第6章《一次方程組》章節(jié)測試卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1,若+2ya+?i=3是關(guān)于％,y的二元一次方程，則（a—25）2024的值為（）

A.2024B.-2024C.1D.-1

2.對于方程組「久+4y=2?下列變形中錯誤的是（）

I2比一y=5②

A.由①，得第=234yB.由①，得）/=

C.由②，得久=彳D.由②，得y=2%+5

3.若關(guān)于x,y的方程組?二2、之Y的解滿足無+>=2024,則A等于（）

（%+6y=3/c—1'

A.2022B.2023C.2024D.2025

4.若2a—b=0,且關(guān)于x,y的二元一次方程（a—l）x+by+5—2a=0,當(dāng)a取不同值時,

方程都有一個公共解，那么這個公共解為（）

r—Q（x=1（x=5（x=2

A.R1B.IiC.”3D.i3

[y=-19=-5u=-5U=Q

5.食用油的沸點一般都在20CTC以上，適當(dāng)?shù)卣莆占訜釙r間和油的溫度，能使菜肴酥松香脆.為

了掌握家中的食用油加熱時間，小明用刻度不超過100。（2的溫度計，在鍋內(nèi)倒入一些油，用

小明家的油是花生油，他在網(wǎng)上查得以下信息：①花生油的沸點是320。（2；②炸薯條時在油溫

達(dá)到沸點的8成時將薯條下鍋，口感最好.若花生油按上述實驗中的速度繼續(xù)升溫，小明在油

倒入鍋后放入薯條的時間約是（）

A.106sB.114sC.118sD.123s

6.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組匕（a是常數(shù)），若不論a取什么實數(shù)，代

[X-5y=4a十o

數(shù)式依—y（A是常數(shù)）的值始終不變，則A的值為（）

A.-1B.-2C.1D.2

7.設(shè)“?，▲,■”分別表示三種不同的物體，如圖所示，前面兩架天平保持平衡，如果要

使第三架也平衡，那么“？”處可以放的物體為（）

'?■/\A/、?▲/\?/

△〒△〒

A.????B.???C.■■■■■D.■■■

8.甲、乙二人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，如果同時同地出發(fā)，反向而行，每隔2min

相遇一次；如果同時同地出發(fā)，同向而行，每隔6min相遇一次，已知甲比乙跑得快，則甲每

分跑（）

A.11圈1B.J圈C.:1圈D.1

L346

9.若方程組優(yōu)植二;1的解是二則方程組｛猾:要二?J的解是（）

十02y—c2U一42a2%十—a2c2

10.關(guān)于x,y的方程組FUJ!/QK,有正整數(shù)解，則正整數(shù)上的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.已知｛、1匕是二元一次方程2久—3y=3的一組解，則式子1-2a+35的值是

12.如果某個二元一次方程組的解中兩個未知數(shù)的值互為相反數(shù)，我們稱這個方程組為“和諧

方程組”.若關(guān)于x一的方程組是“和諧方程組”，則a的值為---------

13.某社區(qū)出資100元全部用于采購4B,。三種圖書，4種每本6元，￡種每本5元，。種

每本4元，其中2種圖書只能買5或6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有種.

14.如圖，八塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，則每塊小長方形地磚的寬等于

15.甲、乙兩人同時解方程組甲正確解得二11,乙因為抄錯。的值,解

得｛：=_26,則a+6+c=.

16.幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一一九宮格.將9個數(shù)

填入幻方的空格中，要求每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖（1）

就是一個幻方，圖（2）是一個未完成的幻方，則％與y的積是

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）解方程組：

18.（6分）已知x,y同時滿足％+5y=3a+7,x—3y——a—5.

（1）當(dāng)a=l時，求久+y的值；

（2）試說明無論a為何值，y的值始終比x的值大2.

19.（8分）對于未知數(shù)x,y的二元一次方程組，如果方程組的解x,y滿足—=我們

就說方程組的解X與y具有“鄰好關(guān)系”.

(1)方程組的解X與y是否具有“鄰好關(guān)系”？說明你的理由；

⑵若方程組卜:胃工^的解X與y具有“鄰好關(guān)系”，求加的值；

⑶未知數(shù)為X,y的方程組｛；；二：二;，其中a與x,y都是正整數(shù)，則該方程組的解x與y

是否具有“鄰好關(guān)系”？如果具有，請求出a的值；如果不具有，請說明理由.

20.(8分)閱讀下列材料:

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：

2%+3y.2x-3y_

--------1--------=7

"2」3V?小明發(fā)現(xiàn)，如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大,

-------1--------=O

(32

容易出錯.如果把方程組中的(2%+3y)看成一個整體，把(2%—3y)看成一個整體，通過換元,

可以解決問題.以下是他的解題過程:

+已=7

令zn=2%+3y,n-2x-3y.原方程組化為■賓?,解得［血―哈，

—+-=8E=-24

V32

把口二詈代入瓶=2%+3%n^2x-3y,'解得｛；匚:4

???原方程組的解為1;二;

(1)學(xué)以致用：

超、-用E上L讓、二萬、法4解功萬程、知一2且口：|(2((%%+11))_+23((yy--22))==41

⑵拓展提升:

已知關(guān)于X,y的方程組鑿:：；：；；的解為請直接寫出關(guān)于小〃的方程組

黑：，黑二；的解是

21.(8分)已知關(guān)于%,y的方程組I?二°n

(1)若方程組的解滿足％+y=0,求TH的值；

(2)無論實數(shù)TH取何值，方程%一2y+Tn%+4TH=0總有一個固定的解，請求出這個解？

(3)若方程組的解中％為整數(shù)，且小是自然數(shù)，求m的值.

22.（8分）某電器超市銷售每臺進(jìn)價為200元，170元的48兩種型號的電風(fēng)扇.如表所示

是近2周的銷售情況：（進(jìn)價、售價均保持不變，利潤=銷售收入一進(jìn)貨成本）

銷售數(shù)量

銷售時段銷售收入

1種型號￡種型號

第一周351750元

第二周4103000元

⑴求4g兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價；

⑵超市銷售完46兩種型號的電風(fēng)扇共25臺，能否實現(xiàn)利潤為1200元的目標(biāo)？請說明理由.

（3）一家公司打算花費4000元同時購買4￡兩種型號的電風(fēng)扇若干臺，請你為該公司設(shè)計不

同的購買方案.

23.（8分）某公司裝修需用4型板材48塊、B型板材36塊，4型板材規(guī)格是60cmx30cm,B

型板材規(guī)格是40cmx30cm.現(xiàn)只能購得規(guī)格是150cmx30cm的標(biāo)準(zhǔn)板材.于是需將每張

標(biāo)準(zhǔn)板材盡可能多地裁出2型、B型板材，共有下列三種裁法：（如圖是裁法一的裁剪示意圖）

裁法一裁法二裁法三

a型板材塊數(shù)120

B型板材塊數(shù)2mn

單位：cm

30

A60

150B40

B40

(1)填空：上表中，m=_,n=_；

⑵如果所購的標(biāo)準(zhǔn)板材為35張，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的力、B兩

種型號的板材塊數(shù)與所需塊數(shù)相符.問按三種裁法各裁標(biāo)準(zhǔn)板材多少張？

參考答案

一.選擇題

1.C

【分析】本題主要考查了二元一次方程的定義，掌握“含有兩個未知數(shù)，并且含未知數(shù)項的次

數(shù)為1的整式方程叫二元一次方程”成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二元一次方程的概念可得a、6的值，然后代入(a-2匕)2。24計算即可.

【詳解】解：..?3%2a-b+2ya+bT=3是關(guān)于久，y的二元一次方程，

?[2a—b=1解得.1a=1

la+b-l=l，胛何.「

...(a—25)2024=(1_2)2024=(—1)2024=1

故選：C.

2.D

【分析】本題考查解二元一次方程組步驟，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵.將兩個方

程變形后進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由①得：%=2=或〉=^^

J4

則A,B均不符合題意；

由②得：y=2%一5或久=早，

則C不符合題意，D符合題意；

故選：D.

3.D

【分析】本題考查根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)、解二元一次方程組，先利用加減消元法

求得x、y的值，再代入％+y=2024,求解即可.

【詳解】解：產(chǎn)-2y*3?,

1%+6y=3/c—

由3x①+②得，10x=6fc-10,

3

k1

解得為5--

把％=|k-1代入②得，|fc-l+6y=3/c-1,

解得y=-k,

,/方程組的解滿足％+y=2024,

32

—1+例=2024,

解得k=2025,

故選：D.

4.C

【分析】由2a—6=0得：b=2a,把b=2G代入(a—1)%+by+5—2a=0得(a—l)x+

2ay+5—2a=0,整理得：(％+2y-2)。-%+5=0,根據(jù)當(dāng)a取不同值時，方程都有一個

公共解，得出「+2212;()，解關(guān)于X、y的方程組即可.

【詳解】解：由2a-b=0得：b=2a,

關(guān)于x,y的二元一次方程(a-l)x+by+5-2a=0可變?yōu)椋?/p>

(a—l)x+2ay+5—2a=0,

整理得：(％+2y—2)a—%+5=0,

二.當(dāng)a取不同值時，方程都有一個公共解，

.(X+2y—2—0

又_龍+5=0'

解得：L._3,故c正確.

{y--2

故選：C.

5.D

【分析】本題主要考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出一次函數(shù)解析式.由

表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)油溫與時間成一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出一次函數(shù)解析式，然后把y=

320X80%=256代入即可求出答案.

【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)油溫與時間成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)油溫與時間的函數(shù)關(guān)系＞=行+5,

把(0,10),(10,30)分別代入得,

則{—，

解%：0

.\y=2t+10,

當(dāng)y=320x80%=256時，256=2t+10,

解得t=123,

即小明在油倒入鍋后放入薯條的時間約是123s,

故選：D.

6.A

【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，將方程組中的兩個方程變形后聯(lián)立消掉a即可

得出結(jié)論，將方程組中的兩個方程聯(lián)立消掉是解題的關(guān)鍵.

x+2y――a+1①

【詳解】解：關(guān)于x,y的二元一次方程組

x—3y—4a+6②

①x4+②可得5%+5y=10,

即一久—y—2,

故A的值為一1,

故選:A.

7.C

【分析】設(shè)“?，▲,■”分別為％,y,z,根據(jù)前兩個天平求出三個量之間的關(guān)系，進(jìn)而得出

結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)“?，▲,■”分別為居y,z,由圖可知:

12%=y+zp=2z

\x+z=y'母行.=3z，

.\x+y=5z,

即“？”處可以放的物體為5個?；

故選C.

8.B

【分析】設(shè)甲的速度為久，乙的速度為外環(huán)形路的長度為單位1,由題意得仁,：：￡二;，計

算求解即可.

【詳解】解：設(shè)甲的速度為％,乙的速度為外環(huán)形路的長度為單位1,

2(%+y)=i解得

由題意得

故選：B.

9.A

3al光+2by=%一q變#為

【分析】將,r

3a2%+2b2y=a2—c2/卷雷"MU—

-2廠列出方程組，再得其解即可.

+2瓦y=的一q變形為口1。(—3汽+1)+/)]?(-2y)=

【詳解】解：將C1

3a2%+2b2y=a—c/c

22a2-(-3x+1)+勿?(-2y)=2

ax'+by'—j

設(shè)-3x+l=x',-2y=/,則原方程變形為:rr

a2x'+b2y'=c2

rx=4

因為方程組,黑的解是

y=-29

—3%+1=4,日%=—1

所以-2y=-2，解得:

y1，

舞:舞二"魯?shù)慕馐莤=—1

所以方程組,

.y=i'

故選：A.

10.C

【分析】本題考查了方程組的整數(shù)解，首先由第二個方程得到％=2y,代入第一個方程，求得

y=一，根據(jù)9一/c是3的正倍數(shù)即可求解.

x+y—9—k①

【詳解】解:

.x—2y—0(2)

由②得：x-2y,代入①得：3y-9-k,

則y=?，

?.?原方程組有正整數(shù)解，

.?.則9—k=9或9—k=6或9一k=3,

解得：k=0或k=3或k=6,

???/c為正整數(shù)，

則k=3或k=6,

則正整數(shù)k的個數(shù)為2,

故選：C.

二.填空題

11.-2

【分析】本題考查了二元一次方程的解及代數(shù)式的求值.熟練掌握二元一次方程解的定義，整

體代入求代數(shù)式的求值，是解決問題的關(guān)鍵

先把方程的解代人二元一次方程，得到關(guān)于a、6的方程，變形后整體代入求值.

f-y-Q

【詳解】：｛yIb是二元一次方程2%—3y=3的一組解，

2a—3b—3,

1—2a+3b=1—(2d-35)=1—3——2.

故答案為:—2.

12.-1

【分析】本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，相反數(shù)的定義，熟練運用整

體法解方程組是解題的關(guān)鍵.

把兩個方程相加可得為+y=2+2a,再根據(jù)相反數(shù)的定義可得2+2a=0,據(jù)此即可求解，

x+3y—4+a①

【詳解】解:

,x-y-3a?

①+②得：

2x+2y—4+4a,

x+y—2+2a,

?■X,y互為相反數(shù)，

-,-%+y=0,

:.2+2a=0,

:.a――1,

故答案為：—1.

13.6

【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)

鍵.當(dāng)購買5本2種圖書時，設(shè)購買工本B種圖書，y本C種圖書，利用總價=單價x數(shù)量，可列

出關(guān)于久，y的二元一次方程，結(jié)合久，y均為正整數(shù)，可得出當(dāng)購買5本4種圖書時，有3種采

購方案；當(dāng)購買6本2種圖書時，設(shè)購買m本B種圖書，n本C種圖書，利用總價=單價x數(shù)量，

可列出關(guān)于瓶，九的二元一次方程，結(jié)合n均為正整數(shù)，可得出當(dāng)購買6本4種圖書時，有

3種采購方案，進(jìn)而可得出此次采購的方案有6種.

【詳解】解：當(dāng)購買5本4種圖書時，設(shè)購買工本B種圖書，y本C種圖書，

根據(jù)題意得：6x5+5久+4y=100,

4

?,?%=14--y,

又???%,y均為正整數(shù)，

(x=10x=64(%=2

.Ty=5或1=10或卜=15，

???當(dāng)購買5本4種圖書時，有3種采購方案；

當(dāng)購買6本4種圖書時，設(shè)購買TH本B種圖書，幾本C種圖書,

根據(jù)題意得：6x6+57n+4n=100,

??",5

?n=16——4m,

又m,n均為正整數(shù),

fm=4_n.fm=8ixfm=12

"11或=6或=1，

???當(dāng)購買6本a種圖書時，有3種采購方案.

???此次采購的方案有3+3=6(種).

故答案為：6

14.15

【分析】本題考查二元一次方程組在幾何問題中的應(yīng)用，結(jié)合圖形找到兩組等量關(guān)系是關(guān)鍵.假

設(shè)小長方形的長、寬分別為acm、bcm,通過圖形中大長方形的邊長關(guān)系，可列出二元一次方

程組，求得a、5的值即可.

【詳解】解：設(shè)小長方形的長、寬分別為acm、bcm.

fa+b—60

由題意可列方程組:12a—a+3b

fa=45

解得:tb=15

每塊小長方形地磚的寬為：15cm,

故答案為：15.

15.7

(CL—b=8(1)

【分析】本題主要考查二元一次方程組的解，把:一1代入方程組得二，再把

(c+3=-2②

{;二_26代入方程組中第一個方程得2a—65=8③，聯(lián)立①②③，求出a,b,c的值代入計算即

可

ax+by=8a—b=8①

【詳解】解：把二代入方程組ex-3：=—2得/s

C+3=-2②

是方程a%+by=Q的一組解，

2a-6b=8③，

a=10

聯(lián)立①②③，并解得，b=29

c=5

?二a+b+c=10+2—5=7,

故答案為：7.

16.20

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，由題意得每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上

的3個數(shù)之和相等，表示出最中間的數(shù)和最右下角的數(shù)，列出二元一次方程組，解方程組即可,

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，

???最左下角的數(shù)為：6+20-22=4,

則最中間的數(shù)為：％+6—4=%+2或％+6+20—22—y=第-y+4,

最右下角的數(shù)為：6+20—(%+2)=24—%或％+6—y=x—y+6,

(x+2=x—y+4

*(24—x=x+y+69

解得曰:|y==120,

與y的積為10x2=20,

故答案為：20.

三.解答題

17.⑴解：7、

l—2x+5y=2②

把①代入②得，—2(3y+l)+5y=2,

解得y=-4,

把y=-4代入①得，%=-12+1=-11,

，低,二3是原方程的解；

fa—b=-1①

(2)解：＜3a+b+c=2②，

ya—2b+c=-6(3)

由①得，a=b-1,

把Q=b-1代入②得，4b+c=5④，

把。=6-1代入得③得，-b+c=-5@,

由④一⑤得，5b=10,

解得b=2,

.\a=b—1=2—1=1,

把匕=2代入⑤得，-2+。=-5,

解得c=-3,

a=1

**-b=2是原方程的解.

c=—3

18.(1)解：Vx+5y=3a+7,x—3y=—a—5,

/.2x+2y=2a+2,

.\x+y=a+1,

當(dāng)a=1.時，x+y=2；

(2)Vx+5y=3a+7,x—3y=—a—5,

/.8y=4a+12,

y=-Q+—,

J22

由(1)知，x+y=a+1,

?i1

?.X=~2CL2,

.\y-x=2,

無論a為何值，y的值始終比x的值大2.

19.(l)x與y具有“鄰好關(guān)系，理由如下：

解：'.”-y=1,

■,■\x-y\=1

與y具有“鄰好關(guān)系;

2x—y=6①

(2)解:

.4%+y=67n②

①+②，得6汽=6+6m,

x=1+m9

將％=1+TH代入①，得2+2m—y=6,

解得：y=2m-4,

，方程組的解為y二2k二，

:方程組膝的解X與y具有'鄰好關(guān)系”,

|1+m—2m+4|=1,

即|5-m|=1,

5—m=l或5—tn=—1,

解得：m=4,m=6；

(3)解：二

①+②，得(2+a)y=12,

?:a,y都是正整數(shù)，

,(a=1(a=2(a=4(a=10

,?(y=4，[y=39[y=2'(y=1'

,當(dāng)y=4時，代入②得，X=3;

當(dāng)y=3時，代入②得，x=1；

當(dāng)y=2時，代入②得，%=—1；

當(dāng)y=l時，代入②得，%=-3；

■:a與x,y都是正整數(shù)，

???《二:時具有“鄰好關(guān)系”，

即當(dāng)a=1時，x,y具有“鄰好關(guān)系

20.(1)解：令?71=%+1,n=y—2,

原方程組化為F巾=2

vm—2n=4

2

解得｛kt,

(x+1=2

?％—2=—「

X=1

解得:

.y=]，

x=1

...原方程組的解為

y=1；

a1(m+2)-3Z)2n=c12v__.

(2)解：在。2(m+2)—3匕2n=。2中，2,丫一3n,

ax+by—q

則r2

可化為ax+by=c，

流：，猊u222

ax+by=%=:3

?.?方程組r2[I解為

c：

a2x+b2y=2.y=4'

.Cm+2=3

,*t—3n=4

m=1

4,

n=——

3

m=1

故答案為:4.

n=——

3

x+y=0x=—6

21.(1)由題意得:,解得

%+2y-6=0y=6，

x——6

把y=6代入%—2y+租式+4ni=0,解得m=-9；

(2)x—2y+mx+4m=0,

x—2y+