江西省萍鄉(xiāng)市2024屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.集合A={x|—1<X<2},3={N—若的充分條件是xeA,則實數(shù)

m的取值范圍是（）

A.（-1,2）B,[2,+00）C.（-2,2]D.（2,+8）

【答案】B

【解析】A={x|—1<x<2},B={x|—2<x<m},

因為的充分條件是xeA,所以

則加N2,

故選：B.

2.復(fù)數(shù)z=（2+3i乂3+2i）,下列說法正確的是（）

A.z的實部為12B.z的虛部為13i

C.z=12-13iD.|z|=13

【答案】D

【解析】由于復(fù)數(shù)z=（2+3i）（3+2i）=6+4i+9i—6=13i,

所以z的實部為0,虛部為13,故AB錯誤；

所以N=-L3i,慟=13,故C錯誤,D正確.

故選：D.

3.已知隨機變量JN（2,9）,且P（JW1）=尸（J?a+2）,則a=（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】隨機變量JN（2,9）,

所以尸（《Wl）=P偌23）=PK2a+2）,所以a+2=3,故a=l.

故選：C.

4.已知|。|=2,6=（1,、笈），|d—26|=2,則向量。與方的夾角為（)

【答案】A

【解析】因為6=(1,0)，所以忖=J12+(收)2=6,

又問=2,\a-2b\=2,a2+4Z?2-4a-/?=4+12-4tz-/?=4>解得a^=3.

7a，b3A/3兀

??5。力=麗=刀1=三，且。,吶。,利，

TT

即向量2與8的夾角為二.

6

故選：A.

5.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而

成.如圖，已知一木制陀螺內(nèi)接于一表面積為64兀的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個

截面，圓錐的頂點在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為4g，則該陀螺的體積為

B.56兀C.64nD.72K

【答案】B

【解析】如圖：做陀螺的軸截面，則陀螺的軸截面內(nèi)接于圓。，設(shè)圓。的半徑為尺，圓柱的

底面半徑為廠.

由4兀氏2=64兀=＞尺=4，球心為圓柱的中心,

又圓柱的底面半徑r=2^3,所以球心到圓柱底面距離d=JR2f2=2,

所以圓柱的高為2d=4,圓錐的高為/z=R—d=2,

所以該陀螺的體積為V=兀/義4+』兀/X2=48兀+8兀=56兀.故選：B.

3

6.已知口=也力=工,0=生詈，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）

42ee2

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】C

“、lux、2-21nx

【解析】4/（x）=—,r（%）=——

所以/（X）在（0,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減，

22

ee

因為r：2—ln2_lne—ln2=2=2=fe,

22227

eeee27

且a=q=〃4）/=；=/（e）,則/（e）>/M>/（4）,即a<c<b.

42eI2J

故選：C.

7.點M將一條線段A3分為兩段AM和MB,若把=%=1二1,則稱點加為線段

ABMA2

AB的黃金分割點.已知直線y=a（-l<a<1）與函數(shù)y=sin（ox+。）的圖象相交，

A,5c為相鄰的三個交點，則（）

A.當。=0時，存在。使點3為線段AC的黃金分割點

B.對于給定的常數(shù)。，不存在。使點8為線段AC的黃金分割點

C.對于任意的。，存在。使點8為線段AC的黃金分割點

D.對于任意的。，存在。使點8為線段AC的黃金分割點

【答案】D

【解析】若處=或二1,則也=注1=或二1

AB2MAV5-12

即3_=1二1二點M為線段的黃金分割點，

AB

AB2

當a=0時，—=1,不存在。使點3為線段AC的黃金分割點，故選項A,C錯誤;

BC

AHAHAR

如下圖，當a-1時，----->0,當〃——1時，----->+“，則——w（0,+“）,

BCBCBCv7

則存在一個%e（-l,l）使得—=叵口，故選項B錯;

BC2

對于選項D,若y=siru與y=a（-l<a<1）相交于相鄰的三點A,B,C,

A5x-x

其橫坐標分別為石,七，無3（%W%2W%3），則=一2_r,

將y=sinx變換成y=sin（ox+。）后，點A,B,C分別對應(yīng)到點A',B',C,

FL1兩/￡.%一,X?一,巧一，

CDCDCD

ArBfxl—x!x—xABAB

故=f一一oL=—,即④。對比值一無影響，故選項D正確.

A'Cr'_%—蒼ACAC

8.如圖1,與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線都相切的圓被稱為三角形的旁切

圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個三角形有三個旁心.如圖2,已知耳，工是

22

雙曲線「-與=1（。>0,6>0）的左、右焦點，尸是雙曲線右支上一點，。是△尸耳耳的一

ab

個旁心.直線尸。與x軸交于點M,若嗎=6,則該雙曲線的漸近線方程為（）

C.y=±^^~xD.y=±y/2x

【答案】D

【解析】因為。是Ng的一個旁心，所以工。平分NPF2M,所以庫?=腳=73,

\F2P\\Qp\

|P^|-|P^|\F,M\-\MF\

又PM平分”2,所以局=刷，所以2

\PF2\"\MF^

la_2c

印西=西所以廠兩=6

h

所以9==/，所以該雙曲線的漸近線方程為y=±JL:.

a

故選：D.

二、多選題

2a”，〃為奇數(shù)

9.數(shù)列｛風(fēng)｝(〃€N*)的前〃項和為5.，若4=1,%=J_，〃為偶數(shù)’則下列結(jié)論

1明

正確的是()

A.%=2B.S10=12

C.｛S/為遞增數(shù)列D.｛%,-J為周期數(shù)列

【答案】BCD

2ali，〃為奇數(shù)

【解析】由題意，數(shù)列析“｝滿足《!=

1,4+1，〃為偶數(shù)’

當〃=1時，4=2al=2,當九=2時，。3=一

A錯誤；

當九=3時，%=2a3—1；

若〃為奇數(shù)，則72+1,〃+3為偶數(shù)，〃+2,〃+4為奇數(shù),

11c

則4+1=2?！??！?2=--------=--,a?+3=2%

an+l

若“為偶數(shù)，則〃+1,〃+3為奇數(shù)，〃+2,〃+4為偶數(shù),

aa

則?+i=—，n+i=24+i=—,。“+3==-f-,q+4=2。,+3=an.

ananan+2,

所以數(shù)列｛4｝是以4為周期的周期數(shù)列.

故%=%+%+%+-+%。=2（-%）+%+?1。=211+2+（+1

+1+2

=12,B正確：

又由4>0,故｛S,,｝遞增，C正確；

由上述討論可知，｛4,-｝的項為1，J，1，故是周期數(shù)列，D正確.

~2

故選：BCD.

10.已知2"=5"=10，則下列關(guān)系正確的是（）

A.ea~b>1B.a+b<ab

C.a+4b<9D.J+l]+[:+2]>

【答案】AD

【解析】因為2a=5"=10，

所以a=log,10=l+log25=F力=1(^510=1+10852==

lg2lg5

…,11Ig5-lg2

對A選項,a—b=---------=->--0--,--所---以ea-〃>e°=l，故A正確;

lg2lg5Ig5-lg2

1J_____1_1Ig5+lg2-1IglO-l

對B選項,a+b-ab-Ii2+lg5-lg2，li5

Ig5-lg2Ig5-lg2

所以〃+/?=〃/?,故B選項不正確；

對C選項，因為—I—=1g2+1g5=1,

ab

所以"+昨（?4噌+訃9+/522行+5=9,

而aw%,故上述不等式等號不成立，則a+劭>9,

故C不正確；

22

1

對D選項,—+1I+1-+2I=(lg2+1)*2+(lg5+2)2=(lg2+l)2+(l-lg2+2)2

ab

=21g22-41g2+10=2(lg2-l)2+8>8故D正確.故選：AD.

11.設(shè)。為坐標原點，直線/過拋物線。：丁2=4%的焦點歹且與。交于4,3兩點，M,N

滿足/尸=20尸,BNuZOMAM與Nb相交于點P,則下列結(jié)論正確的是（）

111

A.ABMNB.------1--------=I

MNAF

C.OPOF>0D.ANP面積的最大值為1

【答案】ABD

【解析】因為AfF=2O尸，則。平分線段MF，又BN=2ON，則。平分線段BN,

則四邊形的WE為平行四邊形，故A對;

因為四邊形瀏勿\丁為平行四邊形，所以肱V=BF,

112

對于拋物線可證其有性質(zhì)］由+1U7=一，證明如下:

\AF\\BF\p

若岫斜率存在，設(shè)，B：y=k（x-^,4（%,%）,5（七,為），

“2”2

與方程>2=2外聯(lián)立，得:k2x2-p(k2+2)尤H———=0,

42+2

由直線過焦點，A>0成立,/.玉+/=P>=~~~，

k2

1111再+/+

-----------1------------------+P

IAF|\BF\PX+-

XyH-----2y芯%2+/(再+%2)+—

1

2乙L4

k2+2

P~P2

P24P上2+2,P2P

~\--------

42k24

若L斜率不存在，則/皿x=g

易求得|”|二忸同=p,

112

-----------1-----------——

\AF\\BF\p

1111

故----1----------1-----=1,故B對;

AFMN\AF\\BF\

當AB/x軸時，根據(jù)對稱性，P在y軸上，止匕時op.。尸=0，故C錯;

對于拋物線可證其有性質(zhì)必乂=一證明如下:

設(shè)人（%,3）,5（%2，%），因為/過焦點尸，

設(shè)鮑：x=my+^,

與方程y2=2px聯(lián)立，得：y2-2pmy-p2=0

2

?,-%%=一。，

則%為=-4,則

，,，_%,為4%,4y24%貢+16%+4%￡+16,2一0

""-EK/――（4+4而+4）——

則ZAMO=N3A/O,又NNFM=NBMO,則N7VFM=,

即為等腰三角形，且V軸為MF的垂直平分線，故P必在V軸上，

此外，MNA5,則一加=5的，則5.尸=5慚=3〃4|。目=|。以

當肱1與拋物線C相切時，|0尸|取得最大值1,即S*NP的最大值為1，故D對，

故選：ABD.

第n卷

三、填空題

12.一種春節(jié)吉祥物為分布均勻的正十二面體模型（如圖），某興趣小組在十二個面分別雕

刻了十二生肖的圖案.若其中的2個成員將該模型各隨機拋出一次，則恰好出現(xiàn)一次龍的圖

案朝上（即龍的圖案在最上面）的概率為.

【答案】匚

72

【解析】因為1個人拋出一次時龍的圖案在最上面的概率為二，

12

所以2個成員各拋一次，恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為工＞＜工+上＞＜□=—.

1212121272

故答案為：--

72

13.在ABC中，點分別在邊3cAe上，BC=3BD,AC=2AE,若AD,BE交

于點/,則—=:當BC=3,AC=4,AB=2時，AAB/面積為.

3^/15

【答案】1

16

【解析】因為AC=2M,所以AC=2A￡，

因BC=3BD,所以30=330,令&=九(彳e(0,1)),

IE

所以B/=X/E，

J1

所以A/=A3+B/=A5+——BE=AB+——(AE-AB}=--AC+——AB

"以1+21+彳\>2(1+2)1+2'

因為5,1,E共線，所以A/=xAB+(l—x)AE=xAB+—AC,①

因A,/,￡>共線,

所以3/=y3A+(1—y)nA/—AB=—yAB+(1—y)?；(AC—AB),

'2-2y

x=-------

所以A/="型A3+匕l(fā)Ad②，聯(lián)立①②，：，解出丁=工,

331-x1-y4

故A/=，A3+LAC,所以工=’,解出X=1,故里=1；

2421+2IE

人人40+人力士E“AB2+AC2-BC24+16-911

在.ABI中，由余弦定理，cosA=----------------------=------------=—

2AB-AC2x2x416

因為AG(O,71),所以sinA=Jl-

_1..1°,3岳_3岳

Sc4”——AABD,AC?sinA——x2x4x-----------,

-ABC22164

則5"/='5.0="5?故答案為：①1；②生叵?

AB,4ABC1616

14.正方體ABCD-的棱長為2,P為該正方體側(cè)面CG。。內(nèi)的動點（含邊界），

若PA,PB分別與直線A￡＞所成角的正切值之和為72，則四棱錐P-ABCD的體積的取

值范圍為

2724

【答案】

【解析】在正方體ABC。-4用。12中，以A為原點，以A民ARM所在直線為x，%z軸

建立空間直角坐標系A(chǔ)—孫z,P（x,2,z）,A（0,0,0）,5（2,0,0）,￡＞（0,2,0）,

PA=(-x,-2,-z),PB=(2-x,-2,-z),A￡>=(0,2,0),

|PA-AD|」(一x,—2,—z)(o,2,o)|2

因為cosPA,AD=

HM274+x2+z274+x2+z2

%2+z2

4+%2+z2

_?.叫_|(2—x,—2,—z)(0,2,0)_2

|PB|-|AD|2)4+(2-X-+Z2j4+(2-xf+z?

-4+(2：y+z2(2-X)2+Z2

所以sinP5A0=

4+(2-X)2+Z2

所以tanPA,AD+tanPB,AD=+~-+J，？％)一十二.=肥>

22

ylX2+Z2J(2-x)2+Z1d(2-2)2+(1-0)2+(z-0)2

所以二2____________2__________2

J(22)2+(X2)2+(Z0)2_顯

整理可得點P(2,x,z)到點￡>(2,0,0)和點C(2,2,0)的距離之和為20，

所以點尸的軌跡為在平面CCRD中以點D,C為焦點的橢圓被平面CCRD所截曲線,

則點P到平面ABCD的距離/I的最大值為1,此時點尸在CD中點的正上方；

最小值為YZ時，點尸在點。或者點C的正上方，所以四棱錐P-A6CD的體積為

2

4,「2拒4]+…上J」204

=-h&.故答案為：

L-3…3L33J133

;

ABx

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=x?Inx.

(1)求“盼的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在x>0,使得/(%),,依成立，求實數(shù)。的取值范圍

解：(1)因為/'(x)=x(21nx+l),x>0,

令/''(%)=(),解得％=「上

當xe0,e'2時，/'(x)<0,“刈單調(diào)遞減，

\)

r_2、

當xee2,+oo時，/(無)單調(diào)遞增，

(二、(_i、

則Ax)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,e”,單調(diào)遞增區(qū)間為e-2,+Go

(2)依題意，存在了>0,使得a?xln尤，令g(x)=xlnx,則g'(x)=lnx+l,

當時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

故g(文n=g［「=T，因此。故?的取值范圍為｛aI

16.定義兩組數(shù)據(jù)的,匕a=1,2,?,n)的“斯皮爾曼系數(shù)”為變量/在該組數(shù)據(jù)中的排名X1和

變量”在該組數(shù)據(jù)中的排名為的樣本相關(guān)系數(shù)，記為夕淇中。=1-?

軟"1=1

某校15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的排名與知識競賽成績的排名如下表：

￡123456789101112131415

%153498761021214131115

(1)試求這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與知識競賽成績的“斯皮爾曼系數(shù)”；

(2)已知在這15名學(xué)生中有10人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，現(xiàn)從這15人中隨機抽取3人，抽到數(shù)

學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生有X人，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：(1)依題意，/?=1——~^^^?(9+16+4+4+1+64+1+4+9)=0.8,

所以這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與知識競賽成績的“斯皮爾曼系數(shù)”是0.8.

(2)依題意，X的值可能為0,1，2,3,

312

P(X=O)=2C=—2,P(X=1)=^C4C^=’20

/91C：591

213

玖乂=2)=上c嗎c3=上45,尸(乂=3)=c邛=一24,

C：591C：591

則X的分布列為:

X0123

2204524

P

91919191

204524

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1義.+2x而+3x元=2.

17.如圖所示的幾何體是圓錐的一部分,A為圓錐的頂點，。是圓錐底面圓的圓心,4OC=

—,P是弧上一動點(不與反C重合)，點/在AB上，且=。4=

3

y/3OB=6?

TT

(1)當/50尸=—時，證明：A3J_平面MOP；

2

(2)若四棱錐用-OCPB的體積大于等于昱

16

①求二面角笈―AO—P的取值范圍；

②記異面直線AP與50所成的角為a,求cosa的最大值.

]兀

(1)證明：由題知AB=2,在AWBO中，(9B=1,MB=—,NMBO=一,

23

求得0M=走，則9/2+。河2=區(qū)。2,：,AB±OM

2

TT

又NBOP=—,AO,O尸，AOLO尸，OA03=。，0A、05u平面AOB,

2

故OP_L平面AOB,

又ABu平面AOB,所以O(shè)PIAB,

又OPcOM=O,OP、OMu平面MOP,

平面MOP

(2)解：①設(shè)/B0P=6,AO±BO,AO±OP,

則二面角笈—AO—P的平面角即為，，

在03上取點N,使ON=3NB,連接MN,

：.MNOA,MN=-OA=—,

44

四棱錐河―OCPB的體積V=LY3.S=Y3S，

3412

其中S表示四邊形OCPB的面積,

則S=gOP.OBsinO+1（9P-OCsin[g-

=—sin^H--f^-cos^+—sin^=—sin^+—cos^=^-sinf^+—,

22122J4426）

由可得sin（e+￥]?走，

16I6）2

八八2兀e兀八兀5兀1兀,八兀，2兀f八兀兀

0<0<—,則一<8H—<—,故一<9H—<—，解得。￡—,

3666363\_62_

兀兀

即二面角5—AO—P的取值范圍為；

62_

②以03方向不軸正方向，在。內(nèi)垂直于。3的方向為y軸正方向，on方向為z軸

正方向建立空間直角坐標系，

則0(0,0,0),4(0,0,⑹,5(1,0,0),尸(cos。,sin。,。)

AP=(cos0,sin0,-73),03=(1,0,0),

/.costz=cos(AP,O3)=^-|cos6)|

%患Jcos'e0，W

_o2J2

即COS6Z的最大值為KE.

4

18.已知橢圓E：A+衛(wèi)=1(。＞匕＞0)的離心率為是E上的不同兩點，且直線

ab~2

AB的斜率為-1,當直線AB過原點時，|AB|=4.

（1）求橢圓E的標準方程;

（2）設(shè)P（0,3）,點都不在y軸上，連接分別交后于。,。兩點，求點P

到直線的距離的最大值.

解：（1）依題意e=￡=4Z，則=!，因此“2=2〃,

a2aa

當直線A5經(jīng)過原點時，直線的方程為：＞二一元,

設(shè)A（不，X），5（—七,一%），

y=~x

聯(lián)立直線A5與橢圓E的方程《，結(jié)合/=2/，得3再2=2〃,

1

所以|A邳=J1+（_1）2|2XJ=4,解得X；=2,

22

故/=3,標=6,即橢圓E的標準方程為E:匕+L=1；

63

（2）設(shè)4（石,%）,5（%2，%），。（%為），。（如為），

可知P4的斜率存在，設(shè)為左,

（%3,0），直線24的方程為丁=辰+3,

y=kx+3

聯(lián)立直線私與橢圓￡的方程，＜y2好_,整理得（42+2*+6依+3=0,

其中△=36左2—12（左2+2）=24（左2—1）＞0,得左＜一1或左＞1,

V3=FT2,則、=儼+2,=（%-3『+2后=1+2、-60+9=5-2%

,012—5%=12-5-

y^yl=kxl+3='-,故A

5-2%、5-2%5―2%,

同理可得61?J-￥，易知CD的斜率不為0,

（5-2%5-2y4J

設(shè)CD的方程為x=my+n,

（切4+”）（52%）（7叫+"）（52y4）

5-2%―5-2%一（5-2y4）（5-2y3）

~（5m+2n）（y3-y4）

（5-2y4）（5-2y3）,

__12_5%12-5%_%-%

-'-5-2”-5-2%一（5-2%）（5-2%）'

又~~=~77.；、/47=一1,則2〃+5m=1,

%—%-{5m+2n）［y3-y4）

對比CD的方程可知，直線CD恒過定點Q

設(shè)點P到直線CD的距離為d，

則d<|PQ|=門T'CT=與

當且僅當PQ，8時，點尸到直線CD的距離取到最大值也

2

在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得

rx

cec+eC

),其中。為參數(shù).當c=l時，該表達式就是雙曲余弦

出懸鏈線的方程為I

y=

函數(shù)，記為—丫，懸鏈線的原理常運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩

（sinx）=cosx

等工程.已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：《,；②二倍角公式：COS2JT=

（sinx）=-cosx

P—P

2cos2%-1；③平方關(guān)系：sinZx+cN-l.定義雙曲正弦函數(shù)為sinhx=—

(1)寫出sinhx,coshX具有的類似于題中①、②、③的一個性質(zhì)，并證明該性質(zhì);

(2)任意x>0,恒有sinhx-Ax>0成立，求實數(shù)左的取值范圍；

(3)正項數(shù)列{%}(“eN*)滿足a】=">1,%+|=2片-1,是否存在實數(shù)。，使得

出024=/？若存在，求出0的值；若不存在，請說明理由.

8

解：(1)①導(dǎo)數(shù)：(sinh(x))=cosh(x)，(cosh(x))=sinh(x),證明如下:

(X-x\1+1,

(sinh%)二-------=---------=cosnx

12J2

(八%.-X、e%_Q-X

(coshx)二-------=---------=sinhx

2

、V72

②二倍角公式：cosh(2x)=2(coshx)2-1,證明如下:

八%I^~x\?。?-2.x^2x.-Lx

2(coshx)2-1=2x----------1=-----------------1=-----------=cosh(2%)；

③平方關(guān)系：(cosh%)2—(sinh%)2=1,證明如下:

(2)令/(％)=sinhx-Ax,XG(0,+OO),/'(x)=coshx—左，

①當