2

所以a+2b=V2=^2na+4b+4a-6=2=>=-1,

—>T

一7a-b-1_V2

COS<a,b〉=1_n_r=

故-

a21x722

故；;與％的夾角為一「?

CtczA

故選：D

5.在四棱錐P-A5CD中，底面ABC。為平行四邊形，E為線段的＞上靠近A的三等分點，F(xiàn)為線段

PF

PC上一點，當(dāng)PA//平面鉆/時，——=()

PC

p

A.—B.—C.-

453

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行，再根據(jù)平行得出比例關(guān)系即可.

【詳解】連接AC交BE于點。，連接。尸，

由B4//平面5防，PAu平面QAC，平面PAC1平面BEF=EF，

所以CR//B4,

因為底面ABCD為平行四邊形，所以一=-=一,

OCBC3

PFAO1PF、1

又OFIIPA,則一所以一；-

FCOC3PC4,

故選：D.

P

6.設(shè)O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三點，動點尸滿足

(\

八n八“，ABAC

OP—OA.+A?1+1?,/%G[0,4W),則點尸的軌跡經(jīng)過士ABC的()

|ABcosBACcosC

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算可得AP8C=0,進(jìn)而根據(jù)可得結(jié)合垂線的定義即可求解.

ABBCACBC

【詳解】。尸.3。=。43。+/1+=(9A-5C+2(-IBCl+l5C|)=<9A-5C,

|AB|cos5|AC|cosCjv117

則0P8C-。A-BC=O，即4尸-2乙=0，故AP_L6C,即點P的軌跡經(jīng)過VABC的垂心.

故選：C

.12

7.點。在VA3C的內(nèi)部，且滿足：AO=-AB+-AC,則VA3C的面積與VAC出的面積之比是

()

75

A.-B.3C.-D.2

22

【答案】C

【解析】

4

【分析】利用向量平行四邊形法則可知點。在的中線3D上，且=從而可得

41

S4OB=gSABD，根據(jù)SABO=5SABC即可求解.

因為AO=gA3+|AC,

所以A0=g（03_0A）+|（0C_0A）,即OB+2OA+2OC=Q>

取AC中點為點。，

UULUUIUUUIU

則。A+OC=2O。，即40。=—03，

4

所以0在中線3D上，且

過0,0,分別作邊上的高，垂足為M,N,

OMOB4

則n<——=——=-,

DNBD5

、_4_1

所以SA0B=《SABD'SAB￡）=QSABC,

所以SA0B=~SABC，

V5

二匚[、[UABC_J

所以7-------不，

)AOB乙

故選：C.

8.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若。2+?2=02,且sinAe[孝,坐],貝U

tan8的取值范圍為()

A.[1,2]B.[72,3]C.[1,2]D.[g,26]

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦及正弦定理可得sin3=3sinAcosC,利用三角恒等變換可得tanC=2tanA,再由兩角

tan7?______3______

和的正切公式得出一g,41，即可利用單調(diào)性求出取值范圍.

2tanA--------

tanA

【詳解】由/+』/=02,可得。2一/='〃，

33

所以_a2+b2-c2b2-(c2-a2)/-))，

2ab2ab2ab3a

即Z?=3acosC,

由正弦定理，sin5=3sinAcosC,

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=3sinAcosC,

可得cosAsinC=2sinAcosC,

因為a2+g〃=c2,所以三角形不為直角三角形,

所以兩邊同除以cosAcos。可得tanC=2tanA,

由〃2+工/=，知〃<c,所以A為銳角，

3

由sinAe,鼻可得tanAG[1,夜]

八/,小tanA+tanC3tanA3

tanB=-tanA+C)=-----------------=--------------=------------------

因為tanAtanC-12tan-A-l2tanA-

tanA

令/=tanA/e[1,0]時，丁=2f-1為增函數(shù),

所以lV2tanA———<1^1,所以后Vtan343.

tanA2

故選：B

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分.

9.已知°,6是兩條不同的直線，々是一個平面，下列命題錯誤的是（）

A.allb,bua=allaB.alia,buanallb

C.alia,allb=bllaD.ac/ia,allb,buanalIa

【答案】ABC

【解析】

【分析】A.利用線面平行的判定定理判斷；B.利用線面平行的性質(zhì)定理判斷；C.利用線面平行的判定定理

判斷；D.利用線面平行的判定定理判斷.

【詳解】A.allb,buaoalla或aua,故錯誤；

B.alia,6uena〃萬或a與b異面，故錯誤；

C.alla,allb=>blIa或bua,故錯誤；

D.a<^a,allb,bua=alIa,故正確；

故選：ABC

10.對于VA3C,下列說法錯誤的是（）

A.若A>3，則sinA>sinB

B.若acosA=Zx2s3,則VABC等腰三角形

C,若3=30,c=41=3,則符合條件的VA3C有兩個

D.若a=2,4則銳角VA3C周長的取值范圍為（4,6]

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理即可求解AC,根據(jù)邊角互化，結(jié)合二倍角公式即可求解B,利用三角恒等變換，結(jié)合

三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.

【詳解】對于A,若A>j?，則。>6,故sinA>sin6,故A正確，

對于B,acosA=bcosB,則sinAcosA=sinBcosB，則sin2A=sin2B,2A2Be（0,2兀），進(jìn)而2A=2B

TT

或2A+25=兀，故A=5或A+3=—，故VA3C是等腰三角形或直角三角形，B錯誤，

2

對于C,由于csinB=2<b<c=4,故符合條件的VA3C有兩個，C正確,

a4

對于D,——r=~[=,故

smA，3

a+b+c—2+

兀

0<B<-

2,,71_71,一,71?712兀?7兀1|

由于，故一<3<一,因此一<3+—<一，故二一<sm|8+—

二271c兀623632?J

0<-----B<—6

32

故2+26<2+4sinfB+—1<6,故D錯誤,

故選：BD

11.定義：a力兩個向量的叉乘4b=a也與11(4⑼，則以下說法正確的是()

A.若axb=O，則?！?

B.X(axb)=(Xa)xb

C.若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于ABXAD

D.若axZ?=a-b=l,則k/+0的最小值為娓

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項，得到a=0或Z?=0或凡6同向或反向，A正確；B選項，丸20時滿足要求，彳<0時，兩

者不等；C選項，利用平行四邊形面積公式得到C正確；D選項，根據(jù)叉乘和向量數(shù)量積公式化簡得到

a-b=2,再a+臼平方后，利用基本不等式進(jìn)行求解，得到答案.

【詳解】A選項，axb=\a\-\b\-sin(a,b)=0,

所以同=0或W=0或sin(a/)=0,所以a=0或匕=0或同向或反向,

故a//b，A正確;

B選項，二彳,卡卜達(dá)卜,,(Ad)xb=Acz|--sin(Aa,,

若丸之0,則(4a)x)=dd?忡sin(a,",故」(ax1)=(Xa)xB,

若2<0,則(曲義)二一彳口少卜出色,“，此時4(ax。卜(2a)義A,B錯誤;

C選項，若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于網(wǎng)?“卜in（A5,AD）,

而ABx4￡）=,叫4￡）卜in（AB,AD）,C正確；

D選項,由題意得axb=b?sin.,Z?）=/，a-Z?=|?|-|/7|-cos^a,^=1,

兩式平方相加可得,『?=4,即［口囚=2,

又卜+0=/（。+6）=\la+2a-b+b=Ja|+2+|"，

由基本不等式得\a+b\=Jd+W+2>用料+2=76,

當(dāng)且僅當(dāng),|=1|=J5時，等號成立，故卜+目的最小值為#,D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為一.

【答案】走兀

3

【解析】

【分析】根據(jù)展開圖與圓錐的對應(yīng)關(guān)系列方程解出圓錐的底面半徑和母線長，求出圓錐的高，得出體積.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長/為2,它的側(cè)面展開圖為半圓，

半圓的弧長為：2兀，即圓錐的底面周長為：2兀，

設(shè)圓錐的底面半徑是r,高為〃，

則得至!j271T=2兀，解得：r=b

這個圓錐的底面半徑是1,所以圓錐的高力=獷，=J曰=g.

所以圓錐的體積為：工兀戶h=昱.

33

故答案為：叵

3

13.已知平面向量a=匕=（3,5）,若。與人的夾角為銳角，則實數(shù)尤的取值范圍為.

35

【答案】

5'3

【解析】

【分析】根據(jù)a與匕的夾角為銳角，由夕6>0,且。與b不共線求解.

【詳解】因為平面向量a=(l,x),b=(3,5),且。與b的夾角為銳角,

所以。為>0，且。與b不共線，

所以3xl+5xx>0,且3xxw5xl,

35

解得x〉——，且xw—,

53

所以實數(shù)X的取值范圍為［黃］L，

故答案為:VIM*)

14.已知正三棱柱ABC-AAG，側(cè)面BCC］用的面積為4百，則該正三棱柱外接球表面積的最小值為

【答案】1671.

【解析】

【詳解】分析：先求出底面三角形的外接圓的半徑，再求三棱柱外接球的表面積，再利用基本不等式求最小

值.

詳解：設(shè)BC=a,CG=6則ab=4，^.

底面三角形外接圓的半徑為

所以尺2=

所以該正三棱柱外接球表面積的最小值為4^rx4=16zr.

故答案為16不

點睛：(1)本題主要考查幾何體的外接球問題，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和空間想象能

力.(2)求幾何體外接球的半徑一般有兩種方法:模型法和解三角形法.模型法就是把幾何體放在長方體中，

使幾何體的頂點和長方體的若干個頂點重合，則幾何體的外接球和長方體的外接球是重合的，長方體的外

接球的半徑1=4商+方+02就是幾何體的外接球半徑.如果已知中有多個垂直關(guān)系,可以考慮用此種方

2

法.解三角形法就是找到球心。和截面圓的圓心O'，找到OO'、球的半徑。4、截面圓的半徑o'A確定的

WAOO'A,再解處AOO'A求出球的半徑Q4.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知復(fù)數(shù)句=1-劣，zz=2+i,i為虛數(shù)單位.

(1)若復(fù)數(shù)Z1+az2對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)。的取值范圍;

(2)若復(fù)數(shù)z==^,求z的模.

%—4

【答案】(1),2)

2

⑵—

2

【解析】

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則化簡復(fù)數(shù)4+az2,求出對應(yīng)點的坐標(biāo)，利用點在第四象限得

到不等式組，即可求實數(shù)。的取值范圍；

Z)

(2)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)z=——,從而求出z的模.

【小問1詳解】

Z]=1-2i,z2=2+i,

二復(fù)數(shù)4+華=(l-2i)+a(2+i)=(l+2a)+(a-2)i,

復(fù)數(shù)4+—在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(l+2a,a-2),

l+2a＞011

由題意可得＜cC，解得——＜。＜2,即實數(shù)a的取值范圍是z——，2.

a-2＜022

【小問2詳解】

z,2+i2+i(2+i)(l-3i)5-5i11.

z=------=---------------=-----=-------------=-----=-----1,

z2-zt(2+i)-(l-2i)l+3i(l+3i)(l-3i)1022

16.如圖，在直棱柱A5C—A與G中，點E,歹分別為AB4與，3c的中點，線段與線段”

交于點G.

(2)若AC=BC-CCX=2,AC±BC,求三棱錐A—AGG的體積.

【答案】(1)證明見解析；

⑵士

9

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形可證明線線平行，進(jìn)而可得線面平行，進(jìn)而得面面平行,

(2)根據(jù)線面垂直，可得三棱錐的高，進(jìn)而根據(jù)錐體體積公式即可求解.

【小問1詳解】

連接DE,因為在三棱柱ASC—A與G中，D、E分別為ABAg的中點，

所以。E//A4//CC1，且。E=A&=CG，則四邊形DEG。是平行四邊形，

故ECJ/DC,又CZ)u平面片CDEC]它平面用。，

所以ECJ/平面片CD,

因為在三棱柱ABC—A與G中，AB/Z^B^AB^A^,

ZXE分別為ABA用的中點，

所以B.EHAD,且3]E=A。，四邊形與陰。是平行四邊形，

所以EA//DB},又D3IU平面4CDE4它平面BCD,

所以E4//平面片C。，又￡Au平面AGE,EGu平面AGE,EAr\ECx=E,

所以平面AC】E//平面片CD；

【小問2詳解】

因為AC=3C=CG=2,ACLBC,

所以=X2X22過點作〃。于點連接

5ACIA1M-AG=1='66,4QE,

因為三棱柱ABC-431G為直三棱柱，所以平面ACG4,平面ABC,且兩平面交線為AC,G"i平面

ABC,所以平面ACGA，

因為D,F是AB,3c的中點，所以。R=』AC,且DE//AC,

2

所以"=H=:，其中。=受4。=0，所以。6=述，

GCAC223

2

因為＜GH是等腰直角三角形，所以GH=§,

14

VA-^G=yG-A^=-SMCJGH

4

故三棱錐A-4GG的體積為§.

17.已知。，仇c分別為VABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且bcosC+JWbsinC=a+c-

(1)求5；

⑵若b=2#）,且VA3C的面積為26，求VA3C的周長.

TT

【答案】（1）-

3

⑵6+26

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合兩角和的正弦公式、輔助角公式進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

因為力cosC+?sinC=a+c，

所以sinBcosC+A/3sinBsinC=sinA+sinC，

sinBcosC+百sinBsinC-sin+C）-sinC=0,

sinBcosC+6sinBsinC-sinBcosC-cosBsinC-sinC=0，

A/3sinBsinC-cosBsinC-sinC=0nsinC（括sinB-cosB-1）=0,

因為sinCw0,所以6sinB—cosB—l=0,

即2sin_%■]二],所以五口[6=5，

ITTTSirTT71TT

因為0<5<兀，所以——<B——<——，所以有3——=—,所以3=2.

666663

【小問2詳解】

因為。=2百，.且VABC的面積為2g，

^=/+。2—2〃c1

2a2+c2-20

所以有<廠

Lac9=26ac=8

122

所以（a+=36,即〃+c=（5,所以VABC周長為6+26.

18.如圖，圓C的半徑為3,其中A、3為圓C上兩點.

C

G

(1)若cosNCAB=L

當(dāng)上為何值時,AC+2AB與kAC—AB垂直？

3

(2)若G為VA3C的重心，直線/過點G交邊46于點。交邊AC于點Q,且好=2注,

AQ=pAC,求2+〃最小值.

(3)若|AC+fA目的最小值為1，求卜目的值.

【答案】(1)笈T

13

⑵-

3

(3)網(wǎng)=4及

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求出A3的長，利用平面向量數(shù)量積的定義可求出AC的值，由已知可得出

AC+2AB)(kAC-AB)=Q,利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出關(guān)于左的等式，解之即可;

air1ULMiuirii

⑵由重心的性質(zhì)推導(dǎo)得出+由尸、G、Q三點共線，推導(dǎo)出丁丁3,將代數(shù)式

If11)

X+〃與7-+-相乘，展開后利用基本不等式可求得X+〃的最小值；

(3)設(shè)=m(加＞0),推導(dǎo)出=利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出

AB+tAc\=Jm21J+9-，再結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出卜8+/4。|的最小值為1可求

得m的值，即為所求.

【小問1詳解】

因為C4=CB=3,cosZCAB=-,

3

所以由余弦定理得CB~=AC2+AB--2AC-ABcosZCAB，

即9=9+A82—2x3xA8><』，即AB?—245=。，解得筋=2,

3

由平面向量數(shù)量積的定義可得A3?AC=|A3,A。cosN54C=2義3xg=2,

若AC+2AB與kAC—AB垂直，貝U（AC+2AB）?（左AC—A3）=0,

所以kAC?+（2左一l）Afi.AC_2452=0,所以9左+2（2Z—1）—8=13Z—10=0,解得4=晟,

即當(dāng)人=￡時，AC+2AB與左AC—AB垂直.

【小問2詳解】

因為G為VABC重心，所以AG=——（AB+AC\=-AB+-AC,

32、'33

又因為筋=2罰，AQ=1LIAC,所以AGU:AB+:ACMJAP+IAQ,

33323〃

由于尸、G、Q三點共線，所以存在實數(shù)〃吏得PG=rPQ,

所以AG—AP=?AQ—AP）,化簡為AG=（1—"AP+/AQ,

-=l-t

O0]111

,所以丁=，所以彳+_=

因為AP、AQ不共線，所以，＜T13747+3〃14〃3.

3〃/

/、

（11}+-K-12+24

顯然文〉0,〃>0,則zl+〃=g（/l+〃）―+―I匕4

32〃3

317

2￡

4A

1124

當(dāng)且僅當(dāng)《—+—=3時，即當(dāng)＞1=4=§時，X+〃取最小值

24

2>0,//>0

【小問3詳解】

設(shè)AB=m(m＞0),取線段AB的中點E，連接CE,則CE4AB,

1I12

則ACAB=（AE+EC）AB=AEAB+ECAB=jAq,

XIAC+MB|=AC+MB)2=VAC2+2tAB-AC+rAB=^9+tAB+t-AB

所以當(dāng)/=—；時，|AC+/A@有最小值，9—1，所以，9—[=1，解得根=40，

即|AC+〃I可取最小值I時，|AB|=4四.

19.已知a,"C分別為VABC三個內(nèi)角A&C的對邊，且S+c+a)S+c—a)=3乩，b=2.

(1)求A；

(2)若VA3C為銳角三角形，且外接圓圓心為。.

(i)求AC的取值范圍；

(ii)求，OAC和,03。面積之差最大值.

JT

【答案】(1)M

3

(2)(i)(-2,1)；(ii)立

【解析】

【分析】(1)先對已知等式變形，得至U〃+c2—/二人。，再用余弦定理求出cosA的值，結(jié)合角A的范圍

確定A的大小.

(2)(i)先把轉(zhuǎn)化為BOld—因為。是外心，得出與的值.

用余弦定理求出片,進(jìn)而得到30關(guān)于。的表達(dá)式.再用正弦定理求出c關(guān)于3的表達(dá)式，根據(jù)角3的

范圍確定c的范圍，最后得到50?AC的范圍.

(ii)先根據(jù)三角形外接圓半徑與三角形邊和角的關(guān)系得出外接圓半徑表達(dá)式，再利用三角形面積公式結(jié)

合已知圓心角求出SQC和SOBC，進(jìn)而得到SOAC—SOBC的表達(dá)式，通過換元法將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，最后

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值.

【小問1詳解】

(b+c